Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng kể đến hiệu ứng p ∆ bằng phương pháp tích phân trực tiếp dạng sai phân

i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

VIỆN CƠ HỌC

TRẦN THANH HẢI

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG PHẲNG
KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG P- BẰNG PHƢƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP DẠNG SAI PHÂN
Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đào Nhƣ Mai

Hà Nội – 2008

MỤC LỤC
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


ii

MỤC LỤC .............................................................................................................. i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT....................................... iv
DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ............................................................. vii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chương 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 4
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học .................................. 4
1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục ..................................................... 6
1.3 Hiệu ứng P-Delta..................................................................................... 7
Kết luận chương 1: ........................................................................................ 9
Chương 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ ................................................ 10
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến ................................................................... 10
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ ............................. 10
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) ... 13

2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0)Error! Bookma
2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của
biến dạng trượt. ........................... Error! Bookmark not defined.
2.1.5 Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ
địa phương và hệ tọa độ tổng thể Error! Bookmark not defined.
2.2. Ma trận khối lượng............................... Error! Bookmark not defined.
Kết luận chương 2 ....................................... Error! Bookmark not defined.

Chương 3. THUẬT TOÁN NEWMARK DẠNG SAI PHÂN SỬ DỤNG
TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌCError! Bookmark not defined.
3.1 Phương pháp Newmark ......................... Error! Bookmark not defined.

3.1.1. Giới thiệu chung về phương pháp Newmark họ Error! Bookmark not de
3.1.2. Phương pháp Newmark dạng sai phân (gia số tăng)Error! Bookmark not

3.1.3. Sơ đồ thuật toán Newmark ( = 1/4 và  = 1/2) và bỏ qua
hệ số cản...................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.4 Lựa chọn bước tích phân............ Error! Bookmark not defined.
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


iii

3.2 Phương pháp lặp Newton-Raphson ...... Error! Bookmark not defined.
3.2.1. Cơ sở chung .............................. Error! Bookmark not defined.
3.2.2. Trường hợp không có cản, lực ngoài không phụ thuộc vào
chuyển vị ..................................... Error! Bookmark not defined.
3.2.3. Nhận xét chung ......................... Error! Bookmark not defined.
3.2.4. Tiêu chuẩn hội tụ ...................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Qui trình và chương trình tính toán....... Error! Bookmark not defined.
3.3.1. Phương pháp sai phân ............... Error! Bookmark not defined.
3.3.2. Phương pháp lặp ....................... Error! Bookmark not defined.
Kết luận chương 3 ....................................... Error! Bookmark not defined.
Chương 4 - KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN ............ Error! Bookmark not defined.
4.1 Ví dụ cột thẳng ...................................... Error! Bookmark not defined.
4.2. Ví dụ phân tích động chân đế của giàn tự nângError! Bookmark not defined.
4.2.1. Mô hình kết cấu ........................ Error! Bookmark not defined.
4.2.2. Tải trọng sóng ........................... Error! Bookmark not defined.
4.2.3. Kết quả phân tích ...................... Error! Bookmark not defined.
Kết luận chương 4 ....................................... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................. Error! Bookmark not defined.
Danh mục công trình của tác giả................. Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 15

PHỤ LỤC ............................................................ Error! Bookmark not defined.
PL1. Một số hàm của Matlab ...................... Error! Bookmark not defined.

PL2. Một số hàm của Maple 7 – tính biểu thức ở dạng chữ symbolicError! Bookmark
PL3 Kết quả tính toán cho giàn tự nâng..... Error! Bookmark not defined.
PL4. Chương trình viết trên Matlab cho ví dụ cộtError! Bookmark not defined.

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


iv

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
A – Diện tích mặt cắt ngang của phần tử.
A1, A2, A3, A4 – Các hằng số tích phân.
B – Ma trận chuyển đổi.

c1, c2 – Các hệ số uốn dầm-cột.
cb – Tham số bowing.
E – Mô đun đàn hồi.
F, F – Véc tơ lực nút của phần tử lần lượt trong hệ tọa độ tổng thể và địa
phương.
G – Ma trận độ cứng kể đến ảnh hưởng của M1, M2, Q.
G1, G2 – Hàm được xác định theo công thức (2.50) và (2.51)
g(1), g(2), g(3) – Ma trận xác định.
H – Độ cứng mở rộng.
I – Mô men quán tính hình học bậc 2.
i, j – Kí hiệu nút i, nút j.

