Tài liệu ôn thi kỳ thi THPT quốc gia môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.17 MB, 497 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÀI LIỆU ÔN THI
KÌ THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2016 – 2017
MÔN TOÁN
HUỲNH CHÍ HÀO (Chủ biên)
HUỲNH BÁ TRUNG, VÕ THÀNH NHUNG, VÕ MINH HOÀNG, NGUYỄN
VĂN RINH, TRẦN NHỰT HOÀNG PHONG, ĐÀO TRỌNG HỮU, ĐINH
CÔNG PHƯỚC, DƯƠNG HOÀNG SƠN, NGUYỄN HỒNG LẬP, NGUYỄN
THỊ THU VÂN, PHẠM VĂN NHỜ, NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG,
NGUYỄN THÀNH NAM, NGUYỄN VĂN CHƯỞNG, BÙI NGỌC HẠO.
TÀI LIỆU ÔN THI
KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN TOÁN
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc Gia. Chúng tôi biên soạn cuốn: “TÀI LIỆU ÔN
THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN”. Cuốn sách gồm 12 chủ đề:
Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số
Chủ đề 2: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân
Chủ đề 3: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Chủ đề 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít
Chủ đề 5: Số phức
Chủ đề 6: Tổ hợp, xác suất
Chủ đề 7: Hình học không gian
Chủ đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian
Chủ đề 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
Chủ đề 11: Toán tổng hợp
Chủ đề 12: Một số đề tham khảo
Mỗi chủ đề gồm các phần
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Phương pháp giải toán – Các ví dụ
C. Bài tập
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
y
A. TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ
j
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :
i
x'Ox : trục hoành
x'
O
y'Oy : trục tung
O : gốc toạ độ
i, j : véc tơ đơn vị ( i j 1 vaøi j )
x
y'
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng
Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho M mp(Oxy ) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
y
bởi hệ thức có dạng :
i
,
j
OM
xi
y j vôùi x,y .
Q
M
x'
j
i
O
P
Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
x
Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )
y'
ñ/n
M ( x; y)
OM xi y j
y
Ý nghĩa hình học:
Q
M
y
x'
x
x
O
P
x OP vaøy=OQ
y'
2. Định nghĩa 2: Cho a mp(Oxy ) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
i, j bởi hệ thức có dạng : a a1 i a2 j vôùi a1 ,a2 .
y
Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
e
Ký hiệu: a (a1; a2 )
a
2
x'
a=(a1;a2 )
Ý nghĩa hình học:
ñ/n
a a1 i a2 j
O
e1
x
P
y'
y
K
B
B
2
A
A2
H
a1 A1B1
x
x'
O
A1
vaøa2 =A 2 B2
B1
y'
199
TiliuụnthimụnToỏnTHPTQG
III. Cỏc cụng thc v nh lý v to im v to vộc t :
nh lý 1:Nu A( x A ; y A ) vaứB(x B ; yB ) thỡ
AB ( x B x A ; yB y A )
B( x B ; y B )
A( x A ; y A )
nh lý 2:Nu a (a1; a2 ) vaứb (b1; b2 ) thỡ
a b
* a b 1 1
a2 b2
* a b (a1 b1; a2 b2 )
* a b (a1 b1; a2 b2 )
* k .a (ka1; ka2 ) (k )
a
b
IV. S cựng phng ca hai vộc t:
Nhc li
Haivộctcựngphnglhaivộctnmtrờncựngmtngthnghocnmtrờnhaingthngsong
song.
