Tóm tắt bồi DƯỠNG NĂNG lực GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH CHO học SINH TRUNG học PHỔ THÔNG

MỞ ĐẦU
1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật giáo dục năm 2005 đã chỉ rõ: “Mục tiêu của giáo dục phổ
thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất,
thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ
nghĩa”. (Trích Luật giáo dục 2005, Khoản 1, Điều 27)
Định hướng đổi mới giáo dục nước ta đã xác định mục tiêu giáo
dục là phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học, cụ thể:
“Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực
công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp
cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo
dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng
lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển
khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”. (Trích Nghị
quyết Hội nghị lần thứ tám Ban chấp hành Trung Ương khóa XI, 2013)
Trong các môn học ở trưởng phổ thông, môn Toán có một vị trí nổi
bật. Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Các bài toán
ở trường phổ thông là một trong những phương tiện nhằm hình thành,
củng cố tri thức, kĩ năng kĩ xảo và hình thành các năng lực trí tuệ cho
học sinh. Mỗi bài toán đều liên hệ với một nội dung nhất định, là cơ sở để
thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Hoạt động giải toán là điều kiện để
thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Bồi dưỡng năng lực giải toán
có vai trò quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh.
Thực tế hiện nay ở trường phổ thông cho thấy, việc bồi dưỡng
năng lực giải toán cho học sinh đã và đang được quan tâm nhưng còn
chưa có những cách làm cụ thể với từng nội dung toán, nên việc dạy và
học nhằm bồi dưỡng năng lực cho học sinh còn chưa thật đáp ứng được
yêu cầu học tập và nhu cầu của xã hội.

Trong nội dung chương trình Toán phổ thông, hệ phương trình là
một trong những nội dung quan trọng, đòi hỏi người học phải có tư duy,
1


2.
3.

6.

đồng thời kết hợp một số năng lực phù hợp. Nếu khai thác tốt nội dung
này, có thể phát triển cho người học nhiều kĩ năng, kĩ xảo và các hoạt
động trí tuệ khác nhau. Với quan điểm dạy học định hướng phát triển
năng lực cho học sinh, với những quan điểm trên, đề tài nghiên cứu
được chọn là: “BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Quá trình dạy học HPT ở trường phổ thông.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải bài
tập HPT cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường
THPT.
4.
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận về khái niệm năng lực, năng lực giải toán và các
biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh, các năng lực
giải hệ phương trình.
Nghiên cứu thực tế dạy học hệ phương trình hiện nay ở trường
THPT.
Đề xuất một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực cho học sinh

trong giải bài tập hệ phương trình.
Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính thực
tiễn của phương án đã đề xuất.
5.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận: giáo trình PPDH, SGK, SGV, tạp chí giáo dục, luận
văn, luận án… chuyên ngành có liên quan tới đề tài.
Quan sát, điều tra: tiến hành tìm hiểu, điều tra về năng lực giải toán
nội dung hệ phương trình ở trường THPT.
Thực nghiệm: tổ chức giảng dạy thử nghiệm một số giáo án và đưa
ra kết quả đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu sử dụng các biện pháp và hệ thống bài toán nhằm bồi dưỡng
năng lực giải toán nội dung hệ phương trình đã đề xuất trong luận văn
2


7.

thì giáo viên đã giúp học sinh phát triển năng lực giải các hệ phương
trình, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT.
CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm có
3 chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HPT
CHO HỌC SINH THPT
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1. Năng lực và năng lực giải toán.
1.1.1. Năng lực và các thành phần của năng lực.
1.1.1.1. Khái niệm về năng lực.
Có nhiều cách hiểu và định nghĩa năng lực khác nhau, có thể phân
thành hai nhóm chính là:
* Lấy dấu hiệu tố chất và thuật ngữ tâm lí để định nghĩa:
Năng lực là một thuộc tính tích hợp của nhân cách, là tổ hợp các
đặc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt
động xác định, đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả tốt đẹp.
* Lấy dấu hiệu về các yếu tố tạo thành khả năng hành động:
- Năng lực (Capacity/Ability): là khả năng (hoặc tiềm năng)
mà cá nhân thể hiện khi tham gia một hoạt động nào đó ở một thời
điểm nhất định.
- Năng lực (Compentency): thường gọi là năng lực hành động, là
khả năng thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ/hành động cụ thể, liên quan
đến một lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và sự
sẵn sàng hành động.
3


1.1.2.

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động
nhất định của con người.
Người có năng lực về một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó cần có đủ
các dấu hiệu cơ bản sau:
- Có kiến thức hay hiểu biết hệ thống/chuyên sâu về loại/lĩnh vực
hoạt động nào đó.

