Một số bài toán về quy tắc đếm - Nguyễn Tiến Chinh

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

THÂN T NG CÁC EM CHÚC CÁC EM H C GI I
HÃY S NG CÓ KHÁT V NG CÓ NI M TIN VÀO B N THÂN
CÁC EM S THÀNH CÔNG

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

1

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

I.Quy t c nhân
M t công vi c H đ c th c hi n qua K giai đo n H1, H2 ,H3 ….Hk
,trong đó:
Giai đo n H1 có n1 cách th c hi n
Giai đo n H2 có n2 cách th c hi n
Giai đo n H3 có n3 cách th c hi n
………………………………….
Giai đo n Hk có nk cách th c hi n
Khi đó đ hoàn thành công vi c H ph i th c hi n đ ng th i K giai đo n
thì suy ra có (n1.n2.n3….nk ) cách đ hoàn thành công vi c H
Ví d 1: thi cu i khó môn toán kh i 12 m t tr ng trung h c g m hai lo i đ t lu n
và tr c nghi m.M t h c sinh d thi ph i th c hi n hai đ thi g m 1 t lu n và m t tr c
nghi m,trong đó t lu n có 12 đ , tr c nghi m có 15 đ .H i m i h c sinh có bao nhiêu
cách ch n đ thi?
Gi i
- S cách ch đ t lu n là cách

- S cách ch n đ tr c nghi m là cách
Vì m t h c sinh ph i làm đ ng th i lo i đ nên có t t c

cách ch n đ thi

Ví d 2:Cho t p h p A = {1,2,3,5,7,9}
a. T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 4 ch s đôi m t khác nhau
b. T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m có 5 ch s đôi m t khác nhau

a.
Gi i
a G i s t nhiên g m ch s là n a1a2 a3a4
Đ có s n ta ph i ch n đ ng th i a a a a trong đó
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có
s n c n tìm
b G i s t ch n có ch s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 trong đó
a ch có cách ch n b ng
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y s n c n tìm là
s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

2

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ví d 3:Cho t p A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s đôi m t
khác nhau l y ra t t p A
Gi i
G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 trong đó
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có t t c
cách
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên gòm ch s đôi m t khác nhau và
các ch s này l chia h t cho
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau sao
cho ch s đ ng cu i chia h t cho
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 trong đó
s n l chia h t cho nên a
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n

V y có t t c
s
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6 trong đó
Vì ch s cu i cùng chia h t cho nên a
ho c a
ta chia làm hai tr ng h p
Tr ng h p a
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có
s
Tr ng h p a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

3

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

V y có t t c
Ví D
Cho t p A
a T t p A có th l p đ

s
c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau và

b T t p A có th l đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau sao
cho ch s đ ng v trí th
chia h t cho và ch s cu i l
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
Vì n
nên a có th chon trong các ch s
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6 theo đ ta có
- a chia h t cho nên a
ch s c n tìm là s l  a
có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n

- a có cách ch n
v y có t t c
s c n tìm
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên
g m ch sô đôi m t khác nhau sao cho ch s luôn có m t
Gi i
G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 đ có đ c s n ta làm hai b c sau
ch n v trí cho ch s
có v trí
Ch n ch s còn l i Do vai trò s này gi ng nhau nên ta gi s a
ta có
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có t t c
s c n tìm
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có ch s đôi m t khác nhau sao
cho các s này không b t đ u b ng
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có ch s đôi m t khác nhau sao
cho ch s có m t đúng m t l n
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Ch n tùy ý
- a có cách ch n vì a

- a có cách ch n
4
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s có ch s đôi m t khác nhau
Ch n s có ch s b t đ u t
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n

s b t đ u b ng
V y ycbt tùy ý ph n bù
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
Tr ng h p n u a
thì s c n tìm có d ng n 1a2 a3a4 a5
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có

s
Tr ng h p N u a
ta có
- a có cách ch n vì a
- có v trí cho s gi s a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s c n tìm
 v y
k t qu
Ví d
cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có ch s đôi m t khác nhau sao cho
ch s và không đ ng c nh nhau
Gi i
Tìm S có ch s khác nhau đôi m t tùy ý là n a1a2 a3a4 a5
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s
Tìm s t nhiên có ch s khác nhau đôi m t và
đ ng c nh nhau
Gi s
là m t ch s a nào đó do v y ta đi tìm s có ch s
Tr ng h p

a a
a có cách ch n
a có cách
a có cách
5
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 có
s
Tr ng h p
a a nên a có cách ch n a
có v trí cho s a gi s a a
a có cách
a có cách
 có
mà
có th đ i ch cho nhau nên ta đc
V y YCBT
cách

s

có v trí cho a
II Qui t c c ng
M t công vi c H bao g m K công vi c H H H
Giai đo n H có n cách th c hi n

