Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn
2. PGS. TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2016


✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣
❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙❑❍ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❚➜♥ ✈➔ P●❙✳ ❚❙ ❍➔ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣✳ ❈→❝
❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ♥❤➜t
tr➼ ❝õ❛ ✤ç♥❣ t→❝ ❣✐↔ ❦❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥
→♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦
❦❤→❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✻
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚❤➻♥




ớ ỡ
ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ P
r P r Pữỡ
tọ ỏ t ỡ s s t P r
P r Pữỡ t t ữợ t ồ
t ỳ t ủ t t t
t ỡ rữớ ồ ữ
ồ ỏ ự t
t ủ t t ụ ữ t t t t
t ỡ ừ t

ổ ừ rữớ ồ ữ ồ
t ữủ ỡ t ổ ừ ở ổ t
ổ ở t tớ t t

t ỡ t ổ
ộ ự P
P P t ự ụ r
tr ở ỗ ỡ s ỳ t qỵ
ữủ t ỡ
ố ũ ữủ t ố tr
t t ủ ỳ ữớ
õ t ỳ t tữỡ ở
t t ỳ ự ừ


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶

✷

✸

✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

✶✶

✶✳✶

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

▼ët sè ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤➔♠

ϕ

✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈➔ ❤å

❝❤✉➞♥ t➢❝

✸✼

✷✳✶

❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

✷✳✷

✣à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
✈➔

✸✳✶

q

✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷

✺✼

✺✼

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à

✼✾

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥

✽✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✶





ỵ ồ t

ữủ t tứ ỳ ừ t ợ ỗ ố
tứ ỳ ổ tr ừ r Pr r t
ổ tr ừ ỵ tt ổ
t út ữủ sỹ q t ừ t ồ tr ữợ
t ữủ t q s s õ ự ử tr
ởt số ỹ ừ t ồ ữ ồ ự ỵ
tt số
ốt ó ừ ỵ tt ừ ỵ
ữủ ồ ỵ ỡ tự t tự ỹ t ủ ừ
ỵ t tổ t sỹ ố tr ừ
ộ t tỹ t ữủ ỵ tữớ t
ự ử tr ự ữủ

qt t t ụ
ỹ ỳ ỵ ỡ tữỡ t r tỹ t õ ú
tổ ồ t t ừ ồ ởt
t t ố ợ tự

ự

ự ử t ừ ỵ tt qt
ữủ tr ữ tr ổ
t sỷ ử t q t ừ ỵ tt ú tổ
tt ỳ ỵ ỡ tự ũ ủ ợ t ố
ừ t t r
ú tổ tt ỡ ố s tứ





ự ồ t ữủ ỗ tứ ỳ
ừ t ổ tr ừ P t
P t P t ữ r ồ t
ởt ồ F tr D C ữủ ồ t
ợ ồ {fn } F ổ ự ởt {fnk } ở tử tr
ộ t t ừ D t tợ f
.
rt ữ r t q trồ t ồ
t ởt ồ F f tr ởt D C
t tr ộ t t K ừ D,
|f (z)|
ừ f ởt số C(K) ử tở

f # (z) =
1 + |f (z)|2
K ữ ổ ử tở f.
ỵ õ r ộ ỵ Pr t
ởt tữỡ ự ợ ởt t ồ t
tr ỵ ữ r t q
sỹ tr ởt ồ t r sỹ ổ tỗ t
ở tử tr t t tợ ởt
ổ t tr t ữủ t q
q trồ s ồ F tr ỡ

U s ồ ổ ừ tr ồ F õ ở t t p
ồ ỹ õ ở t t q. số tỹ tọ p < < q.
õ ồ F ổ t t z0 U tỗ t số tỹ
0 < r < 1, zn : |zn | < r zn z0 , fn F
số tỹ ữỡ n 0+ s gn () = n fn (zn + n ) ở tử t
tr ộ t t ừ C g(), tr õ g
tr C, ồ ổ ỹ ừ g
õ ở tữỡ ự t t p q. ỡ ỳ g # () g # (0) = 1.
t q tr tữớ ữủ ồ ờ ỵ r ừ
t tr ờ t t ữủ ở tử g
r õ ởt tr ỳ ự ử ừ ỵ tt




