van dung phep bien hinh giai toan toa do phang

VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
1) Cho hình chữ nhật ABCD có B(1;1), điểm M và N lần lượt là trung điểm của DA và DC.
Đường thẳng MN có phương trình x 3 y 1 0 , điểm D thuộc đường thẳng

d : x y 1 0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C biết A có tung độ dương.

A
M
D

B
E
C

N

d'
-

-

4
biến E thành D. Vì E thuộc MN
3
nên D thuộc đường thẳng d’ là ảnh của MN qua phép vị tự trên.
Khi đó, D là giao điểm của d và d’.
Viết pt AC. Đường tròn đường kính BD cắt AC tại hai điểm A và C.

Gọi E là trung điểm MN. Phép vị tự tâm B tỉ số

Tài liệu toán THPT

Page 1


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG

2) Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của AD, H

3 6
;
5 5
hình vuông.
CE, M

11 2
;
5 5

là hình chiếu của B lên

là trung điểm của BH. Biết A có hoành độ âm, tìm tọa độ các đỉnh của

d

A

B

M
E

Tìm B.
Viết phương trình AM và CE
Phép quay tâm B góc quay -900 biến đường thẳng CE
thành đường thẳng d (d qua A).
Viết pt d.
A là giao điểm của d và AM.

H
D

Tài liệu toán THPT

C

Page 2


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
3) Cho đường trong C : x 2

y2

9 , đường thẳng d : x y 3

3

0 và điểm A 3;0 .

M là điểm thuộc đường tròn (C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO lập thành hình

bình hành. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABM biết G thuộc đường thẳng d và G
có tung độ dương.

M

-

I

B
G

O

A

-

-

Tài liệu toán THPT

Gọi I là trung điểm của MB. Phép
1
tịnh tiến theo OA biến M thành
2
3
I. Phép vị tự tâm A tỉ số
biến I
2

thành G.
Do M thuộc đường tròn (C) nên G
thuộc ảnh của (C) qua tích của
phép vị tự và phép tịnh tiến nói
trên.
Mà G lại thuộc d nên G là giao
điểm của d và đường tròn (C’).

Page 3


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
4
và hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d 2 : 2 x y 2 0 .
5
Viết phương trình đường thẳng đi qua O cắt d1 và d2 lần lượt tại hai điểm M, N sao cho
AM//BN.

4) Cho điểm A 0;2 , B 0;

M

d1
B

O

A

N

d2

d2'
5
OB
2

-

Nhận thấy ba điểm O, A, B thẳng hàng và ta tính được OA

-

Ba điểm O, M, N thẳng hàng và AM//BN nên phép vị tự tâm O tỉ số

-

5
biến N
2
thành M. Do N thuộc d2 nên M phải thuộc đường thẳng d2’ là ảnh của d2 qua phép vị
tự trên. Vậy ta tìm được M là giao điểm của d2’ và d1.
Đường thẳng d chính là đường thẳng OM.

Tài liệu toán THPT

Page 4

VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
5) Cho hai đường tròn

C1 : x 1

2

y 3

2

9, C2 : x 2

2

y 2

2

5 . Lập

phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và cắt (C1), (C2) lần lượt tại M và N sao cho
AM = 2AN.
6) Cho điểm A(2;-1), B(2;-5) và đường tròn C : x 2

2

y 3

2

4 . MN là đường

kính của (C) sao cho đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến của (C) tại B lần lượt tại P
và Q. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết H thuộc đường thẳng
d : x y 3 0.

P
M
H
A

I

B

Dễ thấy AB là đường kính của (C).
H là trực tâm tam giác MPQ nên
HM//AB (vì cùng vuông góc với PQ)
và HQ//BM (vì cùng vuông góc với
AP). Vậy nên ABMH là hình bình
hành.
Phép tịnh tiến theo vecto BA biến M
thành H. Mà M thuộc đường tròn (C)
nên H thuộc đường tròn (C’)_ ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến nói trên. Vậy H
là giao của (C’) và d.

N

Q

Tài liệu toán THPT

Page 5


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
7) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;-3), đường phân giác góc DAC có phương trình
x 2 y 10 0 . Đường thẳng AB đi qua M(-5;-5). Tìm tọa độ các đỉnhcủa hình chữ
nhật.

M B

A

d là phân giác của góc DAC nên là trục
đối xứng của 2 đường AD và AC. Gọi I’
là điểm đối xứng với I qua d thì I’ thuộc
AD.
Đường tròn đường kính I’M cắt d tại A.