- Biết cách tiến hành hoạt động đó hiệu quả và đạt kết quả phù hợp
với mục đích (bao gồm xác định mục tiêu cụ thể, cách thức/phương
pháp thực hiện hành động/lựa chọn được các giải pháp phù hợp,… và cả
các điều kiện để đạt được mục đích)
- Hành động có kết quả, ứng phó linh hoạt trong những điều kiện
mới, không quen thuộc.
Từ đó có thể đưa ra môt định nghĩa làm việc về năng lực: Năng
lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ
và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành
công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc
sống. Năng lực là một cấu trúc động, có tính mở, đa thành tố, đa tầng
bậc, hàm chứa trong nó không chỉ là kiến thức, kĩ năng, … mà cả niềm
tin, giá trị, trách nhiệm xã hội… thể hiện ở tính sẵn sàng hành động
trong những điều kiện, hoàn cảnh thay đổi. ([13])
1.1.1.2. Các thành phần của năng lực.
Theo tâm lí học, giáo dục học năng lực được chia làm hai loại:
năng lực chung và năng lực chuyên biệt. Hai năng lực này luôn luôn bổ
sung, hỗ trợ cho nhau:
- Năng lực chung là năng lực cần thiết để cá nhân có thể tham gia
hiệu quả trong nhiều hoạt động và bối cảnh khác nhau của đời sống xã
hội. Năng lực chung cần thiết cho tất cả mọi người.
- Năng lực chuyên biệt chỉ cần thiết cho một số người hoặc cần
thiết ở bối cảnh nhất định. Các năng lực chuyên biệt không thể thay thế
năng lực chung.
Năng lực học tập của học sinh phổ thông.
4


- Năng lực của HS phổ thông không chỉ là khả năng tái hiện tri
thức, thông hiểu tri thức, mà còn quan trọng là khả năng hành động,

ứng dụng/vận dụng tri thức để giải quyết những vấn đề của cuộc sống.
- Năng lực của HS không chỉ là vốn kiến thức, kĩ năng, thái độ sống
mà là sự kết hợp hài hòa của cả ba yếu tố này thể hiện ở khả năng hành
động (thực hiện) hiệu quả, muốn hành động và sẵn sàng hành động
(động cơ, ý chí, tự tin, trách nhiệm xã hội…)
- Năng lực nhận thức của HS phổ thông là một phổ từ năng lực bậc
thấp như tái hiện/biết, thông hiểu kiến thức, có kĩ năng (biết làm)… đến
năng lực bậc cao như phân tích, khái quát, tổng hợp, đánh giá, sáng tạo.
Với những đặc điểm chung trên đây, rút ra năng lực học tập của HS
được thể hiện thông qua hoạt động học tập và được rèn luyện, phát
triển thông qua các hoạt động học tập.
1.1.3. Năng lực Toán học và năng lực giải bài tập toán.
1.1.3.1.
Năng lực toán học và cấu trúc của năng lực toán học.
Theo V.A. Crutechxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải
thích trên hai bình diện:
(1) Năng lực nghiên cứu toán học: Như là các năng lực sáng tạo (khoa học),
các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu
mới, khách quan và quý giá.
(2) Năng lực học tập toán học: Như là các năng lực học tập giáo trình phổ
thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo
tương ứng.
Theo Kônmôgôrốp ([28]), trong thành phần của năng lực toán
học có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng
lực tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc
chuẩn, năng lực tính toán;
- Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học;
- Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một
cách đúng đắn, kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng

5


1.1.3.2.

1.1.3.3.

-

-

-

đắn quy nạp toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic hoàn
toàn cần thiết đối với các nhà toán học.
Năng lực giải bài tập toán.
Năng lực giải bài tập toán học là một phần của năng lực toán học.
Đó là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện giải quyết vấn đề có tính
hướng đích cao, đòi hỏi khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt
được kết quả sau một số bước thực hiện. Năng lực giải bài tập toán học
là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được chọn vào giải
bài tập toán.
Để rèn luyện cho HS năng lực giải toán và phát triển năng lực ấy
thì người thầy cần tập luyện cho HS những hoạt động trí tuệ nhằm rèn
luyện tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tư duy
thuật giải, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo,… Theo định
hướng đổi mới phương pháp dạy học thì các loại tư duy này được rèn
luyện quá bốn bước giải toán của G.Polya.
Năng lực giải toán HPT.
Năng lực giải bài toán HPT được thể hiện qua những mặt sau:

Biết xác định dạng bài tập và phương pháp giải khi gặp HPT cụ thể;
Biết vận dụng các kiến thức đã biết để giải được HPT;
Trình bày đầy đủ, rõ ràng bài giải;
Vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp giải của bài tập đó vào các
bài toán khác tương tự.
Năng lực giải toán HPT được thể hiện qua hoạt động giải HPT và
được rèn luyện, phát triển thông qua các hoạt động giải toán. Cụ thể, để
bồi dưỡng cho học sinh năng lực giải HPT cần:
Trang bị cho học sinh các tri thức về HPT cơ bản;
Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng giải HPT;
Trang bị và tập luyện cho HS các PP thường dùng để giải HPT;
Tập luyện cho HS vận dụng quy trình giải toán của Polya vào giải
HPT;
Rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo bằng cách khuyến khích HS giải HPT
bằng nhiều cách.
6


1.2

1.2.1.

1.2.2.

1.2.3.

. Dạy học giải bài tập toán và việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho
HS
Vai trò của bài tập trong việc hình thành năng lực cho học sinh
phổ thông.

