HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

GV: HỒ VĂN SĨ


§4.
1.TRỤC VÀ ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ TRÊN TRỤC
2.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
3.TOẠ ĐỘ CÁC VECTƠ

r rr r r
u + v, u − v, ku

4.TOẠ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TOẠ
ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC


Kiểm tra bài cũ
Em hãy viết công thức liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ
trong măt phẳng? Áp dụng: Cho các điểm A(1;2),B(-1;0),C(3;5)

uuu uuu
r r
Tìm tọa độ của các vectơ AB, AC

Trả lời
Cho hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) . Ta có

uuu Nếu uuu uuu
r uuu r r
r
AB + AC , AB − AC
uuu

r
6 AB ?

Tính như thế nào ?

uuu
r
AB = ( xB − xA ; yB − y A ).
Áp dụng cơng thức .Ta có
uuu
r
AB = ( − 1 − 1;0 − 2 ) = ( − 2; − 2 ) ;
uuu
r
AC = ( 3 −1;5 − 2 ) = ( 2; 3) ;

MINH HỌA


r rr r r
3) TOẠ ĐỘ CỦA CÁC VECTƠ u + v, u − v, ku
Cho

r
r
u = ( u1; u2 ) , v = ( v1; v2 ) .

khi đó:

r r

1) u + v = ( u + v ; u + v ) ;
1
1 2
2
r r
2) u − v = ( u − v ; u − v )
1
1 2
2
r
3) ku = ( ku ; ku ) , k ∈ R.
1
2

VD1 Cho

r u u r r u
rr r
r
r
r
u = ( 1; 2 ) , v = ( 0;3) .Tính u + v,u − v,6u,3u + 4v,
Giải

Áp dụng cơng thức.Tacó:

r r
u v
r + r = ( 1 + 0; 2 + 3) =(1; 5 ) ;
u − v = ( 1 −0; 2 −3) = ( 1; −1) ;

r
6u = ( 6 ×1; 6 × 2 ) = ( 6;12 ) ;
r r
3u + 4v = ( 3; 6 ) +( 0;12 ) =( 3;18 )


r rr r r
3) TOẠ ĐỘ CỦA CÁC VECTƠ u + v, u − v, ku
r
r
r
VD2.Cho a = ( 2;1) ; b = ( − 3; 4 ) ; c = ( 5;0 ) . Tìm toa độ các vectơ
1/

r
r r
u = 2a − b

2/

r r r r
v = 3a + b − c.

Giải
1) Ta có:
r

2a = ( 2 × 2; 2 × 1) = ( 4; 2 ) ;
r r
2a − b = ( 4; 2 ) − ( −3; 4 ) = ( 7; −2 ) ;

Vậy

r
u = ( 7; −2 ) ;

2) Ta có:
r

2;
1
3a = ( 3 × 3 × ) =( 6; 3)
r r
3;
3a + b =( 6; 3) +( − 4 ) =( 3; 7 ) ;
r r r
3a + b − c =( 3; 7 ) − ( 5; 0 ) =( − 7 ) ;
2;

r
Vậy v = ( − 7 ) .
2;


3) TOẠ ĐỘ CỦA CÁC VECTƠ

r rr r r
u + v, u − v, ku

r

r
• VD3 Cho vec tơ a = (3;4), b = (6;8).
r
r
Hãy biểu thị vec tơ btheo vectơ a

Giải
Ta có:

Vậy

Nhận xét:

r
r
b = ( 6;8 ) = ( 2 × 3; 2 × 4 ) = 2( 3; 4 ) = 2 a
r r
b = 2a

r
r
Hai vectơ u = ( u1 ; u2 ) , v = ( v1 ; v2 ) .

r r
v ≠ 0 cùng phươg

với
khi và chỉ khi có một số k sao cho u1=kv1 và u2=kv2

4.TOẠ ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TOẠ ĐỘ
TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC

a/ Cho điểm A(xA;yB) và B(xB;yB).Khi đó toạ trung
điểm I(xI;yI) của đoạn thẳng AB là: A(xA;yA)

I

B(xB;yB)

x A + xB
y A + yB
xI =
; yI =
2
2
VD4: Cho A(2;1) , B(4;3).Tính toạ độ
trung điểm của đoan thẳng AB
Giải
Gọi I(xI;yI) là tọa trung điểm của đọan thẳng AB
Ta có:

Vậy I(3;2)

x A + xB 2 + 4
=3
=
xI =
2
2

y A + yB 1 + 3
yI =
=2
=
2
2
G


4.TOẠ ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TOẠ ĐỘ
TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC

b/Cho

có A(xA;yA); B(xByB), C(xC;yC) khi đó toạ độ
của trọng tâm G(xG;yG) của ∆ABC là:
A

∆ ABC

xA + xB + xC
yA + yB + yC
xG =
; yG =
3
3

G

VD5: Cho A(1;-3) , B(2;0) , C(0;5) .

B

Tính toạ đợ trọng tâm của tam giác ABC
Giải
Gọi G(xG;yG) là toạ độ trọng tâm của tam giac ABC
Ta có:

C

x A + xB + xC 1 + 2 + 0
= 1;
=
xG =
3
3
y A + yB + yC −3 + 0 + 5 2
=
=
yG =
3
3
3

2
Vậy G = 1; 

÷
 3

MINH HỌA

r
r
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho u = ( 4;3) , v = ( 8; 6 ).Toạ độ của
r r
vectơ u +v là
A. (32;18)
B.(-4;-3)
C.(4;3)
D.(12;9)


r
u
r
Cho vectơ u x = ( 2; −3) , y = ( 1; 4 ) . Toạ độ của
r
r

vectơ

x + 2 y là

(A) ( 3 ; 1);
(B) (4 ; 5);
(C) (2 ; 12);
(D) (4 ;- 24);

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(4 ; 7 ), B( 2 ; -3 ). Toạ
độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. ( 6 ;4 )
B. ( 2; 10 )
C. (8 ; -2 )
D. ( 3 ; 2 )

Hết giờ


Cho tam giác ABC có A (3 ; 4) , B ( 1; 2) , C ( 1 ; 6).Trọng tâm của tam
giác ABC là điểm có toa độ là
(A)

5

 ; −4 ÷
3





5

(B) 12; ÷
3
(C)

5 
 ;4÷
3 

(D)

5

 ;12 ÷
3






∆5

Gọi Guuur trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích
là
uuu uuu uuu
r r r
vectơ OG theo ba vec tơ OA, OB, OC .Từ suy ra toạ độ
của G theo toạ độ của A , B Và C
Hướng dẫn

Gọi G(xG;yG) là toạ độ trọng tâm của tam giac ABC
uuu uuu uuu uuu
r
r

r
r
OA + OB + OC = 3OG

Từ hệ thức
Suy ra

uuu 1 uuu uuur uuu
r
r
r 1 r
r
r
r
r
r
OG = ( OA + OB + OC ) = ( x A i + y A j + xB i + y B j + xC i + yC j )
3
3

=(

Vậy

G(

x A + xB + xC
3

x A + xB + xC y A + yB + yC

;
)
3
3

r
r
y A + yB + yC
)i + ( 3 ) j