Phép đo yếu và các giá trị yếu trong vật lí lượng tử

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn, em đã nhận được
sự quan tâm của các thầy giáo, cô giáo trong tổ vật lí lí thuyết nói riêng và các
thầy cô trong khoa lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cũng như
sự hỗ trợ động viên của các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp
đỡ quý báu này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới thầy TS.
Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em có
thể hoàn thành tốt luận văn. Tuy nhiên do thời gian có hạn và trình độ nhận
thức còn hạn chế, dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn những vấn đề em trình
bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Vì vậy, em kính mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của thầy cô giáo
cũng như sự đóng góp ý kiến của các bạn học viên để khóa luận của em hoàn
thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013
Học viên

Hoàng Minh Nguyệt


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy
trách nhiệm của TS. Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác
và kết quả đạt được không trùng với các kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013
Học viên

Hoàng Minh Nguyệt

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
NỘI DUNG....................................................................................................... 2
Chƣơng 1: Giới thiệu về phép đo yếu và giá trị yếu .................................... 2
1. Phép đo yếu ................................................................................................... 2
2. Giá trị yếu ...................................................................................................... 3
3. Kết luận ......................................................................................................... 6
Chƣơng 2: Giới thiệu một vài hƣớng trong vật lí lƣợng tử......................... 7
1. Thời gian đối xứng trong quá trình đo lượng tử ........................................... 7
1.1. Giới thiệu .................................................................................................... 7
1.2. Chuyển động lượng tử là đối xứng thời gian ............................................. 8
1.3. Thời gian không đối xứng trong MP.......................................................... 9
1.4. Trình tự quan sát ........................................................................................ 9
1.5. Mô tả trạng thái lượng tử tại thời điểm t .................................................. 15
2. Những tính chất của hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo.....16
2.1. Giới thiệu .................................................................................................. 16
2.2. Nghịch đảo thời gian ................................................................................ 17
2.3. Hai quan sát không giao hoán có giá trị xác định ở khoảng thời gian giữa
hai phép đo ...................................................................................................... 19
2.4. Phép đo von Neumann ............................................................................. 20
2.5. Giá trị trung bình của toán tử ................................................................... 31
2.6. Phép đo yếu được thực hiện trên một hệ lượng tử đơn ............................ 33


2.7. Một “nghịch lí” toán học .......................................................................... 36

3. Kết luận ....................................................................................................... 40
Chƣơng 3: Một vài ứng dụng trong vật lí lƣợng tử ................................... 41
1. Nghịch lí Hardy ........................................................................................... 41
2. Làm thế nào để phép đo thành phần của một hạt có spin

1
có thể đạt
2

được 100 .................................................................................................. 50
3. Kết luận ....................................................................................................... 57
KẾT LUẬN .................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 59


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay ở Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết đang
gặp nhiều khó khăn về nhân lực và vật lực cũng như hướng nghiên cứu. Đề tài
nghiên cứu của tôi về: “Phép đo yếu và các giá trị yếu trong vật lý lƣợng
tử” (weak measurement, weak values in quantum physics) là một vấn đề rất
mới hứa hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những lý
thuyết mới làm nền tảng cho vật lý thực nghiệm.
Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng
phép đo yếu trong các bài toán thực tiễn về việc đo đạc.
Đây là 1 đề tài dựa trên đề tài cấp Bộ 2013 - 2015.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép
đo yếu, các giá trị yếu và các khả năng ứng dụng của chúng trong thông tin

lượng tử và vật lý lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và khả năng ứng dụng của
chúng trong thông tin lượng tử và vật lý lượng tử.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Vật lý lượng tử & các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý
toán


