Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa .......................................................................................................................... i
Lời cam đoan ......................................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ............................................................................................................................ iii
Mục lục .................................................................................................................................. 1
Danh mục các cụm từ viết tắt ............................................................................................. 4
MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 5
Chƣơng 1
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................... 8
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng ......................................................... 8
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng ............................................................................ 8
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng ........................................................................... 8
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ .................................................. 8
1.2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng ........................................ 9
1.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng................................................................... 9
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ................................................................... 9
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến................................. 9
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng ................................................................. 10
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng ............................................................... 10
1.5. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc .............................................................. 11
1.6. Phương trình tổng quát của đường thẳng ............................................................... 11
1.7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng ..................................................................... 12
1.8. Khoảng cách và góc ............................................................................................... 13
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ............................................ 13
1.8.2. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng ...................................................... 13
1.8.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng .................................. 13
1.8.4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ..... 13

1.8.5. Góc giữa hai đường thẳng ............................................................................... 14
2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ ....................................... 14
2.1. Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng ................................................... 14
2.2. Thiết lập phương trình đường thẳng....................................................................... 19


2

2.2.1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước ............ 20
2.2.2. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước .......... 22
2.2.3. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với
một đường thẳng cho trước ........................................................................................... 23
2.2.4. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách ................................................................................................................... 25
2.2.5. Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một điều
kiện về khoảng cách hoặc góc....................................................................................... 32
2.2.6. Phương trình đường thẳng được thiết lập bằng phương pháp quỹ tích ........... 33
2.2.7. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ..... 35
2.2.8. Các ví dụ tổng hợp........................................................................................... 37
2.3. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 41
2.4. Xác định tọa độ điểm ............................................................................................. 45
2.5. Các bài toán cực trị ................................................................................................. 48
Chƣơng 2
ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 51
1.1. Phương trình đường tròn ........................................................................................ 51
1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn................................................................. 51
1.3. Phương tích, vị trí tương đối của điểm và đường tròn ........................................... 52
1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.................................................... 52
1.5. Vị trí tương đối của hai đường tròn ........................................................................ 52

1.5.1. Trục đẳng phương của hai đường tròn ............................................................ 52
1.5.2. Vị trí tương đối của hai đường tròn ................................................................. 53
1.5.3. Tọa độ giao điểm của hai đường tròn .............................................................. 54
2. Một số bài toán về đƣờng tròn trong mặt phẳng tọa độ.......................................... 55
2.1. Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đường tròn............................................. 55
2
2
2.2. Lập phương trình đường tròn theo dạng x  y  2ax  2by  c  0 ........................ 56
2.2.1. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm.................................................. 56
2.2.2. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn
ngoại tiếp tứ giác ........................................................................................................... 57
x  x0    y  y0 
2.3. Lập phương trình đường tròn theo dạng 
2

2

 R2

.......................... 58
2.3.1. Lập phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính ................ 58
2.3.2. Lập phương trình đường tròn bằng cách gọi tâm và bán kính ........................ 60
2.4. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 70
2.4.1. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường tròn .............................................. 70
2.4.2. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng ........................................... 74


3

2.5. Tiếp tuyến của đường tròn ..................................................................................... 75

2.5.1. Tiếp tuyến tại một điểm với đường tròn .......................................................... 75
2.5.2. Tiếp tuyến đi qua một điểm ............................................................................. 76
2.5.3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ
phương, hệ số góc ......................................................................................................... 77
2.5.4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn .................................. 79
2.6. Đường tròn và tập hợp điểm .................................................................................. 84
2.6.1. Tập hợp tâm đường tròn .................................................................................. 84
2.6.2. Tập hợp điểm là đường tròn ............................................................................ 86
Chƣơng 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
Chƣơng 4
NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10
1. Các quan niệm sai lầm .............................................................................................. 110
2. Thực nghiệm .............................................................................................................. 112
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 117
PHỤ LỤC


4

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
VTCP
VTPT

: Véctơ chỉ phương
: Véctơ pháp tuyến

a

: Véctơ a

0

: Véctơ 0
: Khác
: Song song
: Vuông góc
: Thuộc
: Không thuộc
: Chứa trong
: Chứa
: Giao
: Tương đương
: Suy ra
: Phương trình tổng quát
: Phương trình tham số
: Phương trình chính tắc



//










PTTQ
PTTS
PTCT


5

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng
tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề
chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính
chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số
thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực
phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa,
các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên
việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học
tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến
thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về
đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ.