nh lý v s cựng phng ca hai vộc t:
nh lý 3 :Chohaivộct a vaứb vụựi b 0
a
a cùứ
nỏ põử ụnỏ b !ồ saộ cõộ a k .b
b
Nu a 0 thỡsktrongtrnghpnycxỏcnhnhsau:
b
k>0khi a cựnghng b
a
b
a
k<0khi a ngchng b
a
2
5
a b , b- a
k
5
2
B
b
A
C
nh lý 4 : A, B, C tõaỳnỏ õaứ
nỏ AB cùứ
nỏ põử ụnỏ AC
(iukin3imthnghng)
nh lý 5:Chohaivộct a (a1; a2 ) vaứb (b1; b2 ) tacú:
a cùứ
nỏ põử ụnỏ b
a1.b2 a2 .b1 0 (iukincựngphngca2vộct)
200
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
V. Tích vô hướng của hai véc tơ:
y
Nhắc lại:
b
b
O
a
a
B
a.b a . b .cés(a, b)
A
b
2 2
a a
x'
a b a.b 0
Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có :
a
O
x
y'
a.b a1b1 a2 b2 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ)
Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) ta có :
a a12 a22 (Công thức tính độ dài véc tơ )
Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) vaøB(x B ; yB ) thì
AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (Công thức tính khoảng cách 2 điểm)
Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có
a b
a1b1 a2 b2 0 (Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ)
Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có
a.b
a1b1 a2 b2
cés(a, b)
(Công thức tính góc của 2 véc tơ)
a.b
a12 a22 . b12 b22
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : MA k.MB
A M B
Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; yB ) và MA k.MB ( k 1 ) thì
x A k .x B
x M 1 k
y
k
.
y
A
B
y
M
1 k
201
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
x A xB
x M
2
Đặc biệt : M là trung điểm của AB
y y A yB
M
2
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác :
A
x A x B xC
x G
3
1. G làtréïná tâm tam áiác ABC GA GB GC 0
y y A y B yC
G
3
AH BC
AH .BC 0
2. H làtrư ï
c tâm tam áiác ABC
A
BH AC
BH . AC 0
AA' BC
C
3. A' làcââ
n đư ờ
ná cắ åẻtư øA
B A'
'
BA cïø
ná pâư ơná BC
G
C
B
A
H
C
B
A
IA=IB
4. I làtâ
m đư ờ
ná tréø
n náéạ
i tiế
p tam áiác ABC
IA=IC
I
AB
5. D làcâân đư ờ
ná pâân áiác tréná cïûa áéùc A cïûa ABC DB
.DC
AC
AB
6. D' làcâân đư ờ
ná pâân áiác náéà
i cïûa áéùc A cïûa ABC D ' B
.D 'C
AC
A
AB
7. J làtâ
m đư ờ
ná tréø
n néäi tiế
p ABC JA
.JD
BD
C
B
A
C
D
B
J
C
B. ĐƯỜNG THẲNG
B
D
I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng:
đn a 0
a là VTCP của đường thẳng ( )
c trïø
ná với ()
a céùáiáséná séná âéặ
đn n 0
n là VTPT của đường thẳng ( )
ná áéùc với ()
n céùáiávïéâ
a
n
()
a
* Chú ý:
Nếu đường thẳng ( ) có VTCP a (a1; a2 ) thì có VTPT là n (a2 ; a1 )
Nếu đường thẳng ( ) có VTPT n ( A; B) thì có VTCP là a ( B; A)
( )
202
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :
a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( ) qua M0(x0;y0) và nhận a (a1; a2 ) làm
VTCP sẽ có :
y
