Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

1

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa ................................................................................................................. i
Lời cam đoan ................................................................................................................. ii
Lời cảm ơn .................................................................................................................... iii
Mục lục ........................................................................................................................... 1
Danh mục các cụm từ viết tắt....................................................................................... 3
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 4
II. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................ 5
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................. 5
IV. Đóng góp của luận văn ........................................................................................... 5
Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm ........................................................... 6
1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 6
1.2. Ý nghĩa ............................................................................................................ 7
1.3. Vai trò của đạo hàm trong chƣơng trình Toán phổ thông ............................... 9
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống .............................................................. 9
2. Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức ..................................................... 10
2.1. Khái niệm năng lực ....................................................................................... 10
2.2. Các cấp độ nhận thức .................................................................................... 11
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh ............................................................................... 12
3.2. Về giảng dạy của giáo viên ........................................................................... 13
3.3. Biện pháp ....................................................................................................... 13

2

Chương II
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH.
1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm ............................................................ 14
2. Bài tập ứng dụng đạo hàm ..................................................................................... 23
2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số ........................................... 23
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị .................................................................. 32
2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm ............................ 39
2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình ........................................................... 43
2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình ..................................................... 49
2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình....................................................... 54
2.7. Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ
phƣơng trình có nghiệm ................................................................................ 62
2.8. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ............................................. 80
2.9. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ............ 99
2.10. Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập có liên quan đến thực tiễn .................. 113
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 118
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 119


3

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT
 : Với tất cả.

 : Tƣơng đƣơng.
 : Thuộc.

 : Tồn tại ít nhất.

 : Suy ra.

 : Vô cùng.

 ;  : Khoảng.
 ; , ; 

: Nửa khoảng.

 ;  : Đoạn.
VT: Vế trái.
VP: Vế phải.
PT: Phƣơng trình.
THPT: Trung học phổ thông.
GV: Giáo viên.
HS: Học sinh.
SGK: Sách giáo khoa.
HD: Hƣớng dẫn.
PPDH: Phƣơng pháp dạy học.


4

MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài

Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển năng lực
và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ duy trừu tƣợng, chính xác, hợp logic, phƣơng
pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo.
Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng
giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lƣợng kiến thức và thời gian của chƣơng trình môn
Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc gia và
đề thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học, Cao đẳng và Trung cấp chuyên nghiệp. Bởi
vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu
ích đối với các em HS lớp 12.
Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán phổ thông, là một trong hai
phép tính cơ bản của giải tích. Đạo hàm là công cụ giúp chúng ta nghiên cứu các tính
chất của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn
của hàm số. Vận dụng tính chất của đạo hàm còn giúp HS giải đƣợc các bài toán Đại số
nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức…
Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác nhƣ: bài toán tính vận tốc, gia tốc
của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động…
Thực tế dạy học Toán ở trƣờng THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn
khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là
do các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứng dụng của kiến thức này.
Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài để nghiên cứu:
“Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực
cho học sinh”.


5

II.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ
thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực
trong học Toán.
III.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:
+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS.
IV.

Đóng góp của luận văn

Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân
tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chƣơng trình phổ thông.
Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy
và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng.


6

Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm.
1.1. Định nghĩa.
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a, b) và x0  (a, b).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim
xx0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 , ký hiệu là f '( x0 )
hoặc y '( x0 ) , tức là: f '( x0 )  lim
xx0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

1.1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Cách 1:Tính trực tiếp f '( x0 )  lim
xx0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , ta thực hiện 4 bƣớc:
Bƣớc 1: Cho x0 số gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 )
Bƣớc 2: Lập tỉ số

x
y

Bƣớc 3: Tính f '( x0 )  lim

x  x0

Bƣớc 4: Kết luận.
[9]

y
.
x


7

1.1.2. Định nghĩa đạo hàm cấp cao.
Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm tại mỗi điểm x   a; b  . Khi đó, hệ thức
y '  f '  x  xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm y '  f '  x  lại có đạo

hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y ' là đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x  tại x và kí
hiệu là y '' hoặc f ''( x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y  f  x  đƣợc định nghĩa tƣơng tự và kí hiệu là y ''' hoặc

f '''( x) hoặc f 3  x  .
+ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  1 , kí hiệu là f  n1  x   n  , n  4  .
Nếu f  n1  x  có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f ( x) , kí
hiệu là y   hoặc f  n  x  .
n

f

n

 x    f  n1  x   '