õ t t tr ởt
tứ ỵ ỡ tự t ỵ ỡ tự t
ỵ Pr ởt tr t ự
õ ổ tr t ữ ờ

ố q trồ t t sỷ ử ỵ tt
ự ỵ tt ồ t
q tr ừ ỵ Pr ự ợ t
t s ừ t ởt ồ F tr
D t ộ tr ồ ọ q tr t
trữợ õ
số tr ọ q tr ỵ Pr
ự ởt ỵ Pr
ởt f f ổ
trt t f (k) ổ tr 1, tr õ k số ữỡ
trữợ ỹ t ỵ
ữ r tt t t ừ ồ tữỡ ự
ợ ỵ tr t ủ t rt ỵ tt
rs tr ớ tt tr trữớ ủ ồ
õ tr ớ tt ừ ữ s
k số ữỡ ởt ồ F f tr D
tr t ự ổ trt t s t f (k) = 1
k ừ f ổ tr ợ ồ f F.
ú ỵ r tr t q ừ tr tợ tr ộ

f f (k) tr ởt tr r ởt sỹ ố số
ố ởt t ữủ t q tữỡ tỹ
õ tr ữủ t t (f n )(k) = 1, ợ n, k
số tỹ trữợ tọ n k + 3. r trữớ ủ ồ
ự n k + 3 õ t t
n k + 1. ụ tờ qt t q ừ
ữủ t q ồ F ổ õ ổ
tr D s t f (k) 1 õ t k ổ

t ợ ộ f F, tr õ k số ữỡ ổ tr
ữ P
P rr
ụ ự t ồ t
ữợ ổ ừ tự ử t
r ố ữ ú tổ t r tự t tr
ự t ồ t ự ợ tr
tự tờ qt ữủ qt tr ữỡ

ừ
q t tợ ồ t
t õ ữủ t ự tứ ổ tr ừ sr
t rt ởt f tr ỡ
U ữủ ồ t ồ {f : T } t tr U,
tr õ T t tt ừ U õ t
rt r r f tr ỡ U C
t supzU (1 |z|2 )f # (z) < . N t
t tr U. ỵ ồ ợ ởt
|z w|
t f, t ổ õ (f (z), f (w)) ||f ||N sup[z,w]
, tr
1 ||2
õ ||f ||N = supzU (1 |z|2 )f # (z).
st t q tr ừ t rt Pr
ữ r ọ số tỹ M > 0, õ tỗ t t E ỳ
s ợ ộ f tr ỡ U tọ

(1 |z|2 )f # (z) M ợ ồ z f 1 (E) t f t

P tr ớ ọ tr ổ r tỗ
t t E C ỗ 5 t
P ở ự
t q tữỡ tỹ ồ t ởt ồ F tr
D C t ợ ộ t t K D,
tỗ t t E C ự 5 t số ữỡ M s
sup{f # (z) : f F, z f 1 (E) K} < M.




ự tự tr t
ỵ trữớ ủ t ỡ ữủ

qt tr ữỡ ừ
ự sỹ t ữợ
ừ ởt t ủ ữủ ỗ tứ ổ tr
ừ ổ ự r
tr t ự õ ũ ữủ ổ t ở ừ
t t ú trũ ú t t
ừ õ ũ ữủ t ở ừ t
tứ õ t út ữủ sỹ q t ừ t ồ
tr ữợ ữ
Pữỡ
rs rs r
t t t ữợ
ừ tự f n f ,
ự r f g s
tự f n f 1 g n g 1 õ ũ ổ t ở ợ

n ữỡ õ n 11) t f = c1 ecz g = c2 ecz f = tg,
tr õ số c1 , c2 , c t tọ 4(c1 c2 )n+1 c2 = 1, tn+1 = 1.
tứ t ồ t ữủ t q t ữợ
ự tự ss
ssst r
ú ỵ r
t ỳ tự t ụ tt
ữủ ỵ ỡ tự tữỡ t
ỵ tt ữủ ự t tỷ q s
tr ổ tr ừ r ở sỹ tứ
õ ự ự ử ừ ỵ tt t tỷ q
s t út ữủ sỹ q t ừ t ồ tr
t ợ ữ r tr
r




