chuyên đề hình học không gian

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
( ĐÃ LÀM XONG DẠNG 3 PHẦN 1)
I. Một số phương pháp dựng thiết diện
I.1. Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai
đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….
1. Phương pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với mô ̣t mặt của T
(thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao
điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm
chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết
diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn
thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải:
Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các
cạnh hình bình hành ABCD.
Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt
BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.

1


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

E
N

A

B

M
F

C

I

D
J
A'

B'

D'

C'

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấ y ngay, thì để dựng nó
thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các
tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
(MNP).

Giải:

D

Chưa có giao tuyến gốc giữa
mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt

K

phẳng(MNP) có điểm chung P với

M

I

N

mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

A

chung nữa ta tìm giao điểm O của

C
M1

P

N1

E

MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB

F

Hình a

B

tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1

O

mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt
D

(ABC) theo giao tuyến M1N1 nên
O là giao điểm của MN và M1N1
 OP là giao tuyến gốc. Nối OP

I
M

cắt AB. BC tại E, F.
Tùy theo vị trí OP trong tam

N

A

C

giác ABC ta có thiết diện là tứ

F
E
M1

P
N1
B

O
2


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

giác EFIK (hình a) hoặc tam giác EFI (hình b)
Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song song với
M1N1.

Hình b
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường
hợp:

a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
b. Đường thẳng d đi qua điểm C.
Giải:
a) d là giao tuyến gốc ta tìm

S

thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F
là giao điểm của AB. AC, AD

M

với d.
A

Xét (M, d) và (SAB) có M, H

Q

N

chung nối MH cắt SB tại N ta có
một đoạn giao tuyến MN. Tương
tự nối ME cắt SC tại P, nối MF

P
B
H

D

C
E

F

cắt SD tại Q.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.

3


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

b) Tương tự phần a. lúc này
E C

S

thiết diện là tứ giác

MNCQ.
M
A

Q

N
B

D

H

F

E≡C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các
tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.

S

Ta có M thuộc BI, N thuộc DI.
Từ

IM 1 IN
 
 MN / / BD .
IB 3 ID

Q

Xét mặt phẳng (MNE) và mặt

N
P
G

M

phẳng (ABCD) có E chung và
MN // BD nên (MNE) cắt

I

D
A
K

F

(ABCD) theo giao tuyến EF //
BD (F  CD).

B

E

C

Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm
chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,
nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK.

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
song song với hai đường thẳng đó.

4


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

I.2. Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
I.2.1. Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với
đường thẳng l.
1. Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’
cắt d và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của
d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi
đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
2. Ví dụ
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.
Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với
AD.
Giải:
A

A
F

M

M

G

B
E

J

J

F

N

I

D
K

G

B

K

D

N

I
E
C

C

H.1

H.2

Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt
phẳng (IAD) chứa G và AD // (P)  (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và
song song với AD cắt AI, ID tại M và N.
5


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
I.2.2. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo
nhau d và l.
1. Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một

đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng
chứa hai đường thẳng vừa dựng.
2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng
tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M
song song với SB. AC.
Giải:

S

Gọi O là giao điểm AC và
BD. Ta có trọng tâm M thuộc

N

SO. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)
trong mp này kẻ qua M đường
thẳng song song với SB cắt SD,

P
D

DB tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt

I

M

A

phẳng (SAC) nên qua M kẻ

C

O

F
K

E

B

đường thẳng song song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy
(ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
6


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Ví dụ 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết
diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’.
Giải:
Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là

F
B

I

khó xác định hơn.
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,

N

A

(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)

H

M
E

BD). (P) cắt (ABCD) theo giao

C

D
G

tuyến qua M và song song với BD

A'

cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E.
(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và

B'
J

D'

C'

song song với AC’ (trở thành bài
toán 1).
EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với
AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)
(gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song
với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 8: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.
OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng
qua F và song song với A’O khó xác định hơn.

7

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt
O’B’ tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.
Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO '  2OI  2 A ' J nên A ' JIO
là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song
song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA. AA ' .
Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo
giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)

O'

O'

A'

A'

Q

K
B'

B'

H

H

J
L
M

O

O
M

F
E

A

F

T
E

G

A

B

B
I
H1

H2

b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua
M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua
M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và
song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).

8


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

I.2.3. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
1. Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song
song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc
cạnh D’C’ sao cho AM : MD  D’N : NC’ . Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD).

Giải:

M

A

Theo giả thiết:
AM D ' N
AM
MD
AD




MD NC '
D ' N NC ' D ' C '

D

E
C

B

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,

J

DC’ cùng song song với một mặt

phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD)  (C’BD) = BD

F

B'

D'

A'
N
I

C'

Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến
ME // BD (E AB).
Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt
(CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’).
Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’.
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’.
Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’.
9


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.

