Bài giảng cơ học công trình xây dựn chương 5 trần minh tú

Trường Đại học Xây dựng

CƠ HỌC
CÔNG TRÌNH
XÂY DỰNG
Trần Minh Tú
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng DD & CN
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


1


Chương 5

TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


2


Chương 5. Tính chuyển vị của hệ thanh

NỘI DUNG
5.1. Các khái niệm
5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương
pháp tích phân trực tiếp

5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân
biểu đồ (Vêrêxaghin)

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


3


5.1. Các khái niệm
• Khái niệm về biến dạng
Là sự thay đổi hình dạng, kích thước của phân tố dưới
tác dụng của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ,
…)

• Các thành phần biến dạng
Một phân tố thanh bất kỳ có chiều
dài ds, khi biến dạng có thể phân
thành ba thành phần
Biến dạng xoay jds giữa hai
tiết diện cách nhau chiều dài ds, j
gọi là biến dạng xoay (góc xoay) tỉ

đối – góc giữa hai tiêt diện khi
ds=1 đ.v dài


National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


4


5.1. Các khái niệm
 Biến dạng dọc trục (biến dạng dài)
eds giữa hai tiết diện cách nhau
chiều dài ds, e là biến dạng dài tỉ đối

Biến dạng trượt gds giữa hai tiết
diện cách nhau chiều dài ds; g – góc
trượt tỉ đối


Chiều dương của các thành phần biến
dạng qui ước như trên các hình vẽ.


National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


5


5.1. Các khái niệm
• Khái niệm chuyển vị
Là sự thay đổi vị trí của các tiết diện của thanh khi thanh
bị biến dạng
• Một tiết diện của thanh có ba khả năng:
– Không chuyển vị nhưng có biến dạng (tiết diện 1)
– Vừa có biến dạng, vừa có chuyển vị (tiết diện 2)
– Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (tiết diện 3)

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


6


5.1. Các khái niệm
• Phân loại chuyển vị
Chuyển vị trong hệ thanh bao gồm: chuyển vị thẳng (chuyển vị dọc
theo phương trục thanh , chuyển vị ngang theo phương vuông góc trục
thanh) và chuyển vị quay (phương vòng).

Kí hiệu chuyển vị là Dkm : chuyển vị theo phương k do nguyên nhân m
Trên (a) phương k, m là phương thẳng đứng tại tiết diện C, D; j là
phương vòng tại gối tựa B.


National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


7


5.1. Các khái niệm
Dkm

Nguyên nhân gây ra chuyển vị

Phương và vị trí của chuyển vị
 Khi nguyên nhân gây ra chuyển vị bằng đơn vị => chuyển vị đơn vị dkm
 dkm –

chuyển vị theo phương k, tại k, do nguyên nhân m bằng 1 đ.v gây nên

F

• Khái niệm về đường đàn hồi
Đường đàn hồi: Đường cong của
trục dầm sau khi chịu uốn

Trọng tâm mặt cắt ngang của dầm
K - trước biến dạng
K’ – sau biến dạng
KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt
ngang.
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

z

B
K
K’

L
K

v(z)
K’
u(z)
Tran Minh Tu


8


5.1. Các khái niệm
v(z) - chuyển vị đứng



Biến dạng bé: u(z)<
KK’
u(z) - chuyển vị ngang

v(z) => độ võng – ký hiệu: y(z)

Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phươngthẳng đứng của
trọng tâm mặt cắt ngang
F
j
Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường
z
đàn hồi, đường vuông góc với
K
B
tiếp tuyến t tại K’ =>


- Mặt cắt ngang dầm sau biến
L
dạng tạo với mặt cắt ngang
dầm trước biến dạng góc j =>
góc xoay j(z)
Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng

K’

j

Biến dạng bé: j(z) = tgj = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là
góc xoay
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


9


5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
5.2.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

• Gt:

Khi chịu uốn vật
liệu thanh làm việc trong
miền đàn hồi:

• Hình học giải tích:
• Biến dạng bé

Mx ( z )


EI x
1

Mx ( z )
y 
EI x
''

1





y "( z )
(1  y ' )
2

3

  y "( z )
2

z

z

M>0

M<0
M

Mx ( z )
 y "( z )  
EI x
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

y ''( z)  0

M

y ''( z )  0

- Phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi
Tran Minh Tu


10


5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
5.2.2. Phương pháp tích phân trực tiếp
Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ
nhất ta được góc xoay.