2
NỘI DUNG
Chƣơng 1: GIỚI THIỆU VỀ PHÉP ĐO YẾU VÀ GIÁ TRỊ YẾU

1. Phép đo yếu
Phép đo yếu là một loại của đo lường lượng tử, trong đó hệ thống đo là
rất yếu cùng với thiết bị đo lường. Sau khi đo số đo con trỏ của thiết bị đo
được dịch chuyển bởi cái gọi là “giá trị yếu”. Vì vậy, một con trỏ ban đầu chỉ
tại số 0 trước khi đo sẽ chỉ vào giá trị yếu sau khi đo. Hệ thống không bị
nhiễu loạn bởi cách đo. Mặc dù điều này có vẻ mâu thuẫn với một số khía
cạnh cơ bản của lý thuyết và không mâu thuẫn với bất kì khái niệm cơ bản
nào, đặc biệt là nguyên lí bất định của Heisenberg.
Ý tưởng của các phép đo yếu và các giá trị yếu lần đầu tiên được phát
triển bởi Yakir Ahanorov, David Albert và Vaidman Lev (AAV), xuất bản
năm 1988, đặc biệt hữu ích cho việc đạt được thông tin của hệ lượng tử preselected và post-selected được mô tả bởi hệ thức vectơ hai trạng thái. Điều
này là lí do ban đầu mà Ahanorov và các cộng sự phát triển phép đo yếu. Từ
một phép đo có “nhiễu loạn lớn” có thể làm đảo lộn và làm rối tất cả các kết
quả của post-selection và làm xáo trộn các phép đo sau đó. Phép đo không
làm nhiễu loạn yếu có thể được sử dụng để tìm hiểu về hệ thống như vậy

trong quá trính phát triển của chúng.
Theo định nghĩa phép đo yếu đôi khi được sử dụng để đo một hệ lượng
tử với mục đích thông tin phản hồi và kiểm soát. Ví dụ, phép đo yếu liên tục
được sử dụng để hướng một chất khí nguyên tử cực mạnh vào một trạng thái
lượng tử đã được chọn. Định nghĩa mở rộng cũng bao gồm một loại đo lường
mà được xem là một phép đo một quan sát vĩ mô gồm các quan sát bằng kính
hiển vi của nhiều hệ con giống hệt nhau, mỗi một hệ trong số đó chỉ tương tác
một cách tối thiểu với thiết bị đo. Việc đo từ tính của một tập hợp lớn spin là


3
một ví dụ tự nhiên. Một ví dụ phổ biến khác là phép đo tần số vô tuyến ở
trạng thái lỏng các thí nghiệm cộng hưởng hạt nhân.
Trong điều kiện ban đầu của post-selection, phép đo yếu có hai lĩnh vực
ứng dụng: Đầu tiên là phân tích một cách đơn giản hóa hiện tượng hoặc các
thí nghiệm tồn tại trước trong đó nó được nhận thấy rằng một phép đo yếu đã
thực sự xảy ra. Ví dụ về ứng dụng này là các tính chất mạng quang học trong
sự xuất hiện của sự tán sắc mode phân cực, mô hình hóa của hiệu ứng ánh
sáng chậm và nhanh trong lưỡng chiết tinh thể quang tử. Lĩnh vực thứ hai của
ứng dụng là nghiên cứu hiện tượng một cách hàn lâm không phù hợp với đặc
điểm của phép đo chuẩn. Các nghiên cứu này có nhiều thành tựu mà bao gồm
việc đưa đến một quan điểm thống nhất mới để tránh những cuộc tranh cãi
đường hầm- thời gian. Về vai trò của đường dẫn thông tin và nguyên lý bất
định Heisenberg trong thí nghiệm hai khe và cung cấp hướng giải quyết phù
hợp cho nghịch lý Hardy.
Quá trình của phép đo yếu được mô tả ban đầu bởi AAV sử dụng mô
hình đo lường von Neumann. Điều này dẫn đến sự chỉ trích rằng kết luận của
họ không phổ quát cho tất cả các loại phép đo và đặc biệt, các dự đoán của họ
chỉ đơn giản là được tạo ra từ mô hình đơn giản von Neumann. Kể từ những
ngày đầu, phép đo yếu đã được mở rộng đa dạng hơn các loại phép đo khác,

vì vậy để bây giờ nó có sức thuyết phục, mặc dù không kết luận, nhưng bằng
chứng cho thấy phép đo yếu thật sự phổ quát.
2. Giá trị yếu
2.1. Giá trị yếu
Kết quả của phép đo yếu, giá trị yếu, không chỉ đặc biệt vì chúng rất
khác các kết quả của phép đo chuẩn. Chúng là một phần của cấu trúc mới đơn
giản và phong phú tồn tại trong thế giới lượng tử. Khái niệm của giá trị yếu là