 – Khối lượng riêng của vật liệu phần tử.
kt, Kt – Lần lượt là ma trận độ cứng địa phương, tổng thể.
L0 – Chiều dài ban đầu của phần tử dầm-cột.
L – Chiều dài của phần tử dầm cột lúc biến dạng.
Mc, ML – Ma trận khối lượng của phần tử.
m, n – Kí hiệu các cosin, sin chỉ phương.
M1, M2 – Mômen uốn tại các nút.
1, 2 – Góc quay tương đối tại nút.
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


v

R – Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang tổng thể.
Q – Lực dọc trục trong phần tử dầm cột.
QE – Tải Euler buckling.
q = Q/QE – Tỉ số giữa tải dọc trục và tải Euler.
X, Y – Hệ tọa độ tổng thể.
x, y – Hệ tọa độ địa phương.
v, v – Lần lượt là véc tơ chuyển vị tổng thể, địa phương.

 = u/L0 – Tỉ số biến dạng.
u – Biến dạng dọc trục (chịu nén).

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Tổng quan các thuật toán họ Newmark-Error! Bookmark not defined.

Bảng 3.2. Sơ đồ khối tính toán dựa trên mô hình NewmarkError! Bookmark not defined.
Bảng 4.1. Số liệu hình học và vật liệu của cột .... Error! Bookmark not defined.
Bảng 4.2. Bảng giá trị tần số riêng ...................... Error! Bookmark not defined.

Bảng 4.3. Tải trọng động cho các trường hợp sóng khác nhauError! Bookmark not define
Bảng 4.5. Tần số của các dạng dao động riêng đầuError! Bookmark not defined.

Bảng 4.5. Kết quả phân tích động cho 5 trường hợp tải trọng sóngError! Bookmark not de

Bảng PL.1. Chuyển vị ngang trên mặt sàn chân đế giàn tự nângError! Bookmark not defi
Bảng PL.2. Moment nội lực tại chân đế giàn tự nângError! Bookmark not defined.

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng ............ 7
Hình 2.1. Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ............................................... 11
Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa
phương. ............................................................................................... 11

Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng. ................................................................... 11
Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai
đầu, (b) Chuyển vị theo các trục tọa độ. ............................................ 14
Hình 3.1. Các kỹ thuật tính toán chung............... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.2. Phương pháp Newtow – Raphson. ...... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.3. Phương pháp ứng suất ban đầu. .......... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.4. Phương pháp Newton – Raphson cải tiến.Error! Bookmark not defined.
Hình 3.5. Sơ đồ khối chương trình phân tích động phi tuyến bằng phương
pháp tích phân trực tiếp....................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.1.Mô hình tính toán. ................................ Error! Bookmark not defined.
a) Mô hình cột. .................................................... Error! Bookmark not defined.
b) Mô hình tính cột được chia làm 04 phần tử. ... Error! Bookmark not defined.

Hình 4.2. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gianError! Bookmark not defin
F13 = 200sin(2t)(N), F14 = -2000sin(2t)(N), bước thời gian t = 0.01s.Error! Bookmark
a) không kể đến ảnh hưởng P-Delta. ................... Error! Bookmark not defined.
b) kể đến ảnh hưởng P-Delta............................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.3. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -5000sin(2t)(N), t
= 0.005s. .............................................. Error! Bookmark not defined.
Hình 4.4. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N),
t = 0.0005s. ....................................... Error! Bookmark not defined.

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


viii

Hình 4.5. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. ..................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.6. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N),
t = 0.0005s. ....................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.7. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. ..................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.8. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.
F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s. Tol
= 1e-09. ............................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.9. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N),
t=0.00005s. ....................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.10. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. ..................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.11. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.F13 = 200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N), t = 0.00005s. Tol =
1e-09.................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.12. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể
đến ảnh hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = 40000sin(2t)(N). ............................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.13. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N),
t = 5e-6s. ........................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 4.14. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. ..................................... Error! Bookmark not defined.

Hình 4.15. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.Error! Bookmark not de

F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s. Tol = 1e-09.Error! Bookmark
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


ix

Hình 4.16.Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể
đến ảnh hưởng P-Delta, F13 = -200sin(2t)(N), F14 = 40000sin(2t)(N), theo Sap 2000. ...... Error! Bookmark not defined.
Hình 4. 17. Mô hình tính toán ............................. Error! Bookmark not defined.
Hình 4.18. Biểu đồ chuyển vị ngang tại mặt sàn Error! Bookmark not defined.

Hình 4.19. Mômen uốn ngang lớn nhất (tại mắt cắt sát chân cột trước)Error! Bookmark n

Hình 4.20. Ứng suất lớn nhất (tại mép ngoài mắt cắt sát chân cột trước)Error! Bookmark n

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


Mở đầu

1

MỞ ĐẦU
Trong thực tế phân tích động lực học của kết cấu có nhiều trường hợp

không thể dùng các mô hình tuyến tính được. Ngay cả khi kết cấu còn làm việc
trong miền đàn hồi vẫn có thể có phi tuyến hình học. Kết cấu dạng dầm - cột là
một trường hợp như vậy. Khi kết cấu dạng dầm - cột chịu uốn và chịu lực dọc
trục sẽ có các hiệu ứng sau các hiệu ứng.