ự t ữợ t tr sỹ
t ừ t ủ ợ tự q s
ố tr ừ tự q s ữỡ tr q s
ố tr ừ tự q s
r ự ởt t q ố tr
tự q s f n (z)f (qz) ỗ tớ ổ ụ ự
t q t tự q s

f (z) g(z) s t ợ ổ
sỷ r q số ự ổ n ởt số ữỡ tọ
n 8 n 6 f n (z)f (qz) 1 g n (z)g(qz) 1 õ ũ số
ổ ỹ ở t f tg, tr õ t số tọ

tn+1 = 1. ự r
(f n (z)f (qz + c))(k) 1 õ ổ ổ f (z)
s t ợ ổ tr õ q = 0, c số ự n, k
số ữỡ tọ n > k + 5. ỡ ỳ
ụ ự ỵ t tữỡ ự
s t f (z) g(z) ợ ổ tọ (f n (z)f (qz + c))(k) 1
(g n (z)g(qz + c))(k) 1 õ ũ số ổ ở t f tg, tr
õ q = 0, c số ự n, k số ữỡ t số
tọ tn+1 = 1, n > 2k + 5.
ự tự tr rở t q ừ
t f n ởt tự P (f ). ữủ qt
tr ữỡ ừ
ử ừ t


ử tự t ừ t tt t

t ồ ố ợ trữớ ủ tự tờ
qt t tự ử t ữ t trữợ


ử tự ừ t tt t

t ồ ữợ
tr t t ừ ởt số tr


ử tự ừ t ự t

✼

❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
✈➔ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤↕♦
❤➔♠✳
✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❜➔✐
t♦→♥ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤➙♥
❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❦➳t ❤ñ♣ ✤↕♦ ❤➔♠✳
✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❝æ♥❣ ❝ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▲✉➟♥ →♥ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❦ÿ t❤✉➟t ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♠ët
❜✐➳♥✱ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳
✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝

▲✉➟♥ →♥ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ s➙✉ s➢❝ t❤➯♠ ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ù♥❣ ❞ö♥❣
❝õ❛ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥
t➢❝✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠✳
✻✳ ❈➜✉ tró❝ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✉➟♥ →♥

◆❣♦➔✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝
❝❤✐❛ ❧➔♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜❛ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤➼♥❤✿
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝❤♦ ❤å ❝→❝
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤❡♦ q✉❛♥ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❇❧♦❝❤✳ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔
❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ ♠ët ♠➦t ❝❤ó♥❣
tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞✱ ♠➦t ❦❤→❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤↔✐ sû ❧þ ❦❤â

❦❤➠♥ ❣➦♣ ♣❤↔✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥ tr♦♥❣ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ ✤à♥❤
❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤æ♥❣ ❝❤♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳ ✣à♥❤ ❧þ
✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠ tê♥❣ q✉→t✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ❝❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣
tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✾✳ ❑❤✐ n = 0✱ k = 1, ❍➺ q✉↔ ✶✳✾ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t
q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱
1


✽

❝❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶
✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠
♥❣✉②➯♥✳ ◆❤÷ ✈➟② ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠ð
rë♥❣ t❤ü❝ sü ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❲✳ ❙❝❤✇✐❝❦ ❬✹✾❪ ♥➠♠ ✶✾✽✾✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠✳ ❈❤♦ n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 ✈î✐ ♠å✐ I, ❦❤✐ ✤â ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾
♥❤➟♥ ❧↕✐ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❏✳ ▼✳ ❈❤❛♥❣ ❬✾❪✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❬✶✷✱ ✺✸❪✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤❡♦ q✉❛♥ ✤✐➸♠ ❝õ❛
▲❛♣♣❛♥✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤➔♠
❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈î✐ sè ✤✐➸♠ ➼t ❤ì♥ ♥➠♠✳
◆➠♠ ✷✵✶✶✱ ❘✳ ❆✉❧❛s❦❛r✐ ✈➔ ❏✳ ❘☎❛tt②☎
❛ ❬✸❪ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠
ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ϕ : [0, 1) → (0, ∞) t❤ä❛ ♠➣♥

ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)
ϕ(r)(1 − r) → ∞ ❦❤✐ r −→ 1− ✈➔ Ra (z) =
❤ë✐ tö ✤➲✉
ϕ(|a|)
tr➯♥ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ C ✤➳♥ 1 ❦❤✐ |a| → 1− ✭t❛ ❣å✐ ϕ ❧➔ ❤➔♠
t➠♥❣ trì♥✮✳ ▼ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à U ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ϕ ✲
f # (z)
❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥➳✉ supz∈U
< +∞. ❑➼ ❤✐➺✉ N ϕ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥
ϕ(|z|)
❤➻♥❤ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ U. ❱➲ ♠➦t ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥
t➢❝ f, t❛ ❧✉æ♥ ❝â χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N ϕ supξ∈[z,w] ϕ(|ξ|)|z − w|, tr♦♥❣ ✤â
f # (z)
||f ||N ϕ = supz∈U
.
ϕ(|z|)
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥❤÷ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❜❛♦ ❤➔♠ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝❤✉➞♥
t➢❝✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝
♥â✐ tr➯♥ tî✐ ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ rë♥❣ ❤ì♥ ✈➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ϕ, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤æ♥❣
t❤÷í♥❣✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❝→❝
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♠➔ t➟♣ E ❝❤ù❛ 1, 3 ✈➔ 4 ✤✐➸♠✳ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✺ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✻ ❧➔
❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈î✐ ❜❛ ✤✐➸♠✱ ❜è♥ ✤✐➸♠✳
1
❑❤✐ ❝❤å♥ ϕ(|z|) =
, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❍➺ q✉↔ ✷✳✼ ✈➔ ✷✳✽
1 − |z|
❝❤♦ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳
1

ố ợ ồ t ú tổ tt ỵ ỵ
ỵ ỵ ú t q ợ ởt
ố ỵ ỵ ỗ tớ tờ qt t
t ừ t
ỵ trữớ ủ ữủ tt
ỹ tr ừ ừ t
ỵ ỡ tự ừ õ trỏ q trồ tr
ự ữ ỵ r sỷ ử ỵ ú t t t
ỵ trữớ ủ õ ú ữủ ỹ
tr ừ ừ ởt tự
ự t q ú tổ sỷ ử ởt ỵ ỡ
tự t q
ợ ú ữủ t ữ s ợ số ữỡ n, k
tọ n > k + 3 + k2 , ồ F f tr D, ồ
ổ ừ f õ ở ổ ỡ k s t ợ ộ t
t K D, tỗ t a C \ {0} số ữỡ M = M (K) s
(f n f (k) )# (z) M, ợ ồ f F ồ z K {f n f (k) = a}.
ởt tú ũ ữủ t ởt ữợ t
q tr ỗ tớ rở t q ừ P tợ trữớ
ủ f n f (k) a õ ổ
ở ữỡ ữủ ổ ố tr ổ tr
ữỡ ố ũ ừ t tr ự t
t ữợ ữủ ừ
tự tự q s ố tr ừ tự
t ủ ợ q s
t ú tổ ự t t
ữợ ữủ ừ tự [f n P (f )](k) , tr

õ P (z) tự õ

P (z) = (z b1 )m1 . . . (z bv )mv Q(z),
v, mi , i = 1, . . . , v số ữỡ Q(z) ởt tự


✶✵

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
❝❤♦ t♦→♥ tû q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✿ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ❞↕♥❣ [P (f (z))f (qz + c)](k) , ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❦✐➸✉ ❍❛②♠❛♥ ❝❤♦ ✤❛
t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦➳t ❤ñ♣ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ [P (f (z))f (qz + c)](k) , tr♦♥❣ ✤â

P (f ) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈➔ q = 0, c ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤ù❝✳
❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✵ ✈➲ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❈→❝
❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✹ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✺ ✈➲ ♣❤➙♥
❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✻ ✈➲ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✹✱ ❦❤✐
m = 1, n ≥ 2k + 6, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔ ❩❤❛♥❣ ❬✻✹❪✳
❑❤✐ m = 1, n ≥ 5, ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✺ ❧➔ ❝↔✐ t✐➳♥ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔
❩❤❛♥❣ ❬✻✹❪✳ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✻ ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠ ❦➳t ❤ñ♣ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔ ❩❤❛♥❣ ❬✻✹❪✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❬✺✹❪✳
❑➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ♠ët ♣❤➛♥ ✈➔♦ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❝ì ❜↔♥ ◆❛❢♦st❡❞ ✏▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➔ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕
♣❤➙♥ ❤➻♥❤✑ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙❑❍ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❚➜♥ ✈➔ ✤➲ t➔✐ ❝➜♣ ✤↕✐ ❤å❝ ✏❍å
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✑ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔

❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✿ ✣↕✐ sè ✲ tæ♣æ ✲ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ◗✉↔♥❣
◆✐♥❤ ✷✵✶✺✱ ❙❡♠✐♥❛r ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✷✵✶✷ ✲
✷✵✶✻✱ ❙❡♠✐♥❛r ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳


✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✶✳✶

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥✲
❧✐♥♥❛ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛❧✐♥♥❛ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣
tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✳
▼ët ❞✐✈✐s♦r ν tr➯♥ C ❧➔ →♥❤ ①↕ ν : C −→ Z s❛♦ ❝❤♦ {z : ν(z) = 0} ❧➔
♠ët t➟♣ rí✐ r↕❝✳
❈❤♦ r ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✱ ❦þ ❤✐➺✉ D(0, r) = {z ∈ C : |z| < r}. ❈❤♦

ν ❧➔ ♠ët ❞✐✈✐s♦r tr➯♥ C. ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠ ✤➳♠ ❝õ❛ ❞✐✈✐s♦r ν ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❜ð✐
r

n(t)
dt (r > 1), tr♦♥❣ ✤â n(t) =
t

N (r, ν) =

1

ν(z).
z∈D(0,t)

❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C. ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ νf ❧➔ ❞✐✈✐s♦r
❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✈➔ ❞✐✈✐s♦r ν f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ν f (z) = min{νf (z), 1}.
❍➔♠ ✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ✈➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤

♥❣❤➽❛ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜ð✐

N (r, f ) = N (r, νf ) ✈➔ N (r, f ) = N (r, ν f ).
❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✱ ❦❤✐ ✤â ❞✐✈✐s♦r a ✲ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❜ð✐ νfa = ν1/(f −a) . ❉✐✈✐s♦r ν af ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ν af = ν 1/(f −a) . ❍➔♠


✶✷

✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ a ✲ ✤✐➸♠ ✈➔ a ✲ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜ð✐

1
1
) = N (r, νfa ) ✈➔ N (r,
) = N (r, ν af ).
f −a
f −a
1
1

❚❛ ❝â N (r,
) ≤ N (r,
) ✈î✐ ♠å✐ sè ♣❤ù❝ a.
f −a
f −a
❈❤♦ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❦❤✐ ✤â ❞✐✈✐s♦r ν f,(m ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❜ð✐

1 ♥➳✉ ν (z) ≥ m
f
ν f,(m (z) =
.
0 ♥➳✉ ν (z) < m
f
N (r,

❍➔♠ ✤➳♠ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❞✐✈✐s♦r ν f,(m ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

N (m (r, f ) = N (r, ν f,(m ).
❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ ✈➔ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❤➔♠ ✤➳♠
1
) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
N (m (r,
f −a
1
N (m (r,
) = N (r, ν 1/(f −a),(m ).
f −a
❍➔♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiθ ) dθ,
0

tr♦♥❣ ✤â log+ x = max{log x, 0} ✈î✐ ♠å✐ x ≥ 0.
❍➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ N (r, f ) ≤ N (r, f ) ≤ T (r, f ).
❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❦❤✐ ✤â ❜➟❝ ❝õ❛ f ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ρf ✈➔ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❜ð✐

log T (r, f )
.
log r
r−→∞
❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝✱ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥
t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐✳
ρf = lim sup


✶✸

❇ê ✤➲ ✶✳✶

✭❬✷✺❪✮✳ ✭❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥

❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ✤➥♥❣ t❤ù❝

f (k)
m(r,
) = o(T (r, f ))
f
✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, ∞) ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷

✭❬✷✺❪✮✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥

❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â

T (r,
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳

1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët

sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â

1
) ≤ T (r, f ) + O(1),
f −a
1
N (r,

) ≤ T (r, f ) + O(1).
f −a
N (r,

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸

✭❬✷✺❪✮✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥

❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✳ ❈❤♦ a1 , . . . , aq ❧➔ q sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ C✳
❑❤✐ ✤â
q

(q − 1)T (r, f )

N (r, f ) +

N (r,
i=1

1
) + S(r, f )
f − ai

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, ∞) ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✱ tr♦♥❣
✤â S(r, f ) = o(T (r, f )) ❦❤✐ r −→ ∞.
✶✳✷