x x0 t.a1
Phương trình tham số là : () :
y y0 t.a2
a
M ( x; y )
(t )
x
O
Phương trình chính tắc là : () :
M 0 ( x0 ; y 0 )
x x 0 y y0
a1 , a2 0
a1
a2
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n ( A; B) là:
y
O
n
M ( x; y )
x
M 0 ( x0 ; y 0 )
() : A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ( A 2 B 2 0 )
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( ) có dạng :
y n ( A; B )
M (x ; y )
0
0
0
Ax + By + C = 0 với
A 2 B 2 0
O
x
a ( B ; A)
a ( B ; A)
Chú ý:
Từ phương trình ( ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của ( ) là n ( A; B)
2. VTCP của ( ) là a ( B; A) âay a (B; A)
3. M 0 ( x0 ; y0 ) ( ) Ax0 By0 C 0
Mệnh đề (3) được hiểu là :
Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
203
TiliuụnthimụnToỏnTHPTQG
3. Cỏc dng khỏc ca phng trỡnh ng thng :
hoctoancapba.com
a. Phng trỡnh ng thng i qua hai im A(xA;yA) v B(xB;yB) :
( AB) :
x xA
y yA
( AB) : x x A ( AB) : y y A
x B x A yB y A
y
M ( x; y )
y
O
B( x B ; y B )
yA
xA
x
A( x A ; y A )
yB
A( x A ; y A )
xB
y
A( x A ; y A )
B( x B ; y B )
y A yB
x
x
B( x B ; y B )
b. Phng trỡnh ng thng theo on chn:
nh lý: Trongmp(Oxy)phngtrỡnhngthng( )cttrchonhtiimA(a;0)vtrctungti
imB(0;b)via,b 0cúdng:
x y
1
a b
c. Phng trỡnh ng thng i qua mt im M0(x0;y0) v cú h s gúc k:
nh ngha:Trongmp(Oxy)chongthng .Gi (Ox , ) thỡ k tg cgilhsgúc
y
cangthng
nh lý 1:Phngtrỡnhngthng qua M0 ( x0 ; y0 ) cúhsgúckl:
y
y0
O
O
x
M ( x; y )
x0
x
y - y 0 = k(x - x 0 )
(1)
Chỳ ý 1:Phngtrỡnh(1)khụngcúchaphngtrỡnhcangthngiquaM0vvuụnggúc
Ox nờnkhisdngtacnýxộtthờmngthngiquaM0vvuụnggúcOxl
x = x0
Chỳ ý 2:Nungthng cúphngtrỡnh y ax b thỡhsgúccangthngl k a
nh lý 2: Gik1,k2lnltlhsgúccahaingthng 1 , 2 tacú:
1 // 2 k1 k2
1 2 k1.k2 1
c. Phng trỡnh t i qua mt im v song song hoc vuụng gúc vi mt t cho trc:
i. Põử ụnỏ trinõ ủử ụứ
nỏ tõaỳnỏ (1 ) //(): Ax+By+C=0 cộự daùnỏ: Ax+By+m1 =0
nỏ tõaỳnỏ (1 ) ( ): Ax+By+C=0 cộự daùnỏ: Bx-Ay+m 2 =0
ii. Põử ụnỏ trinõ ủử ụứ
204
TiliuụnthimụnToỏnTHPTQG
Chỳ ý: m1; m2 cxỏcnhbimtimcútaóbitnmtrờn 1; 2
y
1 : Ax By m1 0
1 : Bx Ay m2 0
: Ax By C 1 0
y
O
M1
x
x0
x
x0
O
M1
: Ax ByC1 0
III. V trớ tng i ca hai ng thng :
y
2
y
y
1
x
O
1
x
O
1
O
2
2
x
//
1
2
1 caột 2
Trongmp(Oxy)chohaingthng:
1 2
(1 ) : A1 x B1y C1 0
( 2 ) : A2 x B2 y C2 0
Vtrớtngica (1 ) vaứ( 2 ) phthucvosnghimcahphngtrỡnh:
A x B1y C1 0
A x B1y C1
1
hay 1
A2 x B2 y C2 0
A2 x B2 y C2
(1)
Chỳ ý:Nghimduynht(x;y)cah(1)chớnhltagiaoimMca (1 ) vaứ( 2 )
nh lý 1:
i. Heọ(1) vộõnỏõieọm
(1 ) //( 2 )
ii. Heọ(1) cộựnỏõieọm dùy nõaỏ
t (1 ) caột ( 2 )
iii. Heọ(1) cộựvộõsộỏnỏõieọm
(1 ) ( 2 )
nh lý 2:Nu A2 ; B2 ; C2 khỏc0thỡ
A1 B1
A 2 B2
ii. (1 ) // ( 2 )
A1 B1 C1
A 2 B2 C2
iii. (1 ) ( 2 )
A1 B1 C1
A 2 B2 C2
i.