Giai đo n H có n cách th c hi n
Giai đo n H có n cách th c hi n

Hk trong đó

Giai đo n Hk có nk cách th c hi n
Khi đó đ hoàn thành công vi c H ch ph i th c hi n trong các công vi c trên thì suy ra
có n n n nk cách đ hoàn thành công vi c H
Ví d
M t n sinh trung h c khi đ n tr ng có th ch n m t trong hai b trang ph c là
qu n tr ng áo dài ho c qu n xanh áo s mi
N sinh có chi c qu n tr ng áo dài qu n xanh và áo s mi thì có bao nhiêu cách
ch n trang ph c
Gi i
- N sinh đ c ch n m t trong hai b trang ph c
Tr ng h p Qu n tr ng áo dài
- có cách ch n qu n tr ng
cách ch n áo dài
 có
cách ch n b trang ph c th nh t
Tr ng h p Qu n xanh áo s mi
- có cách ch n qu n xanh
- có cách ch n áo s mi
 có
cách ch n b trang ph c th
V y theo quy t c c ng thì n sinh có
cách
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l có ch s khác nhau

b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s có ch s khác nhau sao cho các s này chia
h t cho
Gi i
a Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
- a
có cách ch n
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

6

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y ta đ c
s
b Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
Vì s này chia hêt cho nên a
Tr ng h p a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có

s
Tr ng h p a
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s
V y thu đ c
s c n tìm
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l g m ch s mà ko chia h t cho
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s ch n g m ch s mà ch s th
luôn l
Gi i
a Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
Vì s này l không chia hêt cho nên a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 s c n tìm là
s
b Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
- Vì ch s th
luôn l a
a có cách ch n

- Ch s này là s ch n nên a
có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 s c n tìm là
s
Ví d
Cho t p A
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

7

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m ch s đôi m t khác
nhau sao ch s có m t đúng m t l n
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
t ng c a ch s đ u nh h n t ng ba ch s sau đ n v
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
ch s đ ng gi a và cu đ u l
Gi i
a Tìm S ch n có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4
- Tr ng h p a
- a có cách ch n
- a có cách ch n

- a có cách ch n
 s c n tìm là
s
T ng h p a
nên có cách ch n
s có v trí gi s a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s
V y có
s c n tìm
b S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
a a a
Theo đ a a a
Mà a a a a a a
V y
a a a
T t p A ta ch n b ba s a a a sao cho a a a
Ta có
s
Do đó v i m i b thì a có cách ch n a có cách a có cách nên ta đc
Do c ba b ch n gi ng nhau nên đ c s c n tìm
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
Vì ch s đ ng gi a và cu i đ u l nên a a
a có cách ch n
a có cách
a có cách ch n
a có cách ch n

a có cách ch n
V y có
s nh v y
Ví d
T các s
có th l p đ c bao nhiêu s g m ch s trong đó hai
ch s li n k nhau phai khác nhau
Gi i
S có ch s là n a1a2 a3a4
a a a a
a có cách ch n a
a có cách ch n a a
a có cách ch n a a
a có cách ch n a a
V y có t t c
s
8
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

CH NH H P

Đ nh Nghĩa và công th c
Cho t p A g m n ph n t khác nhau đôi m t T t p n rút ra k ph n t khác nhau đôi
m t r i s p x p chúng theo m t th t nào đó thì đ c ch nh h p ch p k c a n ph n
t
Công th c

Ank 

n!
 n  k !