Hiệu ứng Euler, khi lực dọc trục làm giảm độ cứng chống uốn của dầm.



Hiệu ứng P- khi ta kể đến sự thay đổi độ dài của dầm khi chịu uốn.



Hiệu ứng của lực cắt, khi lực cắt làm tăng đáng kể góc xoay.
Mô hình phần tử dầm-cột có kể đến các hiệu ứng trên sẽ đưa đến bài toán

phi tuyến về mặt hình học.
Khi đó bài toán phân tích động lực học kết cấu
(t )  CU (t )  KU (t )  P(t )
MU

trở thành bài toán phi tuyến. Để giải bài toán này cần áp dụng những thuật toán
thích hợp.
Trong nhiều năm gần đây, ứng xử động lực học phi tuyến của kết cấu
khung phẳng đã được quan tâm bởi nhiều tác giả. Phân tích đáp ứng động lực
học phi tuyến tốn nhiều thời gian tính toán hơn phân tích tĩnh. Do ma trận độ
cứng tiếp tuyến không phải là hằng số mà phụ thuộc vào các chuyển vị và góc
quay của nút nên để tìm nghiệm của phương trình động lực học phi tuyến phải
sử dụng phương pháp sai phân kết hợp lặp Newton- Raphson.

Việc tìm hiểu cũng như giải bài toán khung phẳng cũng đã được sự quan
tâm của Phòng Mô phỏng và Tính toán kết cấu, đặc biệt trong các nghiên cứu
đến giàn tự nâng ngoài biển.
Khi tiến hành phân tích động các giàn tự nâng người ta thường đưa chân đế
giàn tự nâng về mô hình dầm tương đương. Khi đó các dầm tương đương này sẽ
làm việc như một cột cao “mảnh” có chịu lực dọc trục và chịu uốn dưới tác động
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


Mở đầu

2

của lực sóng. Để mô phỏng mô hình kết cấu này nhiều tác giả (Cassidy M.J.,
Taylor R.E. & Houlsby G.T. (2001) [9], Williams M. S., Thompson R.S. G.,
Houlsby G. T. (1998) [27]) đã sử dụng mô hình dầm- cột có kể đến các hiệu ứng
phi tuyến như đã nêu. Do vậy việc nghiên cứu phân tích động lực học kết cấu kể
đến các phi tuyến hình học là một nhu cầu cần thiết.
Chính vì vậy đề tài của luận văn này là một trong những nội dung nghiên
cứu về phương pháp số và mô phỏng kết cấu để đáp ứng những đòi hỏi thực tế
đặt ra cho Phòng mô phòng và tính toán kết cấu nói riêng và Viện Cơ học nói
chung.
Mục tiêu của đề tài: Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng dạng dầm - cột
có ứng xử phi tuyến hình học khi kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục. Áp dụng
thuật toán Newmark dạng sai phân để giải phương trình động lực phi tuyến.
Bố cục luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Tổng quan – Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về bài toán phi tuyến
nói chung và chú ý đến các nghiên cứu về phi tuyến hình học. Ngoài ra các

phương pháp giải bài toán phi tuyến cũng được tổng hợp ở đây.
Chương 2. Xây dựng mô hình phần tử dầm cột. Trong chương này sử dụng cách
tiếp cận của Oran và Kassmilli để xây dựng ma trận độ cứng, xây dựng ma trận
định vị và ma trận độ cứng tiếp tuyến cho phần tử dầm cột có kể đến ảnh hưởng
của lực dọc trục.
Chương 3. Thuật toán Newmark. Trình bày thuật toán tích phân trực tiếp dạng
sai phân với gia số tăng cường để giải phương trình dao động của hệ phi tuyến
không kể đến ma trận cản. Ở đây còn trình bày cụ thể thuật toán lặp Newton
Raphson để giải phương trình cân bằng.
Chương 4. Kết quả và bàn luận. Trình bày các kết quả tính số cho hai ví dụ. Thứ
nhất là dầm đứng chịu lực ngang và lực dọc trục. Thứ hai là chân đế của giàn tự
nâng tải trọng ngang là sóng và tải trọng đứng là tải trọng của phần thượng tầng.
Cuối cùng là kết luận và một số phụ lục.
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