4
đơn giản và phổ quát. Các giá trị yếu được xác định cho tất cả các biến và cho
tất cả các tiền sử có thể có của hệ lượng tử. Chúng tự xuất hiện trong tất cả
các liên kết mà là đủ yếu.
Nếu

1

và

là các trạng thái cơ học lượng tử pre- selected và

2

µ có thể quan sát được định nghĩa là:
post-selected, giá trị yếu của toán tử A
Aw

1

Aˆ

1

2

(1.2.1)

2

Lưu ý: khi áp dụng công thức cho giá trị yếu trong phương trình (1.2.1),
các trạng thái đầu và cuối được cho là tương đương với hệ lượng tử ngay trước và
sau phép đo yếu. Bất kỳ sự phát triển của hệ thống giữa phép đo yếu thực tại (tại
thời điểm t0) và pre-selection (tại thời điểm t1) hoặc post-selection (tại thời điểm t2)
phải được đưa vào trong các trạng thái (ví dụ:

1

ˆ
U
t

t0

1

pre selection ).

Giá trị yếu của các quan sát trở nên lớn khi trạng thái post-selected,
2

, tiến tới trực giao với trạng thái pre-selected,

1

. Trong cách này, bằng

việc lựa chọn trạng thái, giá trị yếu của toán tử được thực hiện lớn tùy ý và
các hiệu ứng nhỏ khác có thể được khuếch đại.
2.2. Tính chất của giá trị yếu
Giá trị yếu có một số đặc tính chung với các giá trị trung bình chuẩn.
a) Nếu không có post-selection, giá trị yếu bằng với giá trị trung bình chuẩn
của quan sát được đo yếu:

Aw

1

µ
A
1

1

(1.2.2)

1

Vì trạng thái đầu không bị nhiễu loạn bởi phép đo yếu và không có
post-selection

2

=

1

.


5
b) Nếu hoặc pre-selected hoặc post-selected là một giá trị riêng của quan sát
được đo yếu thì giá trị yếu bằng với giá trị riêng tương ứng:

Aw

µ
ai A
ai

ai ai
ai

1
1

1

ai

(1.2.3)

1

ˆ sau pre-selection trong trạng thái a
Một phép đo mạnh của toán tử A
i

sẽ trở thành ai một cách chắc chắn, bất kể điều gì post-selection được thực
hiện sau. Tương tự như vậy, nếu trạng thái là post-selection trong a i thì một
ˆ phải trở thành ai và rút gọn trạng thái
phép đo mạnh trước của toán tử A
ˆ
thành a i . Do đó, giá trị yếu bằng giá trị trung bình chuẩn của toán tử A

trong trạng thái này.
c) Các giá trị yếu có quan hệ tuyến tính trong các hình thức tương tự như toán
tử mô tả các quan sát

Cw ( A

ˆ
A

1

B) w

ˆ
B

1

2

(1.2.4)

2

Giá trị trung bình chuẩn liên quan trong cách thức tương tự.
d) Như giá trị trung bình chuẩn, giá trị yếu của tích hai quan sát không nhất
thiết phải bằng với tích của các giá trị yếu cho hai quan sát

AB

A

w

B

1

ˆˆ
AB

2

w

1

1

2

ˆ
A

2

1

1

2

1

ˆ
B

2

w

(1.2.5)

2

Thực hiện một cách riêng, mỗi tính chất trong bốn tính chất này không
là điều ngạc nhiên vì chúng phù hợp với giá trị trung bình chuẩn. Tuy nhiên,

vì các phép đo yếu không nhiễu loạn hệ được đo, tất cả các tính chất này phải
được giữ đồng thời (không giống như phép đo mạnh sử dụng để đo giá trị


6
trung bình chuẩn).Ví dụ, nếu

b và

2

a thì Aw=a và Bw=b (tính chất

1

ˆ và Bˆ
ˆ A
ˆ B
ˆ (tính chất c). Điều ngạc nhiên, vì A
b) và Cw=a+b trong đó C

không giao hoán, nói chung a+b sẽ nằm ngoài phạm vi của giá trị riêng của Cˆ .
ˆ , Bˆ và Cˆ có thể được đo yếu đồng thời mặc dù chúng không giao
Hơn nữa A

hoán. Vì vậy, ta có tính chất thứ 5 tách từ các tính chất của các giá trị trung
bình chuẩn
e) Nói chung, giá trị yếu có thể ở bất cứ đâu trong mặt phẳng phức
1

