Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
[

Người thực hiện :
Chức vụ
:
Đơn vị công tác
:
SKKN thuộc lĩnh vực:

Nguyễn Văn Trào
Giáo viên
Trường THPT Hoằng Hoá 4
Môn Vật Lý

THANH HÓA NĂM 2013

I. ĐẶT VẤN ĐỀ


Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi... thường có
các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều
như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế... khi có sự biến thiên
của các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc  . Gặp những bài
toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương

pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng
đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương
pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới
thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương
pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa
chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu
quả cao nhất.

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1


Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch
điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị
thường gặp và có các phương pháp giải như sau:
DẠNG 1:

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R.

Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện
thế trong mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi,
trong đó U, L, C,  không đổi ( mạch điện như hình vẽ).
A

R

L

C

B

1.1. Tìm R để Imax =?
Lập biểu thức tính cường độ dòng điện: Theo định luật ôm

U
U

I=
Z
R 2  (Z L  Z c ) 2
do U = Const nên Imax khi Zmin khi đó R ->0 => Imax =

U
Z L  ZC

1.2. Tìm R để Pmax =?

U 2.R
U 2.R
Lập biểu thức công suất của mạch: P = I R =
 2
(1)
Z2
R  (Z L  Z c ) 2
2

- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:

P' = U

2

R

2

 ( Z L  Z C ) 2  2U 2 R 2

R

2

 (Z L  Z C ) 2 

2



U 2  (Z L  Z C ) 2  R 2 

R

2

 (Z L  Z C ) 2 

2

P' = 0 => R = /Z L - ZC/ khảo sát biến thiên của P theo R.
R

0

/ZL - ZC/

+

P'

+

0

-

P

0

Pmax

0

U2
U2

Ta thấy khi R = /ZL - ZC/ thì P = Pmax => Pmax =
2 Z L  Z C 2R

- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

2


(Z L  Z C )
U2
Từ (1) => P =
=> Rmax khi R +
2
(Z  ZC )
R
R L
R

2

min

(Z L  Z C ) 2
Do Rvà
là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có:
R
(Z L  Z C ) 2
R+
 2/ZL - ZC/. Dấu "=" xảy ra khi: R = /ZL - ZC/
R

U2
U2

Vậy với R = /ZL - ZC/ thì: Pmax =
.

2 Z L  Z C 2R
Nhận xét: Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất
đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương
pháp đạo hàm.
1.3. Tìm R để UR; UL; UC đạt giá trị cực đại?
a.Tìm R để URmax= ?
Lập biểu thức tính U R ta có: UR= I.R =

U.R
R 2  (Z L  Z C ) 2



U
(Z L  Z C ) 2
1
R2

=> URmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R ->  và URmax = U.
b.Tìm R để ULmax= ?
Lập biểu thức tính U L ta có: UL= I.ZL =

U . ZL
R  (Z L  ZC )2
2

U. ZL

| Z L  ZC |

=> ULmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và ULmax =
c. Tìm R để U Cmax= ?
Lập biểu thức tính U C ta có: UC = I.ZC =

U . ZC
R 2  (Z L  ZC )2

=> UCmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và UCmax =

U . ZC
| Z L  ZC |

Nhận xét: Do URmax = U nên không xãy ra trường hợp UR > U, còn ULmax và
UCmax có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.
1.4. Tìm R để URL, URC , ULC đạt cực đại:
a. Tìm R để URL đạt cực đại:
3


Ta có: URL = I.ZRL =

U R 2  Z L2
U
=> URL =
. Z RL 
Z
R 2  (Z L  ZC )

U
Z C2  2Z L Z C
1
R 2  Z L2

Để URLmax thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R ->  khi đó
URLmax = U.
b. Tìm R để URC đạt cực đại:
U R 2  Z C2
U
Ta có URC = I.ZRC = .Z RC  2
=
Z
R  (Z L  ZC )2

U
1

Z  2Z L Z C
R 2  Z C2
2
L

=> URCmax = U khi R -> 
c. Tìm R để ULC đạt cực đại:

U (Z L  Z C ) 2

Ta có ULC = I.ZLC =

R 2  (Z L  Z C ) 2

; ULcmax khi R -> 0 => ULCmax = U.

Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:
A

R

L

C

B

Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện uAB = 100 2 cos 100  t (V). Cho cuộn
dây thuần cảm có độ tự cảm L =

2
10 4
(H); tụ điện có điện dung C =
(F), R



thay đổi được.Tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại, tính Pmax=?
*Phương pháp đạo hàm:

U 2R
Ta có công suất P = I R = 2

;
R  (Z L  Z C ) 2
2

U = 100(v); ZL = 200(); ZC = 100()
=> P =

100 2 . R
100 2 ( R 2 100 2 ) 100 2 . 2R 2

P
'

( R)
R 2  100 2
( R 2 100 2 ) 2

=> P' = 0 => 1002 (1002 - R2) = 0 => R = 100().
Ta thấy khi R = 100() thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.

4


100 2.100 100
Do đó Pmax khi R = 100() và Pmax =
= 50(W)

100 2 100 2
2
* Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

100 2
100 2
 2.100
Ta có: P =
. Theo Côsi ta có: R +
100 2
R
R
R
Dấu "=" khi R2 = 1002 => R = 100() (loại nghiệm R = -100 <0 )
=> Pmax = 1002/1.200 = 50 (W).
Ví dụ 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:
A

R

R0, L

UAB = 100 2 cos 100  t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =

C

B

1 .4
(H) và điện trở


10 4
trong R0 = 30 (), tụ điện có điện dung C =
(F)

a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
Bài giải:
*Phương pháp dùng BĐT Côsi:

U 2 ( R  R0 )
a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I (R+R0) =
2
( R  R0 ) 2  Z L  Z C 
U2
U2

=> P =
Do U = Const nên Pmax khi Amin theo bất
(Z L  Z C ) 2
A
( R  R0 ) 
R  R0
(Z L  Z C ) 2
đẳng thức côsi ta có: A = (R + R0) +
 2 / ZL - ZC /
R  R0
=> Amin = 2 / ZL - ZC / = 2 (140 - 100) = 80().
2

Dấu "=" khi R + R0 = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 40() => R = 40 - R0 =

U2
1002
 125(W )
10() khi đó Pmax =
=
80
A min

5


Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần R 0 thì ta có thể đặt Rtđ= R + R0
rồi áp dụng BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi
Rtđ= R + R0 = / ZL - ZC / => R= / ZL - ZC /- R0. Nếu R0 > / ZL - ZC /
thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên
mạch đạt cực đại : Pmax =

U 2 .R0
.
R02  ( Z L  Z C ) 2

U2 R
b. Công suất tiêu thụ trên R: PR = I R =
Z2
2

=> PR =

U 2R
U 2R

( R  R0 ) 2  ( Z L  Z C ) 2 R 2  R02  ( Z L  Z C ) 2  2 RR0

U2
PR =
 R02  ( Z L  Z C ) 2
R
R


U2

A  2 R0


  2 R0

Do U, R0 không đổi nên PRmax khi Amin

R
Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R +

2
0

Dấu "=" khi R =

R02  ( Z L  Z C ) 2 =

 (Z L  Z C ) 2 
 2 R02  ( Z L  Z C ) 2
R

30 2  40 2 = 50 => Amin = 2R =

100
=> PRmax =

U2
U2
1002
1002



 62,5(W)
A min  2 R0 2( R  R0 ) 2(50  30) 160

DẠNG 2: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công
suất trong mạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại
lượng U, R, C,  không đổi. (mạch điện như hình vẽ)
A

R

L

C

B

2.1. Tìm L để Imax, Pmax = ?

U
U

.
2
2
Z
R  (Z L  Z c )
Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min.
a. Theo định luật ôm ta có: I =

Ta thấy mẫu số cực tiểu khi ZL - ZC = 0 => ZL = ZC => L =

1
 2C

6


=> Imax =

U
mạch xảy ra cộng hưởng điện.
R

b. Ta có: P = I2R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L =

1
 2C

U2
U2
.
R

R2
R
2.2. Tìm L để ULmax;URmax; Ucmax =?
a. Tìm L để URmax = ?
2
=> Pmax = I max
R=

Lập biểu thức tính U R ta có: UR= I.R =

U.R
R 2  (Z L  ZC )2

ta thấy URmax khi

1
=> URmax= U.
 2C
b. Tìm L để ULmax=?