3

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Mở đầu

Học viên Trần Thanh Hải


4

Chương 1. Tổng quan

Chƣơng 1. TỔNG QUAN
Phi tuyến là hiện tượng tự nhiên trong các bài toán vật lý. Trong thực tế các
giả thiết tuyến tính chúng ta chỉ làm trong các trường hợp đặc biệt và thường
xuyên liên quan đến một số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ,
góc quay nhỏ, sự thay đổi nhỏ của nhiệt độ, vv…
Phi tuyến hình học liên quan đến phi tuyến trong thành phần động học
chẳng hạn quan hệ biến dạng - chuyển vị trong vật rắn. Loại phi tuyến này có
thể xảy ra do các chuyển vị lớn, biến dạng lớn, góc quay lớn, v.v... Biến dạng
nhỏ, nhưng chuyển vị lớn hoặc các góc quay lớn.
Phi tuyến các điều kiện biên liên quan đến các bài toán tiếp xúc cũng có thể
được phân loại như là phi tuyến hình học bởi vì diện tích tiếp xúc là một hàm
của chuyển vị. Trong bài toán này vị trí tiếp xúc không định trước trên bề mặt tự
do. Các tải trọng, hướng tải trọng và áp suất thuỷ tĩnh trên bề mặt đều thay đổi
nên được định nghĩa trong hệ tọa độ đồng hành.
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học
Bài báo sớm nhất về các phần tử hữu hạn phi tuyến được công bố bởi
Tuner và đồng nghiệp đã có từ năm 1960 và chủ yếu bắt nguồn từ công nghiệp
máy bay.
Hầu hết những nghiên cứu ban đầu liên quan đến phi tuyến hình học là bài
toán buckling tuyến tính (Gallagher, R.H. và đồng nghiệp (1963)[18]). Bài toán
phi tuyến hình học thực sự về các quy trình giải với gia số tăng được công bố
bởi Argyris và đồng nghiệp (1982, [6]) sử dụng ma trận độ cứng hình học liên
hợp với sự hiệu chỉnh của các tọa độ và với một ma trận chuyển vị ban đầu. Đặc
biệt đối với bài toán dẻo, ma trận độ cứng tiếp tuyến cấu trúc liên hệ giữa gia số
tăng của lực với gia số tăng của chuyển vị hợp thành một ma trận mô đun tiếp
tuyến là quan hệ giữa gia số tăng của ứng suất với gia số tăng của biến dạng.

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


5

Chương 1. Tổng quan

Sự quan tâm đến phân tích phi tuyến của hệ khung tăng lên một cách đáng
kể trong những năm gần đây. Tổng quan các tài liệu có thể thấy có hai dạng
thuật toán phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu khung không gian phi tuyến với
biến dạng lớn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu. Đó là cách
tiếp cận theo phương pháp Lagrange tổng cộng và Lagrange điều chỉnh (Bath
K.-J, 1996 [8]) dựa trên các nguyên lý của cơ học môi trường liên tục, biến dạng
và gia số góc quay của cố thể giả thiết là nhỏ nhưng chuyển dịch thẳng có thể
lớn tùy ý. Phi tuyến vật liệu cũng được kể đến bằng cách xem xét các quan hệ
vật liệu tương ứng. Cách tiếp cận của Argyris (Argyris và đồng nghiệp, 1982
[5]) dựa trên các dạng dao động riêng và khái niệm góc xoay tựa tiếp tuyến để
tránh khó khăn do từ sự không tích lũy của các góc xoay lớn trong không gian.
Cả hai cách thiết lập bài toán theo Bathe và Argyris đều đòi hỏi phải chia phẩn
tử của kết cấu (như dầm, cột, v.v) làm những phần tử nhỏ để đạt được kết quả
mong muốn. Gần đây, Shi và Atluri (1989) [25] đã sử dụng trường ứng suất giả
định để thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến dưới dạng hiển. Ma trận độ cứng
này có thể sử dụng để mô hình hóa các phần tử của kết cấu khung không gian
mà không cần chia nhỏ các phần tử. Trong cách thiết lập này chuyển vị nút cho
phép lớn tùy ý, tuy nhiên góc xoay giả thiết từ nhỏ đến lớn vừa phải. Chandra và
đồng nghiệp, 1990 [10] đã đề nghị thuật toán cho dạng phần tử dầm cột, sử dụng
hàm ổn định để thiết lập quan hệ giữa lực phần tử và biến dạng. Ở đây vẫn chấp
nhận giả thiết về góc xoay từ nhỏ đến lớn vừa phải.
Gần đây Kassimali, 1983 [19] và Abbasnia và Kassimali, 1991 [4] đã trình
bày phương pháp phần tử dầm cột cho biến dạng lớn và phân tích ổn định của

khung không gian đàn hồi. Dựa trên công thức Euler tổng quát được Oran, 1973
[21] phát triển, phương pháp này tách biệt phần đóng góp của dịch chuyển như
một cố thể, chúng có thể lớn tùy ý, với biến dạng tương đối của phần tử nhận
được từ lý thuyết dầm cột. Bản chất không tích lũy của góc xoay của nút được
giải quyết bằng cách sử dụng khái niệm về ma trận định vị của nút. Thông qua