(1 ) caột ( 2 )
205
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
IV. Góc giữa hai đường thẳng
1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo
của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai
đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là a, b
Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT
a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u v v thì
u.v
cos a, b cos u, v
u.v
b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n v n ' thì
n.n '
cos a, b cos n, n '
n . n'
Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
(1 ) : A1 x B1y C1 0
( 2 ) : A2 x B2 y C2 0
Gọi ( 00 900 ) là góc giữa (1 ) vaø( 2 ) ta có :
y
cés
A1 A2 B1B2
A12 B12 . A22 B22
1
x
O
2
Hệ quả:
(1 ) ( 2 ) A1 A2 B1B2 0
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng () : Ax By C 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 )
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng () được tính bởi công thức:
M0
y
H
d ( M0 ; )
Ax0 By0 C
A2 B 2
O
x
( )
206
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
C. ĐƯỜNG TRÒN hoctoancapba.com
I. Phương trình đường tròn:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :
y
I ( a; b )
(C ) : ( x a)2 ( y b)2 R 2 (1)
b
R M ( x; y )
x
a
O
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I O thì (C ) : x 2 y 2 R 2
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : x 2 y 2 2ax 2by c 0 với a2 b2 c 0
là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2 b2 c
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
M 0 ( x0 ; y 0 )
(C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 tại điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) là :
() : x0 x y0 y a( x x0 ) b( y y0 ) c 0
( )
VI. Các vấn đề có liên quan:
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
(C )
(C )
I
R
H M
Định lý:
(C )
I
I
R
R H
M H
(C)
I(a;b)
M
() (C )
d(I;) > R
() tieáp xïùc (C) d(I;) = R
() caé
t (C)
d(I;) < R
Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 và đường thẳng : Ax By C 0 . Tọa độ giao điềm
(nếu có) của (C) và ( ) là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 (1)
(*)
Ax By C 0 (2)
Cách giải (*): Sử dụng phép thế
+ Rút x hoặc y từ (2) thay vào (1) để được phương trình 1 ẩn.
207
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn :
C1
C2
I1
R1
R2
I2
I1
C1
C1
R1
R2
I2
C2
C2
I1
R1
R2
I2
C1
I1 I
2
C2
(C1 ) và(C2 ) åâéâná cắt nâạ
I1I2 > R1 R2
(C1 ) và(C2 ) cắt nâạ
R1 R2 < I1I2 < R1 R2
(C1 ) và(C2 ) tiếp xïùc náéà
i nâạ I1I2 = R1 R2
(C1 ) và(C2 ) tiếp xïùc tréná nâạ
I1I2 = R1 R2
Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0
và đường tròn C ' : x 2 y 2 2a ' x 2b ' y c ' 0 .
Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 (1)
(*)
2
2
x y 2a ' x 2b ' y c ' 0 (2)
Cách giải (*): Sử dụng phép cộng và phép thế.
+ Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn. Từ phương trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc
y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương trình 1 ẩn. Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm.
D. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN
I. CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x 2 y 3 0 và hai điểm A1;1 , B 1; 2
1) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A và song song với đường thẳng
2) Viết phương trình đường thẳng d 2 đi qua B và vng góc với đường thẳng
3) Viết phương trình đường thẳng AB
3
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ;0 là trung điểm đoạn AC . Phương
2
trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2 x y 2 0 và 3 x 4 y 13 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , đường thẳng BC có phương trình
x y 4 0 , điểm M 1; 1 là trung điểm của đoạn AD . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD ,
biết đường thẳng AB đi qua điểm E 1;1 .
208
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M 2;0 là trung điểm của AB . Đường
trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7 x 2 y 3 0 và 6 x y 4 0 . Viết phương trình
đường thẳng AC .
C
900 . Phương trình các
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có B
đường thẳng AC và DC lần lượt là x 2 y 0 và x y 3 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang
3 3
ABCD , biết trung điểm cạnh AD là M ; .