Bài tập có vai trò giá mang hoạt động học của HS. Thông qua giải
bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện những định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến,
những hoạt động trí tuệ chung hay hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện mục
tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
Dạy học phương pháp chung để tìm lời giải bài tập toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết
của Polya (2009) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm, có thể
nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài;
Bước 2: Tìm cách giải;
Bước 3: Trình bày lời giải;
Bước 4: Nghiên cứu sâu thêm lời giải.
Bồi dưỡng năng lực giải toán thông qua dạy học giải bài tập toán.
Chính vì mối liên hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, cho
nên phương pháp dạy học sao cho HS học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động là cách dạy học phù hợp nhằm phát triển năng lực cho HS. Cụ
thể:
- Tăng cường tổ chức các hoạt động học tập của HS, chú trọng các
hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát
hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề.
- Tổ chức dạy học cho HS có cơ hội được trải nghiệm: đo đạc, tính
toán, mò mẫm, dự đoán, xác minh, bác bỏ hay khẳng định.
- Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực: gợi mở, vấn đáp, hợp
tác theo nhóm, phát hiện và giải quyết vấn đề.
7

1.3.1.

1.3.2.

1.3. Thực tiễn dạy học giải toán ở trường phổ thông và việc
bồi dưỡng năng lực giải toán HPT cho HS.
1.3.1. Nội dung, kiến thức, kĩ năng cơ bản về HPT trong
chương trình phổ thông.
Trong chương trình THPT, chương trình lớp 10 đã cung cấp các
kiến thức lí thuyết và một số dạng HPT cơ bản; lên đến lớp 12 bổ sung
thêm một số HPT mũ, logarit đơn giản.
Quan sát, điều tra về tình hình dạy học giải HPT ở trường phổ
thông.
Để khảo sát về tình hình dạy học và việc bồi dưỡng năng lực giải
HPT ở trường phổ thông, luận văn đã sử dụng các phương pháp quan
sát, điều tra: dự giờ, phỏng vấn, hỏi ý kiến các GV trong trường phổ
thông, phiếu điều tra.
1.3.1.1. Dự giờ.
1.3.1.2. Sử dụng phiếu điều tra.
Một số đánh giá về thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ
thông và việc bồi dưỡng năng lực cho HS.
Thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo
sát một số GV, HS cho thấy thực trạng dạy học HPT hiện nay bên cạnh
những thuận lợi, còn có những khó khăn tồn tại, việc bồi dưỡng năng
lực cho HS vẫn chưa thực sự đạt hiệu quả, mặc dù đã có nhiều định
hướng, phương pháp dạy học tích cực nhưng chất lượng đạt được vẫn
còn khiêm tốn. Điều đó do còn nhiều nguyên nhân, cả khách quan lẫn
chủ quan:
Thứ nhất, xuất phát từ sự tồn lại của phương pháp dạy học cũ, lấy
người dạy làm trung tâm, truyền thụ kiến thức một chiều dưới dạng có

sẵn, thuyết trình tràn lan, thầy áp đặt, trò thụ động, …
Thứ hai, hệ thống bài tập được đưa ra chưa thật phong phú, nội
dung cũng như hình thức còn khá đơn giản; nội dung bài tập chưa thực
sự phù hợp với năng lực từng đối tượng HS nên chưa kích thích được
ham muốn học tập của các em.
8


1.

2.

3.

Thứ ba, việc thực hành làm bài tập trên lớp và luyện tập ở nhà của
HS còn mang tính hình thức, đối phó.
Thứ tư, năng lực giải bài toán HPT nói riêng cũng như giải toán
nói chung của HS còn hạn chế; năng lực học toán của HS trong một lớp
cũng chưa đồng đều, còn nhiều em chưa yêu thích môn toán.
Thứ năm, việc bồi dưỡng và phát triển năng lực giải toán cho HS
chưa được quan tâm đúng mức nên HS chưa chủ động, tích cực tiếp
nhận và học tập, chưa vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào giải
bài tập.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1.
Chương I của luận văn đã trình bày về:
Năng lực và năng lực học tâp của HS phổ thông, năng lực toán học và
năng lực giải bài tập toán.
Vai trò của bài tập toán trong việc hình thành năng lực cho HS, các
phương pháp chung để giải bài tập toán và việc bồi dưỡng năng lực giải
toán thông qua dạy học giải bài tập toán.

Thực tiễn dạy học giải toán ở trường phổ thông và việc bồi dưỡng năng
lực giải toán HPT cho HS.
Từ việc nghiên cứu những cơ sở lí luận này, đồng thời chỉ ra những
thuận lợi, khó khăn của GV và HS trong dạy học giải HPT theo định
hướng phát triển năng lực, chúng tôi đưa ra những vận dụng của mình
vào xây dựng các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải HPT cho HS THPT
trong chương II.