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


6

Chương 1. Tổng quan

một loạt nghiên cứu số trên các lớp bài toán kết cấu đàn hồi chỉ ra rằng phương
pháp này khá chính xác ngay cả khi biến dạng ở dạng tích lũy.
Chính vì những ưu điểm cách tiếp cận này mà luân văn đã chọn công thức
Euler và các hàm ổn định để xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến.
1.2 Phân tích ảnh hƣởng của lực dọc trục
Một trong những ứng dụng của phần tử dạng dầm-cột là trong phân tích
chân đế của giàn tự nâng. Giàn tự nâng được sử dụng phục vụ mục đích khai
thác như một giàn cố định nên thời gian làm việc ở ngoài khơi cũng kéo dài hơn.
Để có thể sử dụng trong điều kiện khắc nghiệt như vậy, cần sử dụng các phương
pháp phân tích giàn tự nâng chính xác hơn, các mô hình của giàn tự nâng cần
được mô tả sát với thực tế hơn. Giàn tự nâng thường có 3 chân được đưa đến sử
dụng ở những vùng nước sâu đến 120m. Khi đó để tính toán kiểm tra độ bền của
kết cấu chân đế người ta đưa về mô hình giàn với ba cột dầm tương đương có
thân giàn ở trên. Mô hình này đảm bảo tính hiệu quả và được sử dụng rộng rãi
thay vì mô hình cả hệ khung giằng của chân đế. Lúc này các cột khá cao và chịu

lục dọc trục khá lớn từ toàn bộ các công trình và thiết bị đặt trên sàn công tác.
Khi đó việc áp dụng phần tử dầm cột kể đến các hiệu ứng phi tuyến là cần thiết
và thích hợp. Đó là các hiệu ứng


Tăng độ mềm do độ dài của các chân đế - giảm độ cứng chống uốn, tăng
tần số riêng và tăng hiệu ứng động khi chịu uốn.



Giả thiết về chuyển dịch nhỏ không còn đúng nữa và phi tuyến hình học
xuất hiện khi tải trọng của thân giàn gây nên lực dọc trục lớn ở chân đế.
Khi các lực tác động dọc trục lên các phần tử của khung tương đối đáng kể,

có hai ảnh hưởng quan trọng xảy ra:


Sự thay đổi hình học: Lực dọc trục gây ra sự thay đổi chiều dài của phần tử
và do đó ảnh hưởng đến chuyển vị nút (ảnh hưởng mô men bậc 2).



Sự ảnh hưởng thứ 2 là thay đổi độ cứng của phần tử do uốn gây ra bởi lực
dọc trục. Các lực này gây ra một góc xoay hoặc chuyển vị đơn vị theo
hướng ngang tại một nút phần tử giảm nếu chịu lực nén dọc trục, và ngược

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải

7

Chương 1. Tổng quan

lại nếu chịu kéo dọc trục. Ảnh hưởng này của lực dọc trục là đáng kể chỉ
xảy ra trong các phần tử mảnh, và được gọi là ảnh hưởng dầm-cột.
1.3 Hiệu ứng P-Delta
P-Delta là hiệu ứng phi tuyến bậc hai xảy ra trong mọi kết cấu khi các phần
tử chịu tải dọc trục. Hiệu ứng có nghĩa là sự kết hợp giữa độ lớn của tải dọc trục
(P) và chuyển dịch (delta).
Độ lớn của hiệu ứng P-delta liên quan tới:


độ lớn của tải dọc trục P,



độ cứng/độ mảnh của kết cấu cũng như của toàn bộ kết cấu,



độ mảnh của từng phần tử riêng lẻ.
Bằng cách điều khiển độ mảnh, độ lớn của hiệu ứng P-delta thường được

hạn chế sao cho có thể xem như là nhỏ và sau đó “bỏ qua” trong thiết kế; chẳng
hạn tại vị trí phần tử làm tăng kích thước…
Trong khung phẳng P-Delta được hiểu như sau:


Khung dịch chuyển; Delta.



Tải P được đặt lệch khung đưa gây ra thêm mômen hoặc “hiệu ứng bậc 2”.
Tuy nhiên, ở đây chỉ minh họa hiệu ứng P-Delta (P-)(P-“BIG” delta) chỉ

là một phần của hiệu ứng bậc 2.
Ở đây chúng ta hiểu hiệu ứng của cả P-“BIG” delta (P-) và P- “little” P-
như hình 1.1 sau:

Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


8

Chương 1. Tổng quan

Công thức tọa độ đồng hành của phần tử và phương pháp số cho phân tích
phi tuyến của khung phẳng. Dựa trên lý thuyết dầm-cột, phương trình phần tử
được xây dựng trong hệ tọa độ của phần tử (góc quay và dịch chuyển), sau đó
được chuyển sang hệ tọa độ tổng thể để ghép nối.
Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không
phụ thuộc vào các chuyển vị, còn ma trận độ cứng tiếp tuyến là hàm của chuyển
vị. Do đó tìm nghiệm của phương trình cân bằng động lực học phi tuyến ta sử
dụng thuật toán tích phân số trực tiếp Newmark dạng sai phân. Hoặc phương

pháp sai phân - lặp dựa trên tích phân trực tiếp Newmark và phương pháp
Newton – Raphson.
Ý tưởng của phương pháp lặp Newton-Raphson là tìm một nghiệm tiếp
tuyến từ đường cong quan hệ phi tuyến lực - chuyển vị tại một đoạn bất kỳ. Để
tìm một nghiệm tiếp tuyến, ma trận độ cứng được tính lại trong mỗi bước lặp có
kể đến sự thay đổi hình học cho đến khi xuất hiện tổng ứng suất nội lực, do đó
còn được gọi là ma trận độ cứng tiếp tuyến (tức thời).
Thật không may, các tiếp cận sai phân này có thể dẫn đến sự không đảm
bảo đủ điều kiện kiểm soát sai số của bài toán. Zienkienwicz, 2005 [28] đã đề
nghị một quy trình Newton-Raphson cải biên. Ngược lại với phương pháp
Newton-Raphson đầy đủ, trong đó ma trận độ cứng không phải hiểu chỉnh liên
tục. Một dạng đặc biệt của phương pháp này sử dụng chính ma trận đàn hồi ban
đầu còn được gọi là phương pháp ứng suất ban đầu và được sử dụng nhiều trong
phi tuyến vật liệu.

Tiểu sử N.Newmark
Nathan Newmark (N. Newmark) (1910-1981) là một kỹ sư người Mỹ và là
Giáo sư của Khoa xây dựng tại Trường Đại học Illinois tại Champaign–Urbana.
Ông nghiên cứu trong lĩnh vực các công trình chịu động đất và động lực học kết

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


9

Chương 1. Tổng quan

cấu. Phương pháp số nổi tiếng này được giới thiệu vào năm 1959 cho tính toán

đáp ứng động lực học của hệ tuyến tính và phi tuyến (Newmark - ).
Phương pháp Newmark là một công thức tích phân bước đơn (single-step).
Biến véc tơ trạng thái của hệ tại một thời gian tn+1 = tn+t được suy ra từ các véc
tơ trạng thái đã biết tại thời gian tn Abbasnia, R (1991) [4].
Như vậy tùy thuộc vào hệ số lựa chọn phương pháp Newmark sẽ là phương
pháp tích phân trực tiếp hiển hoặc ẩn.
Ở trong luận văn này sử dụng Maple để xây dựng các biểu thức cho ma
trận độ cứng tiếp tuyến. Dựa trên toolbox Cafem cho bài toán tuyến tính ở trong
Matlab đã xây dựng và phát triển một số hàm để tạo một toolbox phi tuyến.
Kết luận chƣơng 1:
Nêu tổng quan về tính chất phi tuyến của kết cấu khung phẳng, sự phát
triển của phân tích phi tuyến kể đến hiệu ứng P-delta và phương pháp số dùng
để giải phương trình động lực học phi tuyến.

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


10

Chương 1. Tổng quan

Chƣơng 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ
Trong khuôn khổ nghiên cứu này phi tuyến hình học được xem xét. Cụ thể
xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ nhưng dịch chuyển lớn.
Như đã trình bày trong phần tổng quan ở đây sử dụng công thức Euler và các hàm
ổn định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng của lực dọc trục. Các phi
tuyến hình học ở đây gồm ảnh hưởng của lực dọc trục đến độ cứng chống uốn và
hiệu ứng P- được kể đến.

Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình của kết
cấu được rời rạc và tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn. Do vậy chúng ta
cần phải thiết lập được véc tơ nội lực của từng phần tử (là hàm của các chuyển vị
nút) từ đó tính được các ma trận độ cứng tiếp tuyến cũng là hàm của các chuyển vị
này. Ma trận khối lượng sử dụng ma trận khối lượng tập trung như ở phần tử dầm
thông thường.
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
Một phần tử trụ với mặt cắt ngang không đổi, trong mặt phẳng X0Y. Xét hai
trạng thái tải và chuyển vị là “ban đầu” và “biến dạng”. Mỗi trạng thái này có một
hệ trục tọa độ riêng. Trong trạng thái “ban đầu” phần tử thẳng, chiều dài L0 và
không tải dọc trục, không lực hoặc không mô men tại nút (i, j). Trong trạng thái
“biến dạng”, phần tử chịu lực đặt tại nút i và j, không chịu tải ngoài tác dụng dọc
trục (ảnh hưởng của tải ngoài được xét sau). Kí hiệu véc tơ F  và v lần lượt là
véc tơ lực nút F   F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 T và chuyển vị nút v  v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 T
trong hệ tọa độ tổng thể XOY (Hình 2.1).

