5 chuyen de giai toan ca si o

Ti liu BD Casio

NV - H

A. Mục lục
Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS
Phần II: Các dạng bài tập: Giải toán trên máy tính Casio
Phần III: Một số đề thi Giải toán trên máy tính Casio ( hệ THCS )
B. nội dung
Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS

A/.máy tính casio Fx:500 MS
I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS

:

1) Các loại phím:
+ Phím trắng: Bấm trực tiếp ( ví dụ: 5 ta ấn

5= 5 )

+ Phím vàng: Bấm SHIFT + Phím vàng (Ví Dụ: 4 81 , ta bấm 4 SHIFT

x

81 = 4 81 )

+ Phím đỏ: Bấm ALPHA + Phím đỏ (ví dụ: A, ta bấm ALPHA A
2) Mở tắt máy:
+ Mở máy: Bấm
+ Tắt máy: Bấm

ON
SHIFT + OFF

+ Xoá màn hình khi làm tính :

AC

- Bấm
- Bấm

SHIFT CLR 2 =

- Bấm

SHIFT CLR 3 =

+ Để kiểm tra lỗi ta dùng các phím
+ Để sữa lỗi: - Dùng phím

>< di chuyển.

- Bấm phím DEL xoá ký tự đang nhấp nháy
- Bấm phím SHIFT + IN S chèn ký tự đánh sót
II/ .máy tính casio Fx:500 MS:
*) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng
số biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn...phù hợp với giã thiết của bài toán
a) Bấm Mode ( 1 lần) man
hinh

COMP SD REG
1
2 3
1


Ti liu BD Casio

+ Bấm Mode 1

NV - H

Làm các phép tính thờng

+ Bấm Mode 2 Làm thống kê một biến
+ Bấm Mode

Làm thống kê hai biến

b) Bấm Mode Mode( 2 lần) man
hinh



EQR
1

+ Bấm Mode Mode 1 man

hinh

UNKNO S

( giải phơng trình )

( ẩn )

- Bấm tiếp 2 Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Bấm tiếp 3 Giải hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn
+ Bấm Mode Mode 1



man
hinh

Degree (bậc)

- Bấm tiếp 2 Giải phơng trình bậc hai một ẩn
- Bấm tiếp 3 Giải phơng trình bậc ba một ẩn
c) Bấm Mode Mode Mode ( 3 lần)

man
hinh



Deg Ded Gra
1

2
3

+ Bấm Mode Mode Mode 1 Chọn đơn vị đo góc là độ
+ Bấm Mode Mode Mode 2 Chọn đơn vị đo góc là rađian
+ Bấm Mode Mode Mode 1 Chọn đơn vị đo góc là grad
d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lần)

man
hinh



Fix Sci Norm
1 2
3

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 1 Có chọn số số lẻ thập phân
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 2 Có chọn hiện số dạng : a.10 n
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 3 Có chọn số dạng thờng
e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lần)
man
hinh



Disp
Bấm tiếp 1 man
hinh

1

ab / c d / c
1
2

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 kết quả dới dạng hổn số
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 kết quả dới dạng phân số

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 man
hinh


2

Dot Comma
1
2


Ti liu BD Casio

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1

NV - H

Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (.)

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1

Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,)

III/. Cách làm một bài thi - Giải toán trên máy tính casio"
*Quy định:
1. Yêu cầu các em dự thi chỉ dùng máy Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio
fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải.
2. Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử
số hiện trên màn hình máy tính.
3. Trình bày bài giải theo các bớc sau :
- Sơ lợc lời giải ( lời giải vắn tắt)
- Thay số vào công thức (nếu có)
- Viết quy trình ấn phím
- Kết quả
*Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây. Chúng ta có thể nhìn
đề thi - Giải toán trên máy tính Casio theo các định hớng sau đây :
1. Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học
sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học
hoặc tăng tốc độ tính toán.
2. Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật
toán, thậm chí cả một lý thuyết toán học ( số học, dãy tru hồi...)
`
3. Phát huy đợc vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán
thực tế
Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay
I/. Một số dạng toán xác định số (số học):

1/ . Loại 1. Tính chính xác kết quả phép tính :
.Phơng pháp: Dựa vào các tính chất sau:
1) Số a1a 2 a3 a 4 ...a7 a8 = a1a 2 a3 a 4 . 10 4 + a5 a6 a7 a8
2) Tính chất của phép nhân: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC +

BD
3) Kết hợp tính trên máy và làm trên giấy.
3


Ti liu BD Casio

NV - H

.Mục tiêu: Chia số lớn thành những số nhỏ mà không tràn màn hình khi thực hiện trên
máy
ví dụ1: tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm nh sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375
= 12578.103.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000
+
13843125
= 180822593125
Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
Tính trên máy:
123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521
Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000

+
1676204100000
46090521
= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233
= 1070599167;
3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584;
4563
= 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
+
638155584000
94818816
= 1072031456922402816
Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tính kết quả đúng của các tích sau:

a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630
b) N = 401481484254012
4

Ti liu BD Casio

NV - H

Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bài 3: Tính chính xác tổng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16!
* Hớng dẫn: Ta có n.n! = ( n + 1 1).n! =(n + 1).n! n! = (n+1)! n!
* Đáp số:
S = 355687428095999
Bài 4: a) Tính bằng máy tính: Q = 1 + 2 2 + 3 + . . . + 10 2 .
2

b) Có thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 2 2 +.4 2 + 6 2 + ... + .20 2 mà không dùng

máy tính .hãy trình bày lời giải ấy.
12

Bài 5: Tính chính xác của số A = 10 + 2
3

Nhận xét:

Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540

2

10k + 2
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
3

2

10k + 2

là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
3

* Ta dễ dàng CM đợc và tính đợc kết quả là: A = 111111111111555555555556

2/. loại

2: Tìm số d của phép chia của số a cho số b

* Phơng pháp:
1/. Đối với số bị chia tối đa có 10 chữ số:
A
A
Thì số d của A: B = A - B. (trong đó là phần nguyên của A cho
B
B
2/. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:
Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số
ta ngắt ra thành hai nhóm. Nhóm đầu 9 chữ
số đầu( kể từ bê trái). tìm đợc số d nh phần 1). Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối đa 9 chữ
số rồi tìm số d lần hai. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy.

*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số
nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0 r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d trong phép chia a cho b:
a SHIFT STO A

b SHIFT STO B
a
a
ALPHA A ữ ALPHA B = ( ) ALPHA B - ALPHA B =(Kquả: r =...)
b
b
Ví dụ1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số d khi chia 18901969 cho 3041975 Tính số
d
b) Tìm số d trong phép chia: 815 cho 2004
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
5


Ti liu BD Casio

NV - H
ANPHA
SHIFT

A
A

ữ

ANPHA

- 6 ì

B

B
=

=

(6,213716089)

(650119)

Vậy số d là: r = 650119
b) Ta phân tích: 8 = 88.87 Ta có: 88 1732(mod2004)
87 968(mod2004)
15

815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004)
Vậy số d là: r = 1232
Bài tập áp dụng:

Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số d khi chia 3523127 cho 2047.
b) Tìm số d đó.Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456
Bài 2: Tìm số d trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789

3/.

Đáp số:

r=9

loại 3: Tìm UCLN - BCNN của a và b:

*Phơng pháp:

1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số
a a , .m a ,
=
=
b b , .m b ,

Trong đó (a , ; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m

2. Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE:
Tìm UCLN(a;b) với a b ta có thuật toán sau :
a = b.q 1 + r1
b = r1 .q 2 + r2
r1 = r2 q3 + r3
.
.rn 2 = rn 1 q n + rn

Cha rõ ràng về thuật toán ơle

rn 1 = rn q n +1 + 0

Số d cuối cùng khác 0 là r n chính là UCLN (a;b) hay : r n = UCLN (a;b)
* Chú ý:
Ví dụ 1:

BCNN(a;b) =

a.b
UCLN (a; b)

Tìm UCLN của hai số: a = 24614205, b = 10719433
Giải:

6


Ti liu BD Casio
,
,
*C 1: +) Ta có: a = a , .m = a ,
b b .m b

NV - H

Trong đó (a , ; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m

+) Quy trình ấm máy:
24614205 SHIFT STO A
ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)
Vậy UCLN(a;b) = 21311
*C 2:
+)Theo thuật toán Ơle tìm số d trong phép chia số a cho b ta đợc:
+) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm đợc và kết quả UCLN(a,
b) = 21311)
3. Xác định số ớc số của một số tự nhiên n
*:Định lí : Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta đợc:

n = p1e1 p2e2 ... pkek ,
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:

1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó số ớc số của n đợc tính theo công thức:

(n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Ví dụ2:

Hãy tìm số các ớc dơng của số A = 6227020800.
Giải:
Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta đợc:
A = 210.35.52.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ớc dơng của A là:
(A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584

Vậy số các ớc dơng của số A = 6227020800 là: 1584
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của:
a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) =
; BCNN(a, b) =
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên là ớc của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Đáp số: 46080
4/.

loại 4: Tìm chữ số x của số n =

a n a n -1 ...xa 1 a 0 M m
7

với m

N


Ti liu BD Casio

* Phơng pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11...
2) Thay x lần lợt từ 0 đến 9 sao cho nMm

NV - H

Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết
cho 7
*Sơ lợc lời giải:
- Số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ là: 19293z 4 .
Lần lợt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta đợc số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là:
1929354 ,thơng là 275622
- Số nhỏ nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ là: 10203z 4 .
Lần lợt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta đợc số nhỏ nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là:
1020334 , thơng là 145762
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n dạng:

N = 1235679 x 4 y chia hết cho 24.