1.2. Ý nghĩa.
1.2.1. Ý nghĩa hình học.
1.2.1.1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x0  (a, b). Gọi (C ) là đồ
thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của (C )
tại điểm M 0  x0 ; f  x0   . [9]


8

1.2.1.2. Bài tập liên quan:
Loại 1: Phƣơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M  x0 ; y0  .
Loại 2: Phƣơng trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trƣớc.
1.2.2. Ý nghĩa vật lý.
1.2.2.1.Vận tốc tức thời.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của vị trí theo thời gian.
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phƣơng trình s  s(t ) , với s  s(t ) là một hàm số có
đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số
s  s(t ) tại t0 : v  t0   s '  t0  .

1.2.2.2. Cường độ tức thời.
Nếu điện cƣờng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q  Q  t  với
Q  Q  t  là một hàm số có đạo hàm thì cƣờng độ tức thời của dòng điện tại thời điểm
t0 là đạo hàm của hàm số Q  Q  t  tại t0 : I  t0   Q '  t0  .

1.2.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Đạo hàm cấp hai f ''(t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s  f (t ) tại thời điểm t.
Xét chuyển động xác định bởi phƣơng trình s  f (t ) , trong đó s  s(t ) là một hàm số có
đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v  t   f '  t  . Lấy số gia
t tại t thì v(t ) có số gia tƣơng ứng là v . Tỷ số

v
đƣợc gọi là gia tốc trung bình của
t

chuyển động trong khoảng thời gian t . Nếu tồn tại v '(t )  lim

t 0

v
  (t ), ta gọi v '(t )   (t )
t

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Vì v '(t )   (t ) nên  (t )  f ''(t ).


9

1.3. Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông.
Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ
vai trò chủ đạo. Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất
của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn…
Phƣơng pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình,
bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống.

Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế
học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng,....Vì thế, đạo hàm là một công
cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực. Do vậy đạo hàm có
nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Chẳng hạn:
+ Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định.
+ Vật tốc của một vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định.
+ Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định.
+ Sự biến thiên của thị trƣờng chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định.
+ Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định.
+ Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas.
+…
Sau đây, chúng tôi đƣa ra một số ví dụ điển hình:
 Vật lý điện tử:
Nếu ta xem Q(t) là một hàm số biểu diễn điện tích có trong 1 đoạn dây dẫn ở một thời
điểm t, thì đạo hàm Q'(t) s cho ta cƣờng độ dòng điện chạy qua đoạn dây đó.
Dễ thấy, khi xét khoảng thời gian giữa hai thời điểm t1, t2 bất kì, lƣợng điện tích chạy
qua tiết diện của đoạn dây là: Q(t 2)  Q(t1 )


10

Khi đó, cƣờng độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời
gian) trong khoảng thời gian này đƣợc định nghĩa nhƣ sau: I tb 

Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

Cƣờng độ dòng điện tức thời I(t) ở một thời điểm t1 bất kì có thể đƣợc tính bởi giới hạn
sau: I  lim
t1 t2

Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

 Trong hoá học:
Trong Hóa học, chúng ta có các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm đó là: bài
toán về tốc độ phản ứng.
 Các bài toán kinh tế :
Qua số liệu thông kê, ngƣời ta nhận định rằng, doanh thu của công ty FPT sau t năm
tính từ đầu năm 2010 là: R(t )  5t 2  7t  90 tỷ đồng. Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm
doanh thu của công ty vào đầu năm 2016 ?
 Trong xây dựng:
Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu)
Bạn muốn xây dựng một bình chứa nƣớc hình trụ thể tích 160 m3 . Đáy bằng bê tông giá
250.000 VND/m2 , thành bằng tôn, giá 100.000 VND/m2 , bề mặt bằng nhôm không han

giá 150.000 VND/m2 . Vậy kích thƣớc của bình chứa nƣớc nhƣ thế nào để số tiền xây
dựng nó là ít nhất ?
Nhƣ vậy: Đạo hàm cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn
đề trong thực tế. Do vậy, trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần
giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này.
2. Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức.
2.1. Khái niệm năng lực.
Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí
của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo
cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.