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ▲þ t❤✉②➳t

◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✈➲ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❝→❝
✈➜♥ ✤➲ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ❙❝❤✇✐❝❦ ✈➔ ❈❤❛♥❣ tî✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤❛ t❤ù❝




tờ qt t q ừ ữỡ ữủ ổ ố tr

t ố ợ ồ ữợ
ổ ừ tự

r ú tổ ự ởt số rở t q ừ
t q ữủ ổ ố tr r
ổ ũ t q ừ ự t q ừ
tt ổ ụ õ sỷ ử ờ
r ổ ỏ sỷ ử ờ rt ởt
tở ồ s õ số Pữỡ ừ ú tổ
ừ t tờ qt t tự ỵ ỡ tự
ừ
rữợ t ự t q ú tổ tr
ởt số ờ tt ự
ờ

ờ ồ F

tr ỡ U s ồ ổ ừ tr ồ F
õ ở t t p ồ ỹ õ ở t t q. số tỹ tọ
p < < q. õ ồ F ổ t t z0 U
tỗ t

(i) số tỹ 0 < r < 1;
(ii) zn : |zn | < r zn z0
(iii) fn F
(iv) số tỹ ữỡ n 0+
s gn () = n fn (zn + n ) ở tử t tr ộ
t t ừ C g(), tr õ g
tr C, ồ ổ ỹ ừ g õ ở tữỡ ự t t p
q. ỡ ỳ g # () g # (0) = 1, õ ừ g ổ q 2.
t

f = 0 ợ ồ f F t ừ

ờ ú < < 1.
ờ

g M ởt số ữỡ


✶✺

◆➳✉ g # (ξ)

M ✈î✐ ♠å✐ ξ ∈ C, ❦❤✐ ✤â g ❝â ❜➟❝ ❦❤æ♥❣ q✉→ 1.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳

❚r♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✹✱ ♥➳✉ F ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✱

❦❤✐ ✤â t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ❍✉r✇✐t③✱ g ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦

❇ê ✤➲ ✶✳✺✱ ❜➟❝ ❝õ❛ g ❦❤æ♥❣ q✉→ 1.
❈❤♦ g ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C. ❑❤✐ ✤â✱
♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ P ❝õ❛ g ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
p

n

P (z) =
i=1

tr♦♥❣ ✤â Sij (1

(g (j) (z))Sij ,

αi (z)
j=0

n, 0
j
p) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠
✈➔ αi ≡ 0 (1
i
n) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤ä ❝õ❛ g, ♥❣❤➽❛ ❧➔
T (r, αi ) = o(T (r, g)) ❦❤✐ r −→ ∞. ✣➦t
i

p

Sij ✈➔ θ(P ) = max

d(P ) = min

1 i n

p
1 i n

j=0

jSij .
j=0

◆➠♠ ✷✵✵✷✱ ❏✳ ❉✳ ❍✐♥❝❤❧✐❢❢❡ ❬✷✼❪ ✤➣ tê♥❣ q✉→t ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❲✳ ❍❛②♠❛♥
❬✷✺❪ ✈➔ ❈✳ ❚✳ ❈❤✉❛♥❣ ❬✶✵❪ ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳

❈❤♦ g ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ✈✐➺t ✈➔ P (z) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦

❤➔♠ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ❝õ❛ g t❤ä❛ ♠➣♥ d(P ) ≥ 2. ❑❤✐ ✤â

T (r, g)

θ(P ) + 1
1
1
1
N (r, ) +
N (r,
) + o(T (r, g))
d(P ) − 1

g
d(P ) − 1
P −1

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉
❤↕♥✳

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ tr÷î❝ ❤➳t ❝❤ó♥❣ tæ✐ tê♥❣
q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✐♥❝❤❧✐❢❢❡ ♥❤÷ s❛✉✳
❇ê ✤➲ ✶✳✼✳

❈❤♦ a1 , . . . , aq ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ❈❤♦ g ❧➔

♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ P (z) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
❦❤→❝ ❤➡♥❣ ❝õ❛ g ✈î✐ d(P ) ≥ 2. ❑❤✐ ✤â

T (r, g)

1
1
qθ(P ) + 1
N (r, ) +
qd(P ) − 1
g
qd(P ) − 1

q

N (r,
j=1

1
) + o(T (r, g))
P − aj


✶✻

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉
❤↕♥✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ ❦❤✐ g ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ t❛ ❝â