*Phương pháp dùng đạo hàm:
U.ZL
U
Ta có: UL = I.ZL = . Z L =
= U. f (ZL) (1)
Z
R 2  (Z L  Z C ) 2
ZL
Với f (ZL) =
đạo hàm theo ZL rút gọn ta được:
R 2  (Z L  Z C ) 2
ZL = ZC => L =

f' (ZL) =

R 2  Z C2  Z L Z C

R

 (Z L  Z C ) 2 
R 2  Z C2
ta có f' (ZL) = 0 => ZL =
và đổi dấu từ dương sang âm.
ZC

=> fmax =

3 /2

2

R 2  Z C2
ZC
R Z

R 2  
 Z C 
 ZC

2

2
C

2



R 2  Z C2
R

; ULmax = U.fmax

* Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ:
Theo định lý hàm số sin ta có:

UL
U
U . sin 


U L 
Sin Sin
sin 

U . R 2  ZC2
=
R

 UL

U
0



UR

I


URC


UC

7


Ta thấy Sin  =

UR
R

U RC
R 2  Z C2

do R, C không đổi nên sin  không đổi.

Mặt khác do U không đổi nên UL cực đại khi sin = 1 = >  = /2.=>
U RC và U vuông pha với nhau.

=

=> ULmax

U . R 2  Z C2
R

Mặt khác ta có:

U
UL
 RC . Trong đó Sin =
Sin Sin

UC
U RC
2
2
2

R 2  Z C2
UL
U RC
U RC
Z RC
=>
mà Sin  = 1 => UL =
=> ZL =
=> ZL =

UC
UC
ZC
ZC
Sin

* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Từ (1) ta có: UL =

UL =

U.ZL
R 2  (Z L  Z C ) 2

U



U
f (Z L )

=

U
R 2 (Z L  Z C ) 2

Z 2L
Z L2
R 2  Z C2 2Z C
Với f(ZL) =

1
Z L2
ZL

R  Z 2 ZC

1
Z 2L
ZL
1
Đặt X =
= f(ZL) = f(x) = (R2 + Z C2 ) X2 - 2ZC X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức
ZL
Z
b
1
 2 C 2
bậc 2 có a = (R2 + Z C2 ) > 0 => f(x) min khi X = 2a R  Z C Z L
2

2
C

U R 2  Z C2
R 2  Z C2
R2
=> ZL =
=> f(ZL) min = 2
=> ULmax =
R
ZC
R  Z C2
c. Tìm L để UCmax = ?
Lập biểu thức tính U C ta có: UC= I.ZC =
ZL = ZC => L =

U . ZC
R 2  (Z L  ZC )2

ta thấy UCmax khi

1
U .Z C
U

=>
Cm
ax
R

 2C

2.3. Tìm L để URLmax; URcmax; ULcmax =?.
a. Tìm L để URLmax =? . Theo định luật ôm ta có: URL = I. ZRL =

U
ZRL
Z
8


=> URL =

U R 2  Z L2
R 2 (Z L  Z C ) 2

Trong đó: f(ZL) =

U

=

1

Z C2  2Z L Z C
R 2  Z 2L



U

1 f (Z L )