11

Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn,
trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển
năng lực chuyên môn. Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng ở một lĩnh vực nhất
định, ví dụ nhƣ năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1].
Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan
hệ chặt ch với nhau.
2.2. Các mức độ nhận thức.
2.2.1. Nhận biết.
Bao gồm việc ngƣời học có thể nhớ lại các điều đặc biệt hoặc tổng quát, trọn
vẹn hoặc một phần các quá trình, các dạng thức, cấu trúc đã đƣợc học. Ở cấp độ này
ngƣời học cần nhớ lại đúng điều đƣợc hỏi đến.
Từ khóa đánh giá: Trình bày, nhắc lại, mô tả, liệt kê…
2.2.2. Thông hiểu.
Ở cấp độ nhận thức này ngƣời học cần nắm đƣợc ý nghĩa của thông tin, thể hiện
qua khả năng diễn giải, suy diễn, liên hệ.
Từ khóa đánh giá: Giải thích, phân biệt, khái quát hóa, cho ví dụ, so sánh…
2.2.3. Vận dụng.
2.2.3.1. Mức độ thấp.
Ngƣời học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới.
Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng…
Ngƣời học có khả năng chia các nội dung, các thông tin thành những phần nhỏ
để có thể chỉ ra các yếu tố, các mối liên hệ, các nguyên tắc cấu trúc của chúng.
Từ khóa: Phân tích, lý giải, so sánh, lập biểu đồ, phân biệt, hệ thống hóa…
2.2.3.2. Mức độ cao
Ngƣời học có khả năng đƣa ra nhận định, phán quyết của bản thân đối với một
vấn đề dựa trên các chuẩn mực, các tiêu chí đã có.


12

Từ khóa: Đánh giá, cho ý kiến, bình luận, tổng hợp, so sánh…
Đạt đƣợc cấp độ nhận thức cao nhất này ngƣời học có khả năng tạo ra cái mới,
xác lập thông tin, sự vật mới trên cơ sở những thông tin, sự vật đã có.
Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất….
Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng
lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2].
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh:
Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất
lƣợng học tập môn Toán chƣa thật sự cao, vẫn chƣa đồng đều. Chất lƣợng chỉ tƣơng
đối ổn định ở lớp chọn và lớp nâng cao. Còn đa số các lớp thuộc chƣơng trình chuẩn
chất lƣợng thƣờng rất thấp. Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau:
+ Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên
lớp và trong sách giáo khoa chƣa thực sự phù hợp với các đối tƣợng học sinh.
+ HS thƣờng mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm
sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cơ bản…
+ Có nhiều lỗ hỏng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán. Khả
năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống
Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế.
+ Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý
thức phấn đấu, vƣơn lên.
+ Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế,
đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa biết đƣợc đạo hàm đƣợc ứng dụng vào việc gì.
[2]


13

3.2. Về giảng dạy của giáo viên:
+ GV chƣa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm đƣợc

học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ
minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà.
+ GV thƣờng đƣa ra câu hỏi nêu vấn đề nhƣng chƣa thực sát tình huống thực tế.
+ Trong quá trình giảng dạy GV chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lƣợng kiến thức
và ít chú trọng đến cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức.
+ Trong quá trình giảng dạy thực tập tại các trƣờng THPT chúng tôi nhận thấy nhiều
GV chuẩn bị bài rất công phu, bên cạnh đó vẫn còn một số GV chuẩn bị nội dung và
bài giảng chƣa đúng với trọng tâm, chƣa thật chu đáo. Trong qua trình giảng dạy chƣa
khơi dậy đƣợc niềm say mê và hứng thú học tập. Chƣa góp phần tích cực vào việc xác
lập động cơ học tập đúng đắn cho HS. [2]
3.3. Biện pháp:
Nhằm khắc phục đƣợc hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên
thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận
biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao. Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này
giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức. HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái
niệm căn bản và tất cả đối tƣợng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học.