9


Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHO HS THPT
2.1. Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp
bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS.
- Các biện pháp được xây dựng dựa trên nền tảng tri thức chuẩn
của SGK hiện hành.
- Các biện pháp xây dựng cần đảm bảo tính hệ thống, đa dạng.
- Các biện pháp cần đảm bảo tạo ra khó khăn đúng mức, kích thích
hứng thú học tập cho HS, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí
tuệ của HS.
- Các biện pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi, hiệu quả và ứng
dụng được trong thực tiễn dạy học.
2.2. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán HPT cho HS
THPT.
2.2.1. Trang bị cho HS các tri thức về HPT cơ bản.
* Cơ sở của biện pháp:
- Một người không thể có năng lực toán học nếu không có kiến
thức toán học, kiến thức toán học là một yếu tố quan trọng tạo nên năng
lực toán học; nếu không có kiến thức cơ bản và vững chắc thì HS sẽ

không thể suy nghĩ, tìm được giải pháp khi gặp một vấn đề mới. Do vậy,
trước hết phải trang bị cho HS những tri thức cơ bản về HPT, đặc biệt là
tri thức phương pháp về giải HPT.
- Trong biện pháp này, GV cần tạo điều kiện cho HS kiến tạo nên
những tri thức khác nhau, bao gồm cả tri thức sự vật và tri thức
phương pháp:
+ Một số tri thức nền tảng trong chương trình: khái niệm cơ bản về
HPT (hệ bậc nhất hai ẩn, hai phương trình; ba ẩn ba phương trình),
nghiệm của hệ; các phương pháp cơ bản giải hệ;
+ Một số tri thức chưa được quy định cụ thể trong chương trình,
nhưng ta có thể cung cấp cho HS trong quá trình học như: phân loại
một số dạng HPT trình thường gặp và phương pháp giải của từng loại
10


để từ đó HS nắm được một số dạng HPT thường gặp, nhận biết được
dạng và cách giải chúng.
* Cách thức thực hiện biện pháp:
Người thầy trang bị cho trò những tri thức dựa trên những tri
thức tổng quát về hệ, phương pháp giải cơ bản để tìm nghiệm của hệ
(giải HPT). Cụ thể, HS phải nêu lên được thế nào là HPT, nghiệm của
HPT, nhận biết và thực hiện được một số PP giải đối với những hệ cơ
bản: PP thế, cộng đại số, tính định thức; nhận biết, thực hiện được quy
trình giải cơ bản đối với một số hệ đã được phân loại dưới đây.
Dưới đây là một số tri thức cơ bản trong chương trình và phân loại
một số HPT thường gặp.
2.2.1.1. Một số tri thức cơ bản trong chương trình.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
HPT bậc nhất ba ẩn.
2.2.1.2. Phân loại một số HPT.

(1) HPT gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc
hai.
(2) HPT đối xứng loại 1.
(3) HPT đối xứng loại 2.
(3) HPT đẳng cấp bậc hai.
(4) HPT bậc cao.
(5) Hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối.
(6) Hệ chứa căn thức.
(7) Hệ chứa mũ, logarit.
2.2.2. Rèn luyện cho HS một số kĩ năng giải HPT cơ bản.
* Cơ sở của biện pháp:
- Sau khi nắm được các tri thức cơ bản về HPT, nắm được phương
pháp giải hệ cần tập luyện cho HS các kĩ năng giải hệ; có kĩ năng giải hệ
là điều kiện để hình thành năng lực giải HPT cho HS.
- Kĩ năng giải HPT của HS được dựa trên những bình diện khác nhau:
11


-

-

-

+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán (kĩ năng vận
dụng quy trình thuật giải vào giải HPT);
+ Kĩ năng vận dụng tri thức tri thức toán học trong những môn
học khác nhau.
+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống (giải toán bằng cách lập
HPT)

2.2.2.1. Rèn luyện kĩ năng vận dụng quy trình thuật toán hoặc
tựa thuật toán vào giải HPT.
Một số HPT đã có sẵn thuật giải, để giải những hệ này cần nắm
vững những quy tắc giải đã học, đây là cơ sở để giải các bài toán phức
tạp hơn. Vì vậy, cần rèn luyện cho HS:
Nắm vững quy tắc giải đã học;
Nhận dạng được đúng dạng toán;
Giải theo quy tắc giải một cách thành thạo.
Một số dạng HPT đã có sẵn thuật giải (tựa thuật giải) đã được nêu ở
trên.
2.2.2.2. Rèn luyện kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi để giải
HPT.
Trong nhiều bài toán, máy tính bỏ túi là một công cụ cần thiết và
hữu ích; đối với một số HPT cơ bản, HS có thể sử dụng công cụ máy tính
bỏ túi để thử lại nghiệm hoặc áp dụng đối với bài toán yêu cầu tìm
nghiệm gần đúng.
Cách thức tiến hành:
Giới thiệu cho HS công cụ giải HPT trên một số máy tính bỏ túi, hướng
dẫn quy trình bấm máy.
Hướng dẫn HS thực hành vận dụng quy trình bấm máy giải một số HPT
trên máy tính.
Lưu ý: Một số hệ cơ bản có thể sử dụng máy tính như một công cụ
để thử lại nghiệm. Nếu hệ không phải là hệ cơ bản máy tính có thể xử lí
được ta đưa về hệ cơ bản và áp dụng các cách giải thông thường.