2 2
4
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A0; 1; B 3;0; C ;3
3
1) Tìm tọa độ điểm E sao cho AB BE
2) Tìm tọa độ điểm F sao cho AC CF
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A1;1 và đường thẳng : x 2 y 6 0 . Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng sao cho AM 5 .
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A1; 2 và đường thẳng : x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng sao cho AM 2 2 .
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A1; 2; B 2; 1 . Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn IA 4 và
IB 2 .
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A4;8; B 5; 4 và đường thẳng : 3x y 4 0
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho MA MB .
17 1
Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A0;1; B ; và đường thẳng : x 2 y 3 0
5
5
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho MA AB .
Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A5; 4 và đường thẳng : 3x y 4 0
Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua đường thẳng .
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2;0 , B 1;1 và đường thẳng : x 3 y 3 0 .
1) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A và tạo với một góc 450 .
2) Viết phương trình đường thẳng d 2 đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 2 .
209
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AC sao cho AN
1
AC .
4
Chứng minh rằng tam giác DMN vuông tại N .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ F là trung điểm của DI sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên CD sao cho CN 2 ND . Chứng
minh MAN 450 . hoctoancapba.com
Gợi ý chứng minh
Cách 1: Chứng minh ADN ∽ AHM ,từ đó sẽ suy ra được đpcm.
Cách 2: Tính độ dài ba cạnh của tam giác AMN theo a (cạnh hình vuông).
Áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMN sẽ được đpcm.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC . Các điểm M , K
lần lượt là trung điểm của AH và DC . Chứng minh rằng BM KM .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ E là trung điểm của BH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
210
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB 3 AD và H là hình chiếu
vuông góc của B trên CD , M là trung điểm của HC . Chứng minh rằng AM BM .
Gợi ý chứng minh
Gọi N , I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường thẳng CD, CA
Chứng minh tứ giác NAME là hình bình hành và E là trực tâm tam giác NBM sẽ suy ra được đpcm.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B
trên đường thẳng MD . Chứng minh rằng AN CN .
Gợi ý chứng minh
Tứ giác BCND và tứ giác ABCN nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
211
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A , D là trung điểm đoạn AB . I , E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC , trọng tâm tam giác ADC và G là giao điểm của AI và CD . Chứng minh rằng DG IE .
Gợi ý chứng minh
Chứng minh G là trực tâm tam giác DEI
Bài 7. Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Gọi I là giao điểm của
CM và DN . Chứng minh rằng AI AD .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ P là trung điểm của DC sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 8. Cho hình thang vuông ABCD A D 900 và DC 2 AB , H là hình chiếu của D trên đường chéo
AC , M là trung điểm của đoạn thẳng HC . Chứng minh rằng BM MD .
Gợi ý chứng minh
212
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Lấy điểm phụ E là trung điểm của DH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD A B 900 và BC 2 AD , H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên
cạnh CD , M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh rằng AH MH .
Gợi ý chứng minh
Tứ giác BDHM và tứ giác AHMD nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, R , phân giác trong của góc A cắt BC tại D , tiếp tuyến tạI
A với đường tròn cắt BC tại E . Chứng minh tam giác ADE cân tại E .
Bài 11: Cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho
AN 3 NC . Tính độ dài đoạn IN biết rằng MN 10 .
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O, R , H là trực tâm tam giác, AH cắt BC tại K và cắt
đường tròn tại D . Chứng minh K là trung điểm của HD .
Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O, R , M , N là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C .
Gọi I , J lần lượt là giao điểm của BM , CN với đường tròn. Chứng minh AO IJ .
Bài 14: Cho hình vuông ABCD . M là một điểm tùy ý trên đường thẳng BD M B, M D , H , K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AD . Chứng minh rằng CM HK .
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, R , K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, AK cắt đường
tròn O, R tại D . Chứng minh rằng DB DC DK
213
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
III. CÁC BÀI TOÁN THI CĐ - TSĐH NĂM 2014.
Bài 1. (CĐ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(2;5) và đường thẳng (d ) : 3 x 4 y 1 0 . Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và vuông góc với (d ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (d ) sao cho AM 5 .