Z C2  2Z L Z C
(1) đạo hàm theo ZL.
R 2  Z 2L

 2Z C ( R 2  Z 2L )  2Z L (Z C2  2Z L Z C )
Ta có: f'(ZL) =
(R 2  Z 2L ) 2
ta có  = Z C2 + 4R2 > 0

f' (ZL) = 0 => Z 2L - ZLZC - R2 = 0

Z C  Z C2  4R 2
=> ZL1 =
(loại nghiệm âm) f' (ZL) triệt tiêu và đổi dấu từ âm
2
Z C  Z C2  4R 2
sang dương nên f (ZL1) min khi ZL1 =
2
U
khi đó URLmax =
với f (ZL1) theo (1) hoặc có thể thay ZL1
1 f ( Z L1 ) min
U R 2  Z L21

vừa tìm được ta có URLmax =

R 2 ( Z L1  Z C ) 2

b. Tìm L để URCmax= ?
Ta có : URC =

U . R 2  Z C2
R 2  (Z L  ZC )2

=> URCmax =

=> URCmax khi ZL = ZC => L =

1
 2C

U . R 2  Z C2
R

c. Tìm L để ULCmax= ?
Ta có: ULC =

U (Z L  Z C ) 2
R (Z L  Z C )
2

2



U
R2
1

(Z L  Z C ) 2

ULCmax khi ZL ->  => L - => ULCmax = U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó UAB = 200 2 sin 100  t (V)
A

R

C

L

B

V

9


10 4
Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; RV = ; R = 50 (); C =
(F)

a. Khi L = L1 thì P = Pmax. Tìm L1 và Pmax ?
b. Khi L = L2 thì Uvmax. Tìm L2 và Uvmax?
Bài giải:
a. Ta có: P = I2R =

U 2R
Do U, R = Const

2
R 2  Z L  Z C 

=> Pmax khi ZL1 = ZC = 100() => ZL1 = 100() => L1 =

1
(H)


U 2 (100 2 ) 2 2.100 2
=> Pmax =
= 400(w)


R
50
50
U .Z L
b. Ta có UV = UL = I.ZL =
R 2  (Z L  Z C ) 2

U
UL =

R 2  Z C2 

2.Z C
1
ZL



U
f (Z L )

f(ZL) = f(x) = (R2 + R C2 ) x2 - 2ZC.x + 1 .
Ta có : a = R2 + Z C2 > 0 => f(x) min khi x = 

b
2a

ZC
R 2  Z C2 50 2 100 2
1
1,25
=>
 2
 Z L 2 

125 ()  L2 
(H )
2
Z L2 R  ZC
ZC
100

=> UVmax =

100. 2.125
50  (125 100)

2

2



100. 2.125
100 10 (V )
25. 5

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó UAB = 200 2 sin 100  t (v)
A

M
L

N
R

B
C

10 3
Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (); C =
(F )
2
a. Tìm L = L1 để UANmax ?
b. Tìm L = L2 để UMBmax ?

10

Bài giải:

U . R 2  Z L2
U .Z RL
a. Ta có UAN = URL =

Z
R 2  (Z L  Z C ) 2
UAN =

U
Z L2  2Z L Z C
1
R 2  Z L2



U
=> UANmax khi fmin. Theo mục (d)
1 f ( Z L )

Z C  Z C2  4 R 2 20  20 2  4.24 2
=> f(ZL) min khi ZL1 =

 36 ()
2
2
Z C2  2Z L Z C  1040

loại nghiệm âm.=> fmin =

R 2  Z L21
1872
=> UANmax =

U

1  f ( Z L ) min

Hoặc UANmax = URLmax =

b. Ta có: UMB = I.ZMB = I

120
1872
120
120 2, 25  180(V )
832
1040
1
1872

U . R 2  Z L21
R 2  ( Z L1  Z C ) 2



120. 242  362
242  (36  20) 2

 180(V )

U . R 2  Z C2
U . R 2  Z C2
=
R Z 
Z
R 2  (Z L  Z C ) 2
2

2
C

UMBmax khi Zmin => ZL2 = ZC = 20() => L2 =

0,2
(H )


Z C2
20 2
=> UMBmax = U 1 2 120 1 2 = 156,2(V)
R
24
DẠNG 3: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO C.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện
thế trong mạch R, L, C mắc nối tiếp khi C thay đổi còn U, R, L,  không
đổi ( mạch điện như hình vẽ)
A

R

L

C

B

3.1. Tìm C để Imax; Pmax=?
a. Tìm C để Imax=?
Ta có: I =

U
U
U

=>
I
=
max
Z
R
R 2  (Z L  Z c ) 2

11


Khi ZL = ZC = > C =

1

=> trong mạch xảy ra cộng hưởng điện.