2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ
lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục
những sai lầm đó.

Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.

3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu. Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
3.2 Đối tƣợng nghiên cứu. Học sinh trung học phổ thông.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường
tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
4.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng
và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài. Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc
kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài.
4.3 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia


6

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học
Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu
lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng
giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu.
4.4 Phƣơng pháp ứng dụng toán học
Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học
của đề tài.

5. Phạm vi nghiên cứu
5.1 Giới hạn về nội dung.
Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.

5.2 Giới hạn về địa bàn
Thực nghiệm:
- Thời gian: Ngày 30/03/2016
- Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM

6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối
tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận.
Phần nội dung: Gồm bốn chương
Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Chương 3: Một số bài toán tổng hợp
Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và
đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Phần kết luận.
- Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được.
- Hướng mở rộng cho nghiên cứu.
Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố
gắng thể hiện các vấn đề sau:
Ở mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập tới
nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người đọc
tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu.


7

Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ bản
được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm giúp
người đọc hiểu rõ hơn.

Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi
dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình
học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó.
Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa
dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm
nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán.
Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và
hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những
hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao biết
phải làm như vậy?” một cách thoả đáng.
Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải
trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến những
nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh.
Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này,
nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế
từ chúng tôi. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các quý
thầy cô và bạn đọc.


8

PHẦN NỘI DUNG

CHƢƠNG 1
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng
Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa
độ của điểm M .

Vectơ OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM  xi  y j với

x, y  R . Cặp số  x; y  là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm M .
Kí hiệu: M  x; y  hoặc M   x; y  . Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y
được gọi là tung độ của điểm M .
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng





Định nghĩa. Đối với hệ trục tọa độ O; i, j , nếu a  xi  y j thì cặp số  x; y  được
gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là a   x; y  hay a  x; y  . Số thứ nhất x gọi là hoành
độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a .
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   x; y  , b   x ' , y '  , các điểm A  xA ; y A 

B  xB ; yB  , C  xC ; yC  và số thực k . Khi đó, một cách tổng quát, ta có:
a) a  b   x  x' ; y  y '  ;
b) k .a   kx; ky  ;
'

x  x
c) a  b  
;
'

y  y

d) Vectơ b cùng phương vectơ a  0 khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

x' y '
x  kx và y  ky hay 
nếu x  0 và y  0 ;
x y
'

'

e) AB   xB  xA ; y B  y A   AB 

 xB  xA    yB  yA 
2

2

;


9

x  xB

xI  A

2
f) I là trung điểm AB  
;
 y  y A  yB
I


2

x A  xB  xC

x

G

3
g) G là trọng tâm của tam giác ABC  
.
y

y

y
B
C
y  A
G

3


1.2. Vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
1.2.1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
Định nghĩa. Vectơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  d 
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  .
Nhận xét

i.

Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  thì mọi vectơ ku khác

vectơ 0 đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  ;
ii.

Nếu u   a; b  (với a  0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  thì hệ

số góc của đường thẳng  d  là k 
iii.

b
;
a

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ chỉ phương của nó.
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
Định nghĩa. Vectơ n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳng  d  gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng  d  .
Nhận xét
i.

Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  thì mọi vectơ k n khác

vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;
ii.

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ pháp tuyến của nó.
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến


10

i.

Nếu đường thẳng  d  có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u thì

ii.

Nếu n   a; b  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  thì u   b; a 

n.u  0;

hoặc u   b; a  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  ;
iii.

Nếu u   a; b  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  thì n   b; a 

hoặc n   b; a  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;
iv.

Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp

v.

Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là

tuyến;
vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
1.3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận
vectơ u   a; b  làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

 x  x0  at
 y  y0  bt

d  : 

t  R  .

Nhận xét

 x  x0
t  R  . Khi đó,
 y  y0  bt

Nếu a  0 và b  0 thì phương trình tham số của  d  là 

 d  là đường thẳng vuông góc với trục Ox , cắt Ox

tại điểm có hoành độ bằng x0 ;

 x  x0  at
t  R  . Khi đó,
y


y
0


Nếu b  0 và a  0 thì phương trình tham số của  d  là 

 d  là đường thẳng vuông góc với trục Oy , cắt Oy

tại điểm có tung độ bằng y0 .