12


-

-

-

2.2.2.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng cách lập HPT.
Việc giải các bài toán bằng cách lập HPT góp phần cho HS thấy
rõ được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, góp phần giáo dục thế
giới quan cho HS.
Cách thức tiến hành:
GV làm mẫu một số ví dụ, tổng quát các bước giải bài toán bằng cách
lập HPT.
Hướng dẫn HS thực hành theo các bước.
HS độc lập làm bài, GV chữa lại bài, gợi ý, nếu hướng khắc phục sai lầm
cho HS.
Các bước giải bài toán bằng cách lập HPT:
Bước 1: Lập HPT:
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Biểu diễn các đại lưỡng chưa biết thông qua các đại lượng đã biết.
Lập phương trình/HPT biểu diễn mối quan hệ.
Bước 2: Giải HPT.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của HPT với điều kiện của ẩn(nếu có) và
kết luận nghiệm.
2.2.3. Trang bị và tập luyện cho HS các phương pháp thường
áp dụng để giải HPT.
* Cơ sở thực hiện biện pháp:
Ngoài một số HPT đã có sẵn thuật giải, các bài tập không có sẵn
thuật giải chiếm một phần không nhỏ, gây cho HS không ít trở ngại. Vì
vậy, cần cung cấp cho HS một số phương pháp cơ bản để có thể giúp HS
định hướng tìm ra lời giải của bài toán; việc cung cấp những phương
pháp này tương đối dễ hiểu và tốn ít thời gian.

* Cách thức thực hiện biện pháp:
- Trang bị cho HS tri thức phương pháp.
- Hướng dẫn HS thực hành phương pháp giải hệ qua một số ví dụ.
- Rèn luyện cho HS cách thức nhận dạng được phương pháp giải
đối với một số hệ thường gặp.
13


-

-

- Giải hệ theo các phương pháp đã biết một cách thành thạo.
2.2.3.1. Phương pháp thế.
Một số loại hệ thường sử dụng PP thế:
Trong hệ có một phương trình bậc nhất ẩn x hoặc y, khi đó ta tìm cách
rút y theo x hoặc ngược lại.
Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương
trình bậc nhất hai ẩn.
2.2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi giải HPT, nếu nhận thấy các biểu thức trong hệ có mối liên hệ
với nhau hoặc qua một vài phép biến đổi xuất hiện các mối liên hệ thì có
thể đặt ẩn phụ để đưa hệ về dạng quen thuộc hoặc hệ mới có bậc thấp
hơn. Lưu ý, khi đặt ẩn phụ cần chú ý các điều kiện của ẩn nhằm tránh
mất nghiệm hoặc xuất hiện thêm nghiệm ngoại lai.
2.2.3.3. Phương pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số.
Để sử dụng được phương pháp này, yêu cầu HS cần phải nắm vững
các kiến thức về đạo hàm, sự biến thiên của hàm số, kĩ năng đoán
nghiệm.
Có thể chuyển một phương trình của hệ về dạng đơn giản, hoặc

biến đổi các phương trình trong hệ để đưa về phương trình
f ( φ ( x) ) = f ( ϕ ( x) )

hàm số

trong đó

y = f ( x)

f ( x) = f ( y) ⇔ x = y

f

là hàm đơn điệu và dựa vào kết quả: Nếu

đơn điệu trên khoảng

( a; b )

và

x , y ∈ ( a; b )

thì

từ đây dẫn đến phương trình đơn giản hơn

φ ( x) = ϕ ( x)

.

2.2.3.4. Một số phương pháp khác.
* Phương pháp sử dụng đồ thị của hàm số.

14


* Phương pháp điều kiện cần và đủ.
* Phương pháp đánh giá.
2.2.4. Tập luyện cho HS vận dụng quy trình giải toán của
Polya vào giải HPT.
* Cơ sở của biện pháp: Người có năng lực là người biết cách tiến
hành hoạt động một cách hiệu quả và đạt kết quả phù hợp với mục đích
(bao gồm xác định mục tiêu, cách thức/phương pháp thực hiện hành
động/lực chọn được các giải pháp phù hợp… và cả các điều kiện để đạt
được mục đích). Tập luyện cho HS vận dụng quy trình thuật giải của
Polya vào giải HPT phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên, góp
phần hình thành năng lực cho HS.
* Cách thức thực hiện biện pháp:
Học phương pháp chung để giải toán không phải học một thuật
giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát
hiện. Vì vậy, để dạy HS phương pháp chung giải bài toán cần: Nhấn
mạnh để HS nắm được phương pháp chung (4 bước) thông qua những
bài tập cụ thể: Thông qua những câu hỏi gợi ý đúng thời điểm, đúng chỗ
để HS có thể dần biết tự sử dụng chúng như một phương tiện để kích
thích suy nghĩ, dự đoán, tìm tòi… tìm ra hướng đi trong quá trình giải
toán. Từ đó, làm cho HS thấy cần thiết và có ý thức vận dụng vào giải
mỗi bài toán. (dạy học đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề)
2.2.5. Rèn luyện cho HS tính linh hoạt, sáng tạo bằng cách
khuyến khích HS giải HPT bằng nhiều cách.
* Cơ sở của biện pháp: Người có năng lực là người biết hành

động có kết quả, ứng phó linh hoạt được trong những điều kiện mới,
không quen thuộc. Rèn luyện được tính linh hoạt cho HS góp phần hình
thành một bộ phận nhỏ của cấu trúc năng lực toán học: Tính linh hoạt
của quá trình tư duy trong hoạt động toán học và năng lực nhanh chóng
dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy. Khuyến khích HS
giải hệ bằng nhiều cách là một mắt xích trong bước 4 của quy trình giải
toán của Polya, từ đó, HS biết được nhiều cách giải của bài toán, tìm
15