 02 L

b. Tìm C để Pmax=?

U2
1
Ta có công suất tiêu thụ P = I .R => Pmax = I max.R. =
khi C = 2
R
0L
2

2

3.2. Tìm C để U Rmax ;ULmax; UCmax =?
a. Tìm C để URmax = ?
Lập biểu thức tính U R ta có: UR= I.R =
ZL = ZC => C =

1

U.R
R  (Z L  ZC )2
2

ta thấy URmax khi

=> URmax= U.

 2L

b. Tìm C để ULmax = ?
Lập biểu thức tính U L ta có: UL= I.ZL =
ZL = ZC => C =

1

=> U Lmax 

 L
2

U . ZL
R 2  (Z L  ZC )2

ta thấy ULmax khi

U .Z L
R

c. Tìm C để UCmax =?
*Phương pháp dùng đạo hàm.
Ta có UC = I.ZC =
f'(Zc) =

UZ C

R 2  (Z L  Z c ) 2

R 2  Z L2  2Z L Z C  Z C Z L

R

2

 (Z L  Z C ) 2 

3/2



ZC

= U. f (c); Đặt f(Zc) =

R 2  (Z L  Z c ) 2

R 2  Z L2  Z L Z C

R

2

 (Z L  Z C ) 2 

3 /2

R 2  Z L2
f’ (Zc) = 0 => ZC1 =
=> f’(Zc) triệt tiêu tại ZC và đổi dấu từ dương sang
R
âm nên đạt cực đại tại Z c => f(ZCmax) =
UCmax = U .

R 2  Z L2
=> UCmax = U. f(ZCmax)
R

R 2  Z L2
R 2  Z L2
khi Zc =
R
ZL

* Phương pháp hình học:
Vẽ giản đồ véc tơ:
Theo định lý hàm số sin ta có:

UC
U
U .sin 

U C 
Sin Sin
sin 

 UL

URL
0

UR



U

I


UC

12


Mà Sin  =

=> UCmax

UR
R
= Const

U RL
R 2  Z L2

U . R 2  Z L2

khi Sin  = 1 => B = /2 => UCmax =
R

Mặt khác ta có:

U
U RL
UC
U 2 . Sin
; sin = L => UC = RL

UL
U RL
Sin 
Sin

L
R  ZL
U2
mà Sin  = 1 => UC = RL => ZC =
=> C = 2
UL
R   2 L2
ZL
2

2

* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Ta có : UC = I.ZC =

R 2  (Z L  Z C ) 2

=

U
R 2  Z 2L 2Z 2L

1
Z C2
ZC

R 2  Z L2 2 Z L
U
=> Ucmax khi f (Zc) min => f (Zc) =

1
ZC2
ZC
f (Z C )

UC =
Đặt X =

1
=> f(x) = (R2 + Z 2L ) X2 - 2ZL X + 1 Ta có: a = R2 + Z 2L > 0
ZC

=> f(x) min khi X = ZC =

U .ZC

Z
b
1
 2 L 2 =>
=>
2a
ZC Z L  R

L
R 2  Z L2
=> C = 2
R   2 L2
ZL

R2
=>fmin = 2
=> UCmax =
R  Z L2

U R 2  Z L2
U
=> UCmax =
R
f min

3.3. Tìm C để URCmax; URLmax; ULCmax=?
a. Tìm C để URLmax= ?
Ta có : URL = I.ZRL =

=> URLmax =

U . R 2  Z L2
R 2  (Z L  ZC )2

=> URLmax khi ZL = ZC => C =

1

 2L

U . R 2  Z L2
R

b. Tìm C để URCmax=?