Mx
dy
j(z) 
 
dz  C

dz
EI x
Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng

 Mx

y(z)     
dz  C .dz  D
 EI x

trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định
nhờ vào điều kiện biên chuyển vị .
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


11


5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp


Điều kiện biên chuyển vị

Điều

kiện liên tục:

P

A

yC   yC 

jC  jC


C

B



National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


12


5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân trực tiếp
VD 5.1: Xác định độ võng tại đầu
tự do của dầm công-xôn chịu
tác dụng của tải tập trung như

hình vẽ
Ta có: M   F ( L  z )
M x (z) F ( L  z )
''
y (z)  

EI x
EI x

j(z)  

F  z2 z3 
y (z) 
 L    Cz  D
EI x  2 6 

z  0  j  0  C  0
z  0  y  0  D  0
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

F ( L  z) )
EI x

F

EI

B

z

L-z
L

F 
z2 
dz  C 
 Lz    C
EI x 
2

Điều kiện biên
FL2
jB  j ( z  L ) 
2EI x
FL3
yB  y ( z  L ) 
3EI x


Tran Minh Tu


13


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
5.3.1. Công khả dĩ, nguyên lý công khả dĩ

• Chuyển vị khả dĩ: Là bất cứ dạng chuyển vị nào mà hệ có
thể thực hiện được do nguyên nhân nào đó gây ra, sao
cho với chuyển vị này các điều kiện liên kết nội và ngoại
vẫn được đảm bảo.
• Chuyển vị thực: do nguyên nhân thực gây nên (lực, mô
men,..) - là một trong các chuyển vị khả dĩ.
• Định nghĩa công khả dĩ: Công khả dĩ là công sinh ra bởi
các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô cùng bé do
một nguyên nhân bất kỳ (tải trọng, nhiệt độ, chuyền vị
cưỡng bức) nào đó gây ra

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


14


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
• Xét hai trạng thái của hệ đàn hồi:
– Trạng thái 1- Trạng thái thực “k”, khi hệ chịu lực F1, F2,….
Fk; các thành phần nội lực trong hệ là Sk(Nk,Qk,Mk)
– Trạng thái 2 - Trạng thái khả dĩ “m”, khi hệ chịu các
nguyên nhân m (có thể là lực Fm) gây ra những thay đổi
nhỏ của chuyển vị và biến dạng; các thành phần nội lực
trong hệ là Sm(Nm,Qm,Mm)

Dkm - là chuyển vị khả dĩ theo phương của lực Fk do các nguyên nhân ở
trạng thái m gây nên
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


15


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Công khả dĩ ngoại lực

•

Công khả dĩ của ngoại lực ở trạng thái thực k trên các chuyển vị khả dĩ
tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi:
n

T   Fik .Dikm


i 1

Công khả dĩ nội lực:

Công khả dĩ của các nội lực ở trạng thái thực k trên các biến dạng khả
dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi:

n

A    ( Sk e sm )dz
i 1

• Nguyên lý công khả dĩ:
Nếu một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực thì
tổng công khả dĩ của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ bất kỳ
vô cùng bé và công khả dĩ của các nội lực trên những biến dạng đàn hồi
khả dĩ tương ứng phải bằng không (T + A = 0)
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


16


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
• 5.3.2. Công thức Maxwell – Mohr
•

•

Xét bài toán phẳng, thí dụ một khung phẳng. Gọi trạng thái chịu lực
của khung đã cho là trạng thái “m”, lực và chuyển vị ở trạng thái này
biểu diễn bởi chỉ số m.
Giả sử cần xác định chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt

ngang A, muốn vậy ta tạo cho khung một trạng thái “k” bằng cách bỏ
tất cả ngoại lực và đặt lên khung một lực tập trung đơn vị đ.v tại A,
theo phương k có chiều tuỳ ý, ứng lực phát sinh trong hệ ở trạng
thái này là N k , M k , Qk .

