ứng dụng phương pháp proper generalized decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED
DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204

S KC 0 0 4 0 4 2

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION
VÀ
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204
Hướng dẫn khoa học:
TS. PHAN ĐỨC HUYNH

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 / 2013


LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC
Họ & tên: NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM

Giới tính: Nữ

Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984

Nơi sinh: T-T-Huế

Quê quán: Xuân Thủy, Lệ Thủy, Quảng Bình

Dân tộc: Kinh

Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc:
41A Chu Văn An, Hiệp Phú, Q.9, tp.HCM
Điện thoại: 016 587 787 08
Email:

II.QUÁ TRÌNH ĐẠO TẠO
1.Đại học:
Hệ đào tạo: Chính quy

Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 02/2008

Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM
Ngành học: Kỹ thuật công nghiệp
Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Công nghệ gia công gỗ trên máy cưa
Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: ĐH Sư phạm Kỹ thuật
tp.HCM
Người hướng dẫn: Th.S Thái Th
2.Thạc sĩ:
Hệ đào tạo: Chính quy

Thời gian đạo tạo: từ 02/2011 đến 02/2013

Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM
Ngành học: Công nghệ chế tạo máy

i


Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Ứng dụng phương pháp Proper
Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất.
Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật
tp.HCM
Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh

Ngày 18 tháng 09 năm 2013
Người khai ký tên

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013

NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM

iii


CẢM TẠ
Trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài dưới sự hướng dẫn cua thấy Phan Đức
Huynh, tôi đã nhận được sự hướng dẫn chu đáo từ phía thầy và đặc biệt nhất là sự
quan tâm tận tình vô cùng chân quý từ phía anh Lê Quốc Cường thông qua sự giới
thiệu của thầy Phan Đức Huynh, hiện đang theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ tại trường
Đai học Sư phạm Kỹ thuật.
Tôi xin được chuyển đến những dòng biết ơn chân thành và lòng kính trọng
sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh và anh Lê Quốc Cường.
Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ngôi trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật
mà tôi đã gắn bó trong suốt quãng đời sinh viên và học viên, cùng với đội ngũ các
giảng viên-giáo viên-nhân viên của Trường mà tôi đã được theo học và hỗ trợ nhiệt
tình,cuối cùng gửi lời thân thương đến những người anh chị,người bạn mà tôi đã
được quen biết, trao đổi và giúp đỡ.

iv

ABSTRACT

Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the
problems in science and engineering. Eventhough the impressive recent progresses
attained in computer technologies and computational simulation techniques,
numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization
techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity
and requirements. One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models
arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and
complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques
the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension
of the space concerned.
In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent
years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization
techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD). This is a
powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated
representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD
scales linearly with the dimension of the space.
And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element
Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful
kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy.
Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite
Element Method for fluid problem” was born here.
Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a
small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive
Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative
property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional

v

discretization technique (FEM). Moreover, in order to overcome its remaining
drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve
unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the ChorinTemam projection method.

vi


TÓM TẮT
Ngày nay phương pháp số là một công cụ đắc lực giúp giải quyết hầu hết các
bài toán trong khoa học và kỹ thuật. Mặc dù với những tiến bộ, phát triển vượt bậc
đạt được trong công nghệ máy tính, kỹ thuật t nh toán nhưng những khó khăn để
giải quyết nhiều bài toán vẫn còn bị thách thức khi mà phương pháp rời rạc truyền
thống đang bị hạn chế do tính phức tạp và mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày càng cao
của bài toán. Có thể nêu một trong những khó khăn điển hình, nổi cộm là bài toán
có số chiều không gian lớn thường gặp trong cơ lượng tử, thuyết động học của cơ
lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thông thường thì độ phức tạp
của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán.
Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, một phương pháp rất mới đã ra đời
trong vài năm gần đây đã góp phần bổ trợ, thúc đẩy trong quá trình phối hợp với
phương pháp rời rạc, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà được
nghiên cứu ở đây, với tên gọi là phương pháp Proper Generalized Decomposition
(PGD). Đây là một công cụ giảm bậc mô hình bài toán dựa trên cơ sở tách biến giúp
độ phức tạp của bài toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều của bài toán.
Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) sẽ bước
đầu mở ra một hướng tiếp cận mới trong việc tìm kiếm một loại hình phương pháp
số mới với tính năng ưu việt hơn về mặt thời gian xử lí mà vẫn đảm bảo độ chính
xác so với phương pháp rời rạc truyền thống đã có.
Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho bài toán lưu chất” đã ra đời trong