được cách giải hợp lí nhất, biết nghiên cứu những bài toán tương tự.
Rèn luyện cho HS tính linh hoạt bằng cách khuyến khích HS giải bài toán
HPT bằng nhiều cách góp phần hình thành năng lực cho HS.
* Cách thức thực hiện biện pháp:
Muốn HS có cái nhìn tổng quát và linh hoạt khi giải bài toán, cần
thực hiện tốt những chỉ dẫn trong khi tìm hiểu đề bài, đề ra chương
trình giải và phân tích sâu bài toán.
2.3. Thiết kế một số tình huống dạy học nhằm bồi dưỡng
năng lực giải HPT cho HS THPT.
Tình huống 1: Luyện tập phương pháp đặt ẩn phụ thông qua
giải HPT:

Giải HPT:
1.

 x 2 + xy + y 2 = 1

 x − y − xy = 3

Tìm hiểu HPT và tìm hướng giải.

(?) Em đã gặp hệ này lần nào chưa? Hay đã gặp một hệ tương tự
quen thuộc ở dạng hơi khác?
x2 + y 2

x+ y

(!) Hệ có biểu thức xy, có
có thể làm xuất hiện
và xy
giống như cách giải hệ đối xứng loại 1.
(?) Hệ trên có phải hệ đối xứng loại 1 không? (Nếu không phải
bằng cách nào đó có thể áp dụng được phương pháp giải của hệ đối
xứng loại 1 không?)
(!) Hệ trên không phải là hệ đối xứng loại 1, vì khi thay đổi vai trò
của x, y phương trình có thay đổi. Nhưng khi thay đổi vai trò x, y trong
t = −y

2.

phương trình (2) Nhận thấy nếu đặt
thì vai trò của hai ẩn mới x, t
khi tráo đổi PT sẽ không thay đổi. Hệ trở thành hệ đối xứng loại 1.
(?) Với cách giải trên, em hãy trình bày lời giải.
Trình bày lời giải.

16


Đặt:

y = −t

Đặt:

, hệ trở thành:

x + t = S

 xt = P

Ta có:

điều kiện

P =3− S

 x 2 − xt + t 2 = 1

 x + t + xt = 3

S 2 − 4P ≥ 0

, ta được:

, thay vào PT trên ta được:

 S 2 − 3P − 1 = 0

 S + P −3= 0

S 2 + 3S − 10 = 0

 S = −5  S = −5; P = 8
⇔
⇔
 S = 2; P = 1
 S =2

* Với

* Với

S = −5; P = 8

(loại)

x + t = 2
⇔ x = t =1

S = 2; P = 1  xt = 1

:

⇒ x = 1; y = −1

3.

Vậy hệ có nghiệm (1; -1)
Nghiên cứu sâu lời giải.
t = −y

Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng. Đặt
ta được hệ đối
xứng.
(?) Quan sát mối liên hệ giữa các nghiệm trong hệ, thử tìm xem còn
có cách nào khác giải HPT trên không?
(!) Hệ có xuất hiện biểu thức
u = x − y

v = xy

x − y , xy

nhiều lần nên có thể đặt

, hệ trở thành hệ hai ẩn gồm một phương trình bậc hai và một
u 2 + 3v = 1

u − v = 3

phương trình bậc nhất:
đã biết cách giải.
(?) Có thể áp dụng cách giải này với hệ có dạng tương tự không?

17


-

-

(!) Có, nếu hệ không đối xứng có thể đặt ẩn phụ đưa về dạng đối
xứng hoặc tìm cách đặt ẩn phụ phù hợp.
(?) Em thử tìm thêm một số HPT giải bằng phương pháp tương tự.
Lời bình: Tình huống trên đã củng cố cho HS:
Kiến thức về HPT đối xứng loại 1.
Rèn luyện cho HS kĩ năng nhận dạng và các biến đổi để đưa về hệ đối
xứng loại 1.
Một số phương pháp đặt ẩn phụ khi giải HPT, rèn luyện được tính linh
hoạt khi biến đổi dạng chưa biết cách giải về dạng đã biết cách giải.
Tình huống 2: Luyện tập phương pháp thế thông qua giải HPT:

(

)

 x x + y + x + 3 = y − 3 ( 1)


 x + y + x = x + 3
( 2)

1.

Giải HPT:
Tìm hiểu HPT và tìm hướng giải.
(?) HPT thuộc dạng nào? Điều kiện của bài toán là gì?
x ≥ 0; x + y ≥ 0

2.

(!) Hệ chứa căn bậc hai. Điều kiện:
(?) Cách giải thông thường của hệ chứa căn bậc hai là gì?
(!) Bình phương hoặc biến đổi làm mất căn bậc hai.
(?) Em đã gặp hệ trên lần nào chưa? Em có biết một bài toán nào
gần giống hoặc có liên quan với hệ trên không?
(!) Trong vế trái của phương trình (1) có tổng hai biểu thức chứa
căn, nghĩ đến khử căn bằng cách nhân với biểu thức liên hợp.
(?) Với hướng giải trên, em hãy xây dựng một lời giải cụ thể và trình bày.
Trình bày bài giải.
Bài giải.
x+ y − x+3

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với
x ( x + y − x − 3) = ( y − 3)

(

)

được:

x + y − x + 3 ⇔ x = x + y − x + 3 ( 3)

18


Lấy (2) trừ (3), được

x + x+3 =3

. Giải phương trình tìm được

x =1 ⇒ y = 8

( 1;8)

3.