13


T acó: URC = I. ZRC =

U R 2  Z C2
R  (Z L  Z C )
2

2

U

=

1

Z  2Z L Z C
R 2  ZC
2
L



U
1 f ( Z C )

Z L2  2Z L Z C
Đặt f(ZC) =
(1) để URCmax thì f (ZC) min.
R 2  ZC2
 2Z L ( R 2  ZC2 )  2Z C ( Z L2  2Z L Z C )
Ta có: f'(ZC) =
(R 2  ZC2 ) 2
 2Z L R 2  2Z L Z C  Z L Z C2  4Z L Z C
2Z L  (Z C2  Z L Z C  R 2 )
f'(ZC) =

(R 2  ZC2 ) 2
(R 2  ZC2 ) 2
f'(ZC) = 0 => Z C2 - ZLZC - R2 = 0

Z L  Z L2  4 R 2
ZC1 =

(loại nghiệm ZC2 < 0) Ta thấy f' (x) triệt tiêu và đổi dấu
2
từ âm sang dương nên f (ZC) min tại ZC1.
=> URCmax =
Hoặc URCmax =

U
1 f ( Z C ) min

với f (ZC) theo (1)

U R 2  Z C21
R 2  ( Z L  Z C1 ) 2

c. Tìm C để ULCmax:
Ta có ULC = I. ZLC =

U (Z L  Z C ) 2
R (Z L  Z C )
2

2



U
R2
1
(Z L  Z C ) 2

Ta thấy để ULCmax khi

R2
-> 0 => ZC ->  => C -> 0 .Vậy khi C -> 0 Khi đó ULCmax =
(Z L  ZC )2
U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ. C thay đổi
A

R

L

C

B

Có : u=120 2 sin 100  t(V); R =240() cuộn dây thuần cảm có L=

3,2
(H)


a. Tìm C để I, P cực đại. Tính Imax, Pmax= ?
14


b. Tìm C để UCmax. Tính UCmax ?
Bài giải:
a. *Ta có: I =

=> C =

U
=> Imax khi Zmin => ZL = ZC=> ZC = 320
Z

U 120
1
 0,5 ( A)
.10 4 ( F ) => Imax = 
R 240
3,2 

* Công suất tiêu thụ: P = I2. R => Pmax = I2max .R = 0,52 . 240 = 60 (W)
Kết luận: Vậy C =
b.

1
.10 4 ( F ) thì Imax = 0,5(A); Pmax = 60(W)
3,2 
U .Z C

Ta có : UC = I.ZC =

UCmax =
=> C =

R 2  (Z L  Z C ) 2

theo lý thuyết ta có:

R 2  Z L2
R 2  Z L2 240 2  320 2
khi ZC =
=
= 320 + 180 = 500()
320
R
ZL
1
.10  4 (F) khi đó UCmax = 200(V).
5

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Trong đó UAB = 60 2 sin 100  t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi
A

R

C

L

Điện trở R = 10 3 () ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =

B

1
(H )
5

a. Tìm C để URCmax .Tìm URCmax = ?
b. Tìm C để ULCmax, URLmax = ?
Bài giải:
a.URC = I.ZRC =
URCmax=

U . R 2  Z C2
R 2  (Z L  Z C ) 2

Theo bài toán tổng quát:

U
1 f ( Z C ) min

15


Z L  Z L2  4 R 2
20  20 2  4.3.10 2 20  40


 30 ()
Khi ZC1 =
2
2
2
4 12  8  2
Z L2  2Z L Z C 20 2  2.20.30



=> f(ZC) min =
=> f(ZC) min =

2
2
2
2
12
12 3
R  ZC
3.10  30
> URCmax =

U
2
1
3

U R 2  Z C21

hoặc URCmax =
b.* ULC =

 U . 3  60 3 (V )

=

R 2  ( Z L  Z C1 ) 2

U . (Z L  Z C ) 2
R  (Z L  Z C )
2

2

60 3.102  302
3.102  (20  30)2

U



R2
1
(Z L  Z C ) 2

 60 3(V )

; ULCmax = U = 60(V) khi

C->0
* Ta có: URLmax =

U . ( R 2  Z L2 ) 2
R 2  (Z L  Z C ) 2

; URLmax =

U

R 2  Z L2
R

1
1
10 4

(F )
Khi ZC = ZL = 20() => C =
=
.Z C 100  .20 0,2 
khi đó URLmax =

60
10 3

3.10 2  20 2 = 2 3.10 3  4  20. 21 (V )