14

Chương II
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH
1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm.
1.1. Bài tập nhận biết.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây:
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x . Giá trị của hàm số tại x0  3 là?
A. f (3)  6

C. f (3)  3

B. f (3)  0

D. f (3)  6

Đáp án: B.
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) . Số gia của đối số tại x0 là?
A. x0  x0  x

C. y0  y0  y

B. x  x  x0

D. y  y  y0

Đáp án: B.
Câu 3: Cho hàm số y  f ( x) . Số gia hàm số tại x0 là?
A. y  f  x0  x   f  x0 

C. y  f  x  x   f  x 

B. y  f  x   f  x0 

D. y  f  x0  x   f  x0 

Đáp án: A.
Câu 4: Cho hàm số y  f ( x) xác định tại x0 . Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại x0 là?
A. f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
B.

x  x0

C. lim

f ( x)  f ( x0 )
(nếu tồn tại giới hạn).
x  x0

D. lim

f ( x)  f ( x0 )
(nếu tồn tại giới hạn)
x  x0

x 0

x  x0

Đáp án: D.


15

1.2. Bài tập thông hiểu.
Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x . Số gia của đối số tại x0  3 là ……………?
Đáp án: x  x  3
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x . Số gia của hàm số tại x0  3 là ……………?
Đáp án: y  f (3  x)  f (3)  3x  2 x
Câu 3: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x xác định tại x0  3 . Khi đó f '(3)  lim

x 3

Đáp án: f '(3)  lim
x 3

y
=......?
x

y
3x   2 x
 lim
 lim(3  x)  0
x 3
x x3
x

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  1 tại x0  1 bằng định nghĩa?
Bài giải: Hàm số f  x   x 2  2 x  1 xác định trong một lân cận của x0  1 . Ta có:
f (1)  0
...(1)...

x
 lim

2

 2 x  1  0

x 1

x 1

( x  1)2
 lim( x  1)  0
x 1
x 1
x 1

 lim

Vậy ...(2)...  0 .
Đáp án: (1) : lim
x 1

f ( x)  f (1)
;
x 1

(2): f '(1)

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2  x tại x0  0 bằng định nghĩa?
Bài giải: Giả sử x là …(1)… tại x0  0 . Ta có:
f (0)  0
y  ...(2)...

y
y
 ...(3)... ; lim
 ...(4)...


x

0
x
x

Vậy f '(0)  1.


16

Đáp án:
(1): số gia của đối số
2
(2) : f  0  x   f  0    x    x    0=x.(x  1)


x.(x  1)
(3) :
 x  1
x
(4) : lim  x  1  1
x 0

1.3. Bài tập vận dụng.
1.3.1. Dạng toán 1:
Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 bằng định nghĩa.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc:
Bƣớc 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0 . Tính y  f  x0  x   f  x0  .
Bƣớc 2: Lập tỉ số

y
x

y
x 0 x

Bƣớc 3: Tìm lim

Bƣớc 4: Kết luận.
Cách 2: Hàm số y  f  x  xác định trong một lân cận của x0 .
Ta có: f '( x0 )  lim
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x   2 x 2  4 x  1 tại x0  1.
HD:
Cách 1:


17

Giả sử x là số gia của đối số tại x0  1 . Ta có:
f (1)  1
y  f 1  x   f 1   2 1  x   4 1  x   1  (1)  2  x   1  1  2  x 



2

2

2

y 2  x 

 2x
x
x
2

y
 lim  2x   0
x 0 x
x 0
lim

Vậy f '(1)  0.
Cách 2:
Hàm số f  x   2 x 2  4 x  1 xác định trong một lân cận của x0  1 . Ta có:
f (1)  1
2 x 2  4 x  1  (1)

f ( x)  f (1)
2( x  1) 2
lim

= lim
= lim
 lim  2  x  1   0
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

Vậy f '(1)  0 .
Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x  

4x  7
tại x0  2.
3 x

HD:
Cách 1:
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  2 . Ta có:
f (2)  3
y  f  2  x   f  2  

y
1

x 5  x

y

 1  1
 lim 

x 0 x
x 0 5  x

 5
lim

1
5

Vậy f '(2)  .