1.4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận
vectơ u   a; b 

d  :

 a  0, b  0  làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

x  x0 y  y0
.

a
b


11

Nhận xét. Nếu a  0 hoặc b  0 thì đường thẳng  d  không có phương trình
chính tắc.

1.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc
Định nghĩa
Xét đường thẳng  d  có phương trình tổng quát Ax  By  C  0 . Nếu B  0 thì
phương trình trên đưa được về dạng y  kx  m với k  

A
C
và m   . Khi đó k là hệ
B
B

số góc của đường thẳng  d  và y  kx  m gọi là phương trình của  d  theo hệ số góc.
Định lý
Phương trình đường thẳng  d  đi qua M  x0 ; y0  và có hệ số góc k có dạng:

y  y0  k  x  x0  .
1.6. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng
Ax  By  C  0 với A2  B 2  0 .

Trong mặt phẳng  Oxy  , phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0 
và có vectơ pháp tuyến n   A; B   0 là  d  : A  x  x0   B  y  y0   0 .
Nhận xét
Từ phương trình  d  : Ax  By  C  0 ta luôn suy ra được
1. Vectơ pháp tuyến của  d  là n   A; B  ;
2. Vectơ chỉ phương của  d  là u    B; A  hoặc u   B;  A  ;
3. M  x0 ; y0    d   Ax0  By0  C  0 .
Mệnh đề  3 được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường
thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.

Các dạng đặc biệt của phƣơng trình tổng quát
Cho đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 , với A2  B 2  0 .


12

i.

Nếu A  0 thì  d  : By  C  0  y  

góc với trục Oy tại điểm có tung độ 
ii.

C
. Khi đó đường thẳng  d  vuông
B

C
;
B

Nếu B  0 thì  d  : Ax  C  0  x  

góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 

C
. Khi đó đường thẳng  d  vuông
A

C

;
A

iii.

Nếu C  0 thì  d  : Ax  By  0 . Đường thẳng  d  đi qua gốc tọa độ;

iv.

Nếu A, B, C đồng thời khác 0 thì  d  cắt Ox và Oy tại hai điểm

C

 C 
M 0   ;0  và M 1  0;   . Khi đó phương trình  d  có thể viết:
B

 A 

Ax  By  C 

x y
 1
a b

x
y
x y
C
C


 1    1 với a   ; b   . Phương trình
C
C
a b
A
B


A
B

 a  0, b  0 

được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

Hệ quả
Cho đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 .
i.

Nếu

 d  song song với  d  thì phương trình  d  có dạng:
'

'

Ax  By  C '  0 với C '  C ;
ii.

Nếu

 d  vuông góc với  d  thì phương trình  d  có dạng:
'

'

Bx  Ay  C  0 hoặc  Bx  Ay  C  0 .

1.7. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Trong mặt phẳng  Oxy  cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát

 d1  : A1 x  B1 y  C1  0

và  d2  : A2 x  B2 y  C2  0 . Vì số điểm chung của hai đường

 A1 x  B1 y  C1
 A2 x  B2 y  C2

thẳng bằng số nghiệm của hệ 

1 , nên từ kết quả của đại số ta có

i.

Hệ 1 vô nghiệm   d1  song song  d 2  ;

ii.

Hệ 1 có nghiệm duy nhất   d1  cắt  d 2  ;

13

iii.

Hệ 1 vô số nghiệm   d1  trùng với  d 2  .

Trong trường hợp A2 , B2 , C2 đều khác 0, ta có
i.

 d1  ,  d2  cắt nhau 

ii.

 d1  song song  d2 

iii.

 d1  trùng với  d2 

A1 B1
 ;
A2 B2
A1 B1 C1

 ;
A2 B2 C2





A1 B1 C1

 .
A2 B2 C2

1.8. Khoảng cách và góc
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy  cho đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 và điểm

M  x0 ; y0  . Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng  d  , ký hiệu là d  M ,  d   ,
được tính bởi công thức d  M ,  d   

Ax0  By0  C
A2  B 2

.

1.8.2. Vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng thẳng
Cho điểm M  x0 ; y0  và đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 .
i.

d  M ,  d    0  M   d   Ax0  By0  C  0 ;

ii.

d  M ,  d    0  M   d   Ax0  By0  C  0 .

1.8.3. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng

Cho đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 và hai điểm M  xM ; yM  , N  xN ; y N  không
nằm trên  d  . Khi đó
i.

Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với  d  khi và chỉ khi

 AxM  ByM  C  AxN  ByN  C   0 ;
ii.