*Sơ lợc lời giải:
Vì N M24 N M3 ; N M8 (37 + x + y) M3 ; x 4 y M8.
y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) M3 và x 4 y M8, ta có:

N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: 1x 2 y3z 4 chia hết cho 13.
Số 2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 25
Số 3: Tìm chữ số a biết rằng 46928381a6506 chia hết cho 2009
Số 4: Tìm chữ số x biết rằng 469x838196506 chia hết cho 2009
* loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n =

a n a n -1 ...xa 1 a 0 với n N

. Phơng pháp: (Vận dụng các tính chất sau)
1) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có
chữ số tận cùng là: 0;1;5;6
2) Những số cố chữ số tận cùng là: 2;4;6 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 6
3) Những số cố chữ số tận cùng là: 3;7;9 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 1
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
5) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0
6) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ
số tận cùng là: 5
7) Số chính phơng chỉ chứa các số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9
8


Ti liu BD Casio

NV - H

8) Tìm 2 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số d khi chia số đó cho 10 (hoặc bội của
10 bé hơn 100)
9) Tìm 3 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số d khi chia số đó cho 100 (hoặc bội
của 100 bé hơn 1000)
Thử trên máy lần lợt các số thoả mãn điều kiện bài toán thì ta chọn
10) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
11) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ
những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số: a) 9 9 và b) 14 14
*Sơ lợc lời giải::
a) Ta thấy 9 9 là số lẻ nên 9 9 = 2.k + 1 9 9 = 9 2.k +1 nên tận cùng là số 9
b) ta thấy 14 14 chẳn nên 14 14 =2.k 14 14 =14 2.k =196 k nên chữ số tận cùng là số: 6
9

14

9

14

Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số: 14 14

14

*Sơ lợc lời giải:
Ta có: 7 4 - 1 = 2400 7 4.k - 1 M100 7 14 - 1 M100 7 14 có 2 chữ số là : 01
Mặt khác : 14 14 = 2 14 .7 14
Nhng: 2 14 : 20 d 4 (vì : 2 12 - 1 = { (2 4 ) 3 - 1 } : (2 4 - 1) =15; 4.(2 12 - 1 ): 20 )

Và : 7 14 : 20 d 9 ( vì :7 4.k - 1 : 100 7 12 -1 : 100 7 12 : 20 d 1 7 14 : 20 d 9 )
Vậy : 14 14 : 20 d 4.9 = 36 14 14 : 20 d 10 14 14 có 2 chữ số tận cùng là:16
14

14

Ví dụ 3: Tìm Các số x ; y sao cho xxxxx : yyyy có thơng là 16 d r.
Còn xxxx : yyy có thơng là 16 d r -2000
*Sơ lợc lời giải:
Theo bài ra ta có: xxxxx = 16. yyyy + r

(1)

xxxx = 16 . yyy + r - 2000

( 2)

Lấy (1) trừ ( 2) ta đợc : x0000 = 16. y 000 + 2000
10.x = 16.y + 2
5.x = 8.y + 1 y =

5x 1
( vì x; y Z ; 0 x;y 9 )
8

x = 5: y = 3

Ví dụ 4: Tìm các số khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số
khi bình phơng có tận cùng là bốn chữ số 4 ?
*Sơ lợc lời giải:

Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình
phơng của số:

2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
9


Ti liu BD Casio

NV - H

ta chỉ có các số:12, 62, 38, 88.

khi bình phơng lên có tận cùng là hai chữ số 4. Tính trên máy bình phơng của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta đợc: 462, 962, 38, 538 khi bình phơng có tận cùng là 444.
* Tơng tự cách làm trên, ta có kết luận: không có số N nào để N 2 kết thúc bởi bốn
chữ số tận cùng là : 4444.
Bài tập áp dụng:

Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị
2) Là số chính phơng.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393
cũng nh 655 đều có số d là 210.
Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.

