Tổng hợp lý thuyết về môn thống kê cho KHXH

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KÍ HIỆU
1. Khái niệm đám đông – mẫu
Đám đông (tổng thể): là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn nghiên cứu.
Mẫu: là tập hợp các phần tử lấy ra từ đám đông để nghiên cứu.
Kích thước mẫu: là số phần tử của mẫu, kí hiệu là n.
Dãy thống kê dạng điểm cho dưới dạng tần số:
X

x1

x2

…

xi

…

xk

m

m1

m2

…

mi

…

mk

k

Chú ý:

∑m =n
i =1

i

2. Tham số đám đông – Tham số mẫu
Định nghĩa 1: Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu X của một đám đông có:

E ( X ) = µ ;D ( X ) = σ 2 ; σ ( X ) = σ
Các tham số đám đông:
Tham số

Tên gọi
Kỳ vọng

Ý nghĩa
Giá trị trung bình của X trong đám đông

σ2

Phương sai

Bình phương độ phân tán trong đám đông

Độ lệch tiêu chuẩn

Độ phân tán trong đám đông

µ

σ

Các tham số mẫu:
Tham số

X
S2
2
S$

Tên gọi
Trung bình mẫu
(Giá trị trung bình của X trong mẫu)
Phương sai mẫu

Cách tính

1 k
X = ∑ mi x i
n i=1
1 k
X = ∑ mi x i2
S2 = X 2 − X

n i=1
với

( )

Phương sai mẫu điều chỉnh

2
n 2
S$ =
S
n −1

S

Độ lệch tiêu chuẩn mẫu

S$

Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh

S = S2

1

2
S$= S$

2

2


Định nghĩa 2: Giả sử đám đông chỉ có 2 loại đối tượng là các phần tử mang đặc
tính A và các phần tử không mang đặc tính A. Ta có:
+ Tham số p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong đám đông.
+ Tham số f là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong mẫu.

f=

m
n với m là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu.

2


BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG
Phân biệt bài toán ước lượng điểm và bài toán ước lượng khoảng:
+ Không có độ tin cậy: bài toán ước lượng điểm.
+ Có độ tin cậy: bài toán ước lượng khoảng.
I. Bài toán ước lượng điểm
+ Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng

µ ): Tính X rồi kết luận.

+ Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p): Tính f rồi kết luận.
2
$
+ Ước lượng bình phương độ phân tán (ước lượng p/sai σ ): Tính S

2

rồi kết luận.

II. Bài toán ước lượng khoảng
Các bước làm:
+ Xác định bài toán: ước lượng kỳ vọng hay ước lượng xác suất? Nếu là ước lượng
kỳ vọng thì rơi vào trường hợp nào?
+ Viết biểu thức xác định khoảng tin cậy và công thức tính

ε

α
α
u ÷
t n −1  ÷
γ
2
+ Biết độ tin cậy , ta đi tính α = 1 − γ rồi suy ra  2  hay
2
$2 ;S;f
$
X;S
;S;S
+ Tính các tham số mẫu (nếu cần tham số nào thì tính tham số đó):

rồi tính

ε

+ Tìm khoảng tin cậy rồi kết luận.
1. Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng
Khoảng tin cậy đối xứng của
Trường hợp

σ

µ

là

( X − ε;X + ε ) với ε tính như sau:

Công thức tính

đã biết, X có phân phối chuẩn
ε=
hoặc mẫu lớn

σ

µ ):

α σ
u  ÷.
 2 n
S
 α  S$
ε = t n −1  ÷.
 2 n

  n − 1 hoặc

chưa biết, X có phân phối
α
ε
=
t
n
−
1
 ÷.
chuẩn
2

3


σ

S
 α  S$
ε = u  ÷.
 2 n
  n − 1 hoặc

chưa biết, X không có phân
α
ε
=
u

 ÷.
phối chuẩn nhưng mẫu lớn
2
2. Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p):

 α  f (1− f )
ε = u  ÷.
( f − ε ;f + ε ) với  2  n
Khoảng tin cậy đối xứng của p là

4


BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH
Phân biệt với bài toán ước lượng:
+ Bài toán ước lượng: có từ ước lượng, có từ độ tin cậy
+ Bài toán kiểm định: có từ kiểm định, có từ mức ý nghĩa
Các bước làm:
+ Xác định bài toán: giả thuyết H, đối thuyết K, mức ý nghĩa

α.