Hai điểm M , N nằm khác phía đối với  d  khi và chỉ khi

 AxM  ByM  C  AxN  ByN  C   0 .
1.8.4. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt
nhau


14

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình  d1  : A1 x  B1 y  C1  0 và

 d2  : A2 x  B2 y  C2  0 . Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳng  d1  và  d 2  có dạng

A1 x  B1 y  C1
A B
2
1

2
1



A2 x  B2 y  C2
A2  B 2
2

2

 0.

1.8.5. Góc giữa hai đƣờng thẳng
Định nghĩa. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó.
Định lý
Cho hai đường thẳng  d1  : A1 x  B1 y  C1  0 và  d2  : A2 x  B2 y  C2  0 . Góc 
giữa hai đường thẳng  d1  và  d 2  được tính bởi công thức





cos   cos n1 , n2 

n1.n2



n1 . n2

A1 A2  B1 B2

A12  B12 . A22  B22

, trong đó n1 , n2 lần lượt là

vectơ pháp tuyến của  d1  và  d 2  .
Hệ quả
i.

 d1    d2   A1 A2  B1B2  0 .

ii.

Cho hai đường thẳng  1  : y  k1 x  m1 và  2  : y  k2 x  m2 . Khi đó

k1  k2
;
m

m
2
 1

+  1  song song   2   

k1  k2
;
m1  m2

+  1  trùng với   2   

+  1  cắt  2   k1  k2 ;
+  1  vuông góc   2   k1.k2  1 .

2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ
2.1. Chuyển đổi các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng  d  : y  2 x  5 .
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d  .
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng  d  .
c) Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d  .


15

Phân tích
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 với

A2  B 2  0 mà phương trình của  d  là y  2 x  5 nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số
hạng của phương trình về một vế.

 x  x0  at
 y  y0  bt

b) Để đưa phương trình  d  về dạng phương trình tham số  d  : 

t  R  , ta cần tìm được một điểm cố định M  x0 , y0    d  và một vectơ chỉ phương
u   a; b  của đường thẳng  d  . Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình  d  về dạng phương

trình tham số bằng cách đặt x  t , khi đó y  2t  5 , nghĩa là M  0; 5 và u  1;2  .
c) Để đưa phương trình của  d  về dạng phương trình theo đoạn chắn
x y

 1
a b

 a  0, b  0  , ta cần tìm giao điểm A  a;0 của  d 

với Ox và giao điểm

B  0; b  của  d  với Oy . Ngoài ra, vì phương trình  d  có dạng y  2 x  5 nên ta có thể
đưa phương trình của  d  về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số
hạng chứa x, chứa y về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình
cho 5 .
Các bƣớc giải
a)

Để đưa đường thẳng  d  : y  2 x  5 về dạng phương tổng quát, ta cần

chuyển y sang cùng một vế với 2 x  5 , ta được phương trình đúng dạng với dạng của
phương trình tổng quát của đường thẳng.
b)

Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1
Bước 1. Từ câu a) ta tìm được một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  là
n   2; 1 ;

Bước 2. Từ vectơ pháp tuyến vửa tìm được ta suy ra vectơ chỉ phương của đường
thẳng  d  là u  1; 2  ;
Bước 3. Tìm một điểm M  0; 5 thuộc đường thẳng  d  ;

16

Bước 4. Từ vectơ chỉ phương và điểm M thuộc  d  ta suy ra được phương trình
tham số của đường thẳng  d  .
Cách 2
Tham số hóa x và y . Đặt x  t , thay x  t vào phương trình y  2 x  5 ta được

y  2t  5 . Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng  d  .
c)

Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1
Bước 1. Từ phương trình tổng quát  d  : 2 x  y  5  0 , ta chuyển hệ số tự do 5
sang vế phải, ta được 2 x  y  5 ;
Bước 2. Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng

x y
 1
a b

 a  0, b  0 

nên để

vế phải bằng 1 ta cần chia hai vế của phương trình 2 x  y  5 cho 5 . Khi đó, ta được
2
1
x  y  1;

5
5

Bước 3. Biến đổi phương trình vừa tìm được về đúng dạng phương trình theo đoạn
chắn

x
y

 1.
5 5
2
Cách 2
Ta lần lượt tìm giao điểm của đường thẳng  d  với trục Ox và Oy . Từ đó suy ra

phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Bài giải
a)

Ta có: y  2 x  5  2 x  y  5  0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  d  : 2 x  y  5  0 .
b)

Cách 1
Ta có  d  : 2 x  y  5  0

 vtpt n d    2; 1  vtcp u d   1;2 
Mà M  0; 5   d 

17

Nên phương trình tham số của đường thẳng  d  đi qua điểm M  0; 5  và có

x  t
 y  5  2t

vtcp u d   1;2  có dạng 

t  R  .

