khai thác bài toán

Chuyên đề
Khai thác bài toán
A. Lý do viết chuyên đề
Trong chơng trình toán THCS có một số dạng toán hay mà ta hay gặp đó là tính
tổng của dãy số tự nhiên viết theo một quy luật nào đó. Để giải các bài toán dạng này
thông thờng ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta đợc
một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính đợc hoặc làm xuất hiện các dẫy số mà ta dễ dàng
tính đợc. Nhng biến đổi nh thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ
dàng tính đợc lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Đó chính là lí do
mà tôi viết chuyên đề này.
B. Nội dung chuyên đề
I) Bài toán mở đầu và một số dẫy số đơn giản :
1) Bài toán 1. Tính :
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100
Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách
một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c
Giải:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100. (101 - 98)
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 99.100.101 - 98.99.100
= 99.100.101


A = 33.100.101
2) Một số dãy số dễ dàng tính đ ợc
1 + 2 + 3 + + n
a + (a + k) + (a + 2k) + + (a + nk) k là hằng số
II) Khai thác bài toán 1
Trong bài toán 1 . Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau
1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2.
Bài toán 2 . Tính :

A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99
Giải
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101


1 97.33.101
A
2
+
=
Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (a = 3) . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6
(a = 6). Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần
khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử.
3kn(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k)n(n + k)
Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3
Bài toán 3 :
Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 99.99.100
Giải :
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 98.99.100.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + + 98.99.100(101 - 97)
= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 -
97.98.99.100
= 98.99.100.101


A = 98.99.25.101

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán.
Bài toán 4 : Tính :
A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99
Giải :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 -
93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101



15 95.97 99.101
A
8
+ +
=
Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A với 8
(bốn lần khoảng cách). Nh vậy để giải bài toán dạng
n
n 1
n(n k)(n 2k)
=
+ +

ta nhân với 4k (4
lần khoảng cách) sau đó tách
4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k)
Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán.
Bài toán 5 : Tính

A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100
Giải
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99
= (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99)
Dễ dàng tính đợc A
Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số
trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc. Làm
tơng tự với các bài toán.
Bài toán 6 : Tính
A = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ + 100
2
Giải :
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + + 100(99 + 1)
= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + + 99.100 + 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 100)
Dễ dàng tính đợc A
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán.
Bài toán 7: Tính
A = 1
2
+ 3

2
+ 5
2
+ + 99
2
Giải :
A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97)
= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99
= 1 + 2(3 + 5 + 7 + + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99)
Dễ dàng tính tiếp đợc A
Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng : (n - a)
ì
((n + a) = n
2
- a
2

n
2
= (n - a)(n + a) + a
2
a là khoảng cách giữa các cơ số
Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán
Bài toán 8 : Tính
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3

+ + 100
3
Giải
Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) = n
3
- n


n
3
= n + (n - 1)n(n + 1)

A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + + 100 + 99.100.101
= (1 + 2 + 3 + + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101)
Dễ dàng tính tiếp đợc A
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán .
Bài toán 9: Tính
A = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ + 99
3
Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n
3
- 4n

n

3
= (n - 2)n(n + 2) + 4n

A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + + 97.99.101 + 4.99
= 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + + 99)
Dễ dàng tính tiếp đợc A
Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a)=n
3
- a
2
n
ở bài toán 8, 9 ta có thể làm nh bài toán 6, 7
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có
Bài toán 10: Tính
A = 1.2
2
+ 2.3
2
+ 3.4
2
+ + 99.100
2
Giải :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100
= (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100)
Dễ dàng tính tiếp đợc A
Với cách khai thác nh trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành
rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng
tạo.

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số
hạng tổng quát theo quy luật của dãy.
Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:
1. Tính A = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51
2. Tính A = 1.3
3
+ 3.5
3
+ 5.7
3
+ + 97.99
3
3. Tính A = 1.99
2
+ 2.98
2
+ 3.97
2
+ + 49.51
2
III. Bài dạy minh hoạ
Khai thác bài toán
A. Mục tiêu :
Sau khi học xong bài này học sinh biết :
- Biến đổi biẻu thức tính tổng các số tự nhiên viết theo quy luật làm xuất hiện
các số hạng đối nhau trong dãy hoặc làm xuất hiện các dãy số dễ dàng tính đợc.
- Phát triển một bài toán thành nhiều bài toán với cách giải tơng tự nhau.
- Rèn tính cẩn thận, chính xác.
B. Chuẩn bị :
Bài toán : Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

Các dãy số cách đều.
C. Hoạt động trên lớp :
I/ Tổ chức
II/ Kiểm tra bài cũ
Tính : A = 2 + 4 + 6 + 8 + + 100
III/ Bài mới
Hoạt động của thày Hoạt động của trò
Ghi bảng
HĐ1
? Tính A
? Để tính A ta làm thế nào
? Trình bày bài làm trên
bảng
? Nhận xét
? Thay đổi khoảng cách giữa
các thừa số trong một số hạng
ta có bài toán.
HĐ2
? Tính A
? Để xuất hiện các hạng tử
đối nhau ta làm thế nào
Làm bài
? ở bài toán 1, 2 để tính A ta
nhân với 3,6 làm thế nào để
tình đợc số nhân.
? Viết dới dạng hiệu
3kn(n + k)=?
? Thay đổi số các thừa số
trong 1 tích ta có bài toán mới
là gì? thay đổi khoảng cách?

Để giải bài toán trên ta làm
thế nào?
?Viết số hạng tổng quát
nhân, tách.
* Thay đổi sự kế tiếp lặp ở
các số hạng ta có bài toán 3.
HĐ 3
? Tính A
? Nêu hớng làm bài
? ở bài này ta đã làm nh thế
nào.
? Lặp lại chính thừa số trong
tích ta có bài toán mới nh thế
nào.
HS làm nháp
Nhân A với 3 sau đó tách
thừa số 3.
1 HS trình bày bài làm trên
bảng.
Nhận xét
1 HS lấy ví dụ về 1 bài toán
sau khi thay đổi.
HS làm nháp
Nhân với 6 sau đó tách thừa
số 6.
1 HS trình bày kết quả trên
bảng.
Nhân với 3 lần khoảng cách
giữa các thừa số.
n(n + k)(n + 2k) - (n - k)n(n + k)

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +
1.3.5 + 3.5.7 +
Nhân với 4 lần khoảng cách
sau đó tách thừa số nhân
n(n + k)(n + 2k)
4n(n + k)(n + 2k)=n(n + k)(n +
2k)(n + 3k) - (n - k)n(n + k)(n +
2k).
Học sinh làm nháp
Tách 2 = 3 - 1 ; 4 = 5 - 1
1 HS trình bày bài trên bảng
làm xuất hiện các dãy số dễ dàng
tính đợc.
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+
Bài toán 1 :Tính
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100
Giải :
3A = 1.2.3+2.3.3+3.4.3 + + 99.100.3
= 1.2.3 + 2.3(4-1) + 3.4(5-2)++99.100.(101-98)
=1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 +
+ 99.100.101 - 98.99.100
=99.100.101

A = 33.100.101

Bài toán 2. Tính
A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99
Giải
6A = 1.3.6 +3.5.6+ 5.7.6+ + 97.99.6
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3)
+ + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 -
3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 -
3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
=3 + 97.99.101


3 97.99.101
A
6
+
=
Bài toán 3. Tính
A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100
Giải :
A = 1(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +
+ 99.(101 - 1)
= (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1
+ 3 + + 99)
Dễ dàng tính tiếp đợc A