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


11

Y

F5

Biến dạng

y

v3

F1

v6



v5

j
L0

F3

x

F6
F4

L

F2

v4

v2

i v1

O

Chương 1. Tổng quan

Ban đầu

X

Hình 2.1. Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ.
Hệ tọa độ đồng hành Oxy trên hình 2.1 được miêu tả như sau: trục Ox được
nối thông qua nút i và nút j ở vị trí hiện thời. Trục Oy được đặt vuông góc với trục
Ox. Công thức hệ tọa độ đồng hành được phát triển dựa trên các tham số trên hình
2.1. Trong hệ tọa độ tổng thể nút i và nút j của phần tử được biểu diễn lần lượt là
(Xi, Yi) và (Xj, Yj).
F5 F6

F5

F4

F2

F4

F2

L

F1

F6

L

F1

F3

F3

F3

a)

b)

Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa phương.
x

M2

y

Q

2

1

Q

u

L=L0 - u = L0(1+ )
M1

Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng.
Dưới dạng hình học ta có các quan hệ sau:

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


12

Chương 1. Tổng quan

 F1   F1m  F2 n 

F  
 2   F1n  F2 m 

F3
 F3  

  
;

 F4   F4 m  F5 n 
 F5   F4 n  F5 m 
  

 F6  

F6

(2.1)

hay viết gọn lại dưới dạng ma trận như sau:

F   RF ;

(2.2)

ma trận R gọi là ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
trong đó
m  n 0 
[r] [0]
R  
; [r]   n m 0

[0] [r] 
 0
0 1

(2.3)

m  cos ; n  sin 

(2.4)

cos( ) 

( X j  X i  v4  v1 )
L0 (1  )

, sin() 

(Y j  Y i  v5  v 2 )
L0 (1  )

L  L0 (1  )  ( X j  X i  v4  v1 ) 2  (Y j  Y i  v5  v2 ) 2 .

(2.5)
(2.6)

Tương tự theo hình 2.1, hình 2.2 a và hình 2.2b ta có,

F   B S ; v  R v, u  B
T

0

1

 L (1  )
 0
1

B 

0

1

 L 0 (1  )
0


 

0
1
L0 (1  )
0
0
1

L 0 (1  )
1

1

0

0
 1

0


0 

T

v

(2.7)

(2.8)

với

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


13

Chương 1. Tổng quan

 M1 
 1 
u


 

, S    M 2  , u    2 .

L0
Q 
u


 

(2.9)

Chú ý rằng L0 (1   ) biểu diễn chiều dài trong cấu hình biến dạng (chịu nén).
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0)
Phương trình vi phân tổng quát dịch chuyển theo hướng y của phần tử AB
chịu một lực nén Q và chịu ràng buộc bất kỳ tại hai đầu là (Ghali A. vad Neville A.
M. (1989) [17]:
d4y Q d2y

0
dx 4 EI dx 2

y  A1 sin 

(2.10)

x
x
 A2 cos   A3 x  A4
L
L

(2.11)

A1, A2, A3 và A4 là các hằng số tích phân được xác định các từ điều kiện biên.
trong đó
L

Q
EI
hay Q   2 2
EI
L

(2.12)

Phương trình (2.10) được sử dụng để đưa ra ma trận độ cứng của một phần tử
chịu nén tương ứng với các tọa độ 1, 2, 3 và 4 trong (Hình 2.4b) (chuyển vị và góc
xoay tại các đầu nút). Các chuyển vị u * tại nút:
 dy 
 dy 
u1  ( y) x0 , u 2  1    , u3  ( y) xL , u4   2   
 dx  x L
 dx  x 0

(2.13)

và được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
1
0
 0
 u1   
u  

0
1
 2
L

   sin 
cos 
L
u 3  


u 4   cos   sin  1
L
 L

Luận văn thạc sĩ Cơ học

1
  A1 
0  A 
 2

1  A3 
 
0  A4 


(2.14)

Học viên Trần Thanh Hải

14

Chương 1. Tổng quan

y
Q

A

Q

x

L
(a)
Q 2

1

L, EI
A

4

3

Q

B
(b)

Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai đầu, (b)
Chuyển vị theo các trục tọa độ.
Phương trình (2.14) có thể được viết lại như sau:

u *  BA

(2.15)

trong đó
1
0 1
 0
 

0
1 0
 L
B   sin 
cos 
L 1


  cos    sin  1 0

L
 L

 A1 
A 
A   2 .
 A3 
 A4 

(2.16)