Bài 8: Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại sẽ đợc một
số gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Bài 9: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n 3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối
đều là số 1.
Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể
khác nhau).
Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:
1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n.
Bài 13:

Tìm tất cả các số tự nhiên: x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 Sao cho x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 )

Đáp số - Hớng dẫn lời giải:
Bài 1: Đáp số: - Số lớn nhất là 129304; - Số nhỏ nhất là 1020344
10

4


Ti liu BD Casio

Số 2:
Số 3:
Số 4:

Bài 5:

Đáp số: - Số lớn nhất là 2939475; - Số nhỏ nhất là: 1030425
Đáp số: a =
Đáp số: x =
*Sơ lợc lời giải:: Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5 a6 .

NV - H

- Đặt x = a1a2 a3 . Khi ấy a4 a5 a6 = x + 1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ớc của một trong hai thừa số của vế
trái và số còn lại phải là ớc của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 6: *Sơ lợc lời giải:
Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393
x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655
x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 7:
*Sơ lợc lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số
x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.

Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
30 + xyz chia hết cho 315. Vì 30 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các
bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285
- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600
11


Ti liu BD Casio

NV - H

- Nếu 30 + xyz
Vậy ta có đáp số sau:
x
2
6
9

= 945 thì xyz = 945 - 30 = 915
y
8
0
1

z
5
0
5

Bài 8: *Sơ lợc lời giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.
- Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1a2 ...an 6
- Từ điều kiện 2), ta có: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6

(*)

- Đặt a = a1a2 ...an , thì: a1a2 ...an 6 = 10a + 6
6a1a2 ...an = 6.10n + a

- Khi đó (*) trở thành:
6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a

(**)

Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm
ra số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lợt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lợt là:
6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846.
Bài 9: *Sơ lợc lời giải::
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lợt n = 0, 1, 2,...
và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.

ta đợc n = 0

Chứng minh với mọi n 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:
(2n + 7) M(n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)] M(n + 1) 5 M(n + 1) n 5.

Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tơng tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 10: *Sơ lợc lời giải::
Nhận xét: 1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:11, 21,
31,...81, 91 đợc duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471.
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 )
12


Ti liu BD Casio

3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471.

NV - H

(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k Z+, thì:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
< 111 ...
{
{ 1111 < 112 000...00
{ )
14 2 43 0000
14 2 43 0000
( 111000...00
4
m =3 k
4

3k



3

3k

1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1

Tính trên máy:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đó, với k 1. Cho k = 1 ta đợc n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là:
n = 103...8471
Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta đợc các số này đều vợt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
Bài 11: *Sơ lợc lời giải::
a) Trớc hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:
- Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7.
- Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm đợc:
để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:
- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:
19 x 10k n2 < 20 x 10k

19.10k n < 20.10k

+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
19.10m n < 20.10m

4,3588989.10m n < 4,472135955.10m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
13

(1)


Ti liu BD Casio

ta đợc n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:

NV - H

190.10m n < 200.10m

13,78404875.10m n < 14,14213562.10m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán.
b) Ta có:

2525 x 108 x2 < 2526 x 108

50,24937811 x 104 x < 50,25932749 x 104
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
Bài 12:*Sơ lợc lời giải:
1,01512 163,133... < 512

Ta có:

1,011024 26612,56.. > 1024
Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phơng pháp chia đôi:
521+1024
2

- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: 1, 01

= 1, 01768 = 2083, 603... > 768

Vậy lại có: 512 < n < 768
Sau một số bớc chia đôi nh thế đi đến: 650 < n < 652
Cuối cùng ta có:
1,01651 = 650,45... < 651
1,01652 = 656,95.. > 652
n = 652
* Quy trình trên MT Casio fx: 500 MS
(Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,...
dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:
0 SHIFT STO A

14


Ti liu BD Casio

NV - H

- Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01 ANPHA A
:

ANPHA

A

-

ANPHA

ANPHA

=

A
ANPHA

A

+ 1

- Lặp lại công thức trên:
= ... =
Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.