T (r, g)

qθ(P ) + 1
1
1
N (r, ) +
qd(P )
g
qd(P )

q

1
) + o(T (r, g))
P − aj

N (r,
j=1

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉
❤↕♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ ♠é✐ z s❛♦ ❝❤♦ |g(z)|

p
j=0 Sij

1, ✈➻

≥ d(P ) (1

i

n) ♥➯♥ t❛ ❝â
1
|P (z)|
1
·
=
|P (z)| |g(z)|d(P )
|g(z)|d(P )
1
·
|P (z)|

p

n

|αi (z)|
i=1

j=0

g (j) (z)
g(z)

Sij

.

❑➨♦ t❤❡♦ ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C, t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

1
log
|g(z)|d(P )
+

log

+

1
·
|P (z)|

p

n

|αi (z)|
i=1

j=0

g (j) (z)
g(z)

Sij

.

❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✱
t❛ ✤÷ñ❝

1
d(P )m(r, )
g

1
) + o(T (r, g))
P
1
1
= T (r, ) − N (r, ) + o(T (r, g))
P
P
1
= T (r, P ) − N (r, ) + o(T (r, g)).

P
m(r,

▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ✭→♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ q + 1 ❣✐→ trà ♣❤➙♥
❜✐➺t 0, a1 , . . . , aq ✮ t❛ ❝â

qT (r, P )

N (r, P ) + N (r,
q

+

N (r,
j=1

1
)
P

1
) + o(T (r, g)).
P − aj


✶✼

❉♦ ✤â

1

d(P )m(r, )
g

1
1
N (r, P ) + N (r, ) +
q
P
− N (r,

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
) + o(T (r, g)).
P

❚✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
d(P )T (r, g) = d(P )T (r, ) + O(1)
g
1
1

= d(P )m(r, ) + d(P )N (r, ) + O(1)
g
g
q
1
1
1
N (r, P ) + N (r, ) +
N (r,
)
q
P
P
−
a
j
j=1
1
1
+ d(P )N (r, ) − N (r, ) + o(T (r, g)).
g
P

✭✶✳✶✮

❚❛ ❝â

1
g d(P )
▲÷✉ þ r➡♥❣

1
=
P (z)

p
j=0 Sij

p

n

αi g

p
j=0

Sij −d(P )

i=1

g (j) Sij
) .
(
g
j=0

✭✶✳✷✮

− d(P ) ≥ 0, ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✮ ❦➨♦ t❤❡♦

p

d(P )ν g1

ν P1 + max {ναi +
1 i n

jSij ν g1 }
j=0

n

ν P1 +

ναi + θ(P )ν g1 ,
i=1

tr♦♥❣ ✤â νφ ❧➔ ❞✐✈✐s♦r ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ φ ✈➔ ν φ = min{νφ , 1}.
❈❤ó þ r➡♥❣ ✈î✐ z0 tò② þ✱ ♥➳✉ ν g1 (z0 ) = 0 t❤➻

1
d(P )ν g1 (z0 ) − ν P1 (z0 ) + ν P1 (z0 )
q

0.

◆❤÷ ✈➟②

1
d(P )ν g1 − ν P1 + ν P1

q

1
(θ(P ) + )ν g1 +
q

n

ναi .
i=1


✶✽

❚❛ ❝â

1
1
1
1
d(P )N (r, ) − N (r, ) + N (r, )
g
P
q
P
n
1
1
(θ(P ) + )N (r, ) +
N (r, αi )

q
g
i=1
1
1
= (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g

✭✶✳✸✮

❑➳t ❤ñ♣ ✭✶✳✶✮ ✈➔ ✭✶✳✸✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

d(P )T (r, g)

1
N (r, P ) +
q

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
1

+ (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g
▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ P, ♠é✐ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ P
❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ αi ✈î✐ i ∈ {1, . . . , n} ♥➔♦ ✤â ❤♦➦❝ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ g. ❱➻

N (r, αi ) ≤ T (r, αi ) = o(T (r, g)) ✈î✐ i = 1, . . . , n ♥➯♥ t❛ ✤÷ñ❝
d(P )T (r, g)