Cách 2
Đặt x  t

t  R 

Thay x  t vào phương trình y  2 x  5 , ta được y  2t  5 .

x  t
 y  5  2t

Vậy PTTS của đường thẳng  d  có dạng 

t  R  .

Cách 1

c)

Ta có: 2 x  y  5  0  2 x  y  5 

2x y
x
y
 1 
 1.
5 5
5 5
2

Đây là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d  .
Cách 2
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng  d  với Ox, Oy .

5 
Ta có: A   d   Ox   ;0  B   d   Oy   0; 5
2 
Vậy phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d  là

x y

 1.
5 5
2

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  d  biết

x  2  t
 y  1  2t

d  : 

t  R 

Phân tích
Phương trình chính tắc của đường thẳng  d  có dạng  d  :

x  x0 y  y0
với

a
b

a  0, b  0 . Để lập được phương trình đường thẳng dạng chính tắc ta cần có tọa độ một
điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Các bƣớc giải
Ta có hai cách giải.
Cách 1


18

Bước 1. Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng

 d  là u  1; 2  ;
Bước 2. Tìm tọa độ một điểm thuộc  d  là M  2;1 ;
Bước 3. Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳng  d  theo dạng

d  :

x  x0 y  y0
.

a
b

Cách 2
Bước 1. Từ hai phương trình x  2  t , ta suy ra được t  x  2 ;
Bước 2. Từ hai phương trình y  1  2t , ta suy ra được t 
Bước 3. Cho x  2 

y 1
;
2

y 1
, biến đổi về đúng dạng, ta tìm được phương trình chính
2

tắc của đường thẳng  d  .
Bài giải
Cách 1. Ta có đường thẳng  d  đi qua điểm M  2;1 và có vtcp u  1; 2  .
Suy ra  d  :

x  2 y 1
.

1
2

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng  d  :

x  2 y 1
.

1
2

t  x  2
x  2  t
y 1
x  2 y 1

Cách 2. Ta có 
.



y 1  x  2 

2
1

2
t

 y  1  2t

2

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng  d  :

x  2 y 1
.

1
2

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d  biết

 x  3  t
 y  6  2t

d  : 
Phân tích

t  R 


19

Từ phương trình tham số của  d  ta tìm được vectơ chỉ phương của  d  , từ vectơ
chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến. Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng  d 
, như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  d  .
Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng  d  bằng cách
khác. Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào
phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng.
Các bƣớc giải
Cách 1

Bước 1. Chọn một trong hai phương trình để tìm t theo biến x hoặc y . Giả sử ta
chọn x  3  t . Ta tìm được t  x  3 ;
Bước 2. Thay t  x  3 vào phương trình y  6  2t , rút gọn ta được phương trình
tổng quát 2 x  y  0 .
Cách 2

Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳng  d  ;
Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  , từ vectơ chỉ phương

suy ra vectơ pháp tuyến của  d  .
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vectơ
pháp tuyến n   A; B  có dạng  d  : A  x  x0   B  y  y0   0.
Bài giải
Cách 1

 x  3  t
t  x  3
t  x  3
Ta có: 
.


 y  6  2  x  3
 y  6  2t
2 x  y  0


Vậy phương trình tổng quát của  d  là 2 x  y  0 .
Cách 2
Ta có: vtcp u d   1; 2   vtpt n d    2;1 .