Ph

ng pháp chung đ gi i bài toán v ch nh h p
B c G i s c n tìm là n a1a2 ...an
B c Li t kê các tính ch t mà s n c n th a mãn
B c X lý tính ch t đó b ng cách ch n các ch s th a mãn
B c Đ m l i s ph n t còn l i trong t p h p A b ng cách l y s ph n t A ban đ u
các ph n t đã có m t trong các tính ch t c a t p h p m i A
B c Ch n các ch s còn l i ko có tính ch t l y t t p A
B c Áp d ng hai qui t c c b n đ có k t qu
Các d ng toán
D ng T p h p A không ch a s
Ví d Cho t p A
a Có bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau đ c l y t t p A
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có ch s đôi m t khác nhau
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có ch s đôi m t khác nhau sao
cho t ng hai ch s đ u và cu i chia h t cho
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
Năm ch s này đ c ch n t A đôi m t khác nhau và s p x p theo m t th t nh t
đ nh nên s c n tìm là ch nh h p ch p c a ph n t
A75 

7!

 2520 s
(7  5)!

b S có ch s khác nhau đôi m t là n
vì n là s ch n nên a

a1a2 a3a4 a5a6

có cách ch n

ch n ch s còn l i t t p có

a

ph n t ta có A65 

A65
s
V y có t t c
c S có ch s khác nhau đôi m t là n

6!
 720
(6  5)!

a1a2 a3a4 a5a6

theo gi thiêt a a
nên b s này có th là
ng v i m i b a có cách ch n a có cách nên s cách là

- ch n ch s còn l i trong t p co ch s ta đ
V y có t t c
s c n tìm
Ví d Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s có
ch s ch n và ch s l
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

c

A54 

5!
 120
(5  4)!

ch s đôi m t khác nhau sao cho có đúng
9

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Gi i
S có ch s khác nhau đôi m t là n

a1a2 a3a4 a5a6

Ch n ch s ch n trong t ng ch s ta đ

c A43 

Ch n ch s l trong t ng ch s l ta có A53 

4!
 24
(4  3)!

5!
 60
(5  3)!

V y có
s c n tìm
Ví d Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l g m có ch s đôi m t khác nhau
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
ch s đ u l ch s cu i ch n
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s khác nhau đôi m t sao ch
s đ u và cu i đ u ch n
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
Vì n là s l nên a

 a có cách ch n

Ch n ch s còn l i trong t ng s còn l i ta đ
V y có t t c
s nh v y

b S có ch s khác nhau đôi m t là n
Vì s cu i ch n nên a 
S đ u l nên a 

c

A85 

8!
 6720
(8  5)!

a1a2 a3a4 a5a6

có cách ch n
có cách ch n

Ch n ch s còn l i trong t ng

ph n t ta có

A74 

7!
 840
(7  4)!

V y có
s
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5

 a có cách ch n a có cách ch n
Vì a a ch n nên 
- Ch n ch s còn l i trong t ng

ph n t ta có

A73 

7!
 210
(7  3)!

- V y có t t c
s
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s khác nhau đôi m t và
không b t đ u b ng
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s khác nhau đôi m t và
ch s luôn có m t đúng m t l n
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m ch s khác nhau đôi
m t và ch s luôn có m t đúng m t l n
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

10

T H P XÁC SU T P I

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ch n ch s trong t ng ch s ta đ
s các s b t đ u b i

c

có d ng 345a4 a5 là

A65 

6!
 720
(6  5)!

A32 

3!
6
(3  2)!

V y s c n tìm là
s
b S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4
Ch s luôn có m t đúng m t l n nên có v trí cho s
Coi m t v trí b t kì là s v y còn ch s đ c ch n trong
5!
 60
A53 

(5  3)!

ph n t còn l i

V y có
s
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 do n ch n nên a 
Ch s luôn có m t đúng m t l n nên xét tr ng h p
Tr

ng h p

a

Tr ng h p a
- có v trí cho s
-

s cách ch n cho ch s còn l i lai

A53 

5!
 60
(5  3)!

nên a có cách ch n

ch n v trí còn l i trong t ng ph n t là

A42 

4!
 12
tr
(4  2)!

a

tr

Ta đ c
V y có t t c
s
Ví d
Cho t p A
a T t p có th l p đ c bao nhiêu s l g m ch s đôi m t khác nhau sao cho ch
s luôn có m t đúng m t l n
b T t p có th l p đ c bao nhiêu s l g m ch s đôi m t khác nhau sao cho ch
s luôn có m t đúng m t l n và ch s đ ng đ u l
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
TH a
Ch n ch s còn l i ta đ

c

A74 

7!