Aw

ˆ
A
1

2
2

Tử số và mẫu số là các số phức với xác suất

P

2
1

2

(1.2.6)

3. Kết luận
Phép đo yếu là một quá trình đo chuẩn với hai thay đổi: Nó được biểu
diễn trên hệ lượng tử pre- và post-selected và liên kết với thiết bị đo được đo
yếu. Kết quả của phép đo yếu, các “giá trị yếu” rất khác với các giá trị riêng
của toán tử phép đo. Các giá trị yếu mang lại cấu trúc phong phú về thế giới
lượng tử. Các giá trị yếu giúp giải thích hiện tượng lượng tử riêng biệt và tìm
thấy các hiệu ứng mới mà có thể cho ứng dụng thực tế.
Vì vậy phép đo yếu, các giá trị yếu hiện nay có rất nhiều ứng dụng
trong vật lý lượng tử.

7
Chƣơng 2: GIỚI THIỆU MỘT VÀI HƢỚNG
TRONG VẬT LÍ LƢỢNG TỬ
1. Thời gian đối xứng trong quá trình đo lƣợng tử
1.1. Giới thiệu
Một trong những vấn đề đầy thách thức của vật lí lí thuyết là “mũi tên
thời gian”. Tất cả các định luật vật lí “vi mô” bao giờ cũng đề ra nghiêm túc
và được công nhận rộng rãi là hoàn toàn đối xứng đối với hướng của thời
gian, chúng là hình thức- bất biến với nghịch đảo thời gian.
Trên thực tế không có đối xứng thời gian trong tự nhiên thông qua báo
cáo chính thức của các định luật của nguyên lí tự nhiên trong hai lĩnh vực.
Một trong số đó là nhiệt động lực học, đặc biệt định luật thứ hai của máy
nhiệt động lực, công bố sau đó rằng entropy của hệ thống nhiệt bị cô lập chỉ
có thể tăng hướng tới tương lai. Một lĩnh vực khác là sự nghiên cứu về vũ trụ,
vũ trụ của chúng ta đang mở rộng hướng tới tương lai. Gold đã cho rằng hai
hiện tượng không đối xứng cũng có thể là quan hệ nhân quả có liên quan với
nhau. Một tác động thời gian không đối xứng thứ ba, ưu thế của bức xạ ra
trong tự nhiên qua bức xạ tới, có thể được coi là một khía cạnh đặc biệt của
định luật thứ hai.
Trong lí thuyết lượng tử định luật động học của chuyển động, hoặc là
phương trình Schrodinger hoặc là phương trình Heisenberg, là đối xứng thời
gian như bản sao cổ điển của chúng, phương trình chuyển động Hamilton. Mặc
dù, nó đã được cho rằng sự bất đối xứng trong hướng của thời gian, và thậm chí
nhiệt động lực học không thể nghịch đảo, đi vào lí thuyết lượng tử thông qua lí
thuyết của phép đo. Bất kì phép đo biểu diễn trên một hệ lượng tử thay đổi
trạng thái của nó theo cách dán đoạn không được mô tả bởi các phương trình
Schrodinger hay Heisenberg của hệ bị cô lập. Việc thực hiện phép đo dẫn đến