4  2  x   7
15  4x
x
 (3) 
3
3   2  x 
5  x
5  x


18

Cách 2:
Hàm số f  x  

4x  7

xác định trong một lân cận của x0  2 . Ta có:
3 x

f (2)  3
4x  7
4 x  7  3(3  x)
 (3)
f ( x)  f (2)
3 x
lim
 lim 3  x
 lim
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x2
x2
1
1
= lim
 lim

x 2 ( x  2)(3  x )
x 2 3  x
5
1
5

Vậy f '(2)  .
Bài tập 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x  

x2  x  1
tại x0  3.
x 1

HD:
Cách 1:
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  3 . Ta có:
f (3) 

13
4

 3  x    3  x   1  13  4  x   15x
f  3  x   f  3 
4
4x  16
 3  x   1
2

y 

2

y 4  x   15x

x x.(4x  16)
2

 4  x 2  15x 
y
4x  15 15
lim
 lim 

  lim
x 0 x
x 0 x.(5x  20)

 x0 4x  16 16

Vậy f '(3) 

15
.
16

Cách 2:
Hàm số f  x  

x2  x  1
xác định trong một lân cận của x0  3 . Ta có:
x 1


19

f (3) 

13
4

x 2  x  1 13

2
f ( x)  f (3)
x

1
4  lim 4 x  9 x  9  lim 4 x  3  15
lim
 lim
x 3
x 3
x 3 4  x  1 x  3 
x 2 4( x  1)
x 3
x 3
16

Vậy f '(3) 

15
.
16

1.3.2. Dạng toán 2:
 f1 ( x)

Cho hàm số f ( x)  
 f 2 ( x)

x  x0
x  x0

.

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0 .
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 .
Bƣớc 2: Tính đạo hàm bên trái: f '( x0 )  lim

x  x0

Bƣớc 3: Tính đạo hàm bên phải: f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

Bƣớc 4: Nhận xét hoặc giải f '( x0 )  f '( x0 ) , từ đó đƣa ra kết luận.
 x 2  3x

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x   
 x  1

x 1
x 1

tại x0  1.

HD:
f (1)  2
f '(1 )  lim
x 1

f ( x)  f (1)
 x  1  (2)
( x  1)
 lim
 lim
 lim(
1)  1
x

1
x

1
x 1
x 1
x 1
x 1

f ( x)  f (1)
x 2  3x  (2)
( x  1)( x  2)
f '(1 )  lim
 lim
 lim
 lim(
x  2)  1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1


Vì f '(1 )  f '(1 )  1 nên hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 và f '(1)  1 .


20

sin x

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x   0
 tan x


x0

x  0 tại x0  0.
x0

HD:
f (0)  0
f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
sin x  0
sin x
 lim
 lim
1
x 0
x 0
x0
x
x

f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
tan x  0
tan x
 lim
 lim
1
x

0

x

0
x0
x
x

x 0

x 0

Nhận xét rằng f '(0 )  f '(0 )  1.
Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  0 và f '(0)  1.
 2 x2  7 x  3

Bài tập 3: Cho hàm số f  x    2 x  1
a


1
2.
1
x
2

x

1
2

Xác định a để hàm số trên có đạo hàm tại x0  . Tính đạo hàm tại điểm đó.
HD:
1
f  a
2

 2 x  1 x  3  lim x  3   5
2 x2  7 x  3
 lim


1
1
1
2x 1
2x 1
2
x
x
x

lim f ( x)  lim
x

1
2

2

2

2

1
2

Để hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  , trƣớc hết hàm số y  f ( x) phải liên
1

1
 

5

tục tại điểm x0  , do đó: f    lim1 f ( x)  a  
2
2
2
x

2

Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0 

5
1
1
và f '    lim1 f ( x)   .
2
2

 2  x 2


21

 x2
; x 1
y

f
(
x
)

.
Bài tập 4: Cho hàm số

ax

b
;
x

1

Tìm a, b để f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1.
HD:
f (1)  lim f ( x)  1
x 1

lim f ( x)  a  b

x 1

Để hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 , trƣớc hết hàm số y  f ( x) phải liên tục
tại điểm x0  1 , do đó: f (1)  lim f ( x)  lim f ( x)  a  b  1  b  1  a
x 1

x 1

f '(1 )  lim

 x  1 x  1  lim( x  1)  2
f ( x)  f (1)
x2 1
 lim
 lim
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
x 1

f '(1 )  lim

f ( x)  f (1)
ax  b  1
ax  1  a  1
a( x  1)
 lim

 lim
 lim
a
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

x 1

x 1

Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1  f '(1 )  f ' 1   a  2
Thay a  2 vào b  1  a ta đƣợc b  1
Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 khi và chỉ khi a  2, b  1.
1.3.3. Dạng toán 3:
Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) trên khoảng  a, b  bằng định nghĩa.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc 1: Tính y  f  x  x   f  x  .
Bƣớc 2: Lập tỉ số

y
.
x

y

.
x 0 x

Bƣớc 3: Tìm lim

Bƣớc 4: Kết luận.
Lưu ý: Trong phép tính này điểm x coi nhƣ cố định còn x thì tiến về 0.