đề tài nghiên cứu ở đây.
Mặc dù đề tài chỉ mới bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh
vực bài toán lưu chất ở một khía cạnh hẹp là giải quyết phương trình Poisson áp
suất 2D cho bài toán Navier-Stokes của dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc vào
thời gian trong hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất và điều kiện biên

vii


hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) nhưng những kết quả đạt được đã cho thấy sự ưu việt
khi giải quyết bằng phương pháp PGD-FEM về mặt thời gian t nh toán và độ chính
xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM). Đồng thời với mong muốn tạo
một sự thuận lợi trong việc hoàn thiện cũng như mở rộng, phát triển hơn cho đề tài
trong tương lại, tác giả cũng đã đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes
cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven
cavity bằng phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam.

viii


MỤC LỤC
TRANG
Trang tựa
Quyết định giao đề tài
Lý lịch cá nhân ........................................................................................................ i
Lời cam đoan ......................................................................................................... iii
Cảm tạ ................................................................................................................... iv
Tóm tắt ................................................................................................................... v
Mục lục .................................................................................................................. ix
Danh mục kí hiệu-từ viết tắt.................................................................................. xi

Danh mục hình vẽ ................................................................................................ xii
Chƣơng 1. TỔNG QUAN .................................................................................... 1
1.1 Tổng quan về hướng nghiên cứu...................................................................... 1
1.2 Mục đ ch nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu .............................. 2
1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài ..................................... 3
1.4 Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 3
Chƣơng 2.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ..................................................................... 4

2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) ............................... 4
2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)............................................................ 11

ix


Chƣơng 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD và FEM CHO BÀI TOÁN
LƢU CHẤT......................................................................................................... 16
3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes .......................................................... 16
3.2 Giải phương trình Poisson bằng phương pháp PGD-FEM. ........................... 18
3.2.1 Trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất. .................................... 18
3.2.1.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM ................... 19
3.2.1.2 Sơ đồ giải thuật tổng quát ............................................................... 22
3.2.1.3 Kết quả - nhận xét ........................................................................... 23
3.2.2 Trường hợp điều kiên biên hỗn hợp. ........................................................ 26
3.2.2.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM ................... 26
3.2.2.2 Kết quả - nhận xét ........................................................................... 30
3.3 Phƣơng trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian ........... 32
3.3.1 Mô hình bài toán ..................................................................................... 32
3.3.2 Điều kiên biên của bài toán .................................................................... 33

3.3.3 Tiến trình các bước giải bằng phương pháp FEM. ................................. 33
3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát ....................................................................... 42
3.3.5 Kết quả - nhận xét ................................................................................... 44
Chƣơng 4. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ..................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 49
PHỤ LỤC ............................................................................................................ 51

x


DANH MỤC KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT

<.,.> L2(Ω)

