Động lực học kết cấu - Chương 1

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU
1.1 Nhiệm vụ môn học
Động lực học kết cấu là một lónh vực của cơ học, nghiên cứu các phương
pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vò, vận tốc, gia tốc…) trong
kết cấu khi chòu tác dụng của tải trọng động.
1.2 Tải trọng động
Khái niệm:
Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trò số, phương, vò trí,
gây ra ứng suất, chuyển vò… cũng thay đổi theo thời gian.
Phân loại:
- Tải trọng tiền đònh (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui
luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu
kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước.
- Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước
được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trò trung bình, độ lệch
chuẩn… Thí dụ: lực gió, lực sóng, lực động đất….
Bài toán động lực học kết cấu chòu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết
bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần
tìm bao gồm ứng suất, chuyển vò, phản lực cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc
trưng xác suất trò trung bình, độ lệch chuẩn…
Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức
độ khác nhau, và được xác đònh bằng phương pháp thống kê toán học.
Các quan điểm phân tích động lực học:
Phân tích tiền đònh, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis).
1.3 Đặc thù của bài toán động
Xét dầm đơn giản, chòu tải trọng tónh và động như hình vẽ:
Chương 1. MỞ ĐẦU 1
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Bài toán tónh: nội lực được xác đònh từ sự cân bằng với ngoại lực, không cần

dùng phương trình đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản. Do đó, ứng suất và
chuyển vò không phụ thuộc thời gian.
Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào phương trình
đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng, phức
tạp về toán học, khối lượng tính toán lớn, phải bắt đầu từ việc xác đònh y(x,t).
Bài toán tónh (bao gồm cả bài toán ổn đònh) là trường hợp đặc biệt của bài
toán động khi lực quán tính được bỏ qua.
1.4 Bậc tự do của kết cấu
Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu
là số thành phần chuyển vò phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực
quán tính.
Bậc tự do được đònh nghóa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên
quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng
càng phức tạp.
Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do
trong bài toán tónh (số chuyển vò nút của kết cấu).
Thí dụ: cho kết cấu như hình bên, nếu P là
tải trọng tónh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng
động thì số bậc tự do là vô cùng.
Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng
phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán
rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ.
Chương 1. MỞ ĐẦU 2
P(t)
P
Bài toán tónh
Bài toán động
q(t)=
ρ
y(t)

P
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
1.5 Các phương pháp rời rạc hóa
1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass)
Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b)
theo nguyên tắc tương đương tónh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong
hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ
dàn).
Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vò của hệ và
tính chất quán tính của các khối lượng m
i
. Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng:
Nếu biến dạng dọc trục và m
i
có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass).
Nếu coi m
i
là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vò
thẳng/mass).
Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vò đứng: 3 BTD (1 chuyển vò
đứng/mass).
Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do.
1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)
Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác đònh
ψ
i
(x) có biên
độ Z
i
như sau:

∑
=
∞
=1
)(),(
i
ii
xZtxy
ψ
(*)
trong đó:
ψ
i
(x) : Hàm dạng (Shape Functions)
Z
I
(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)
Chương 1. MỞ ĐẦU 3
P(t)
m(z)
P(t)
m m m
1 2 3
(a)
(b)
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Hàm dạng
ψ
i
(x) được tìm từ việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng,

hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số
hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Z
i
đóng vai trò bậc
tự do).
1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM)
Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó:
- Z
i
là các chuyển vò nút (Tọa độ suy rộng).
-
ψ
i
(x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng.
Thường các hàm nội suy
ψ
i
(x) được chọn giống nhau cho
các phần tử (ứng với cùng một
bậc tự do) và là hàm đa thức
nên việc tính toán được đơn
giản. Đặc biệt, do tính chất cục
bộ của các hàm nội suy nên các
phương trình ít liên kết
(uncoupled) với nhau làm giảm
nhiều khối lượng tính toán.
Chương 1. MỞ ĐẦU 4
L
Z
2

Z
3
y(x)
ψ
1
(x)
Z
1
ψ
3
(x)
ψ
2
(x)

i
π
x
L
i=1,2,...,n
ψ
i
(x) =sin
32
1
4
5
v
3
=1

ψ
3v
(c)
ψ
3v
(b)
a
b
c
d
θ
3
=1
ψ
3
θ
(c)
ψ
3
θ
(b)
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
1.6 Các phương pháp thiết lập phương trình vi phân của chuyển động
1.6.1 Nguyên lý D’Alembert
Xét khối lượng m
i
(i=1,n) chòu tác động của lực P
i
(t) có chuyển vò v
i

(t) và gia
tốc
)(tv
i

. Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng m
i
sẽ cân bằng:

0)()( =− tvmtP
iii



(1.1)
Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động.
1.6.2 Nguyên lý công khả dó
Cho khối lượng m
i
(i=1,n) một chuyển vò khả dó
δ
v
i
, công khã dó
δ
W của các
lực tác dụng lên m
i
(cân bằng) trên chuyển vò
δ

v
i
phải triệt tiêu:

∑
=− 0)]()([
iiii
vtvmtP




δ
(1.2)
Nguyên lí công khả dó thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm
và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng
(scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector.
Nếu cho hệ các chuyển vò khả dó
i
v
δ
lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được
n phương trình vi phân của chuyển động.
Ký hiệu công khả dó của ngoại lực P
i
(t) là
δ
W, từ (1.2) ta có biến phân công
khả dó:
∑ ∑

==
iiii
vtvmvtPW
δδδ
)]()(

(1.3)
1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1])
Xét hệ gồm các khối lượng m
i
(i=1, n) có các chuyển vò v
i
(t) ở hai thời điểm
t
1
và t
2
, chuyển vò có các trò số v
i
(t
1
) và v
i
(t
2
) tương ứng với hai đường biến dạng (b)
và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t
1
+
∆

t < t
2
. Đường biến dạng thật tuân theo
đònh luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t
1
và t
2
:

δ
v
1
(t
1
) =
δ
v
1
(t
2
) =0 (1.4)
Động năng của hệ tại thời điểm t:
)(
2
1
1
2
i
n
i

ii
vTvmT

==
∑
=
Biến phân của động năng
δ
T tương ứng với biến phân của chuyển vò
δ
v
i
:
Chương 1. MỞ ĐẦU 5