 840
(7  4)!

TH a
- a có cách ch n
- có v trí cho s
- có A63 cách ch n ch s còn l i
V y có
A63 A74
s
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
TH N u a
- a có cách ch n
11
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- ch n ch s còn l i có A64 cách
 có A64 s
TH a
N ua
thì a có cách ch n ch n ch s còn l i đ
N ua
a có cách ch n a có cách ch n có v trí cho ch s

c A64  có

A64 s

ch n ch s còn l i đ

c

A

3
5

 TH
A64
A53
A64
A64
A53
s c n tìm
V y có t t c
Cho t p A
Ví d
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m ch s đôi m t khác nhau sao cho ch
s đ ng gi a không chia h t cho ch s luôn có m t đúng m t l n và ch s cu i
l
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau hai ch s
và luôn đ ng c nh nhau
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
Ch s đ ng gi a không chia h t cho nên a

Cách Xét các tr ng h p sau
TH a
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A73 cách
 có A73 s
TH a
a có cách ch n
a có cách ch n do a
và a a
có v trí có ch s
Ch n hai ch s còn l i có A62 cách
 có
A62 s
A73
A62
s c n tìm
V y có t t c
Cách Dùng phép lo i tr
B tính s các s l có năm ch s trong đó ch s luôn có m t đúng m t l n là
A84

A73

B Tính s các s l có năm ch s trong đó a
V y có t t c A84
A73
A73
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Cách Chia tr ng h p

TH n u a
a
Ch n ch s còn l i có A74 cách
TH n u a
 có hai v trí cho ch s
Ch n ch s còn l i có A74 cách
 có A74 s
12
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

là

A73

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

TH a
gi ng nh TH có A74 s
TH a
gi ng nh TH có A74 s
TH a
gi ng nh TH có A74 s
TH a
gi ng nh TH
V y có t t c
A74
A74

s c n tìm
Cách
Khi hai ch s
và luôn đ ng c nh nhau thì ta xem nh hai ch s
là m t ch s
a Khi đó ta l p m t s có năm ch s sao cho ch s a luôn có m t m t l n r i hoán
đ i v trí gi a hai ch s
s đ c các s c n tìm theo yêu c u bài toán
Ch s a có v trí
Ch n ch s còn l i A47 cách
 có A73 s
Hoán đ i v trí gi a hai ch s và ta đ c s các s c n tìm là
A74
s
Ví d
Cho t p h p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có sáu ch s đôi m t khác nhau sao cho
hai ch s và không đ ng c nh nhau
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu ch s g m có sáu ch s đôi m t khác nhau sao
cho hai ch s l không đ ng c nh nhau
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Bài toán này đ c gi i b ng cách lo i tr theo hai b c sau
B Tính s các s có sáu ch s trong đó hai ch s
luôn có m t
Ch s có v trí
Ch sô có v trí
Ch n b n ch s còn l i có A74 cách
A74 s
 có

B Tính s các s có sáu ch s trong đó hai ch s và luôn đ ng c nh nhau
Xem hai ch s
là m t ch s a Ta l p m t s có năm ch s mà ch s a luôn
có m t m t l n
- có v trí cho ch s a
- Ch n ch s còn l i có A74 cách
 có A74 s mà ch s a luôn có m t m t l n
Hoán đ i v trí gi a s và trong ch s a ta đ c
A74 s mà hai ch s
và luôn
đ ng c nh nhau
A74
A74
s c n tìm theo yêu c u bài toán
V y có t t c
b Bài toán đ c gi i theo các b c sau
B Ch n hai ch s l trong năm ch s l
B L y m t c p s l b t kỳ gi i nh câu a
Ch n hai ch s trong năm ch s l là C52
L y m t c p s l đi n hình nh
gi i nh câu a
2
4
4
V y có C5
A7
A7
s c n tìm
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