Bài 13:*Sơ lợc lời giải:
Ta có: 10.000.000 x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 ) 4 99999999
57 x6 x8 99

Ta ghi lên mà hình ( 57 ) 4 = 10556001 không thoả mãn ở vị trí x 6 ; x 8
Dùng phím để sửa và thử các số từ 57; 58; ...;98; 99. ta đợc 3 số : 65; 86; 91
Vậy ta có 3 bộ số x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 là : 65 4 = 17850625 ; 86 4 = 54700816 ; 91 4 = 68574961

II. đa thức:

* Kiến thức bổ xung:

1) Cho đa thức P (x) bậc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*)
Trong đó: an ; an-1 ; ...a1; a0 /R ; an 0
Khi ó: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gi các h s
N u x0 mà P(x0) = 0 thì x0 là nghim ca P(x)
2) Khi chia đa thức P (x) cho (x - ) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và số d r.
Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (x - ) + r
* Chú ý: (Định lý Bezout)
1) N u x = là nghim ca P(x) P(x) M(x - )
2) Nu x0 là nghim nguyên ca P(x) thì x0 c ca a0
3) N u tng các h s bng 0 thì P(x) = 0 có nghim là x = 1 ( Hay P(x) M( x - 1) )
4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có
nghiệm là x = -1 (Hay P(x) M( x + 1) )
* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến)
Khi chia đa thức P(x) cho ( x - ) thơng là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1và có số d

là: r . Khi đó ta có sơ đồ nh sau:
an
an-1
an-2
an-3
......
a1
a0

bn
bn-1
bn-2
bn-3
.......
b1
r = b0
Trong ó: bn = an
bn-1 = . bn + an-1
bn-2 = . bn-1 + an-2
..........................
b1 = . bn-1 + a1
15


Ti liu BD Casio
b0 = . b1 + a0.

NV - H

Khi ó: 1). P ( ) = b0

2). Nu P ( ) = 0 thì P(x) M(x - )
3). Nu P (x) 0 thì P (x) : (x - ) có số d là: r = P ( )
Và có thng là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...

+ b2 . x + b1

1/.Loại 1: Tính giá trị của đa P(x,y,) khi x = x0, y = y0;
*Phơng pháp:
1). Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả.
2). Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thơng và giá trị của đa
thức tại x = ( r = P( ) = b0 )
*Trên máy tính:

1). - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M. - Rồi thực hiện quy trình
2). -Tính nhờ vào biến nhớ Ans

5
4
2
Ví dụ 1: Tính A = 3x 32 x +2 3x x + 1 khi x = 1,8165

4 x x + 3x + 5

Giải:
*Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Bấm phím: 1 . 8165 =
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 + 3 Ans x 2 Ans + 1 ) ữ ( 4 Ans ^ 3 Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) =

Kết qủa: 1.498465582
*Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Bấm phím: 1 . 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X x 2 ALPHA X + 1 ) ữ ( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA

Kết qủa: 1.498465582
* Chú ý: Trong các kỳ thi HSG thờng vẫn hay có dạng toán này. Đặc biệt các cuộc thi cấp
huyện. Khản năng tính toán dẫn đến sai số thờng không nhiều. Nhng biểu thức quá phức
tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán. Tránh tình trạng phép tính vợt quá giới hạn nhớ của
máy tính. Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đã quy tròn trên máy tính trong quá trình thực
hiện, có trờng hợp kết quả sai hẳn). Do vậy không có điểm trong trờng hợp này.
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a. A(x) = x 4 + 5x3 3x 2 + x 1 khi x = 1,23456
b. P(x) = 17x 5 5x 4 + 8x 3 + 13x 2 11x 357 khi x = 2,18567

2/.Loại 2: Tìm d trong phép chia đa thức P(x) cho nhi thức ax + b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và
số d r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) + r


b
a

P(- ) = r
16


Ti liu BD Casio

NV - H

b
Vậy số d trong phép chia P (x) cho (ax + b) là r = P(- )
a
14
9
5
4
2
Ví dụ 1: Tìm số d trong phép chia: P= x x x + x + x + x 723
x 1,624

Giải:
Đặt Q(x) = x14 x 9 x 5 + x 4 + x2 + x 723

x14 x 9 x 5 + x 4 + x 2 + x 723
là Q(1,624)
x 1,624

Khi đó số d trong phép chia: P=

*Qui trình bấm máy (fx-500MS và fx-570 MS)
1 . 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 + ALPHA X ^ 4 + ALPHA X ^ 2 + ALPHA X 72

Kết quả: r = 85,92136979

Bài tập áp dụng:

Bài 1:
Bài 2:

5
3
2
Tìm số d trong phép chia x 6, 723x + 1,857x 6,458x + 4,319

x + 2,318

Cho P( x ) = x + 5x 4x + 3x 50 .
a) Tìm phần d r1, r2 khi chia P(x) cho x 2 và x-3.
b) Tìm BCNN(r1,r2)?
4