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


17


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
• Công thức Maxwell - Mohr tính chuyển vị của hệ
phẳng
D km   
li

Q Q dz
N k N mdz
M k M mdz
 
   k m
EA
EI
GA
l

l
i

i

– Đối với hệ dầm, khung phẳng - bỏ qua ảnh hưởng của lực
cắt
D km   
li

M k M m dz
EI

– Đối với hệ thanh, dàn phẳng - lực dọc trên mỗi thanh là
hằng số
N k N m dz n N k N mli
D km   

EA
EA
i 1
li
– Đối với hệ gồm các thanh thẳng như dầm hoặc khung ta
có thể tính các tích phân một cách đơn giản - Phương
pháp nhân biểu đồ do Vêrêxaghin đề xuất
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu

18


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
5.3.3. Phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin
• Cơ sở toán học: Giả sử trên đoạn chiều dài thanh L,
hàm số F(z) là đường cong bất kỳ, còn f(z) là một đường
thẳng có phương trình: (hình vẽ)
 - Diện tích biểu đồ hàm số bậc
bất kỳ F(z).
zC - hoành độ trọng tâm của diện
tích .
f(zC) tung độ của hàm bậc nhất f(z)
ứng với hoành độ zC. Biểu thức tích
phân tính theo:
L

I   F ( z ) f ( z )dz  . f ( zC )
0
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


19

5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
•

Như vậy các biểu thức tích phân trong công thức Maxwell-Mohr có
trị số bằng tích của diện tích  của biểu đồ nội lực (Nm, Mm ,Qm) với
tung độ của biểu đồ nội lực do tải trọng đơn vị gây ra ( N k , M k , Qk ) tại
vị trí tương ứng với toạ độ trọng tâm của diện tích .

D km  

1
1
1
 ( N m ) N k ( c )    ( M m ) M k ( c )  
 ( Qm ) Q k ( c ) (*)
EA
EI
GA

trong đó,  ( Nm ) ,  ( M m ) ,  (Qm ) là diện tích các biểu đồ (Nm, Mm ,Qm)
• N k ( zc ) , M k ( zc ) , Qk ( zc ) là giá trị của các biểu đồ tại những vị trí tương
ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ N k , M k , Qk
Chú ý:
• Nếu biểu đồ F(z) và f(z) đều là những đường thẳng thì phép nhân
trên đây có tính chất hoán vị.
• Tích mang dấu + nếu hai biểu đồ ở cùng một phía với trục thanh.
• Nếu biểu đồ có hình dạng phức tạp thì chia thành các hình đơn giản
để dễ xác định diện tích và trọng tâm.
National University of Civil Engineering

www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


20


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Các bước thực hiện phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin:
• Bước 1: Tạo trạng thái “m” - trạng thái chịu lực của hệ,
vẽ biểu đồ nội lực.
• Bước 2: Tạo trạng thái “k” - vẽ biểu đồ nội lực cho trạng
thái này
– Cần xác định chuyển vị thẳng tuyệt đối của một điểm theo
phương nào đó thì đặt lực Fk=1đ.v tại điểm đó theo phương
chuyển vị.
– Nếu cần xác định góc xoay thì đặt mô men mk=1 đ,v
– Nếu cần xác định chuyển vị tương đối giữa hai điểm thì đặt hai
lực Fk=1 tại hai điểm theo phương nối hai điểm đó.

• Bước 3: Tiến hành nhân biểu đồ và thay vào công thức
(*)
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu

21


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)


Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


22


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Ví dụ 5.2. Xác định độ võng và góc xoay tại đầu D của một dầm chịu
lực như hình vẽ, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.
• Biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra như hình vẽ.
• Để tính độ võng tại D, ta đặt tại D một lực Fk=1 =>Biểu đồ mô men
uốn. Theo (*) ta có
1
yD 
 ( M m ) M k (c)
EI
1 qL2

qL3
( M m ) 
L
3 2
6

3
M k (c )  L
4

1 qL3 3
qL4
 yD 
L
EI 6 4
8EI

kết quả mang dấu dương
chứng tỏ độ võng tại D cùng chiều
với Fk.
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


23


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp

nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
•

Để tìm góc xoay ta đặt tại D mô men Mk=1. Biểu đồ mô men như
trên hình vẽ. Theo công thức, ta có

1
 D   ( M m ) M k (c )
EI
M k (c )  1
1 qL3
qL3
 D 
1
EI 6
6 EI

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


24


5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp
nhân biểu đồ (Vêrêxaghin)
Ví dụ 5.3. Cho khung có độ cứng EI=const. Xác định chuyển vị theo
phương ngang tại D và góc xoay tại B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực

cắt và lực dọc.
• Biểu đồ mô men do tải trọng gây ra biểu diễn trên hình (b).

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


25