PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT của ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG hệ TRỤC tọa độ

PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Bài viết này giới thiệu với các bạn phương pháp viết phương trình tổng quát của
đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ, đây là bài toán thường có mặt trong
các đề thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học.
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ ta
thường sử dụng một trong các hướng sau đây:
Hướng 1: Xác định tọa độ một điểm mà đường thẳng ( mặt phẳng ) đi qua và một
véc tơ pháp tuyến của nó rồi áp dụng công thức để viết phương trình đường thẳng
(mặt phẳng).Cần nhớ rằng:
-Trongrmặt phẳng tọa độ Oxy,đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0)và có véc tơ pháp
tuyến n( A; B) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)=0
-Trongrhệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0)và có véc tơ pháp
tuyến n( A; B; C ) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Phá ngoặc và thu gọn các phương trình trên ta thu được phương trình tổng quát.
* Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5), B(4;-1), C(-4;5).Viết phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM và đường phân giác
trong AD của ∆ABC .
Bài giải:
uuur
+) Đường cao AH của ∆ABC đi qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến BC (−8; −4)
2x+y-7=0
nên có phương trình: -8(x-1)-4(y-5)=0 ⇔uuuu
r
+)M là trung điểm của BC nên M(0;-3), AM (−1; −8) suy ra đường trung tuyến AM đi
r
qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) có phương trình:
8(x-1)-1(y-5)=0 ⇔ 8x-y-3=0
+)Theo tính chất của đường phân giác trong ta có:

DB AB 3 5 3
=

=
=
DC AC 5 5 5

3
3

xB + xC 4 + (−4)

5 =
5
=1
 xD =
3
8
1+
uuur −3 uuur 
5
5
5
Suy ra DB = DC ⇒ 
vậy D(1; )
3
3
5
2

yB + yC −1 + (−5)
−
5

y =
5
5
=
=
 D
3
8
2
1+

5
5

uuur
r
15
AD(0; − ) suy ra đường thẳng AD có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) và đi qua A(1;5)
2
15
( x − 1) + 0( y − 5) ⇔ x-1=0 .
có phương trình:
2

* Thí dụ 2: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz ).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A(0;1;1), B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-y+z+1=0.
Bài giải:
uuur
r
Ta có AB(−1; −1;1) , mặt phẳng (Q) có vtpt nQ (1; −1;1) .

uur

uuur

Mặt phẳng (P) nhận AB và nQ làm cặp véc tơ chỉ phương nên (P) có véc tơ pháp
r

uuur uur

tuyến n =  AB, nQ  =(0;2;2). Mặt khác(P) đi qua điểm A(0;1;1) nên (P) có phương
trình: 0( x − 0) + 2( y − 1) + 2( z − 1) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0
Hướng 2: Sử dụng phương trình tổng quát (hướng này được sử dụng trong trường
hợp bài toán có liên quan đến góc,khoảng cách).
-Gỉa sử phương trình đường thẳng cần tìm là: ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0) rồi sử dụng các
dữ kiện của đề bài xác định các hệ số a;b;c .
-Đối với phương trình mặt phẳng ta cũng làm tương tự.
* Thí dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5).Viết phương
trình đường thẳng ∆ đi qua điểm Asao cho biểu thức P = 2d(B, ∆ ) +d(c, ∆ ) đạt giá trị
lớn nhất.
Bài giải:
-Gỉa sử phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0) .Do ∆ đi
qua A(1;5) nên c=-3a-4b suy ra phương trình ∆ có dạng ax + by − 3a − 4b = 0 .
d ( B, ∆ ) =

−2a − 2b
a 2 + b2

; d (C , ∆ ) =

P = 2d ( B, ∆) + d (C , ∆) =

2a − 4b

a 2 + b2
−4a − 4b + 2a − 4b
a 2 + b2

Trường hợp 1: B và C nằm cùng một phiá so với ∆ thì (−4a − 4b)(2a − 4b) ≥ 0 (*)
Ta có P =

−2a − 8b
a2 + b2

. Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:

−2a − 8b ≤ 68(a 2 + b 2 ) = 2 17 a 2 + b 2 do đó P ≤ 2 17 ,dấu bằng xảy ra
a
b
⇔
=
⇔ 4a = b . Chọn a=1, suy ra b=4 (thỏa mãn (*)) ta được phương trình
−2 −8
đường thẳng ∆ là: x+4y-19=0.
Trường hợp 2: B và C nằm khác phiá so với ∆ thì (−4a − 4b)(2a − 4b) ≤ 0 (*)
−6a
Ta có P = 2 2 . Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: −6a = −6a+0b ≤ 6 (a 2 + b 2 ) do đó
a +b
P ≤ 6 . So sánh trường hợp 1 và 2 ta có P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 17 ,do đó

phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: x+4y-19=0.