DẠNG 4: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO 
Tìm các giá trị cực trị của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế
trong mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp khi tần số góc thay đổi , các
đại lượng U, R, L, C không đổi .
1. Tìm  để Imax =? Imin = ? Pmax =?Pmin=?
a. Tìm  để Imax =? Imin = ?
* Ta có I =

U

1 


R   L 
 .C 

2

2

Imax khi  L -

1
1
 0   
;
C
LC

U
mạch có cộng hưởng điện
R
1 2
)        0 hoặc  -> 
* Tìm  để Imin: Imin khi (L C
Imax =

16


=> Imin = 0
b.Tìm  để Pmax =?Pmin=?

U2
1
* Công suất tiêu thụ P = I .R => Pmax = I max.R =
khi  
R
LC
2

2

   0
* Pmin = 0 khi Imin = 0 => 
   
2. Tìm  để URmax, URmin

UR

Ta có: UR = IR =

R 2  (Z L  Z C ) 2

* URmin = 0 khi (ZL - ZC)2max ->  => /L -

   0
1
/     
C
   

* URmax => (ZL - ZC)2 = 0 => ZL - ZC => 0 =

1
=> URmax = U
LC

3. Tìm  để UCmax, UCmin:

U .Z C

* Ta có: UC = I.ZC =

R 2  (Z L  Z C ) 2

U .Z C

* Mặt khác: UC =

R 2  Z L2  2
UC =

L
 Z C2
C

U
L C .  (2 LC  R C ) . 1
2

2

4

2

2

Ta có UCmin = 0 khi ZC = 0 =>  -> 
=

U
 2L
 1
 R2  2 2
C
 C

 2 L2  

=

.

1

 2C 2

U
; UCmax khi f () min:
f ( )

f() = L2C24 - (2LC - R2C2) 2 + 1 (1) Có a = L2C2 > 0

 b 2 LC  R 2 C 2
1 2 L  R 2C
=> f() min khi  =
=
=> 1 =
2 L2 C 2
L
2C
2a
2

2L
1 L R2
với ĐK
> R2

C
L C 2
U
Khi đó: UCmax =
với f() min xác định theo (1)
f ( ) min
4. Tìm  để ULmin ULmax = ?
=

Ta có: UL = I.ZL =

U .Z L

R 2  (Z L  Z C ) 2

=

U .Z L
2L
R 2  Z C2   Z L2
C
17


* ULmin = 0 khi ZL = 0 =>  = 0
U .Z L
U
* UL =
=
 2L

1
 2 R2
Z C2    R 2   Z L2



L2 C 2 . 4  LC L2
 C


=

U
;
f ( )

 1
 2 1

1
 2 R2  1
ULmax khi f () min. Ta có f() = 2 2 4  

 1 (1)
L C .  LC L2   2
 2 R2 
 LC  L2 
1
b
1
Ta có a = 2 2 > 0 => f() min khi 2 = 
=

1 

2a 
LC
2.
 L2 C 2 
1
R 2C 2
 2 R 2  L2 C 2

1
2C
=> 2 = 
=> 2 =
 2 .
 LC 
C 2 L  R 2C

2
 LC L  2
2L
U
 R 2 => ULmax =
với điều kiện:
với f() min xác định theo (1)
C
f ( ) min
Nhận xét: Ta thấy khi  thay đổi nếu URmax khi  = 0 ;ULmax khi  = 1
UCmax khi  = 2 ta luôn có 1. 2 = 02
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp.
U = 100 3 sin  thay đổi. R = 100(); C =

1



.10  4 (F); L =

1



(H).

a. Xác định  để Imax , Pmax = ?
b. Xác định  để URmax , ULmax, UCmax = ?
Bài giải:
a. I =

U
=
Z

=> 0 =

U
R 2  (Z L  Z C ) 2

1
1

100 (rad/s). Khi đó Pmax = I2max.R;
4
LC
1 10
.