10


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

I.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
I.3.1. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d.
1. Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt
phẳng qua M song song với a và a’.
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một
đường thẳng d thì a // (P) hoặc a  (P)).
2. Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam
giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông
góc với AB.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB ta

S

có SI  AB (do tam giác SAB
đều), BC  AB suy ra (P) đi
qua M song song với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt

phẳng (ABCD) có M chung
và cùng song song với BC nên

 P    ABCD   EF với

G

H

I
B

E

D

A
F

M
C

EF

qua M và song song với BC
cắt AB. CD tại E, F.
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại
H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông

góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với SC.
11


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Giải:
Kẻ AH  SC ta có AH  (P).

S

Ta có: BD  AC , BD  SA
H

nên BD  SC
N

Vậy (P) chứa AH và song song BD.

E

Gọi O là giao điểm AC và BD, E là

M

B

C

giao điểm của SO và AH.

O
A

D

Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt
bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B.
A'

B'

Giải:
P

Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân

C'

tại C nên AB = a 2 . Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông  AB’  A’B.
Gọi H là trung điểm AB  CH  AB
 CH  (ABB’A’)  CH  A’B.

N
A

Q

H

B

M

Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.

C
E

Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng
(ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì

 P    ABC   MN .
12


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với
AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được

thiết diện là tứ giác MNPQ.
I.3.2. Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường
thẳng l.
1. Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt
phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).
2. Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC
đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng
(P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có

S

SO  ( ABC ) khi đó SO  AB , gọi M là
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên

H

CM  AB vậy AB  ( SMC ) .

Trong mp(SMC) kẻ MH  SC ta có mặt

A

C

phẳng (AHB)  SC.

O

M

Thiết diện là tam giác AHB.
1
Ta có : S AHB  MH . AB .
2

B

Theo giả thiết AB = a. ta có MC 

a 3
a 3
, OC 
,
2
3

a2
SO = h, SC  SO  OC  h 
3
2

2

2

13


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

a 3
3ah
2 
Ta có: MH.SC = SO.MC  MH 
a 2 2 3h 2  a 2
h2 
3
2
1
3a h
S AHB  MH . AB 
.
2
4 3h 2  a 2
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)
h.

I.3.3. Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) đã
cho (d xiên góc với (Q))
1. Phương pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song
với a. (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc
với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q)  d).

2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên
bằng

3 . Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt

bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm

S

SI. Do hình chóp đều nên BC  (SAI)
 BC  AH .

3
 3 = SA nên
Mặt khác: AI  AB
2

H
N

A

(P) qua MN và song song AH.

C

F

E

tam giác SAI cân ta có AH  SI vì vậy
AH  (SBC) nên (P) // AH.

P

Q

M

D

B

Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E
đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC).
14


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo
giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng

thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt
phẳng (IKC).
Giải:
Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC).
Theo giả thiết:

CI  AB
 CI   ABB ' A '  CI  A ' B

CI

AA
'

Lại có: AA’ = AB = a 2
nên ABB’A’ là hình vuông nên
A' B  AB ', IK / / AB '  A' B  IK suy ra

A'

B'

K

C'
N

A
M
G

I

B

E
C

A’B  (IKC).
Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.

H

Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G
chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H,
nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.
Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm
SA. M là một điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với
mặt phẳng (SAD). Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Giải:

15


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),

(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA 
(ABCD). Ta có:
 AB  AD
 AB   SAD 

 AB  SA
Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song
song với AB.
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M
chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường
thẳng và song song với AB cắt BC tại N.
(P)  (ABCD) = MN.

S

E

F

M

B

A
N

D

C

Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với
AB cắt SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm
được cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần
phải thực hành nhiều.

16


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

II. Các bài toán liên quan đến thiết diện
II.1. Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có
diện tích lớn nhất, nhỏ nhất .
1. Một số lưu ý:
- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết
diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng. Vì vậy ta có thể áp dụng
tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt
phẳng để tính.
- Công thức diện tích tam giác:
1
1
abc
S  ah  ab sin C 
 pr 
2
2
4R

p  p  a  p  b  p  c 

- Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD:
S

1
AC.BD.sin  ,  =  AC , BD 
2

- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos.
- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp
dụng các phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức
Cauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình
học…..
- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm ai, i = 1,2,3…
a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an , đẳng thức khi a1= a2 =…= an.
n

2. Ví dụ
Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối
xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
a. Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)
b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a.
Giải:
a. Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng.
17