Vậy nghiệm của hệ
Nghiên cứu sâu lời giải.
(?) Có thể áp dụng cách giải trên với dạng hệ tương tự không? Rút
ra phương hướng giải của bài toán?
(!) Có thể áp dụng cách thức khử căn đối với các hệ chứa căn cho
các bài toán tương tự như trên.
Lời bình: Trong tình huống trên, HS được củng cố thêm về phương
pháp giải HPT chứa căn. Đồng thời rút ra rằng, hệ chứa căn không chỉ
giải bằng cách bình phương hai vế, mà còn có cách khử biểu thức chứa
căn nhờ nhân liên hợp.
Tình huống 3.
Tình huống 4.
Tình huống 5.
Tình huống 6.
Tình huống 7.
Tình huống 8.
Tình huống 9.
Tình huống 10.
Tình huống 11.
Tình huống 12.
2.4. Một số bài toán luyện tập nhằm sử dụng bồi dưỡng năng

lực giải HPT cho HS.
Phần I. Bài tập sử dụng phương pháp thế
Phần II. Bài tập sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Phần III. Bài tập sử dụng sự biến thiên của hàm số.
Phần IV. Bài tập sử dụng một số phương pháp khác.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
19


1.
2.
3.
4.
5.

Trong chương 2, luận văn đã nêu lên một số biện pháp nhằm bồi
dưỡng năng lực giải HPT cho HS phổ thông, đó là:
Trang bị cho HS các tri thức về HPT cơ bản.
Rèn luyện cho HS một số kĩ năng giải HPT cơ bản.
Trang bị và luyện tập cho HS phương pháp chung để giải HPT.
Tập luyện cho HS vận dụng quy trình giải toán của Polya vào giải HPT.
Rèn luyện cho HS tính linh hoạt, sáng tạo bằng cách khuyến khích HS
giải HPT bằng nhiều cách.
Để rèn luyện năng lực giải HPT cho HS, GV cần chú ý trước hết cần
phải trang bị cho HS có kiến thức, có kĩ năng, có phương pháp cụ thể,
nhưng đồng thời cũng cần chú trọng đến thái độ, hứng thú học tập, khả
năng linh hoạt, sáng tạo tìm được nhiều hướng giải của các em. Trong
luận văn cũng nêu ra các ví dụ/tình huống nhằm minh họa và là một
cách vận dụng các biện pháp đã đề ra. Hy vọng rằng với các biện pháp
đề ra sẽ góp phần giúp GV có thêm một cách nhìn nhận về bồi dưỡng

năng lực giải HPT cho HS.

20


Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm.
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm nghiệm tính khả
thi và tính hiệu quả của việc sử dụng các biện pháp đã đề xuất và việc sử
dụng hệ thống bài tập đã xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực giải HPT
cho HS THPT.
3.1.2.Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm.
- Soạn tài liệu thực nghiệm theo hướng bồi dưỡng năng lực giải
toán hệ phương trình cho học sinh;
- Cùng GV thực dạy nghiên cứu và đề xuất một số giáo án thực
nghiệm phù hợp với đối tượng HS;
- Đánh giá chất lượng thực nghiệm, hiệu quả, tính khả thi của
việc bồi dưỡng năng lực giải HPT cho HS.
3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Nội dung thực nghiệm.
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm dạy thử các nội dung:
- Một số HPT cơ bản;
- Giải bài toán bằng cách lập HPT.
3.2.2. Tổ chức thực nghiệm.
3.2.3. Một số bài soạn thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá về nội dung, phương pháp dạy học thực nghiệm.
3.3.2. Kết luận chung của thực nghiệm sư phạm.
Qua quá trình thực nghiệm và những két quả rút ra được, cho

thấy: Mục đích thực nghiệm sư phạm đã được hoàn thành, khẳng định
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. Thực hiện các
biện pháp và hệ thống bài toán đưa ra góp phần bồi dưỡng năng lực
giải toán HPT cho HS.

21


-

-

-

-

-

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3.
Để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của biện pháp đã đề ra ở
chương II, chương III luận văn đã xây dựng:
Mục đích, nội dung thử nghiệm và cách thức tổ chức.
Các giáo án thử nghiệm.
Đưa ra một số nhận xét, đánh giá kết quả.
Việc vận dụng một số biện pháp dạy học nhằm bồi dưỡng năng lực
giải phương trình cho HS đã bước đầu đạt những kết quả nhất định: HS
được lôi cuốn vào thực hiện các hoạt động một cách tích cực, tự giác
thực hiện các hoạt động, tạo hứng thú học tập.
Kết quả thử nghiệm đã bước đầu khẳng định tính hiệu quả và
khả thi của các biện pháp đã được đề xuất trong luận văn.