Đường thẳng  d  đi qua M  3;6 và có vtpt n d    2;1 .
Vậy phương trình tổng quát của  d  là

2  x  3   y  6   0  2 x  y  0.
2.2. Thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng


20

2.2.1. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có phƣơng cho trƣớc
Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d  biết  d  đi qua điểm

M 1; 2  và có vectơ pháp tuyến n  1; 2  .
Phân tích
Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vectơ pháp tuyến
n   A; B  có dạng  d  : A  x  x0   B  y  y0   0 nên để lập được phương trình tổng quát

của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của
đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng  d  qua M 1; 2  và có vectơ pháp tuyến
n  1; 2  , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định điểm M 1; 2 thuộc đường thẳng  d  ;
Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vectơ
pháp tuyến n   A; B  có dạng  d  : A  x  x0   B  y  y0   0.
Bài giải
Đường thẳng  d  đi qua điểm M 1; 2  và có vectơ pháp tuyến n  1; 2  . Vậy
phương trình đường thẳng  d  :1 x  1  2  y  2   0  x  2 y  3  0 .
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng  d  biết  d  qua N  3;2  và

có vectơ chỉ phương u  1; 2  .
Phân tích
Đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận vectơ u   a; b  làm vectơ chỉ

 x  x0  at
 y  y0  bt

phương có phương trình tham số là  d  : 

t  R 

nên để lập được phương

trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng  d  qua N  3;2  và có
vectơ chỉ phương u  1; 2  , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số
của đường thẳng.


21

Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định điểm N  3;2 thuộc đường thẳng  d  ;
Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận vectơ

 x  x0  at
 y  y0  bt

u   a; b  làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là  d  : 

t  R .

Bài giải
Đường thẳng  d  đi qua điểm N  3;2  và có vectơ chỉ phương u  1; 2  . Vậy

 x  3  t
 y  2  2t

phương trình đường thẳng  d  : 

t  R  .

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng  d 
đi qua 2 điểm A  2;1 và B  4;5 .
Phân tích
Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng  d 
ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương
của đường thẳng  d  . Trong ví dụ này, đường thẳng  d  đi qua hai điểm A và B nên có
vectơ chỉ phương là u d   AB , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến n d  của
đường thẳng  d  . Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và phương
trình tham số của đường thẳng  d  .
Các bƣớc giải
Phương trình tổng quát
Bước 1. Xác định điểm A  2;1 hoặc B  4;5 thuộc đường thẳng  d  ;
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  , u d   AB   6;4  ;
Bước 3. Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến n d    4;6  ;


22

Bước 4. Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vectơ
pháp tuyến n   a; b  có dạng  d  : a  x  x0   b  y  y0   0. Từ đó, ta viết phương trình
tổng quát của đường thẳng  d  .
Phương trình tham số
Bước 1. Xác định điểm A  2;1 hoặc B  4;5 thuộc đường thẳng  d  ;
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  , u d   AB   6;4  ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận vectơ
u   u1 ; u2  làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

 x  x0  u1t
 y  y0  u2t

d  : 

 t  R  . Từ đó, ta viết phương trình tham số của đường thẳng  d  .

Bài giải
Đường thẳng  d  qua A  2;1 và có vectơ chỉ phương u d   AB   6;4 

 x  2  6t
 y  1  4t

Vậy phương trình tham số của đường thẳng  d  là  d  : 

t  R .

Ta có: vectơ chỉ phương u d   AB   6;4   vectơ pháp tuyến n d    4;6 
Đường thẳng  d  qua A  2;1 và có vectơ pháp tuyến n d    4;6 
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  d  là  d  : 2 x  3 y  7  0 .

2.2.2. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trƣớc
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua M  2;4  và có hệ số
góc k  2 .
Phân tích
Khi đề bài yêu cầu viết phương trình một đường thẳng thì ta có thể viết phương
trình đường thẳng đó dưới dạng tổng quát. Từ phương trình đường thẳng theo hệ số góc, ta
có thể chuyển nó sang phương trình tổng quát như sau:

y  y0  k  x  x0   kx  y  y0  kx0  0.
Các bƣớc giải

Bước 1. Xác định một điểm M  2;4  thuộc đường thẳng  d  và hệ số góc k  2 ;
Bước 2. Lập phương trình đường thẳng  d  .


23

Bài giải

Đường thẳng  d  đi qua M  2;4  và có hệ số góc k  2 có dạng

 d  : y  4  2  x  4
 2x  y  4  0
Vậy phương trình đường thẳng  d  là 2 x  y  4  0 .
2.2.3. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông
góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc
Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến.
Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua A  1;2  và song song

với đường thẳng    : 2 x  3 y  1  0 .
Phân tích
Đường thẳng  d  song song với đường thẳng    nên hai đường thẳng có cùng
vectơ pháp tuyến. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  kết hợp
với giả thiết  d  đi qua A  1;2  ta lập được phương trình đường thẳng  d  .
Các bƣớc giải
Bước 1. Vì đường thẳng  d  song song với đường thẳng    nên phương trình
đường thẳng  d  có dạng 2 x  3 y  m  0

 m  1 ;