4

2

3/.Loại 3: xác định tham số m để đa thức P(x)+m chia hết cho nhi thức
a.x+ b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng
Q(x) và số d r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r
Để P (x) + m chia hết cho (ax + b) thì: m +r = 0 m =- r
m =- P(-

b
)
a

Ví dụ 1: Tìm a để đa thức A(x) = x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x + a chia hết cho x+6.
Giải: *Sơ lợc lời giải:
Đặt P(x) = x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x
Khi đó ta có: A(x) = P(x) + a
Mà d khi chia P(x) cho x+6 là: r = P(-6)
Vậy để A(x) Mx+6 thì r + a = 0 a = - r = - P(-6)
*Qui trình bấm máy fx-500MS
( ) 6 SHIFT STO X
( ) ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x 3 + 2 ALPHA X x 2 + 13 ALPHA X ) =

Kết quả: a = -222
Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x 625. Tìm m để P(x) + m2 chia hết cho x + 3 ?
Giải: *Sơ lợc lời giải:
Ta có: d khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m2 chia hết cho x + 3
Thì: m2 =- P(-3) = - 3 ( 3) + 17 ( 3 ) 625 => m = 3 ( 3) 3 + 17 ( 3) 625


*Qui trình bấm máy fx-500MS:
3

17


Ti liu BD Casio

NV - H

() ( 3 ( () 3 ) x + 17 ( () 3 ) 625 ) =
3

Kết quả: m = 27,51363298

4/. Loại 4: Tìm thơng và số d khi chia đa thức cho đơn thức:
*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner
an
an-1
an-2
an-3
...... a1 a0

bn
bn-1
bn-2
bn-3
....... b1 r = b0
Trong ó: bn = an
bn-1 = . bn + an-1
bn-2 = . bn-1 + an-2
..........................
b1 = . bn-1 + a1
b0 = . b1 + a0.

Khi ó: 1). P ( ) = b0
2). Nu P ( ) = 0 thì P(x) M(x - )
3). Nu P (x) 0 thì P (x) : (x - ) có số d là: r = P ( )
Và có thng là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...
+ b 2 . x + b1
Chứng minh:
Ta xét đa thứ bậc ba: P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 chia cho x -

Ta có: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x- ) + r
= b3x3 + (b2-b3 )x2 + (b1-b2 )x + (r - b1 )
Từ đó ta có công thứ truy hồi Horner:
b 3 = a3
b2= b3 + a2
b1= b2 + a1
b0 = r = b1 + a3.
Ví dụ 1: Tìm thơng và số d trong phép chia x7 2x5 3x4 + x 1 cho x + 5.
Giải
Ta có: = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
*Qui trình bấm máy fx-500MS:
() 5 SHIFT STO M
1 ì ALPHA M + 0 = (-5)
ì ALPHA M 2 = (23)
ì ALPHA M + () 3 = (-118)

Vậy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x
+ 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3
+ 590x2-2590x + 14751) 73756.

ì ALPHA M + 0 = (590)
ì ALPHA M + 0 = (-2950)
ì ALPHA M + 1 = (14751)
ì ALPHA M + () 1 = (-73756)

5/. Loại 5: Phân tích
đa thức theo bậc của một đơn thức

*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner cho n lần
18

Ti liu BD Casio

NV - H

áp dụng n-1 lần sử dụng sơ đồ Horner ta phân tích đợc đa thức P(x) bậc n theo x- :
P(x)=r0+r1(x- )+r2(x- )2+...+rn(x- )n.
Ví dụ 1: Phân tích P(x) = x4 3x3 + x 2 theo bậc của x 3.
Giải:
Thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x- )+r0 theo theo sơ đồ Horner ta đợc
tục tìm các qk(x) và rk-1 ta đợc bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
4
3
Vậy x 3x + x 3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
+ 27(x-3)2 + 9(x- 3 1 3 9 28
q2(x)=x3+3x+1, r1 =
28
3 1 6 27
q3(x)=x+6, r0 = 27
6/. Loại 6: Xác 3 1 9
q4(x)=1=a0, r0 = 9

tính giá trị một
đa thức khi biết một số giá trị khác của nó:

q1(x) và r0. Sau tiếp
2 = 1 + 28(x-3)
3)3 + (x-3)4.