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
b. Ta có M, N là trọng tâm các tam

A

giác ADK, ADJ nên
AN 

2
2
AC  AB  AM
3
3

2
2a
Suy ra MN // BC và MN  BC 
.
3
3

Áp dụng định lí cosin cho tam giác AIM:

I
M
N H

D

IM2 = IA2 + AM2 – 2IA.AMcos600
Nên IM 

B

K

C

a 13
 IN .
6

J

Gọi H là trung điểm MN ta có IH  MN và
IH =

a
.
2

1
a2
Vậy SIMN = IH .MN 
2
6
Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D)

Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB. (P) là mặt phẳng qua M
song song với AC và BD.
a. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)
b. Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi.
c. Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

18


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Giải:

A

a. Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M
và AC, qua M kẻ đường thẳng và song

Q

M

song với AC cắt BC tại N. Mặt phẳng
(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường

D

B

thẳng và song song với BD cắt AD tại Q
tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP,

N

QP thiết diện là hình bình hành MNPQ.

P
C

b. MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ.
MN // AC nên

MN MB
AC

 MN 
MB
AC AB
AB

MQ // BD nên

MQ MA
BD

 MQ 
MA
BD AB

AB

 MN  MQ 

AC
BD
MA AC
MB 
MA 

* 
AB
AB
MB BD

Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*).
c. Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là 
SMNPQ = MN.MQ.sinα =

BD.AC
MA.MB.sinα .
AB2

Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất.
Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay
M là trung điểm AB.
Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là
tam giác vuông tại A. M là điểm bất kì thuộc AD (khác A. D). Xét mặt phẳng
(P) qua M song song SA. CD.
a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?

b. Tính diện tích thiết diện theo a. b với AB = a. SA = b và M là trung
điểm AB.
19


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Giải:

S

a. Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung,
(P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song

Q

song với SA cắt SD tại Q. Tương tự qua M kẻ
đường thẳng và song song với CD cắt BC tại

P

M

N

C

A

D

N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD
cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ.

B

Có MN //PQ // CD // AB. MQ // SA. SA  AB
nên thiết diện là hình thang vuông tại M, Q.
1
3ab
a
b. SMNPQ = (MN + PQ).MQ có MN = a. MQ = = PQ nên S MNPQ 
.
2
2
8

Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a.
Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi
qua M và vuông góc với AA’. Đặt AM = x (

a 3
a 3
).
x
3
2

a. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b. Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x.
Tìm x để thiết diện đó lớn nhất.
Giải:

20


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

a. Theo giả thiết M thuộc OA’.

S

Ta có SO  (ABC)
 SO  AA’, tam giác ABC đều

G

N

nên BC  AA’. Vậy (P) qua M song

H

song với SO và BC.
Xét (P) và (ABC) có M chung.
Do (P) // BC nên kẻ qua M

A

F
O M

đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC tại E, F.

C

A'

E
B

Tương tự kẻ qua M đường thẳng
song song với SO cắt SA’ tại N, qua
N kẻ đường thẳng song song với BC
cắt SB, SC tại H, Q.
Ta có thiết diện là tứ giác EFGH.

b. Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang
1
cân đáy HG, EF. Khi đó: SEFGH = (EF + GH).MN
2



HG SN OM

2x 3


 HG  2 x 3  a
và
BC SA' OA'
3
MN MA'

 MN  2 3a  2 x 3
SO OA'
1
2
= (EF + GH).MN = 4 x 3  3a 3a  2 x 3
2
3
2
Cauchy
1
1  3a  3a 2
= 4 x 3  3a 6a  4 x 3  .   
3
3  2 
4

Ta có MN =



SEFGH

SEFGH

SEFGH

















3a 3
3a 2
đạt giá trị lớn nhất bằng
khi và chỉ khi x 
.
4
8

3a 2
3a 3

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng
khi x 
.
4
8

21


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Ví dụ 25:(Tham khảo đề thi ĐH khối B 2003) Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình
lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Giải:

A'

D'

Gọi O là tâm hình lập phương và E là
tâm đáy ABCD. Đặt AB = a.
Do các mặt đối diện của hình lập

B'

phương song song nên (BD’M) cắt các

F
M

C'
O

mặt bên theo các giao tuyến song song.