I
I'

D

C
d

Tài liệu toán THPT

Page 6


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2 x 4 y 20 0 và hai đường
thẳng d1 : 2 x y 5 0; d 2 : 2 x y 0 . Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) tại
A và cắt d1 , d 2 lần lượt tại B, C sao cho B là trung điểm của AC.

I

C
d2

B
d1

A

l

d2'

Gọi d2’ là đường thẳng đối xứng với d2 qua d1.
Vì d1//d2 và B là trung điểm của AC nên A thuộc d2’. Vậy A là giao điểm của d2’ và đường
tròn (C). Từ đó ta viết tiếp tuyến của (C) tại A một cách dễ dàng.

Tài liệu toán THPT

Page 7


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG

9) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 5;1 và đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Tìm
điểm M trên đường thẳng d và điểm N trên đường tròn C : x 1
tam giác AMN vuông cân tại A.

N2

M2
N1

M1

Tài liệu toán THPT

y 1

2

25 sao cho

Tam giác AMN vuông cân tại A nên phép
quay tâm A góc quay 900 biến M thành N.
Do M thuộc đường thẳng d nên N phải
thuộc đường thẳng d’ - ảnh của d qua phép
quay nói trên.
Vậy N là giao điểm của d’ và đường tròn

(C).

A
d

2

d'

Ở đây lưu ý điểm A thuộc d nên d’ chính
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
d.

Page 8


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x 4 y 15 0 và hai đường tròn
C1 : x 1

2

y 2

2

9 ; C2 : x 1

2

y2

16 . Tìm điểm M trên ( C1 ) và N trên ( C 2 )

sao cho MN nhận đường thẳng d làm trung trực và N có hoành độ âm.

M1
I1

I2

N1

M2

I1'
N2
d

d là trung trực của MN nên phép đối xứng trục d biến M thành N. Mà M thuộc đường tròn
(C1) nên N phải thuộc đường tròn (C1’)- ảnh của (C1) qua phép đối xứng trục d. Vậy nên N
là giao điểm của 2 đường tròn (C2) và (C1’).

Tài liệu toán THPT

Page 9


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
11) (Trích đại học khối A 2014)Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi

M là trung điểm cạnh AB, N là điểm trên AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình
đường thẳng CD. Biết M(1;2), N(2;-1).

M

A

B

Như vậy, ta thực hiện phép quay tâm N,
góc quay 900 thì điểm M biến thành điểm
D. (Khi thực hành giải toán ta viết phương
trình đường ND qua N và vuông góc với
MN, sử dụng giả thiết ND = NM)

I
N

D

Tài liệu toán THPT

E

F

Ta dễ thấy tam giác NCE và NEI là các
tam giác vuông cân tại N. Do đó, phép
quay tâm N góc quay -900 biến C thành E,
biến E thành I, và dĩ nhiên, theo tính chất

của phép quay thì nó cũng biến D thành
M.

C

1
NM , CF
3
đó tìm được F, C…

Ta lại có NF

1
CD
6

từ

Page 10


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) và phương trình
đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình
C : x 2 y 2 4 x 4 y 1 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A

G I

P

N

H

G

C

B

M

Đường tròn (C) là đường tròn Euler, nó đi qua các trung điểm M, N, P của các cạnh tam
giác ABC.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là tâm đường tròn (C).
Phép vị tự tâm G, tỉ số -2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC, do đó, nó biến đường
tròn ngoại tiếp tam giác MNP (là đường tròn (C)) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC, tức ta có GI

2GE

Ta dễ dàng chứng minh được IH

3IG

Từ đó ta có HI 2HE hay phép vị tự tâm H biến E thành I, biến đường tròn Euler (C)
thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tài liệu toán THPT

Page 11


VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1;2). Phương trình
đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến
2
2
y 2
25 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
cạnh BC là C : x 3
ABC.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x 1
A(1;0).

2

y 3

2

16 và điểm

a) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay lần lượt là 900 ; 900 .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 60 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 600 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và đường tròn đi

qua trung điểm các cạnh của tam giác có phương trình là T : x 2 y 2 4 x 4 y 8 0 . Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có C thuộc đường thẳng
d:2x+y+5=0 và điểm A(-4;8). Gọi M là điểm đối xứng với B qua C, N là hình chiếu của B
trên DM. Tìm tọa độ của B và C biết N(5;-4).

Công thức phép quay

Tài liệu toán THPT

x ' x0

x x0 cos

y

y0 sin

y ' y0

x x0 cos

y

y0 sin

Page 12