Đáp án
Bài 2. (ĐH-K.D)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm
D (1; 1) . Đường thẳng AB có phương trình 3 x 2 y 9 0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC có phương trình x 2 y 7 0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Đáp án
Bài 3. (ĐH-K.B)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD . Điểm M (3;0) là trung điểm của cạnh AB ,
4
điểm H (0; 1) l hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G ;3 là trọng tâm tam giác BCD . Tìm tọa độ
3
các điểm B và D .
Đáp án
214
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Bài 4. (ĐH-K.A)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là
điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3 NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết rằng M (1; 2) và N (2; 1) .
Đáp án
VI. CÁC DẠNG TOÁN THI
215
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán tổng quát: Tìm điểm M : ax by c 0 thỏa điều kiện cho trước.
Phương pháp 1
B1. Đặt tọa độ cho điểm M .
am c
bm c
M m;
hoặc
,
b
0
M
; m , a 0
b
a
B2. Khai thác tính chất hình học của điểm M .
+ Tính đối xứng
+ Khoảng cách
+ Góc
+ Quan hệ song song, vuông góc
+ Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác.
+ Tam giác đồng dạng
+ Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương
Chuyển tính chất hình học sang phương trình với ẩn m . Giải phương trình tìm m M .
Phương pháp 2
B1. Xem điểm M là giao điểm của hai đường (đường thẳng, đường tròn).
B2. Lập phương trình các đường. Giải hệ tìm M .
Ví dụ 1. Cho điểm A 1;3 và đường thẳng có phương trình x 2y 2 0 . Dựng hình vuông ABCD sao cho
hai đỉnh B, C nằm trên và các tọa độ đỉnh C đều dương. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Bài giải
Đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với có phương trình: 2x y m 0
A 1;3 2 3 m 0 m 1
Suy ra: d : 2x y 1 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: x 2y 2 x 0 B 0;1
2x y 1
y 1
Suy ra: BC AB 1 4 5
Đặt C x 0 ; y0 với x 0 , y0 0 , ta có:
x 2y0 2 0
x 2y0 2
C
02
02
2
2
BC 5
x 0 y0 1 5 x 0 y0 1 5
216
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
xy 22 hoặc xy 02 (loại). Suy ra: C 2; 2
x 2 1 0
x 1
D 1; 4
Do ABCD là hình vuông nên: CD BA
y 2 3 1
y 4
Giải hệ này ta được:
0
0
0
0
D
D
D
D
Vậy B 0;1 , C 2; 2 , D 1; 4
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết A 1; 4 , B 1; 4 và đường thẳng BC đi
1
qua điểm I 2; . Tìm tọa độ đỉnh C.
2
Bài giải
Phương trình đường thẳng BC: 9x 2y 17 0
AB 2; 8
9c 17
Do C BC nên ta có thể đặt C c;
, ta có AC c 1; 9c 25
2
2
9c 25
Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên: AB.AC 0 c 1 4.
0c3
2
Vậy C 3;5 .
9 3
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, I ; và tâm của hình chữ
2 2
nhật là M 3; 0 là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài giải
9 9
3 2
4 4
Do MI là đường trung bình của tam giác ABD nên AB 2MI 2
Vì SABCD AB.AD 12 nên AD
3 3
Đường thẳng AD qua M 3;0 và nhận IM ; làm VTPT có phương trình là:
2 2
12
2 2 MA MD 2
AB
3
3
x 3 y 0 0 x y 3 0
2
2
2
Phương trình đường tròn tâm M bán kính R 2 là: x 3 y 2 2
Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình:
x y 3 0
y 3 x
2
2
2
x 2 x 4
2
y 1 y 1
x
3
y
2
x
3
3
x
2
Suy ra: ta chọn A 2;1 , D 4; 1
Vì I là trung điểm của AC nên:
xy
C
C
2x I x A 9 2 7
C 7; 2
2y I y A 3 1 2
217
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Vì I là trung điểm của BD nên:
xy
B
B
2x I x D 5
B 5; 4
2y I y D 4
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A 2;1 , B 5; 4 , C 7; 2 , D 4; 1 .