22

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x3 trên khoảng  ,   bằng định nghĩa.
HD:
Với mọi x thuộc khoảng  ,   , ta có:
y  f  x  x   f  x 
  x  x   x3
3

2
 x 3x 2  3xx   x  



y
2
 3x 2  3x.x   x 
x
y
2
 lim 3x 2  3x.x   x    3x 2


x 0 x
x 0 
lim

Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  ,   và f '( x)  3x 2 .
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x3  5x2  2 x  3 trên khoảng  0,   bằng
định nghĩa.
HD:
Với mọi x thuộc khoảng  0,   , ta có:
y  f  x  x   f  x 
3
2
  x  x   5  x  x   2  x  x   3   x3  5 x 2  2 x  3


2
2
 x. 3 x  3 x.x   x   10 x  5x  2 



y
2
 3x 2  3x.x   x   10 x  5x  2
x
lim

x 0

y
2
 lim 3x 2  3x.x   x   10 x  5x  2  3x 2  10 x  2



x

0
x

Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  0,   và f '( x)  3x2  10 x  2.


23

2. Bài tập ứng dụng đạo hàm.
2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số.
2.1.1. Bài tập nhận biết.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua
các câu hỏi sau đây:
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số f ( x) đồng biến trên
khoảng K khi nào?
A. f '( x)  0, x  K

C. f '( x)  0, x  K

B. f '( x)  0, x  K

D. f '( x)  0, x  K

Đáp án: D.
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số f ( x) nghịch biến trên
khoảng K khi nào?
A. f '( x)  0, x  K

C. f '( x)  0, x  K

B. f '( x)  0, x  K

D. f '( x)  0, x  K

Đáp án: B.
Câu 3: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K và f '( x)  0, x  K .
Khi đó hàm số f ( x) :
A. Đồng biến trên khoảng K.
B. Nghịch biến trên khoảng K.
C. Không đổi trên khoảng K.
D. Vừa nghịch biến, vừa đồng biến trên khoảng K.
Đáp án: C.


24

Câu 4: Hàm số đồng biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

Đáp án: A.
Câu 5: Hàm số nghịch biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

Đáp án: C.
2.1.2. Bài tập thông hiểu.
Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x)  x3  2 x2  4 . Tập xác định của hàm số đã cho là ………..
Đáp án: D 
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x)  x3  2 x2  4 . Đạo hàm của hàm số đã cho là ………….
Đáp án: f ' ( x)  3x2  4 x
Câu 3: Hoàn thành bảng biến thiên sau:
x



y'

-3

-

0



0
…(1)…

0



4
...(2)…

0

+


3

...(3)…
y

0

0

Đáp án: (1): +
(2): –

(3):

Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên. Hãy điền vào chỗ còn thiếu của nhận xét sau:
Bảng biến thiên:


25

x



–

f '( x-)



4
0

+

f ( x)

1
Nhận xét:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ...(1)… và ...(2)… trên khoảng (;4) .
Đáp án: (1): (4; )
(2): nghịch biến
Câu 5: Điền vào chỗ còn thiếu để đƣợc bài toán hoàn chỉnh.
Xét sự biến thiên của hàm số y  f ( x)  2 x3  6 x  1
Tập xác định D 
x  1
y '  6 x2  6 ; y '  0  ...(1)...  0  
 x  1

Bảng biến thiên:
x

y'



…(2)…

…(4)…

0



…(3)…
–

0

…(5)…


5
y


–3

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng …(6)…; nghịch biến trên khoảng  1,1 .
Đáp án: (1): 6 x 2  6

(4): +

(2): –1

(5): +

(3): 1

(6):  , 1 và 1,  