13

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ví d
ch n t p A
a T t p A có th l p đ
sao cho ha ch s và
b T t p A có th l p đ
sao cho hai ch s và

c bao nhiêu s ch n g m có sáu ch s đôi m t khác nhau
luôn đ ng c nh nhau
c bao nhiêu s ch n g m có sáu ch s đôi m t khác nhai
luôn đ ng chanh nhau
Gi i

a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
S n là s ch n nên a
 a có cách ch n
Đ đ n gi n h n lúc này ta qui bài toán v yêu c u m i là Tìm các s có năm ch
s
sao cho ch s và luôn đ ng c nh nhau r i đem ghép v i ch s a s
đ c ch s n c n tìm
Khi hai ch s và luôn đ ng c nh nhau ta xem
là m t ch s a Ta l p m t
s có b n ch s sao cho ch s a luôn có m t

Ch s a có v trí
Ch n ba ch s còn l i có A63 cách
 có A63 s
Hoán đ i v trí gi a hai ch s và ta đ c
A63 s có năm ch s mà
luôn đ ng c nh nhau
A63
Các ch s này đem ghép v i ch s a ta đ c các s c n tìm là
s n
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Xét tr ng h p sau
thì a
TH n u a
Ch n b n ch s còn l o có A cách
TH n u a
thì a
Ch n b n ch s còn l i có A cách
TH n u a
và a
a có cách ch n
xem hai ch s
là m t ch s a ta l p m t s có b n ch s sao cho ch s
a luôn có m t m t l n
Ch s a có v trí
Ch n ba ch s còn l i có A63 cách
 có A63 s
A63 s
Hoán đ i v trí c a hai ch s a và có
Vây có t t c
A74

A63
s c n tìm
Ví d
cho t p h p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l g m có sáu ch s sao cho ch s
m t l n Các ch s còn l i có m t m t l n

luôn có

Gi i
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

14

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Cách Xét hai tr ng h p
TH a
Do ch s luôn có m t l n nên v trí còn l i thì ch s có v trí
Ch n ch s còn l i có A84 cách
 có s có sau ch sô mà a
I TH a
a có cách
Tha a
a
a có cách ch n a a và a a

có v trí cho ch s
ch n ch s còn l i có A62 cách
 Ta có
A62
s
Thb a
a
và a
a có cách ch n
a có cách ch n
có v trí cho ch s
Ch n ch s còn l i có A51 cách
A51
s
 thb có
Thc a
gi ng nh thb
Thd a
gi ng nh thb
The a
gi ng nh tha
4
V y có A8
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s có ch s khác nhau sao cho
luôn đ ng
c nh nhau
Gi i
luôn đ ng c nh nhau ta coi là m t s a nào đó ch s a này có v trí

- Ch n ch s còn l i ta có A64 cách
- Hoán đ i v trí c a
ta có Cách
4
V y có
A6
s c n tìm
D ng T p A có ch a s
Ph ng pháp gi i toán
B c G i s c n tìm là n a1a2 a3 ....an a
B c Li t kê các tính ch t mà s n c n th a mãn
B c X lý các tính ch t
- N u có nhi u tính ch t đ c l p nhau thì ta không chia tr ng h p
- N u m t ch s a nào đó c th có m t
l n thì ph i chia tr ng h p vì a a
s
khác v i a a
- N u hay nhi u ch s trong n có cùng tính ch t thì chia tr ng h p
B c Dùng các qui t c c ng nhân gi i quy t bài toán
Cho t p A
T t p A có th l p đ c
Ví d
a Bao nhiêu s có ch s đôi m t khác nhau
b Bao nhiêu s có ch s đôi m t khác nhau sao cho các s này đ u l
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