Tích trong của hai hàm trên L2 trong miền Ω

|| . ||2

Chuẩn vec-tơ trong L2 hay chuẩn Euclide

Resn

Phần sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ

Ω

Miền khảo sát của bài toán

Ωx

Miền khảo sát theo phương x

Ωy

Miền khảo sát theo phương y

∂Ω

Biên của miền Ω

∂Ω D

Biên Dirichlet của ∂Ω

∂Ω N

Biên Neumann của ∂Ω

H1

Không gian hàm Sobolev mà có giá trị triệt tiêu trên ∂Ω D

n

Vec-tơ pháp tuyến (hướng ra ngoài) trên biên ∂Ω N

V

Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ω

M

Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωx

N

Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωy

Nnod

Tổng số nút trên miền Ω

Nnod_x

Tổng số nút trên miền Ωx

Nnod_y_

Tổng số nút trên miền Ωy

X,R,F

Hàm phụ thuộc trên miền Ωx

Y,S,G

Hàm phụ thuộc trên miền Ωy

X,R,F

Vec-tơ giá trị hàm X,R,F tại các nút trên miền Ωx

xi


Y,S,G

Vec-tơ giá trị hàm Y,S,G tại các nút trên miền Ωy

p

Toán tử gradient  , 
 x y 

.u

Toán tử divergence 

2 u

 p p 

 u u 


y 
 x
  2u  2u 
Toán tử Laplace  2  2 
y 

 x

FEM

Finite Element Method

PGD

Proper Generalized Decoposition

PGD-FEM

coupling Proper Generalized Decomposition and Finite
Element Method

MBS

Multi-Bead Spring

ROM

Reduced-Order Model

LATIN

LArger Time INcremential

POD

Proper Orthogonal Decomposition

SVD

Singular Value Decomposition

PDE

Partial Differential Equations

xii


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Miền khảo sát và điều kiện biên của phương trình Poisson
Hình 3.1 Miền khảo sát và điều kiên biên Dirichlet đồng nhất của phương trình
Poisson
Hình 3.2 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho ba phương pháp:
giải tích, FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.3 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=x2-y2 cho hai phương pháp:
FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.4 Đồ thị lưới của phương trình Poisson cho điều kiên biên Dirichlet đồng
nhất với hai trường hợp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x2-y2.
Hình 3.5 Miền khảo sát và điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet và Neumann của
phương trình Poisson.
Hình 3.6 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho hai phương pháp:
FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.7 Miền khảo sát và điều kiện biên của dòng chảy lid-driven cavity
Hình 3.8 Đồ thị đường dòng (bên trái) và trường áp suất (bên phải) tại Re=400 với
thời gian khác nhau (1.5s, 3s , 4.5s).

Hình 3.9 Đồ thị đường dòng (bên trái) và trường áp suất(bên phải) tại Re=1500 với
thời gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s).
Hình 3.10 Đồ thị đường dòng(bên trái) và trường áp suất(bên phải) tại Re=3000 với
thời gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s)

xiii


CHƢƠNG 1

Chƣơng 1

NG Q

N

1.1 Tổng quan về hƣớng nghiên cứu
Ngày này phương pháp số là một tên gọi đã trở nên quen thuộc và trở thành công cụ
đắc lực cho các bài toán trong khoa học và kỹ thuật. Mặc dù đã có những tiến bộ, phát triển
vượt bậc trong công nghệ máy tính và những kỹ thuật tính toán số nhưng nhiều bài toán vẫn
còn bị hạn chế đặc biệt về mặt thời gian tính toán khi mà các phương pháp số rời rạc khó có
thể giải quyết bởi tính phức tạp và mức độ yêu cầu ngày càng cao của bài toán.
Có thể nêu ra một số vấn đề khó khăn đang gặp phải là:
(i)bài toán có số chiều không gian khảo sát lớn mà thường gặp ở lĩnh vực cơ lượng tử,
thuyết động học của lưu chất phức tạp [8], hay sinh học, hóa học [16]. Với khó khăn này,
khi áp dụng phương pháp rời rạc thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số
chiều không gian của bài toán.(ii)bài toán liên quan đến khảo sát miền thời gian thực như
khảo sát giàn khoan phụ thuộc vào thời gian thực [13].(iii) bài toán có miền khảo sát suy
biến xuất hiện trong thanh, tấm, vỏ.(iv) bài toán liên quan đến những thông số, tham số khác
(ngoài yếu tố không gian-thời gian vật lý thông thường) ví dụ khảo sát hệ số truyền nhiệt

của vật liệu trong bài toán truyền nhiệt.
Để khắc phục những vấn đề trên, một phương pháp mới đã ra đời trong vài năm gần
đây góp phần bổ trợ, thúc đẩy trong việc phối hợp với phương pháp rời rạc truyền thống. Đó
là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), một mô hình giảm bậc bài toán
dựa trên cở sở tách biến giúp giảm một cách hiệu quả độ phức tạp của bài toán với tỉ lệ
tuyến tính theo số chiều không gian so với tỉ lệ hàm mũ của phương pháp rời rạc truyền
thống nên nó mang lại tính năng vượt trội trong thời gian xử lý cũng như đảm bảo độ chính
xác so với phương pháp rời rạc truyền thống.
Một số công trình nghiên cứu quốc tế nổi bật quan trọng liên quan trực tiếp đến quá
trình nghiên cứu đề tài là:

1


CHƢƠNG 1
[4]: sử dụng phương pháp PGD để giải quyết vấn đề nhiều chiều cho bài toán Poisson
với điều kiện đồng nhất mà thường gặp trong thuyết động học của lưu chất phức tạp và cũng
mở rộng cho bài toán MBS (multi-bead-spring) của không gian hai, ba chiều.
[13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho trường
hợp lid-driven cavity với các hệ số Reynolds khác nhau và so sánh kết quả với phương pháp
giải tích dựa trên hai tiêu chí: thời gian tính toán và độ chính xác.
Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) đã được bước
đầu tiếp cận cho bài toán lưu chất để tìm qui luật ứng xử của dòng chảy lưu chất thông qua
trường vận tốc, áp suất,…
1.2 Mục đích nghiên cứu, khách thể và đối tƣợng nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu:
Việc nghiên cứu phương pháp PGD-FEM sẽ bước đầu mở ra một hướng tiếp cận mới
trong kỹ thuật tính toán số giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả, ưu việt hơn về mặt
thời gian xử lý mà vẫn đảm bảo độ chính xác so với các phương pháp rời rạc truyền thống
(FEM).

Khách thể nghiên cứu:
Với bài toán lưu chất của phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén,
phụ thuộc thời gian trong trường hợp lid-driven cavity, ở đây tác giả chỉ khảo sát một khía
cạnh của phương trình Navier-Stokes trong việc giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D
với những điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp PGD-FEM. Đồng thời, tác giả cũng
sẽ trình bày lại phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam cho phương
trình Navier-Stokes của dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trong trường hợp
lid-driven cavity tạo cơ sở thuận lợi để hoàn thiện và mở rộng, phát triển những hướng
nghiên cứu liên quan đến đề tài sau này.
Đối tượng nghiên cứu:
Tìm qui luật ứng xử, phân bố của dòng chảy lưu chất thông qua trường vận tốc, áp
suất,…trong miền khảo sát của bài toán.

2


CHƢƠNG 1
1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Nhiệm vụ nghiên cứu:


Tìm kiếm, thu thập và nghiên cứu các tài liệu trong ngoài nước liên quan đến đề tài.



Tiến hành xây dựng cơ sở lý thuyết cần thiết cho phương pháp PGD-FEM.



Xây dựng tiến trình giải và sơ đồ giải thuật của phương pháp PGD-FEM để giải bài

toán lưu chất.



Lập trình tính toán và mô phỏng kết quả bằng ngôn ngữ lâp trình kỹ thuật Matlab
trên máy tính.



So sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác.
Phạm vi nghiên cứu:
Do còn những hạn chế nhất định trong qúa trình nghiên cứu từ phía tác giả, cũng như

sự xuất hiện rất mới của phương pháp PGD trong vài năm trở lại đây nên tác giả sẽ giới hạn
nghiên cứu một phần nhỏ của phương trình Navier-Stokes áp dụng cho dòng chảy nhớt
không nén phụ thuộc thời gian trong không gian 2D bằng việc giải quyết phương trình
Poisson áp suất với các trường hợp khác nhau của điều kiện biên bằng phương pháp PGDFEM. Đồng thời với phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc
thời gian trong không gian 2D, tác giả cũng sẽ tiếp cận đến mô hình giải bằng phương pháp
FEM dựa trên phương pháp tham chiếu Chorin-Temam, tạo điều kiện để hoàn thiện, phát
triển cho đề tài đang nghiên cứu trong tương lai.
1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu.
Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ việc lập trình tính toán và mô phỏng trên máy tính
laptop có cấu hình trung bình.
Thực hiện phép so sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham
chiếu khác theo tiêu chí thời gian tính toán và độ chính xác.

3


CHƢƠNG 2

Chƣơng 2

CƠ SƠ LÝ H YẾT
2.1 Phƣơng pháp P ope Gene a i ed Decomposition (PGD)[5,6,7,9]
2.1.1 Định nghĩa
Ngày nay việc mô phỏng số hóa cho những hệ thống lưu chất phức tạp đang
đòi hỏi ngày càng cao trong khi khó có thể giải quyết một cách dễ dàng bởi các
phương pháp số rời rạc thông thường.
Với đề tài đang nghiên cứu ở đây, một trong những loại hình phương pháp số
đã được quan tâm, chú ý và được đề xuất để khắc phục những khó khăn còn tồn tại
của phương pháp số rời rạc là phương pháp số dựa trên mô hình giảm bậc của bài
toán (ROM-reduced-order model) mà giúp hạn chế thời gian tính toán một cách
hiệu quả.
Mô hình giảm bậc nguyên thủy đã ra đời bởi tác giả Pierre Ladaveza cách đây
nhiều năm trong hóa lượng tử với tên gọi phương pháp LATIN (LArger Time
INcremential). Giả sử gọi u là đại lượng cần tìm của bài toán vật lý và được xấp xỉ
như sau:
n

u(x, t )

 a (t ). (x)
i 1

i

i

(2.1)