+ Nêu các điều kiện (nếu có) để đưa ra thống kê.
+ Xác định miền bác bỏ H (miền W)
+ Tính giá trị quan sát của thống kê. Kiểm tra xem giá trị quan sát của thống kê có
thuộc miền W hay không:
• Nếu thuộc thì ta bác bỏ H, chấp nhận K.
• Nếu không thuộc thì chưa bác bỏ được H nên tạm thời chấp nhận H, bác bỏ K

Hai vấn đề chính trong mỗi bài toán kiểm định:

+ Xác định thống kê được sử dụng
+ Xác định miền W
I. Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình (Kiểm định kỳ vọng)

H : µ = µ0

K : µ > µ0
BT1: 
Trường hợp

H : µ = µ 0

K : µ < µ0
BT2: 
Sử dụng thống kê

H : µ = µ0

K :µ ≠ µ0
BT3: 
Miền W

BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }

σ đã biết, X có phân phối
chuẩn hoặc mẫu lớn

X−µ )
(
G=

0

σ


 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 


(X−µ )
T=
0

σ

chưa biết, X có phân
phối chuẩn

σ

BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

n

(

n −1

BT2: W = { T :T ≤ − t n −1 ( α ) }

S

X − µ0
T=
S$

)

BT1: W = { T : T ≥ t n −1 ( α ) }

n


 α 
BT3: W =  T : T ≥ t n −1  ÷
 2 


BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }

chưa biết, X không có
5


phân phối chuẩn nhưng
mẫu lớn

G=

(X−µ )
0

n −1

BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

n


 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 


S

(X−µ )
G=
0

S$

II. Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ (Kiểm định xác suất)
Gọi p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong tổng thể.

 H : p = p0

K : p > p0
BT1: 

 H : p = p0

K : p < p0
BT2: 
Sử dụng thống kê

Trường hợp

 H : p = p0

K : p ≠ p0
BT3: 
Miền W

BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }
G=

Mẫu lớn

BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

( f − p0 ) n
p0 ( 1 − p0 )


 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 


III. So sánh hai tỉ lệ (So sánh hai xác suất)
Giả sử ta cần so sánh tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông.
Gọi

p1;p 2

lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông đó.

Ta có các bài toán so sánh:

H : p1 = p 2

K : p1 > p 2
BT1: 
Trường hợp

Hai mẫu lớn

H : p1 = p 2

K : p1 < p 2
BT2: 
Sử dụng thống kê

G=

 H : p1 = p 2

K : p1 ≠ p 2

BT3: 
Miền W

f1 − f 2
1 1
f ( 1− f )  + ÷
 n1 n 2 

Ở đó:
6

BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }
BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 



n1 là kích thước mẫu thứ nhất, n 2

là kích thước mẫu thứ hai.

f1 =

m1
n1 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ nhất.

f2 =

m2
n 2 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ hai.

f=

m1 + m 2
n1 + n 2 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A chung của cả hai mẫu.

IV. So sánh hai giá trị trung bình (So sánh kỳ vọng)
Giả sử cần so sánh 2 giá trị trung bình của một dấu hiệu nghiên cứu nào đó ở hai
đám đông khác nhau. Gọi X là dấu hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ nhất, Y là dấu
hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ hai.