Bước 2. Giả thiết điểm A  1;2  thuộc đường thẳng  d  . Thay tọa độ điểm

A  1;2  vào phương trình 2 x  3 y  m  0 , ta tìm được m ;
Bước 3. So điều kiện m  1 với giá trị m vừa tìm được. Nếu m  1 , ta nhận giá
trị m và thay m vào phương trình 2 x  3 y  m  0 , ta tìm được phương trình đường thẳng

 d  thỏa yêu cầu bài toán. Nếu m  1 , ta loại giá trị m này vì với m  1 ta tìm được
phương trình đường thẳng  d  : 2 x  3 y  1  0 trùng với phương trình đường thẳng   
không thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Vì  d  song song với    nên  d  có dạng 2 x  3 y  m  0

 m  1

Ta có: A  1;2    d   2. 1  3.2  m  0  m  4 (nhận).


24

Thay m  4 vào 2 x  3 y  m  0 , ta được 2 x  3 y  4  0.
Vậy phương trình đường thẳng  d  : 2 x  3 y  4  0 .
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua B  3; 2  và vuông
góc với đường thẳng    : x  2 y  3  0 .
Phân tích
Đường thẳng  d  vuông góc với đường thẳng    nên vectơ chỉ phương của   
là vectơ pháp tuyến của  d  . Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d 
kết hợp với giả thiết  d  đi qua B  3; 2  ta lập được phương trình đường thẳng  d  .
Các bƣớc giải
Bước 1. Vì đường thẳng  d  vuông góc với đường thẳng    nên phương trình
đường thẳng  d  có dạng 2 x  y  m  0 ;
Bước 2. Giả thiết điểm B  3; 2  thuộc đường thẳng  d  . Thay tọa độ điểm

B  3; 2  vào phương trình 2 x  y  m  0 , ta tìm được m ;
Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 2 x  y  m  0 , ta tìm được
phương trình đường thẳng  d  thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Vì  d  vuông góc với    nên  d  có dạng 2 x  y  m  0
Ta có: B  3; 2    d   2.3  2  m  0  m  4 .
Thay m  4 vào 2 x  y  m  0 , ta được 2 x  y  4  0
Vậy phương trình đường thẳng 2 x  y  4  0 .
Ví dụ 3. Viết phương trình đường trung trực  d  của đoạn thẳng MN biết

M  1; 1 và N 1;9  .
Phân tích
Đường thẳng  d  là đường trung trực của đoạn thẳng MN nên đường thẳng  d  đi
qua trung điểm của đoạn MN và vuông góc với MN . Do đó, vectơ pháp tuyến của  d  là
vectơ chỉ phương của đường thẳng MN . Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm
một điểm thuộc đường thẳng  d  , điểm đó là trung điểm của MN .

25

Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi I là trung điểm của MN , tìm tọa độ điểm I bằng công thức tính tọa
độ trung điểm;
Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương MN . Suy ra vectơ pháp tuyến n d   MN ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua I và có vectơ pháp tuyến

n d   MN .
Bài giải
Gọi I  xI ; yI  là trung điểm của MN .
x  xN 1  1

xI  M

0


2
2
 I  0;4  .
Tọa độ điểm I thỏa 
y

y

1

9

M
N
y 

4
I

2
2


Vì  d  vuông góc với MN nên n d   MN   2;10  .
Phương trình đường thẳng  d  đi qua I và có vectơ pháp tuyến n d  là

2  x  0  10  y  4   0  2 x  10 y  40  0  x  5 y  20  0.
Vậy phương trình đường thẳng  d  : x  5 y  20  0 .
2.2.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách
Phƣơng pháp
Đường thẳng  d  đi qua M  x0 ; y0  và có vectơ pháp tuyến n   A; B  có dạng

A  x  x0   B  y  y0   0 với A2  B 2  0 ;
Từ điều kiện của góc hay khoảng cách được cho trong giả thiết bài toán, ta tìm ra
một phương trình với hai ẩn A và B . Tìm A , suy ra B hoặc ngược lại. Thay A và B
vừa tìm được vào phương trình A  x  x0   B  y  y0   0 , ta được phương trình đường
thẳng  d  cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hai điểm M  1;2  và N  3;5 . Viết phương trình đường thẳng  d 
đi qua M biết rằng khoảng cách từ N đến đường thẳng  d  bằng 3.