15

T H P XÁC SU T P I

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
S này ko có tính ch t có ch a s
nên ta làm nh sau
- a có cách ch n vì a
- Ch n ch s còn l i ta đ c A64 cách
cách
 có A64
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
vì n là s l nên a 
do đó a có cách ch n
- a có cách ch n do a
và a
- Ch n ch s còn l i ta có A53
V y có
A64
s
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c
a Bao nhiêu s có ch s đôi m t khác nhau và chia h t cho
b Bao nhiêu s ch n có ch s đôi m t khác nhau
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4
Vì n chia h t cho nên a
ta chia bài toán làm hai tr ng h p
TH N u a

hi n nhiên a
v y s còn l i có A53 cách
TH N a
thì a có cách ch n vì a
và
2
2
Ch n s còn l i ta có A4  có A4
V y có t t c A53
A42
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4
Vì n là s ch n nên a
ta chia bài toán làm hai tr ng h p
TH N u a
thì ch n s còn l i ta đ c A53 cách
TH N u a
thì s có cách ch n a
- có cách chon a
- ch n s còn l i ta có A42
 có A42
V y có t t c A53
A42
s c n tìm
Cách Dùng phép đ m lo i tr
- Đ m s có ch s khác nhau chia h t cho
a có cách ch n
ch n ba ch s còn l i là A53  có A53
- Đ m s có ch s chia h t cho mà a
là A42

V y có A53 A42
s
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s có
a Năm ch s đôi m t khác nhau và chia h t cho
b Sáu ch s đôi m t khác nhau sao cho ch s luôn có m t đúng l n
Gi i
G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 do s này chia hêt cho nên a
Cách Xét tr ng h p
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

16

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

TH N u a
ta ch n ch s còn l i thì đ c A74 cách
TH N u a
- a có cách ch n
- a có cách ch n do a
a
- Ch n ch s còn l i ta đ c A63

A63 cách
V y ta đ c A74
A63

s c n tìm
Cách dùng phép lo i tr
Tính s có ch s khác nhau và chia h t cho
- a có cách ch n
só còn l i có A74 cách ch n
 có A74 s
Tính s có ch s khác nhau mà chia h t cho và a
- a có cách ch n
- ch n ch s còn l i ta có A63
 có
A74
A63
s
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
ch n ch s còn l i ta đ c A75 cách
TH N u a
TH N u a
- a có cách ch n do a
- có v trí cho ch s
- ch n ch s còn l i có A64
có
A64
V y có t t c A75
A64
s
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s
a Có năm ch s khác nhau và l n h n
b Có năm ch s khác nhau và đ u là các s ch n

Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 do n
nên a 
a có cách ch n ch n ch s còn l i có A74 cách
V y có A74  3360 s
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 vì n là s ch n nên a
TH n u a
ch n s còn l i ta có A74 cách
TH n u a
thì a có cách ch n
- a có cách ch n ba ch s còn l i có A63
 có
A63
V y có A74
A63
s
Ví d
Cho t p h p A
T T p A có th l p đ c bao nhiêu s
a Có sáu ch s khác nhau sao cho ch s va luôn đ ng c nh nhau
b Có sáu ch s khác nhau sao cho ch s
và không đ ng c nh nhau
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

17

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Xét hai tr ng h p sau
TH n u a1a2 13
Ch n ch s còn l i A84 cách  có A84 s
TH N u a1a2 13
a có cách ch n a
a
Có v trí cho 13
Ch n ch s còn l i có A73 cách
A73 s
 có
A73 s mà
luôn đ ng c nh nhau
V y có A84
Do vai trò c a 13 cũng gi ng vai trò c a 31 nên có t t c
A84
A73
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Gi i theo các b c sau
B Tính s t o thành có sáu ch s b t kì
a có cách ch n a
Ch n ch s còn l i có A95 cách
 có A95 s
B Tính s các s có
đ ng c nh nhau
Tha hai ch 70
có v trí 70

ch n ch s còn l i có A84 cách
 có A84 s có sáu ch s mà có
Thb hai ch s 07
có v trí cho
ch n ch s còn l i có A84 cách
 có A84 s có sáu ch s mà
Do đó có
A84
A84
A84 s mà
luôn đ ng c nh nhau
B s các s c n tìm là
A95
A84
s
Ví d
cho t p h p A
T t p h p A có th l p đ
có ch s khác nhau sao cho
a luôn có m t hai ch s
và
b hai ch s và không đ ng c nh nhau
Gi i
a g i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6 a7
TH Hai ch s 90
có sáu v trí cho cho ch s 90
ch n ch s còn l i có A85 cách
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