* Thí dụ 4: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A(0;0;1), B(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

π
.
3

Bài giải:-Gỉa sử phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
C = − D
C + D = 0

⇒
ax + by + cz + d = 0(a + b + c ≠ 0) .Do (P) đi qua A và B ⇒ 
D
3A + D = 0  A = −
3

−D
x + By − Dz − D = 0 ⇔ − Dx + 3By − 3Dz + 3D = 0 , vtpt
phương trình (P) có dạng
3
r
n = (− D;3B; −3D) ,mặt phẳng
2

2

2

r

(Oxy) có vtpt k = (0;0;1) .Vì góc giữa (P) và (Oxy) là
rr
n.k
r uur
cos ( ( P ), (Oxy ) ) = cos(n, k ) = r r =
n.k

−3 D
2

D 2 + 9 B + 9D 2

6 D = 10D 2 + 9 B 2 ⇔ 9 B 2 = 26D 2 ⇔ B = ±

π
nên ta có:
3

= cos

π 1
= suy ra
3 2

26
D

3

26
D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta được phương trình (P) là :
3
−3x + 3 26 y − 9z + 9 = 0

i) Với B =

− 26
D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta được phương trình (P) là :
3
−3x-3 26 y − 9z + 9 = 0 .

ii) Với B =

Vậy phương trình (P) là : −3x + 3 26 y − 9z + 9 = 0 hoặc −3x-3 26 y − 9z + 9 = 0 .
Hướng 3: Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
- Trong mặt phẳng tọa độ ,nếu đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm
phân biệt A(a;0),B(0;b)
Thì phương trình ∆ có dạng

x y
+ =1
a b

- Trong hệ trục tọa độ, nếu mặt phẳng (α ) cắt 3 trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại 3điểm phân
biệt A(a;0;0),B(0;b;0) và C(0;0;c)
Thì phương trình (α ) có dạng

x y z
+ + =1
a b c

* Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
điểm M(3;1) và cắt hai trục Ox, Oy sao cho giá trị biểu thức P=

1
1
+
đạt giá trị
2
OA OB 2

nhỏ nhất.
Bài giải:
Vì A,B là 2 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy nên tọa độ của A và B có dạng:
1 1
+ . Áp dụng công thức viết phương trình
a 2 b2
x y
đường thẳng theo đoạn chắn phương trình của ∆ có dạng + = 1 .
a b
3 1
Do ∆ đi qua M ta có : + = 1 . Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:
a b
2
1 1
1
3 1

3 1
 1 1
1 =  + ÷ ≤ (9 + 1)  2 + 2 ÷ suy ra P = 2 + 2 ≥ . Dấu = xảy ra ⇔ = mặt khác
a b 10
a b
a b
a b 
 a = 10
3 1
x
y
+ = 1 suy ra 
nên ∆ có phương trình + = 1 ⇔ 3x + y − 30 = 0 .
a b
10 30
b = 30
* Thí dụ 6: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua

A(a;0), B(0;b) với ab ≠ 0 , khi đó P =

điểm M(2;1;1), đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm phân biệt A,B,


C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Vì A,B,C là 3 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên tọa độ của A và B có
dạng:
A(a;0;0), B(0;b;0) với ( a ≥ 0, b ≥ 0; c ≥ 0 ). Áp dụng công thức viết phương trình đường
thẳng theo đoạn chắn phương trình của (α ) có dạng
1

6

x y z
+ + = 1 .Thể tích tứ diện
a b c

1
6

OABC là VOABC = OA.OB.OC = abc
2 1 1
+ + = 1 . Áp dụng BĐT Causy ta có:
a b c
2 1 1
2 1 1
2
1 = + + ≥ 33
⇒ abc ≥ 54 . Dấu = xảy ra ⇔ = = mặt khác
a b c
a b c
abc
a = 6
2 1 1

+ + = 1 suy ra b = 3 Từ đó suy ra thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất
a b c
c = 3


Do (α ) đi qua M ta có :

bằng 9 và phương trình mặt phẳng (α ) cần tìm là:

x y z
+ + = 1 ⇔ x + 2 y + 2z − 6 = 0 .
6 3 3

BÀI TẬP:

1)Cho ∆ABC có A(-3;5) và phương trình 2 đường phân giác trong là x+y-2=0;
x-3y-6=0 .Viết phương trình của cạnh BC.
2)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16 và các cạnh AB,BC,CD,DA lần
lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5),P(5;2),Q(2;1). Viết phương trình của cạnh của
hình chữ nhật.
3)Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;2) đồng thời cắt hai trục Ox,
Oy lần lượt tại hai điểm A,B sao cho diện tích ∆OAB đạt giá trị nhỏ nhất.
4)Cho 3 điểm: A(1;1;0), B(2;-1;-1), C(0;1;0). Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC .
x
2

5)Viết phương trinh mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d : = y =

z −3
đồng thời tạo
3

 x = 2 + 2t
1

với đường thẳng ∆ :  y = −t

một góc ϕ với sin ϕ =
.
3
 z = −3 + t


6)Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
8x-11y+8z-30=0; x-y-2z=0 đồng thời cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0
Theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6π .
Ân thi ngày tháng năm 2015
Người viết: Vũ Sỹ Dũng-giáo viên trường THPT Nguyễn Trung Ngạn