định đa thức &
số giá trị của

*Phơng pháp:
1). Giải hệ phơng trình từ đó tìm đợc các hệ số
2). Tìm đa thứ phụ trớc, rồi quay lại tìm đa thức.
Ví dụ 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải:
Đặt A(x) = P(x) - x2 ta có: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;
Nên theo định lý Bezout ta có: x = 1;2;3;4;5 là nghiệm của A(x) do đó ta có:
k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x-4)(x - 5) = P(x) - x2
=> P(x) = k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
Vì P(x) có bậc lớn nhất là: 5 và có hệ số bằng 1 nên k = 1
Vậy P(x) = ( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
=> .P(6) = ( 6 - 1)(6-2)(6 - 3)(6-4)(6 - 5) + 62 = 156
.P(7) = ( 7 - 1)(7-2)(7 - 3)(7-4)(7 - 5) + 72 = 769
.P(6) = ( 8 - 1)(8-2)(8 - 3)(8-4)(8- 5) + 82 = 2584
.P(6) = ( 9 - 1)(9-2)(9 - 3)(9-4)(9 - 5) + 92 = 6801
Ví dụ 2: Cho P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450. Biết đa thức P(x) chia hết cho các nhị
thức (x - 2) ; (x - 3); (x - 5) . Hãy tìm các giá trị a, b, c và các nghiệm của đa thức.
*HD: Dùng chức năng giải hpt ta đợc kết quả: a = -59; b = 161; c = - 495;
x1 = 2; x2 = 3; x3=5; x4=3/2; x5=-5/3
Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 7x2 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm đợc ở câu a hãy tìm số d r khi chia P(x) cho 3x-2.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 5x2 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.

d. Với n vừa tìm đợc phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bài 3: Cho P(x) = x4 + 5x3 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n của các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x 2.
b. Với giá trị của m, n vừa tìm đợc chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất
19


Ti liu BD Casio

Bài 4: Cho P(x) = x5 + 2x4 3x3 + 4x2 5x + m.
1. Tìm số d trong phép chia P(x) cho x 2,5 khi m = 2010
2. Tìm gía trị m để P(x) chia hết cho x 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?

NV - H

Bài5. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Bài 6: Cho đa thức P(x) = x10 + x8 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. Tìm điều kiện của m để P(x) có nghiệm là: x = 0,3648
b. Với m vừa tìm đợc, tìm số d khi chia P(x) cho (x -23,55)
7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy4 -9
5x 3 -8x 2 y 2 +y3
x 5 -6,723x 4 +1,658x 2 -9,134
2.Tìm số d r của phép chia :
x-3,281
7

6
5
4
3
2
3. Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m . Tì m m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài 7: 1.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính F=

Bài 8:
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x 5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 5x m + 7 b.
Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47;
P(3)=107. Tính P(12)?
Bài 9: Cho ủa thửực P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số d r1 khi chia P(x) cho x 4.
c. Tìm số d r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 10: Cho đa thức P(x) = x 3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41.
Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số d r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số d r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số d r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 11: Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) =
48. Tính P(2010)?
Bài 12: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x 1 đợc số d là 5. Chia P(x)
cho x 2 đợc số d là - 4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x 81 + ax57 + bx41 + cx19 +
Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)
3: Liên phân số:

20


Ti liu BD Casio

NV - H
a
Cho a, b (a>b) là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán ơclít chia a cho b, phân số có thể
b
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
b Vì b0 là phân d của a khi chia cho b nên b > b 0. Do vậy ta
viết dới dạng: b
b
b0
b
b
1
= a1 + 1 = a1 +
b0
đợc
b0
b0
b1
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +

1
b
a1 +
Tiếp tục nh vậy ta đợc sau n bớc ta đợc: b
.
1
...an 2 +
an

Cách biểu diển này gọi là cách biểu diển số hửu tỉ dới dạng liên phân số. Mọi số hửu tỉ có
một biểu diển duy nhất dới dạng liên phân số, nó đợc viết gọn là [ a0 ,a1 ,...,an ] .

Vấn đề đặt ra là: hãy biểu diển liên phân số

a0 +

1
a1 +

1

1
...an 1 +
an

về dạng

a
và ngợc lại
b

Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng.
* Qui trình bấm máy fx-500MS:
1). Tính từ dới lên trên:
Bấm lần lợt các phím: an 1 + 1 ab / c an = an2 + 1 ab / c Ans = ...a0 + 1 a b/ c Ans =
2). Tính từ trên xuống dới:
Bấm lần lợt các phím: a0 + (1 ab / c (a1 + 1 ab / c ( a2 + ...an 1 + 1( a b / c an ))))))))) =

Ví dụ1: Tính giá trị của:

A = 1+

1
2+

Giải:
Qui trình bấm trên máy fx-500MS

1

3+

1
2
23
16

*Cách 1: Bấm các phím: 3 + 1 ab / c 2 = 2 + 1 ab/ c Ans = 1 + 1 a b/ c Ans = SHIFT ab / c ( )
23
*Cách 2: Bấm các phím: 1 + (1 ab / c (2 + (1 ab / c ( 3 + (1 ab / c 2 )))) = ữ