E ( X ) = µ 1;E ( Y ) = µ 2
Kí hiệu

và

D ( X ) = σ 12 ;D ( Y ) = σ 22

Ta có các bài toán so sánh:

 H : µ1 = µ 2

K : µ1 > µ 2
BT1: 
Trường hợp

σ ;σ

2
1

2
2

 H : µ1 = µ 2

K : µ1 < µ 2
BT2: 
Sử dụng thống kê

đã biết, X và G =
Y có phân phối
chuẩn hoặc hai
mẫu lớn

σ 12 = σ 22

chưa biết,
X và Y có phân
phối chuẩn

 H : µ1 = µ 2

K : µ1 ≠ µ 2
BT3: 
Miền W

BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }

X−Y

BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

σ12 σ 22
+
n1 n 2

X − Y)
(
T=


 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 

n1n 2 ( n1 + n 2 − 2 )

( n1 + n 2 ) ( n S

2
1 X

+nS

2
2 Y

)

{
BT2 : W = { T : T ≤ − t

BT1: W = T :T ≥ t n1 +n2 −2 ( α )
n1 + n 2 − 2

( α )}


 α 
BT3: W =  T : T ≥ t n1 + n 2 − 2  ÷
 2 


BT1: W = { G : G ≥ u ( α ) }
7

}


BT2 : W = { G : G ≤ − u ( α ) }

X−Y

G=

2
X

2
Y

S
S
+
n1 − 1 n 2 − 1

σ 12 ; σ 22

chưa biết, X
và Y không có phân
phối chuẩn nhưng G =
hai mẫu lớn


 α 
BT3: W =  G : G ≥ u  ÷
 2 


X−Y
2
2
S$X S$Y
+
n1 n 2

σ 12 ; σ 22

Trường hợp
chưa biết, X và Y không có phân phối chuẩn nhưng hai mẫu bé
thì ta giải quyết bài toán so sánh kỳ vọng (bài toán 3) bằng tiêu chuẩn hạng của Mann –
Whitney hoặc tiêu chuẩn hạng của Wilcoxon:
+ Nếu số liệu cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Wilcoxon.
+ Nếu số liệu không cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Mann – Whitney.
Lưu ý: Hai tiêu chuẩn này chỉ giải quyết được bài toán 3.
Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Wilcoxon:
+ Tính

di ; di

và đếm số giá trị

+ Sắp xếp các

+ Tính

+ Đặt

rank ( di )

T = T+
G=

+ Đặt
+ Tính

di ≠ 0

G qs

thì

với

theo thứ tự từ bé đến lớn.

d i > 0 rồi tính

E( T) =

T − E( T)
D( T)

d i ≠ 0 . Gọi số giá trị d i ≠ 0 là n +

n + ( n + + 1)
4

T + = ∑ rank ( di )
d i >0

;D ( T ) =

n + ( n + + 1) ( 2n + + 1)
24



 α 
W =  G : G ≥ u  ÷
 2 

thì miền bác bỏ H là

rồi kết luận.

Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Mann – Whitney:
+ Gộp chung 2 dãy số liệu mẫu và sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

8


+ Tính hạng của các phần tử trong mẫu 1, tức là tính

rank ( x i ) ,i = 1;n1

n1

+ Tính

+ Tính

+ Đặt

R1 = ∑ rank ( x i )
i =1

U1 = n1n 2 +

U = U1 thì
G=

G qs

E( U) =

U − E( U)
D( U)

+ Đặt
+ Tính

n1 ( n1 + 1)
− R1
2
n n ( n + n + 1)
n1n 2
;D ( U ) = 1 2 1 2
2
12


 α 
W =  G : G ≥ u  ÷
 2 

thì miền bác bỏ H là

rồi kết luận.

V. Kiểm định sự phù hợp của số liệu mẫu
Bài toán: Gọi
một đám đông (

p1,p 2 ,...,p k

lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính

A1;A 2 ;...;A k

trong

p1 + p2 + ... + p k = 1 ). Từ đám đông, ta lấy ra mẫu có kích thước n.

Ta có bài toán kiểm định:
Giả thuyết H: Số liệu mẫu phù hợp với k tỉ lệ đã cho.
Đối thuyết K: Số liệu mẫu không phù hợp với k tỉ lệ đã cho.
k

Giải quyết: Ta sử dụng thống kê:
Ở đó:

m1;m 2 ;...;m k

Miền bác H:

χ2 = ∑

( mi − npi )

2

npi

i =1

lần lượt là số phần tử mang đặc tính

A1;A 2 ;...;A k

W = { χ 2 : χ 2 ≥ χ k2 −1 ( α ) }

Chú ý: Điều kiện là

mi ≥ 5;i = 1;k .