Trong đó, x là vec-tơ tọa độ trong không gian 2D,3D ; i(x) là hàm giảm bậc
thứ i; n là kích thước của i(x), thông thường nhỏ hơn nhiều so với kích thước lưới
chia của phương pháp rời rạc.
Cùng với sự phát triển của phương pháp dựa trên ROM, ta có thể nhắc đến
một trong những phương pháp phổ biến nhất dựa trên mô hình giảm bậc này trước
đó là POD (Proper Orthogonal Decomposition)- mô hình tách biến dựa trên cơ sở
trực giao- được hình thành dựa trên việc thiết lập một ma trận tương ứng với mỗi
điểm thời gian rồi tiến hành tìm trị riêng và các vec-tơ riêng (λ ,Φi), i=1,…,Nn cho
bài toán (Q QT)Φ =λΦ . Có thể hình dung phương pháp POD như sau:

4


CHƢƠNG 2

Giả sử u(x,t) là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán với x  IR D (D=1,2,3) và t 
IR+ tại một nút lưới xi , ta có biến thời gian tương ứng t p=p x Δt với i=1: Nn và
p =1:P. Gọi uPI ≡ u(xi , tp ) và lập một ma trận tương ứng Q dưới đây:

u11 u 21 ... u P1 


2
P
u1 2 u 2 ... u 2 
Q




u1Nn u 2 Nn ... u P Nn 

Tuy nhiên,hạn chế của kỹ thuật này là đòi hỏi bước đầu phải xác định được
ma trận Q nên thời gian tính toán dài. Đây là lí do tại sao mà cần phải không ngừng
tiếp tục cải tiến, phát triển để tìm ra một phương pháp mới ưu việt hơn.
Vì thế một mô hình giảm bậc tổng quát hơn đã ra đời trong vài năm trở lại
đây, được phát triển đầu tiên bởi tác giả A.Ammar và F.Chinesta nhằm giải quyết
phương trình Fokker-Plank cho bài toán MBS (multi-bead-spring) để tìm hàm phân
bố xác suất ở không gian nhiều chiều, đó chính là phương pháp Proper Generalized
Decomposition (PGD). Phương pháp này giúp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán PDE
(Partial Differential Equations) được biểu diễn dưới dạng tổng của tích các hàm phụ
thuộc mỗi biến số ở (2.2), ví dụ giả sử u là trường biến cần tìm phụ thuộc N biến số
như sau:
Q

u( x1 ,x2 ,...,x N )   Fi ( x1 ). Fi ( x2 ) ... Fi ( xN )

(2.2)

i 1

Trong đó, xi là biến không gian, thời gian hoặc tham số bất kỳ của bài toán
thuộc miền khảo sát Ω  IRd, thông thường với d ≤ 3.
Công thức (2.2) đã minh chứng cho tính năng vượt trội trong thời gian xử lý,
cụ thể nếu mỗi biến xi rời rạc thành M bậc tự do thì tổng số biến cần tìm là Q x N x

5


CHƢƠNG 2

M, thay vì MN bậc tự do khi áp dụng phương pháp rời rạc theo lưới, cụ thể là
phương pháp FEM được nghiên cứu ở đây.
2.2 Tiến t ình các bƣớc giải
Để mô tả quá trình thực hiện phương pháp PGD một cách dễ dàng, rõ ràng, bài
toán sẽ được khảo sát trong trường hợp không gian 2D, nhưng vẫn đảm bảo tính
tổng quát của phương pháp PGD.
Xét bài toán: L(U)  g trong miền khảo sát Ω=Ωx x Ωy=IR2 với điều kiện biên ∂Ω
của bài toán.