Imax =

để Imax => ZL = ZC



U 100 . 3

 1,5 (A) => Pmax = 1,5 . 100 = 150 (W).
R 100 . 2

18


b. * URmax = U =

100 . 3
 50 6 (v) khi ZL = ZC => 0 =
2

1
 100
LC

(rad/s)
* UC =
1 =

U .ZC

theo bài toán tổng quát UCmax khi:

R 2  (Z L  Z C ) 2

1 1 R2
.

 .
L C 2



1
100 2 100 2


 50 . 2 (rad/s)
10 4
2
2



4

10
200

100 2 () ; ZL1 = 1L = 50. 2 .  50. 2 ()
50 2
2

U . Z C1
50 6.100 2 50.200 3 200
=



100 2 (v)
50 6
2
R 2  ( Z L1  Z C1 ) 2
100 2  50.2

Khi đó: ZC1 =
=> UCmax
*

ULmax

2

2 LC  R 2 C 2
Ta có ZC2 = 1 
2C
Khi đó: ULmax =

2
2.

2

khi:

1 10

4

 

100

1
100 2

10 4

4 2
)
2 (10

=

 100 2 . (rad/s)

2

 50 2 (); ZL2 = 2.L 100 2()



U .Z L2

R 2  (Z L 2  Z C 2 ) 2



50 6.100 2
100 2  50.2

100 2 (V)

Nhận xét:
1. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của dòng điện xoay
chiều là khảo sát hàm số: I(R); I(C); I(L); I(), dự vào biểu thức của định luật
ôm. Quá trình giải có thể tổng kết theo sơ đồ sau:
Định hướng

Áp dụng

lập mối

định luật ôm

tương quan

lập biểu thức

Khảo sát
sự phụ thuộc

Nhận xét và
lựa chọn kết

quả

2. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của hiệu điện thế
theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

19


Phân tích
bài toán

Lựa chọn
Dùng định luật

phương pháp:

Nhận xét và

ôm để lập

đạo, hàm, hình

lựa chọn kết

biểu thức

học, côsin, tam

quả đúng

xác định mối
tương quan

thức

3. Phương pháp chung để giải bài tập xét cực trị của công suất và hệ số công
suất theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:
Xác định
mối
tương
quan

Lựa chọn

Xét cực trị

Lập hệ

phương

theo

Nhận xét và

thức liên

pháp giải

phương

lựa chọn kết

hệ

(đạo hàm, cô

pháp đã

quả

sin...)

lựa chọn

III- KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trong đề tài này với khả năng có hạn và thời gian không cho phép, tôi
chỉ mạnh dạn trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị và một số
ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp mà qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi
giới thiệu cho học sinh các em tự tin hơn, có định hướng và lựa chọn chính
xác phương pháp thích hợp để giải các bài toán cực trị trong mạch điện xoay
chiều, áp dụng tốt cả khi thi tự luận hoặc thi trắc nghiệm.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế
nên tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong
được sự nhận xét và góp ý chân thành của các đồng chí đồng nghiệp và các
em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

20


Nguyễn Văn Trào

MỤC LỤC
Trang
I. Đặt vấn đề

1

II. Giải quyết vấn đề
- Dạng 1: Bài toán biện luận theo R

2

- Dạng 2: Bài toán biện luận theo L

6

- Dạng 3: Bài toán biện luận theo C

11

- Dạng 4: Bài toán biện luận theo 

16

III.Kết luận và đề xuất

20

PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. 200 bài toán điện xoay chiều (Vũ Thanh Khiết).
2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT tập 3 (Vũ Thanh Khiết).
3. Giải toán Vật lý 12 tập 2 (Bùi Quang Hân).
4. Một số phương pháp giải các bài toán vật lý sơ cấp (Vũ Thanh Khiết).
5. Phương pháp giải toán điện xoay chiều (Trịnh Quốc Thông).
6. Phân loại & Phương pháp giải nhanh Vật Lý 12 ( Lê Văn Thành).
7. Các đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi các năm gần đây.

21