A

N

H

D

Thiết diện là hình bình hành BMD’N.
E

Kẻ MH  BD’. Ta có:
SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH

B

C

Có BD’ = a 3  Smin  MHmin. Do BD’ và AA’ chéo nhau nên MH ngắn
nhất khi và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của AA’ và BD’.
Cách xác định MH: Ta có AE  (BB’D’D) nên AE  BD’, AA’  (ABCD)
nên AA’  AE. Từ O kẻ OF // AE (F  AA’) thì OF chính là đoạn vuông góc

chung của AA’ và BD’. Ta có MH  OF hay M là trung điểm AA’.
Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B. AB = c, BC = a. cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2. Một mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với CA’.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P).
b. Tính diện tích thiết diện.
Giải:

22


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

a. Kẻ AE  CA’ (E  CC’).

A'

C'

Do h2 > a2 + c2 nên E thuộc đoạn
E

CC’. Kẻ BH  AC ta có BH 

B'

(ACC’A’)  BH  A’C.
Mp (P) chứa AE và song song với BH.

Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng

H
A

C

F

qua A và song song với BH cắt BC tại
I, nối IE cắt BB’ tại F, nối AF ta có

B

thiết diện là tam giác AEF.

I

Gọi  là góc giữa (AEF) và (ABC). Ta có ABC là hình chiếu vuông góc
S
của AEF trên mp(ABC). Do vậy: S ABC  S AEF .cos   S AEF  ABC
cos 
Ta có   CAE ngoài ra CAE  CA ' A (cùng phụ với góc A’CA)
1
AA '
h
 cos  

; SABC = ac
2

2
2
2
A 'C
a c h
ac 2
a  c2  h2 .
Vậy SAEF =
2h
Ví dụ 27: (ĐH SP Vinh năm 1997) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền
AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy
điểm S khác A. Lấy S’ đối xứng với S qua A. gọi M là trung điểm SC. Xác định
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua S’, M song song với BC cắt tứ diện
SABC. Tính diện tích thiết diện đó khi SA = a 2 .
Giải:

S

+ Dựng thiết diện: Trong tam giác
M

SAC nối S’M cắt AC tại N.
Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC)

Q
A

theo giao tuyến qua N và song song

E

C

P

với BC cắt AB tại P. Tương tự (P) cắt
(SBC) theo giao tuyến qua M và song

N

B

S'

23


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

song với BC cắt SB tại Q. Thiết diện
là tứ giác MNPQ.
Do tam giác ABC vuông cân tại C nên BC  AC, BC  SA  BC 
 MQ / / NP
(SAC)  BC  MN. Ta có 
 MNPQ là hình thang vuông.
MQ

MN


1
+ Tính diện tích thiết diện: S   MQ  NP  .MN
2
Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giác
SCS’. Xét tam giác ACB vuông cân tại C suy ra AC  CB  a 2 .
NP AN 1
1
a 2
Từ NP // BC ta có

  NP  BC 
BC AC 3
3
3
Từ MQ // BC và M là trung điểm SC nên
MQ SM 1
1
a 2
.

  MQ  BC 
BC SC 2
2
2
 ME  AC

Gọi E là trung điểm AC ta có ME // SA  
1
a 2

 ME  SA 

2
2
a 2 a 2 a 2
a 5
NE = EA – AN =


 MN  ME 2  NE 2 
2
3
6
3
2
1  a 2 a 2  a 5 5a 10
Vậy S  
.


.
2 2
3  3
36
Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a. cạnh bên a 6 .
Xét đường thẳng d đi qua A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua d và
C’.
a. Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện
tích thiết diện theo a.
b. Tính góc giữa (P ) và (ABCD).

Giải:

D'

C'

a. Gọi I, J là giao điểm của d và
A'

CD, BC,

B'
N

M  d  JC ', N  d  IC '
M
D

I

C

A

B
J

24

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB:FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Thiết diện là tứ giác AMC’N. Ta có tứ giác AMC’N là hình bình hành và M,
N là trung điểm của BB’, DD’.
Từ đó suy ra AN=NC’ kết hợp AMC’N là hình bình hành nên thiết diện là hình
thoi. S AMC ' N 

1
AC '.MN , MN  a 2; AC '  AC 2  CC '2  2a 2
2

S AMC ' N 

1
AC '.MN  2a 2 .
2

b. Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu của tứ giác AMC’N trên (ABCD)
gọi  là góc giữa (P) và (ABCD) theo công thức diện tích hình chiếu ta có:

S ABCD  S AMC ' N .cos
Mà SABCD = a2, SAMC’N = 2a2  cos  

1
   600 .
2

Ví dụ 29: (CĐSP Quảng Ninh B 2005) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

cạnh đáy a. chiều cao SO =

a 6
. Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A
2

và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện vừa dựng.
Giải:
S

H
N
E

M
C

B
O
A

D

 SO   ABCD   SO  BD
*) Ta có 
 BD   SAC   BD  SC
AC

BD


25