(2.3)

Tìm U(x,y)
Trong đó: L là toán tử vi phân, g là thành phần thứ hai của bài toán.
Như đã biết, PGD là một phương pháp giải lặp có điểm cố định (fixed interation
method)dùng để tìm nghiệm xấp xỉ U(x,y) với:

U( x, y)   X  Y  IR 2 , x  X  IR , y  Y  IR
Giả sử, tại bước lặp thứ n, hàm Fi và Gi đã biết.
Bây giờ ta muốn tìm hàm Fn, Gn.
Gọi U(x,y) được biểu diễn tại bước lặp thứ n như sau:
n 1

U ( x, y )   Fi ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)
n

(2.4)

i 1

Thay (2.4) vào (2.3):

 n1

L   Fi ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)   g  R es n
 i 1


(2.5)

Trong đó Resn là phần sai số do (2.4) chỉ là nghiệm xấp xỉ của bài toán. Để xác định
hàm Fn, Gn, ta thực hiện phép tham chiếu cho từng biến Fn,Gn vào (2.5), ta có:

6


CHƢƠNG 2

 n1 i

L   F ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,Fn
 i 1


 g,Fn
L2 (X)

L2 (X)

 R es n ,Fn

L2 (X)

Và

 n1

L   Fi ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,G n
 i 1


 g,G n
L2 (Y)

L2 (Y)

 R es n ,G n

L2 (Y)

Trong đó<.,.>L2(X) , <.,.>L2(Y) là tích trong trên L2 tương ứng theo mỗi phương x, y.
Đồng thời, cũng áp đặt phần sai số Resn phải vuông góc với hàm Fn, Gn nên:

 n1 i

L   F ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,Fn
 i 1


 g,Fn

2

L2 (X)

(2.6)

L (X)

Và

 n1 i

L   F ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,G n
 i 1


 g,G n
L2 (Y)

L2 (Y)

(2.7)

Để giải được hàm Fn, Gn ta sẽ phải tính toán cùng lúc công thức (2.6) và (2.7)
dựa trên giải thuật lặp có điểm cố định.Ở đây, phương pháp để tính Fn ,Gn có thể
được sử dụng bởi hoặc phương pháp sai phân (FDM) hoặc phần tử hữu hạn
(FEM).Và trong đề tài nghiên cứu này, tác giả sẽ sử dụng phương pháp FEM cho
việc tính toán Fn ,Gn. Đây chính là điểm mấu chốt để thể hiện tính kết hợp giữa
phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn (
tạm gọi tắt PGD-FEM) mà đề tài đang nghiên cứu.

2.1.3 Sơ đồ giải thuật tổng quát của phƣơng pháp PGD.

7


CHƢƠNG 2
Cho n=1

Khởi tạo G(0)

Cho k=1

Tính Fk:

Tính Gk:

k=k+1
Điều kiện hội tụ
của ( Fk Gk)

Sai
Đúng

n=n+1
Điều kiện hội tụ
của Un

Sai
Đúng

Nghiệm của bài toán

8


CHƢƠNG 2

2.1.4 Tiêu chuẩn đánh giá sai số
Như đã trình bày trên, bản chất của phương pháp PGD-FEM là một quá trình
giải lặp với điểm cố định (Fixed Point Iteration) nên những công thức tiêu chuẩn đặt
ra trong việc đánh giá sai số đóng một vai trò quan trọng và quyết định đến độ chính
xác của phương pháp PGD-FEM so với phương pháp tham chiếu khác.
Có thể phân loại một số nhóm công thức dựa trên phần giải thuật của phương
pháp PGD như sau:
Dùng để kiểm tra điều kiện hội tụ của F(k) và G(k).

F( k ) F( k 1)  G ( k ) G ( k 1) 
F( k ) G ( k )  F( k 1) G ( k 1) 
(2.8)
Dùng để kiểm tra điều kiện hội tụ của Un

F( n ) G ( n )  
 n (i ) (i ) 
L F G   g  


 i 1


(2.9)



Dùng để kiểm tra độ chính xác của phương pháp PGD-FEM so với phương pháp
tham chiếu khác.

error 

 

 u ref ( x , y )  u PGD ( x , y ) 2 dxdy

 x y

(2.9)

Trong phạm vi đề tai nghiên cứu, uref có thể là nghiệm của phương pháp giải tích
hoặc phương pháp FEM.

9


CHƢƠNG 2

Dùng để kiểm tra độ chính xác của phương pháp PGD-FEM mà không có phương
pháp tham chiếu.

 n (i ) (i ) 
L F G   g  



 i 1




Với ||.|| = <. , .>L2(Ω) là một tiêu chuẩn được chọn phù hợp.Ví dụ, với chuẩn trong
L2, ta có:
1/2
(n)

F

G

(n)
2



  F   G  dx.dy
(n) 2

1/2



(n) 2 



F
dx


 x




(n) 2

 x  y

10



1/2



(n) 2

G
dy 


 y




