Biện luận số nghiệm PT tham số bằng nhiều cách giải

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỈ VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI.
Hầu hết các bài toán biện luận nghiệm phương trình đều có thể giải được bằng phương pháp đạo
hàm( phương pháp tập giá trị của hàm), và nếu có thể ta đưa về xét sự tương giao của 2 đường cong( hình
học giải tích), hoặc phương pháp lượng giác.
Ví dụ1
Cho phương trình
1 8 (1 )(8 ) (*)x x x x m+ + − + + − =
. Định các giá trị m để phương trình có 2
nghiệm phân biệt.
Giải.
Cách1 Đặt u= , v= , u≥ 0 , v≥ 0. Ta có hệ
2 2
, 0 (1)
9(2)
(3)
1
u v
u v
m u
v
u
ì
ï
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï

+ =
í
ï
ï
-
ï
ï
=
ï
ï
+
ï
î
. Xét hệ trục Ouv, vẽ đường tròn (2) và đồ thị
hàm (3) là một hypebol. (*) có 2 nghiệm phân biệt khi (2) và (3) có 2 giao điểm phân biệt.
Nhận xét: m≤ 0 phương trình vô nghiệm.
Khi m>0 (3) cắt Ou, Ov tại hoành độ m,
tung độ m.
Có một giá trị m
o
cho đồ thị (3) tiếp xúc
đường tròn (2) tại I, ta tìm tọa độ I và m
o
I là giao điểm của đường thẳng y=x và đư
ơng tròn (2). Vậy: u
I
= v
I
= 3/ , thế vào
(3) tìm được m

o
= + .
Vậy để thỏa điều kiện đề thì 3≤ m≤ +
Cách2 Dùng phương pháp khảo sát hàm
số. Xét hàm

1 8 (1 )(8 )y x x x x= + + − + + −


Tập xác định D=
1;8
é ù
-
ë û
Đạo hàm y’=
8 1 2 7
2 1 8
x x x
x x
- - + - -
+ -

y’=0⇔ - =2x-7. Bình phương 2 vế cho phương trình hệ quả = -2x+14x-20 cuối cùng tìm được x=
(thỏa phương trình xuất phát).
Lập bảng biến thiên:
x -1 8
y’ 0
y +
3 3
Vây để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm y trên đây cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm phân

biệt, vậy 3≤ m≤ + .3≤ m≤ + .
Cách3 Phương pháp lượng giác.
-5 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
u
v
(3)
(2)
Điều kiện: -1≤ x≤ 8 ⇔ - ≤ x- ≤ . Đặt x- = cos2α với 0 ≤ 2α ≤ π tức là 0 ≤ α ≤ . suy ra x+1=
+ cos2α và 8-x= - cos2α. Vậy phương trình (*): cosα + sinα + 3cosαsinα = .
Đặt u= cosα + sinα = sin(α+ ) , vì ≤ α+ ≤ nên 1≤ u≤ , và được phương trình:
3u +2u-3= . Lập bảng: α 0
α+
u
1 1

y= 3u +2u-3 3+2
2 2
Theo bảng trên: để yhoar điều kiện đề thì: 2 ≤ < 3+2 .
Điều kiện này ta tìm được α
1
≠ α
2

và dương thuộc
0;
2
p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
. Sử dụng công thức cos2α = 2 cos α - 1. Dẫn đến
cos2α
1
≠ cos2α
2
. Tức là x
1
≠ x
2
; phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2 Định các giá trị của m để phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt:
x+ = m
Giải
Cách1 Phương pháp giao 2 đường cong.
Đặt u=x , v= ; v≥ 0. Phương trình tương đương với hệ sau:
2 2
1 , 0 (1)
(2)
u v v
v m u
ì
ï

+ = ³
ï
í
ï
= -
ï
î
Điều kiện đề thỏa khi các đường (1) và (2) có 2 điểm chung phân biệt. Chú ý (1) là nửađường tròn cố định
tâm O bán kính bằng 1, nằm phía trên Ou; (2) là đường thẳng thay đổi và luôn song song với đường thẳng
v = -u, cắt Ov tại tung độ m. Cho m thay đổi, nhận xét rằng (1) và (2) có 2 giao điểm phân biệt khi
0
1 m m<£
; với m
0
là tung độ giao điểm của ∆
2
với Ov ( ∆
2
là một vị trí của đường (2) tiếp xúc với đường
(1). ) Dễ dàng tính được m
0
= . Vậy
1 2m£ £
.
Cách2 Phương pháp khảo sát hàm số.
Xét hàm số:
2
1 ( 1 1)y x x x= + - - ££
2
2

1
'
1
x x
y
x
- -
=
-
, -1<x<1
y’= 0 ⇔ = x (
0x ³
) ⇔ x= .
Bảng biến thiên:
x -1 1 Để thỏa đề bài toán đồ thị hàm trên phải cắt
y’ + 0 - đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt. Vậy:
y
1 2m <£
-1 1
Cách3: Phương pháp lượng giác.
Đặt x=cosα ,
0 x
p
£ £
. Ta đưa về phương trình cosα+sinα=m ⇔ sin(α+ ) = . Xét sự biến thiên của hàm
y = sin(α+ ): ta có y’= cos(α+ ) ; y’= 0 ⇔ x = . Bảng biến thiên:
α 0 π
cos(α+ ) + 0
-
sin( α+ ) 1

u
v
1
1
D
(1)
(2)
-

Phương trình phải có 2 nghiệm α
1
và α
2
phân biệt; chỉ khi ≤ <1 ⇔ 1≤ m< .
( α
1
≠ α
2
thuộc [0;π ] suy ra x
1
= cosα
1
≠ x
2
= cosα
2
: thỏa đề )