16
15
1
=
1
Ví dụ 2: Biết 17 1 +
trong đó a và b là các số dơng. Tìm a,b?
1
a+
b

Giải:

21


Ti liu BD Casio
15 1
1
1
1
=
=
=
=
Ta có: 17 17 1 + 2 1 + 1 1 + 1 . Vậy a = 7, b = 2.
15
1
15
15

7+
2
2

NV - H

Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính và viết kết quả dới dạng phân số:
A = 3+

5

2+

2+

Bài 2:
Tìm các số tự nhiên a và b biết:

4

2+

B= 7+
5

4

2+

5
3

329
=
1051 3 +

1
5+

1

1

a+

1
3+

3+

1

1

3+

1
4

1
b

Bài 3: Tìm giá trị của x, y của các phơng trình sau:
4+

a.

x

1+

2+

Bài 6: Cho

1

=
1

x

4+

1
3+
4
A = 30 +

3+
12

1

y

b. 1 +

1

1
2+
2

1

3+

+
1
5

y
2+

1

4+

1
6

5
2003
Hãy viết lại A dới dạng A = [ a0 ,a1 ,...,an ] ?
10 +

4.Dãy số:

1. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
dãy số (un) cho bởi
un = f(n), n N*

trong đó f(n) là biểu thức của n cho trớc.

Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A :

1 SHIFT STO A

- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A + 1
- Lặp dấu bằng:

= ... = ...

Giải thích:
1 SHIFT STO A

: ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A

22


Ti liu BD Casio
f(A) : A

NV - H
=

+ 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần

A

nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu
bằng lần thứ hai).
* Công thức đợc lặp lại mỗi khi ấn dấu =
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
n
n
1 1 + 5 1 5

un =

; n = 1, 2,3...
5 2 2



Giải:
- Ta lập quy trình tính un nh sau:

1 SHIFT STO A
( 1 ữ

5 )

5 )
ANPHA

ữ
A

(

2 )

(


( 1 +
ANPHA

5 )

ữ 2 )



A )

ANPHA

:

ANPHA
ANPHA

- (

A
A

( 1 -

ANPHA

=

+ 1=

- Lặp lại phím: = ... = ...
kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.

2. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
dãy số (un) cho bởi

u1 = a

u n+1 = f(u n ) ; n N*

trong đó f(un) là biểu thức của

un cho trớc.

Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta
nhập bằng ANS )
- Lặp dấu bằng: =
Giải thích:
- Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lu kết quả này
23


Ti liu BD Casio

NV - H

- Khi nhập biểu thức f(u n) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện
tính u2 = f(u1) và lại lu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
u1 = 1

un + 2

un +1 = u + 1 , n N *
n


Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:

(u1)

1 =
(

ANS + 2 )

ữ

(

ANS + 1 )

=

(u2)

= ... =

- Ta đợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1
u8 = 1,414215686
u2 = 1,5
u9 = 1,414213198
u3 = 1,4
u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667
u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103
u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714
u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183
u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi:
3

u1 = 3

3
3
u
=
u
, n N *
(
)

n
n +1

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:
SHIFT
ANS
=

=

3



3 =
SHIFT

(u1)
3

3 =

(u2)

(u4 = 3)

Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
24


Ti liu BD Casio

NV - H

3. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Dãy số (un) cho bởi

Cách lập quy trình:
* Cách 1:

u 1 = a, u 2 = b

u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n N*

Bấm phím: b SHIFT STO A ì A + B ì a + C SHIFT STO B
Và lặp lại dãy phím:
ì A + ANPHA A ì B + C SHIFT STO A
ì A +

ANPHA

B

ì B + C SHIFT

STO

B

Giải thích: Sau khi thực hiện
b SHIFT STO A ì A + B ì a + C SHIFT STO B
trong ô nhớ A là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào
trong ô nhớ B , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: ì A + ANPHA A ì B + C SHIFT STO A máy tính tổng
u4 := Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A . Nh vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô
nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: ì A + ANPHA B ì B + C SHIFT STO B máy tính tổng
u5 := Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B . Nh vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô
nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C

*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập
lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy
số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b SHIFT STO A ì A + B ì a + C SHIFT STO B
ì A +

ANPHA

A

ì B + C SHIFT

STO

A

ì A +

ANPHA

B

ì B + C SHIFT

STO

B

SHIFT

COPY

Lặp dấu bằng: = ... = ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
25