Truc toa do

1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ : Định nghĩa (SGK)
Ký hiệu: Oxyz.
Điểm O là
+) Điểm O được gọi là gốc toạ độ . gốc toạ độ
+) Trục xOx được gọi là trục hoành.
+) Trục yOy được gọi là trục tung.
+) Trục zOz được gọi là trục cao.

rr r
+) i, j , k là ba véc tơ đơn vị đôi mét
vu«ng gãc, ta cã:

r2 r 2 r 2
rr r r rr
i = j = k = 1 , i. j = j .k = k.i = 0

+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn
được gọi là không gian Oxyz.

zOz là trục cao

z

r

k

y’

r
i

O

x’

r
j
z’

x

x’oxlµ trơc hoµnh

y’Oy lµ trơc tung

y


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
uuu uuu uuur
r
r
ABCD.A’B’C’D’ cã ®Ønh A trïng víi gèc O, cãAB , AD, AA ' theo thø tù
rr r
cïng h­ínguuu uuui,uuuu k vµ cã AB = a, AD =b, AA’ = c. HÃy tính toạ độ
với r j , uuur
r
r
các vectơ AB, AC, AC ', AM với M là trung điểm cđa C’D’.
Gi¶i: Ta cã:

uuu r uuu
r
r r uuur r uuu
r
+ ) AB = ai, AD = b j , AA ' = c k ⇒ AB = ( a;0;0 ) .
uuu uuu uuu r r uuu
r
r
r
r
+ ) AC = AB + AD = ai + b j ⇒ AC = ( a; b;0 ) .

A’

z

uuuu uuu uuu uuur r r r uuuu

r
r
r
r
+ ) AC ' = AB + AD + AA ' = ai + b j + c k ⇒ AC ' = ( a; b; c ) .
B’
uuur uuuu uuuuu uuu uuur uuuuu
r
r
r
r
+ ) AM = AD ' + D ' M = AD + AA ' + D ' M
c
uuu uuur 1 uuu r r 1 r
r
r
A
= AD + AA ' + AB = b j + c k + ai.
a O
2
2
uuur  1

⇒ AM =  a; b; c ÷.
2


B

x

D’
C’

M

D

b

y
C


1

Hệ toạ độ trong không gian

Kiến thức cũ
r
r
Trong mặtr r với hệ trục toạ độ Oxy cho a = (a1; a 2 ), b = (b1; b 2 )
ph¼ng
Ta cã: 1) ar+ b = (a1 + b1; a 2 + b 2 )
r
2) a − b = (a1 − b1; a 2 − b 2 )
r
3) k.a = (ka1; ka 2 ), k ∈ ¡
r r a1 = b1
4) a = b ⇔ 

a 2 = b 2
r r r
r
5) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a 1 = kb1 ,a 2 = kb 2 .
6) Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) th×
uuu uuuu uuu
r
r
r
∗ AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ).

∗ Toạ độ trung điểm M của AB: M(

xA + xB yA + yB
;
)
2
2


1

Hệ toạ độ trong không gian

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vect¬
r r
Ta cã: 1) a + b = (a1 + b1; a 2 + b 2 ;a 3 + b 3 ).
r r
2) a − b = (a1 − b1; a 2 − b 2 ;a 3 − b 3 ).

r
3) ka = (ka1; ka 2 ;ka 3 ), k ∈ ¡
HƯ qu¶:
a =b

r
r
a = (a1; a 2 ;a 3 ), b = (b1;b 2 ;b 3 )


1
r r  1
1) a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
r r r3
r
2) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a 1 = kb1,a 2 = kb 2 ,a 3 = kb 3.
3)Trong k/g víi hƯ Oxyz cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B ) th×
uuu uuuu uuu
r
r
r
+ ) AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).

+) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :

M(

x A + x B yA + yB z A + z B

;
;
)
2
2
2


1

Hệ toạ độ trong không gian
Câu hỏi thảo luận

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Cho A(1; 2; 3), B( 1;3; 4),C(5;0; 1).
uuu uuu r
r r
uuu 1 uuu
r
r
a) Tìm toạ độ của các véc tơ: AB, AC, v = 3AB AC.
2
b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC
CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
uuu
r
uuu
r
Đáp án: a) AB = ( −2;1; −1), AC = (4; −2; 2)

uuu
r
r
r uuu 1 uuu
r
r
1 uuu
3AB = ( −6;3; −3), AC = (2; −1;1), v = 3AB − AC = ( −8; 4; 4).
2
2
3 5
b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: M(2; ; )
uuu uuu
r r
uuu
r
uuu
r 2 2
Hai véc tơ AB, AC cùng phương vì AC = 2.AB

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.


KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi 1:
Cho ba vec
tơ: r
a = (2;3; −2),
u
r

b = (−1;2;3),
r
c = (2; −1; −3).
Tính toạ độ của vectơ
u
r

r

u
r

r
d = 3a − b + 2c.

Câu
hỏi 2:
Trong không gian Oxyz
cho A(1;2;3),
B(2;1;2),
C(-3;3;1)
Tìm toạ độ trọng tâm
của tam giác ABC.


III. TÍCH VƠ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
Bài tốn:
Trong khơng gian Oxyz; cho hai vectơ

u
r
r

a = (a1;a 2 ;a 3 ) vµ b = (b1;b 2 ;b 3 ).

Tính tích vơ hướng của hai vectơ trên.


Bài tốn:
u
r
r
Trong khơng gian Oxyz; cho hai vectơ a = (a1;a 2 ;a 3 ) vµ b = (b1;b 2 ;b 3 ).
Tính tích vơ hướng của hai vectơ trên.

Giải

r

u
r
u
r
r
u
r
r
r
Ta có: a = a1 i + a 2 j + a 3 k vµ b = b1 i + b 2 j + b 3 k.

r
r
u
r
r
u
r
r u
r
r
Khi đó: a.b = (a1 i + a 2 j + a 3 k )(b1 i + b 2 j + b 3 k)
r2
rr
ru
r
rr
r2
= a1b1 i + a1b2 i.j + a1b3 i.k +a 2 b1 j.i + a 2 b 2 j
r
ur
r
ur
r
u2
r
ru
+ a 2 b3 j.k + a 3b1 k.i + a 3b 2 k.j + a 3b3 k .
r

r2

r2

u2
r

rr

ru
r

ur
r

i = j = k =1 vµ i.j = j.k = k.i = 0
r
ru
nên: a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3

Vì


Định lí:
Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng của hai vectơ
u
r
r

a = (a1;a 2 ;a 3 ) vµ b = (b1;b 2 ;b 3 )

được xác định bởi công thức:
u u
r r

a.b=a1b1+ a2b2 + a3b3


2. Ứng dụng:
a) Độ dài của một vec tơ:
r
Cho vectơ a = (a1;a 2 ;a 3 ) khi đó độ dài của vectơ
r
r
a có cơng thức: a = a12 + a 22 + a 32
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khơng gian cho hai điểm A(x A;yA;zA),
B(xB;yB;zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm
uuu
r
A và B chính là độ dài vectơ AB
Do đó ta có:
uuu
r
2
2
2
AB = AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) + ( z B - z A )


c) Góc giữa hai vectơ.

r

u
r

Gọi j là góc giữa hai vectơ a = (a1;a 2 ;a 3 ) vµ b = (b1;b 2 ;b3 )
r

u
r

u
r

u
r

vi a ạ 0 và b ¹ 0
Khi đó:

r
r u

a1b1 + a 2 b2 + a3b3
cosj = cos(a,b) =
2
2
2
2
2

a1 + a 2 + a3 . b1 + b2 + b3
2
Chú ý:
r
r u
Ta có: a ^ b Û a b + a b + a b = 0.
1 1 2 2 3 3


*) CỦNG CỐ

D 3Với hệ toạ độ Oxyz trong không gian, cho
u
r

r

r

a = ( 3;0;1) ,b = ( 1;- 1;- 2) ,c = ( 2;1;- 1) .
r

Hãy tính: a.

u
r

r

( b + c)

r

u
r

vµ a + b .


*) BÀI TẬP CỦNG CỐ
Cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(1;-1;2), C(2;3;1).
µ
A là góc tù.
a) Chứng minh tam giác ABC có

b) Tính chu vi tam giác ABC.
c) Tìm M Ỵ Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.


*) PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5
Trong không gian cho ba điểm A(xA;yA;zA),
B(xB;yB;zB), B(xC;yC;zC).
Hãy tìm:
uuu
r
uuu
r
1. Tích vơ hướng của hai vectơ AB vµ AC
2. Xác định độ dài của hai vectơ trên.
3. Xác định khoảng cáchr giữa hai điểm A, B

uuu
uuu
r
và góc giữa hai vectơ AB vµ AC


CỦNG CỐ - HƯỚNG DẪN HỌC BÀI Ở NHÀ
Nắm được biểu thức toạ độ của tích vơ hướng hai
vectơ trong khơng gian.
Nắm được ứng dụng của tích vơ hướng để tính độ
dài của một vectơ, khoảng cách giữa hai điểm,
góc giữa hai vectơ trong không gian.
Bài tập 3,4 trang 68-SGK.