1
N (r, g) +
q

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
1
+ (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g

✭✶✳✹✮

❑➨♦ t❤❡♦

d(P )T (r, g)

1
T (r, g) +
q

q

N (r,
j=1

1
)
P − aj

1
1
+ (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
q
g
❚ø ✤â s✉② r❛

T (r, g)

qθ(P ) + 1
1
1
N (r, ) +

qd(P ) − 1
g
qd(P ) − 1

q

N (r,
j=1

1
) + o(T (r, g)).
P − aj

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ g ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.4) trð t❤➔♥❤

d(P )T (r, g)

1
q

q

N (r,
j=1

1
1
1
) + (θ(P ) + )N (r, ) + o(T (r, g)).
P − aj

q
g




t

T (r, g)

(P )q + 1
1
1
)N (r, ) +
qd(P )
g
qd(P )

q

N (r,
j=1

1
) + o(T (r, g)).
P aj

ờ ữủ ự
ú tổ t ự t q tr

ỵ

q (q 1) tr ự t ổ a1 , . . . , aq

q số ữỡ ( + )

1, . . . , q .

n ởt số

ổ n1 , . . . , nk , t1 , . . . , tk số ữỡ (k 1).
F ởt ồ tr D tr t
ự s ợ ồ f F ợ ồ m {1, . . . , q}, ồ ổ
ừ f n (f n1 )(t1 ) ã ã ã (f nk )(tk ) am õ ở t t

a) nj tj ợ ồ 1
q
1
i=1 i

b)

<

qn2+
n+

k
j=1

j

k

q(nj tj )
k
(n
j=1 j +tj )

i

2 ợ ồ 1

m.

sỷ r

i

q;

.

õ ồ F t tr D
ự ổ t t tờ qt t D ỡ

sỷ F ổ t t ởt z0 D. ử ờ

=

n+

k
j=1 tj
k
j=1 nj

, tỗ t

1) ởt số tỹ r, 0 < r < 1;
2) zv , |zv | < r, zv z0 ;
3) số tỹ ữỡ v 0+ ;
4) fv F
s
fv (zv + v )
gv () =
g()
v



t tr ộ t t ừ C, tr õ

g() g # ()
ừ gv , t õ

g # (0) = 1. ứ

gvnj ()

(tj )

fv (zv + v ) nj (tj )
)
v
1
= nj tj (fvnj )(tj ) (zv + v ).
v

= (

õ tứ ồ t ữủ

fvn (zv + v )(fvn1 )(t1 ) (zv + v ) ã ã ã (fvnk )(tk ) (zv + v )
= gvn ()(gvn1 ())(t1 ) . . . (gvnk ())(tk )


g n ()(g n1 ())(t1 ) . . . (g nk ())(tk )

t tr ộ t t ừ C trứ r
ỹ ừ g.
rữợ t t ự g n ()(g n1 ())(t1 ) . . . (g nk ())(tk ) ổ
g ổ nj tj , j = 1, . . . , k, t õ

(g nj ())(tj ) 0 ợ ồ j {1, . . . , k}. õ
g n ()(g n1 ())(t1 ) . . . (g nk ())(tk ) 0.
sỷ g n ()(g n1 ())(t1 ) . . . (g nk ())(tk ) a, a C \ {0}. ứ

a) b), n = 0 t tỗ t i {1, . . . , k} s ni > ti .
tr trữớ ủ n = 0 n = 0 a = 0 g
ổ õ ổ ứ ờ s r ừ g ổ q 1,
õ g() = ec+d , c = 0. õ
g n ()(g n1 ())(t1 ) ã ã ã (g nk ())(tk ) = enc+nd (en1 c+n1 d )(t1 ) ã ã ã (enk c+nk d )(tk )
= (n1 c)t1 ã ã ã (nk c)tk e(n+
õ (n1 c)t1 ã ã ã (nk c)tk e(n+

k
j=1

nj )c+(n+

k
j=1

nj )d

k
j=1

nj )c+(n+

k
j=1

nj )d

a, ổ ỵ

g n ()(g n1 ())(t1 ) . . . (g nk ())(tk )
ổ
tt ừ ỵ tứ ử ỵ rt t
s r ồ ổ ừ

g n ()(g n1 ())(t1 ) ã ã ã (g nk ())(tk ) am

.