8
“sự giảm của gói sóng”. Có thể nói, khi kết quả của phép đo được biết đến thì
trạng thái lượng tử của hệ trước thời điểm đo được đã được thay thế bằng các
vectơ riêng có thể quan sát bởi các giá trị riêng ghi lại. Nếu kết quả của phép đo
không được biết, các vectơ trạng thái ban đầu bây giờ phải được thay thế bằng
một ma trận mật độ chéo đối với các vectơ riêng trong những quan sát đo, mỗi
phần tử đường chéo trong hình vuông tương ứng thành phần của vectơ trạng
thái ban đầu. Mật độ ma trận này là tương ứng với vecto trạng thái ban đầu
trong tất cả các pha quan hệ giữa các thành phần bị phá hủy bởi việc đo lường,
mặc dù định thức tồn tại trong ma trận mật độ. Lí thuyết lượng tử thông thường
của phép đo liên quan riêng đến dự đoán xác suất kết quả cụ thể của phép đo
tương lai trên cơ sở kết quả quan sát trước đó.
Chúng ta đề xuất xem xét tính chất của sự đối xứng về thời gian trong lí
thuyết lượng tử của các phép đo. Thay vì đi sâu vào chính quá trình đo lường,
trong đó liên quan đến sự tương tác đặc biệt giữa hệ thống nguyên tử và thiết
bị vĩ mô, ta sẽ đơn giản chấp nhận các biểu thức chuẩn cho xác suất các giá trị
được cung cấp bởi lí thuyết thông thường. Trong khi đó, lí thuyết thông
thường với tập hợp hệ lượng tử mà đã được “preselection” trên cơ sở của một
số quan sát ban đầu, ta sẽ suy ra từ nó biểu thức xác suất đề cập đến tập hợp
mà được lựa chọn từ sự kết hợp từ dữ liệu ưu tiên không phải quá khứ cũng
không phải tương lai. Một lí thuyết liên quan chính nó là tập hợp được chọn
đối xứng (“lí thuyết đối xứng thời gian”) sẽ chỉ chứa biểu thức đối xứng thời
gian với xác suất của các quan sát
1.2. Chuyển động lƣợng tử là đối xứng thời gian
Trong cơ học lượng tử (QM) chuyển động lượng tử được mô tả bởi
phương trình Schrodinger
(t)
t

iH(t)

(t)


9

(t)

(t)

e

i

t
t0

H( )d

(t 0 )

U(t, t 0 )

(2.1.1)

(t 0 )

Vì U (t, t 0 )U(t, t 0 ) I và U (t, t 0 ) U(t 0 , t)

(t 0 )

U(t 0 , t)

(t)

Hai phương trình (2.1.1) và (2.1.2) trên có nghĩa đối xứng thời gian: t 0

(2.1.2)

t

1.3. Thời gian không đối xứng do MP
QM: Thời gian- không đối xứng xuất hiện thông qua Measurement
Postulate (tiên đề phép đo) (MP): Một phép đo trên một hệ thay đổi trạng thái
của nó trong một tác động gián đoạn, điều đó không thể mô tả bằng phương
trình Schrodinger.

µ A
ˆ a
Giả sử A
n

được đo trên

an an

. Nếu biết được kết quả an,

với xác suất:

Pn
thì

được rút gọn là

Quá trình ngược lại a n

an

2

an
là hoàn toàn không chắc chắn: thời gian là

không đối xứng.
1.4. Trình tự quan sát
Chúng ta sẽ bắt đầu xét hệ là chuỗi các phép đo, mỗi phép đo là “hoàn
toàn” riêng, điều đó để nói rằng, mỗi một quan sát đối xứng một trạng thái
lượng tử của hệ. Chúng ta làm cho các giả thiết thông thường về việc chọn tập
hợp của các hệ thống (và của lịch sử của chúng), đó là tác dụng mà tất cả các
hệ ban đầu của tập hợp mang lại một giá trị riêng không suy biến đặc trưng
của một quan sát J, không có điều kiện khác được áp đặt. Trong những trường
hợp lí thuyết lượng tử thông thường của các trạng thái đo lường, có hai phép


10
đo liên tiếp xác suất của một kết quả cụ thể của quan sát sau phụ thuộc kết
quả quan sát trước đó của tích vô hướng của hai vécto trạng thái thuộc hai giá
trị riêng tương ứng.
ˆ tại t1 và Bˆ tại t2> t1. Xác suất thu

) của A

Xét hai phép đo (trên

ˆ tại t1. Nếu a được thu tại t1,
được b tại t2 tùy thuộc vào kết quả đo A

thì

a . Vì vậy xác suất thu được b tại t2 và a tại t1 là:
P(b / a)

2

ba

ba ab

Tr b b a a

(2.1.3)