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng
3x y 1 0 . Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3.
Bài giải
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
1
1
SGAB SABC .3 1
3
3
x2 y4
x y2 0
2
2
Phương trình đường thẳng AB là:
Đặt G a; b , do G d : 3x y 1 0 nên 3a b 1 0 , ta có:
1
1
SGAB 1 .AB.d G, AB 1 .2 2.d G, AB 1
2
2
1
d G, AB
2
ab2
1
2
2
a b 2 1
1
a 2 a 1
3a
b
1
3a
b
1
Tọa độ G là nghiệm của hệ:
a b 1
a b 3
1 b 2
b
2
1 1
Suy ra: G ; hoặc G 1; 2
2 2
7
x C 3x G x A x B 2
7 9
1 1
Với G ; thì
C ;
9
2 2
2 2
y C 3y G yA yB
2
x 3x G x A x B 5
Với G 1; 2 thì C
C 5; 0
yC 3yG yA y B 0
7 9
Vậy có hai điểm C thỏa đề bài là : C 5;0 và C ; .
2 2
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 1 0 và đường tròn C : x 2 y 2 2x 4y 0 .
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) mà qua đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB với (C) (A,B là hai
tiếp điểm) sao cho AMB 600 .
Bài giải
218
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
(C) có tâm I 1; 2 và bán kính R 5
Theo giả thiết: AMB 600 AMI
Tam giác AMI vuông tại A nên: s in300
Đặt M t; t 1 (d) , ta có:
2
1
AMB 300
2
AI
IM 2AI 2R 2 5
IM
2
IM 2 20 t 1 t 1 20 t 2 9 t 3
Vậy có hai điểm cần tìm là M1 3; 2 và M 2 3; 4 .
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0; 2 và đường thẳng d : x 2y 2 0 . Tìm trên đường thẳng (d)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC .
Bài giải
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0
A 0; 2 2 m 0 m 2
Suy ra: : 2x y 2 0
2
x 5
2 6
2x
y
2
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
B ;
x 2y 2
6
5 5
y
5
Đặt C 2t 2; t (d) , theo giả thiết ta có:
AB 2BC AB2 4BC2
2
2
2
2
12 6
2
6
0 2 4 2t t
5 5
5
5
2t 2 12t 7 0
t 1
7
t 5
Với t 1 C 0;1
Với t
7
5 7
C ;
5
4 5
2 6
2 6 4 7
Vậy các điểm cần tìm là: B ; , C 0;1 hoặc B ; , C ; .
5 5
5 5 5 5
219
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
d : 2 x y 5 0 và A4;8 . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên
đường thẳng MD . Tìm tọa độ điểm B và C , biết rằng N 5; 4 .
Bài giải
Do C d nên C t; 2t 5 . Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD , suy ra I là trung điểm của AC .
t 4 2t 3
Do đó: I
;
2
2
Tam giác BDN vuông tại N nên IN IB . Suy ra: IN IA
Do đó ta có phương trình:
t 4
2t 3
t 4 2t 3
5
4
4
8
t 1
2
2
2
2
2
2
2
2
Suy ra: C 1; 7
Do M đối xứng với B qua C nên CM CB . Mà CB AD và CM || AD nên tứ giác ACMD là hình bình
hành. Suy ra AC || DM . Theo giả thiết, BN DM , suy ra BN AC và CB CN . Vậy B là điểm đối xứng
của N qua AC
Đường thẳng AC có phương trình: 3 x y 4 0 .
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình: x 3 y 17 0
Do đó: B 3a 17; a
Trung điểm của BN thuộc AC nên:
3a 17 5 a 4
3
4 0 a 7
2
2
Vậy B 4; 7 .
220