Các lực S tại nút A và B là lực cắt và mô men uốn tại x  0 và x  L
  d 3 y  2 dy 


  3  2

L dx  x 0 
  dx


 d2y 
 S1   ( V ) x 0 
  2 



S   ( M )
 2 


x 0 
 dx  x 0



EI
  


.
3
2


(
V
)
S
d
y

dy
x

L
3
  

 
 

S 4  (  M ) x  L 
 dx 3 L2 dx  

xL


 d2y 


 2 


 dx  x  L



(2.17)

Lấy vi phân phương trình (2.11) và thay vào phương trình (2.17) ta được

S  C A
Luận văn thạc sĩ Cơ học

(2.18)
Học viên Trần Thanh Hải


15

Chương 1. Tổng quan

trong đó ma trận C  và véc tơ A được xác định như sau:


2
0
0

L2

2


0
0
2

L
C   EI 
2
0
0
 2

L
 2
2

 
0
 L2 sin   L2 cos 


0


 A1 
A 
0
 2

 , A   A 
 3
0
 A4 


0


(2.19)

từ (2.15) véc tơ A được xác định như sau:

A  B1 u *

(2.20)

và thay vào phương trình (2.18) ta được:

đặt

S  C B1 u *

(2.21)

D  C B1

(2.22)

Phương trình (2.21) được viết dưới dạng

S  D u *

(2.23)

trong đó D ma trận độ cứng của phần tử và được xác định như sau:

3 s
 3
 L ( 22 2c  s )
 (1  c )

 L2 ( 2  2c  s )
D  EI 
3 s

 L3 ( 2  2c  s )

 2 (1  c )

2
 L ( 2  2c  s )

 2 (1  c )

L2 ( 2  2c  s )
( s  c )
L( 2  2c  s )
 2 (1  c )
L2 ( 2  2c  s )
(  s )
L( 2  2c  s )


 2 (1  c )

2
L ( 2  2c  s ) 
(  s )

L( 2  2c  s ) 

 2 (1  c ) 
 2
L ( 2  2c  s ) 

( s  c )

L( 2  2c  s ) 

3 s
L3 ( 2  2c  s )
 2 (1  c )
L2 ( 2  2c  s )
3 s

L3 ( 2  2c  s )
 2 (1  c )
 2
L ( 2  2c  s )


(2.24)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1]. Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản khoa
học và kỹ thuật, 1997.
Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải


16

Chương 1. Tổng quan

[2]. Đào Như Mai, Nguyễn Việt Khoa (2001). Phân tích động chân đế giàn di
động trong trạng thái khai thác, Tuyển tập Hội nghị Khoa học Toàn quốc về
Cơ học kỹ thuật, Hà Nội, 12-13/10/2001.
[3]. Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng. Sức bền Vật liệu, Nhà xuất bản giáo
dục, tập 2, Hà Nội, 1996.
Tiếng Anh
[4]. Abbasnia, R. and A. Kassimali (1991). Large Deformation Elastic Anlysis of
Space Frame. Journal of Structural Engneering. Vol. 117, No 7.
[5]. Abbasnia, R. and A. Kassimali (1995). Large Deformation Elastic-Plastic

Anlysis of Space Frame. J Construct. Steel Research. Vol. 35, pp.275-290.
[6]. Argyris, J. H., Boni, B., Hindenlang, U. & Kleiber, M.,(1982) Finite element
analysis of two- and three-dimensional elasto-plastic frames--the natural
approach. Comput. Meth. Appl. Mech. Engng, 35, p.p 221-248
[7]. Baron, F., and Venkatatesan, M.S.(1971). Nonlinear Formulations of BeamColumn Effects. Journal of the Structural Division, ASCE, Vol 97, No. ST4.,
Proc. Paper 8080, Apr., 1971, pp 1305-1340.
[8]. Bathe K.-J. (1996). Finite element Procedures. Prentice-Hall, Inc New Jersey,
USA.
[9]. Cassidy M.J., Taylor R.E. & Houlsby G.T. (2001). Analysis of Jack-up units
using a Constrained NewWave Methodology. Applied Ocean Research, Vol.
21, pp. 221-234.
[10]. Chandra, R., Krishna, P. & Trikha, D. N.,(1990) Elastic-plastic analysis of
steel space structures. J. Struct. Engng ASCE, 116(4), pp. 939-955.
[11]. Clough RW, Penzien J. (1975). Dynamics of structures. New York: McGraw
Hill.
[12]. Crisfield, M. A. (1991). Non-linear Finite Element Analysis of Solids and
Structures Vol. 1 and Vol. 2. John Wiley and Sons Ltd London, UK.
[13]. Dao Nhu Mai, Le Khanh Toan, Nguyen Huu Cuong (2005). Analysis of JackUp Units Using Modified Finite Element Models. Proceedings of the 5th

Luận văn thạc sĩ Cơ học

Học viên Trần Thanh Hải