Tr D b Da

Ta biểu thị quan sát được đo bằng kí hiệu A1, A2,…,Ak,…, tất cả đều có
giá trị riêng không suy biến, cho các giá trị riêng của Ak được biểu thị qua dk.
Chỉ khi cần thiết các giá trị riêng khác nhau được biểu thị bằng chữ Hi Lạp
d k ,d k ,... Để đơn giản, ta làm việc theo một biểu diễn Heisenberg và giả định

thêm rằng tất cả các Ak là hằng số chuyển động, không nhất thiết phải rõ ràng

độc lập thời gian. Ở một mức nào, giữa các phép đo cả trạng thái lượng tử của
hệ và yếu tố ma trận của các quan sát sẽ không đổi. Nếu quan sát Ak được đo
trong bất kì trình tự cụ thể, nói chung, sẽ không tương ứng thứ tự của các chỉ
ˆm
số….k…., ta sẽ chỉ ra chuỗi phép đo bằng chữ Latinh, như sau: A
k

Giả sử bây giờ ta thực hiện một chuỗi các quan sát A mM ,...,Aij 1 mang
lại kết quả phép đo d m ,...,di thì xác suất của phép đo theo A ik mang lại giá trị
dk là

P(d k / d m ,...,d i )

di d k

2

di d k d k di

Tr d i d i d k d k

(2.1.4)

Tr Di Dk
phụ thuộc trạng thái đo di.
Trong đó Dk biểu thị toán tử lũy đẳng

Dk

dk dk

(2.1.5)


11
Nếu phép đo A kj tiếp theo là A kj 1 ,A nj 2 ,...,A rN 1 ,AsN , xác suất mà kết quả tương
ứng sẽ là dk ,dn ,...,d r ,ds là:

P(dk ,...,dr ,ds / d m ,...,di ) Tr Ds Dr ...Dk Di Dk ...Dr

(2.1.6)

phụ thuộc trạng thái đo di.
Phương trình (2.1.4) và (2.1.6) không phụ thuộc kết quả của phép đo
A mM ,...,A hj 2 ,.... và không phụ thuộc vào kết quả của thành phần của tập hợp

sau đó để thực hiện các quan sát cụ thể. Hay nói cách khác, quy ước MP cho
phép dự đoán xác suất của kết quả tương lai ( dk ,...,dr ,ds ) dựa trên kết quả
hiện tại (di) không phụ thuộc vào quá khứ (dm). Các biểu thức này tóm tắt
định lượng nội dung của lí thuyết phép đo thông thường của vật lí lượng tử.
Thông qua đó chúng ta sẽ nhận xét ngắn gọn sự cần thiết trong lí thuyết
lượng tử để xây dựng tập hợp với đặc tính xác suất được xác định rõ. Nếu
trong cơ học cổ điển, ta phải giải quyết với một hệ sở hữu một không gian pha
với một thể tích hữu hạn

, thì ta có thể xác định mật độ xác suất tiên nghiệm

trong không gian pha đó là bất biến với biến đổi chính tắc: mật độ xác suất
không đổi

-1

. Người ta có thể thay đổi mật độ này phù hợp với bất kì hạn

chế áp đặt lên hệ vật lí, để có được xác suất ngẫu nhiên bằng phương pháp
hoàn toàn suy luận. Nói cách khác, trong một không gian pha hữu hạn người
ta có thể xây dựng cơ học thống kê, tập hợp chuẩn như ban đầu. Bởi vì trong
hệ vật lí thực tế không gian pha có thể tích vô hạn, một mật độ xác suất chuẩn
chuyển đổi- bất biến là không tồn tại, và người ta đã dẫn đến xây dựng phân
bố xác suất để phù hợp với điều kiện khác nhau của tập hợp.
Trong lí thuyết lượng tử cũng tương tự như vậy. Nếu không gian
Hilbert là hữu hạn chiều, thì có một mật độ ma trận bất biến được chuẩn hóa
từ ma trận đơn vị, từ đó tất cả các ma trận khác được rút ra để đáp ứng tất cả
các tình huống bất ngờ khác nhau. Một lần nữa, cho tất cả các hệ vật lí thực