VI. Kiểm định tính độc lập của hai dấu hiệu
Bài toán: Giả sử ta có hai dấu hiệu X và Y. Ta có bài toán kiểm định:
9

trong mẫu.


Giả thuyết H: X và Y độc lập nhau; Đối thuyết K: X và Y phụ thuộc nhau.
Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:

B1

B2

…

Bs

Tổng hàng

A1

m11

m12

…

m1s

hg1

A2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

…

…

…

…

…

…

Ar

m r1

m r2

…

m rs

hgr

cot1

cot2

…

cots

n

X

Y

Tổng cột

 r s m 2ij

χ = n ∑ ∑
− 1
hg
cot
i
=
1
j
=
1
i
j


Ta sử dụng thống kê:
2

Miền bác H:

{

W = χ 2 : χ 2 ≥ χ (2r −1)( s−1) ( α )

}

VII. So sánh nhiều tỉ lệ (So sánh nhiều xác suất)
Bài toán: Gọi lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của s đám đông. Ta có bài
toán kiểm định:
Giả thuyết

H : p1 = p2 = ... = ps

Đối thuyết K: Các tỉ lệ

p1;p2 ;...;ps

không đồng thời bằng nhau.

Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:

B1

B2

…

Bs

Tổng

A1

m11

m12

…

m1s

hg1

A2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

Tổng

cot1

cot2

…

cots

n

X

Y

10


Ở đó,

m1j

là số phần tử mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j còn

số phần tử không mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j,

 2 s m 2ij

χ = n ∑ ∑
− 1
 i=1 j=1 hg i cot j 

Ta sử dụng thống kê:
2

Miền bác H:

W = { χ 2 : χ 2 ≥ χ s2−1 ( α ) }

11

j = 1;s

m 2j

là


TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY
I. Tương quan
1. Hệ số tương quan
• Ta có đánh giá mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y dựa vào

Rất yếu

Yếu

0

Trung bình

0,5

Chặt

ρ

như sau:

Rất chặt

0,7

1

• Khi

ρ = 0 thì ta nói X và Y không tương quan với nhau.

• Nếu

ρ > 0 thì X, Y đồng biến và nếu ρ < 0 thì X, Y nghịch biến.

2. Hệ số tương quan mẫu
Hệ số tương quan mẫu của 2 biến ngẫu nhiên X, Y là:

r ( X,Y ) =

XY − X.Y
SX .SY

Với bảng số liệu:

y1

y2

…

ys

Tổng hàng

x1

m11

m12

…

m1s

hg1

x2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

…

…

…

…

…

…

xr

m r1

m r2

…

m rs

hgr

cot1

cot2

…

cots

n

X

Y

Tổng cột

Ta có:


1 r s
XY =  ∑∑ mij x i y j ÷
n  i=1 j=1

12


Ta có dãy thống kê của X:
X

x1

x2

…

xr

m

hg1

hg2

…

hgr

X;SX

Ta tính được

Ta có dãy thống kê của Y:
Y

y1

y2

…

ys

m

cot1

cot2

…

cots

Ta tính được

Y;SY

Với bảng số liệu:

( X,Y )

( x1;y1 )

( x 2 ;y2 )

…

( x k ;yk )

m

m1

m2

…

mk

X

x1

x2

…

xk

Y

y1

y2

…

yk

m

m1

m2

…

mk

Hoặc:

k
1 k
XY = ∑ mi x i yi
n = ∑ mi
n
i =1
i =1
Ta có:
với

Ta cũng lập dãy thống kê của X và Y rồi tính

X;SX ; Y;SY .

II. Hồi quy
Đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thực nghiệm

Y − Y = r.

(

SY
. X−X
SX

Sai số bình phương trung bình thực nghiệm:
13

)


S2Y/X = SY2 ( 1 − r 2 )
Điều kiện áp dụng tốt:

r ≥ 0,7

14