18

c bao nhiêu s

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 có A85 s có ch s mà hai ch s 90
TH Hai ch s 09
có v trí có ch s 09
ch n ch s còn l i có A85 cách
 có A85 s có ch s mà hai ch s 09
V y có t t c
A85
A75
A85 s c n tìm
b g i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6 a7
Gi i theo các b c sau
B tính s các s có ch s khác nhau b t kỳ
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A96 cách
 có A96 s
B Tính s các s có ch s khác nhau có ch a hai ch sô
tr ng h p
TH a1a2 16
Có A85 cách ch n ch s còn l i
TH a1a2 16
Có v trí cho ch 16
a có cách ch n do a

a
4
Ch n ch s còn l i A7 cách
A74 cách

T hai tr ng h p trên ta có s các s có ch a 16 là
A85

đ ng c nh nhau xét hai

A74

T ng t ta cũng có A85
A74 s các s có ch a 61
B V y s các s th a mãn bài toán là
A96
A85
A74
s
Ví d

Cho t p A
T t p A có th t o đ c bao nhiêu s
a Có sái ch s khác nhau sao cho luôn có m t hai ch s
và
b Có b y ch s khác nhau sao cho luôn có m t hai ch s và
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Có v trí cho ch s
Có v trí cho ch s

Ch n ch s còn l i có A84 cách
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6 a7
Cách Gi i theo các b c sau
B Tính s các s có ch s b t kỳ
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A96 cách
 có A96 s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

19

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

B Tính s các s có ch s có m t ch s mà không có m t ch s
TH a
Ch n ch s còn l i có A86 cách b đi ch s
 có A86 s
TH a
a có cách ch n a
a
a
Có v trí cho ch s
Ch n ch s còn l i có A75 cách b đi ch s
 có
A75 s
T hai tr ng h p trên  có A86
A75 s

B Tính s các s có ch s có m t ch s mà không có m t ch s
b c ta cũng có A86
A85 s
B Tính s các s có ch sô mà không có ch s và
a có cách ch n do a
a
a
6
Ch n ch s còn l i có A7 cách
 có A76 s
B v y s các s c n tìm là
A96
A86
A75
A76
s
Cách xét các tr ng h p sau
TH n u a
Ch s có v trí
ch n ch s còn l i có A85 cách
có A85 s
TH n u a
gi ng nh TH  có A85 s
TH a
và a
Ch s có v trí
Ch s có v trí
a có cách ch n do a
a
a

4
Ch n ch s còn l i có A7 cách
A74 s
 có
V y có t t c
A85
A74
s c n tìm
Cách tính theo b c sau
B Tính s các s t o thành ch a ch s
và luôn có ch s và
có cahcsh ch n cho ch sô
có A62 v trí cho ch sô và
có A74 cách ch n ch s còn l i
 có A62 A74 s
B Tính s các s t o thành không có ch a c
và luôn có ch s và
2
có A7 cách ch n v trí cho hai ch s và
có A85 cách ch n ch s còn l i
 có A72 A85 s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

20

gi ng nh

T H P XÁC SU T P I

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Theo quy t c c ng ta có t t c các s là
A62 A74
A72 A75
s c n
Bài Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s
a Có ch s khác nhau sao cho luôn có m t ch s
b Có ch s khác nhau sao cho luôn có m t ch s
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Có v trí cho ch sô
Có v trí cho ch s
Có v trí có ch s
Ch n ch s còn l i có A73 cách
 có
A73 s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6 a7
Nh n xét Khi các s t o thành luôn có t
ch s cho tr c tr lên thì ta nên s
d ng cách ho c cách vì s d ng cách r t dài
Cách Xét các tr ng h p
Th Khi a
cũng gi ng nh khi a
a có cách ch n
có v trí cho ch s
Có v trí cho ch s
Có v tí cho ch s
Ch n ch s còn l i A63 cách

 có
A63 s
TH a
a
a
và a
a có cách ch n
Có A64 v trí cho ch s
Ch n hai ch s còn l i có A52 s
V y có t t c
A63
A64 A52
s c n tìm
Cách Gi i theo hai b c sau
B Tính s các s có ch s
và luôn có m t ch s
Có v trí cho ch s
Có A64 cách ch n v trí cho ch s

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

21

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

22

T H P XÁC SU T P I