KẾT LUẬN
Trong quá trình nghiên cứu, luận văn đã đạt được những kết quả sau:
Trình bày được những nét cơ bản về năng lực giải toán, yêu cầu phát triển
năng lực cho học sinh.
Điều tra thực tiễn dạy học ở trường phổ thông về giải HPT và và vấn đề
bồi dưỡng năng lực cho học sinh làm cơ sở thực tiễn cho đề tài.
Đề xuất được các biện pháp bồi dưỡng năng lực cho HS.
Xây dựng được hệ thống bài tập về HPT có thể sử dụng để phát triển năng
lực cho HS.
Đã tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV, học viên,
sinh viên các ngành sư phạm.

22


[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]
[7]

[8]

[9]

[10]
[11]

[12]

[13]

TÀI LIỆU THAM KHẢO
V.A. Cruchetxki (1973), Tâm lí năng lực toán học của học sinh,
NXB Giáo dục, Hà Nội.
Nguyễn Thế Chinh (2005), Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa, đặc
biệt hóa và tương tự hóa cho học sinh qua chủ đề ứng dụng bất
đẳng thức Cô – si,Luận văn thạc sĩ.
Nguyễn Tài Chung (2014), Sáng tạo và giải phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình, Nhà xuất bản tổng hợp TP. Hồ
Chí Minh.
Chu Thanh Dũng (2014), Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm vào
giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình cho học
sinh khá, giỏi lớp 12, Luận văn thạc sĩ.
Bùi Duy Hưng (2014), Dạy học môn Toán ở THPT theo hướng phát
triển năng lực cho học sinh, Tạp chí giáo dục, Số 325.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2012), Đại số 10, NXB Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2012), Đại số 10 (Sách giáo viên),
NXB Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2012), Đại số và giải tích 11, NXB
Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2012), Đại số và giải tích 11 (Sách

giáo viên), NXB Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Giải tích 12, NXB Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Giải tích 12 (Sách giáo viên),
NXB Giáo dục.
Trần Thị Thu Hương (2010), Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương
trình đại số cho học sinh lớp 10 THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học
giáo dục.
Nguyễn Công Khanh (2013), Năng lực và đánh giá kết quả giáo dục
theo năng lực trong chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015.

23


[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

Nguyễn Bá Kim (2014), Giáo dục Toán học tập trung vào phát
triển năng lực, Tạp chí khoa học Đại học sư phạm Hà Nội số
2A/2014 VN.
Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại
học sư phạm, Hà Nội.
Nguyễn Bá Kim (2012), Phương pháp luận khoa học lĩnh vực lí
luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Nhà xuất bản Đại học
sư phạm.
Đào Thùy Linh (2011), Bồi dưỡng năng lực giải bài tập số phức
cho học sinh lớp 12 THPT qua phương pháp dạy học hợp tác, Luận
văn thạc sĩ.
Luật giáo dục (Được sửa đổi, bổ sung năm 2009) (2010), Nhà xuất
bản tư pháp Hà Nội.
Nguyễn Đình Lượng (2014), Phát triển năng lực giải toán hình học
không gian bằng phương pháp tọa độ cho HS lớp 12 THPT, Luận
văn thạc sĩ.
Bùi Văn Nghị (2014), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể
môn Toán, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội.
Bùi Văn Nghị (2014), Giáo dục Toán học hướng vào năng lực
người học (2014), Tạp chí khoa học Đại học sư phạm Hà Nội số
2A/2014 VN.
G. Polya (2009), Giải một bài toán như thế nào?, NXB Giáo dục Hà Nội.

Phạm Quốc Phong (2005), Chuyên đề nâng cao đại số 10, Nhà xuất
bản đại học sư phạm.
Trần Phương, Lê Hồng Đức (2014), Tuyển tập các chuyên đề luyện
thi đại học môn Toán sơ cấp, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
Nguyễn Thế Thạch (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ
năng môn Toán lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam.
Nguyễn Thế Thạch (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ
năng môn Toán lớp 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
24


[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

Chu Cẩm Thơ (2014), Bàn về những năng lực toán học của học
sinh phổ thông, Tạp chí khoa học Đại học sư phạm Hà Nội, số
1/2014 VN.

Trần Thúc Trình (2003), Đề cương môn học rèn luyện tư duy trong
dạy học Toán (dùng cho học viên Cao học, chuyên ngành phương
pháp giảng dạy toán), Viện khoa học giáo dục.
Nguyễn Anh Tuấn (2003), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học khái niệm
toán học (thể hiện qua một số khái niệm đại số trung học cơ sở),
Luận án Tiến sĩ giáo dục học.
Lê Trung Tín (2011), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề cho học sinh qua dạy học phương trình, hệ phương trình, Tạp chí
giáo dục, Số 271.
Nguyễn Thế Thạch, Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng
môn Toán lớp 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
Nguyễn Thế Thạch, Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng
môn Toán lớp 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
Vương Thị Thu Thủy (2008), Rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học
phẳng, Luận văn thạc sĩ.
Hoàng Dạ Thảo (2011), Bồi dưỡng năng lực giải bài tập phương
trình và bất phương trình chứa dấu căn cho học sinh cuối cấp
THPT qua phương pháp dạy học hợp tác, Luận văn thạc sĩ.

25