12
không gian Hilbert là vô hạn chiều, vì vậy, không có “tập hợp chuẩn” tồn tại
độc lập với bất kì thông tin về hệ vật lí của chúng ta. Như vậy, một cách hình
thức chúng ta phải xây dựng các tập hợp của hệ có tình chất hạn chế nhất
định. Cho dù các lớp đặc biệt có hạn chế dẫn đến tập hợp với các đặc điểm
xác suất không rõ ràng để quyết định chính thức bởi phân tích riêng, mặc dù
các mâu thuẫn nội bộ có thể loại trừ một số giả thuyết. Rõ ràng các giả định
về lí thuyết thông thường hợp lí với phép đo lượng tử và được chấp nhận.
Tiếp theo ta xét một chuỗi các phép đo theo thứ tự J,A k M ,...,A j 1 ,
A i0 , A1l ,A m2 ,...,A nN ,F . J và F là các quan sát không suy biến giống như các giá

trị khác, và các giá trị riêng của chúng được kí hiệu tương ứng là a và b. Bây
giờ ta xét một tổ hợp các hệ có trạng thái đầu và trạng thái cuối cố định tương
ứng với giá trị riêng cụ thể là a và b, ta yêu cầu xác suất mà kết quả của các

phép đo trung gian là d j ,...,d n ,... Xác suất này, theo độ lớn của phương trình
(2.1.6), được tìm thấy là

p(d j ,...,d n / a,b)

p(d j ,...,d n ,b / a)
p(b / a)

1
Tr(AD j ...D n BD n ...D j )
H(a,b)

(2.1.7)

Trong đó
H(a,b) = Σj’… Σn’Tr( ADj’…Dn’BDn’…Dj’),

A

a a,

B

b b

(2.1.8)

Biểu thức này rõ ràng đối xứng thời gian. Nếu chúng ta thay đổi trình tự của
phép đo F,A n N ,...,A Mk ,J , thì phương trình (2.1.7) và (2.1.8) không thay đổi.
Trong trường hợp đặc biệt H(a,b)=0 thì xác suất P d j ,...,d n / a,b không xác

định.


13
Chú ý:
- Phương trình (2.1.8) thỏa mãn

d j ...d n

p(d j ,...,d n / a,b) 1 với a, b cố

định.
- Điều thú vị là không chỉ quá khứ (a), như trong lí thuyết thông
thường, mà còn tương lai (b) ảnh hưởng đến hiện tại (d j...dn): tương lai bay
ngược lại để kết hợp với quá khứ mang lại kết quả của hiện tại tức: dòng thời
gian theo cả hai hướng hướng lên và hướng trở lại.
Như vậy, với pre-và post-selection thì thời gian đối xứng một cách rõ
ràng: quá khứ và tương lai quan trọng như nhau đối với hiện tại.
Các xác suất (2.1.7), (2.1.8) đề cập đến một mẫu mà đã được lựa chọn
trên cơ sở của các kết quả quan sát đầu và cuối. Quá trình này có vẻ không
xác thực so với quy định thông thường: "Chuẩn bị một hệ thống để các giá trị
của J tại một thời điểm (tại lúc đầu) là a”. Nhưng từ một quan điểm chính
thức chúng tôi xem xét một cách hợp lý bất kỳ lựa chọn nào có thể thực hiện
đối với các thiết bị vật lý, tuy nhiên phức tạp hơn.
Như một vấn đề của thực tế, trong các lựa chọn vật lý thực nghiệm
thường xuyên dựa trên sự kết hợp của các đặc điểm đầu và cuối. Xét một chùm
hạt đi vào một buồng điện như những đám mây hoặc các thiết bị tương tự kiểm
soát một xung tổng thể. Cho thiết bị lựa chọn một biến cố phụ thuộc vào mẫu
được đánh giá thống kê hạt phải đi vào buồng trước khi qua từ trường, v.v…,
để đáp ứng một số yêu cầu nhất định. Nhưng để đếm được hạt cũng phải kích

hoạt các mạch điện của bộ đếm đặt dưới buồng, do đó, chúng tôi thực hiện sự
lựa chọn dựa trên cơ sở của cả hai trạng thái đầu và trạng thái cuối. Trong một
số thí nghiệm thậm chí cả các chi tiết kỹ thuật trung gian cũng được áp dụng bổ
sung cho điều kiện đầu và cuối. Vì vậy, chúng tôi xử lý chính thức các trạng
thái đầu và cuối dựa trên một cơ sở tương đương là không phù hợp với thực
nghiệm về quy trình được sử dụng trong một số điều tra.


14
Phương trình (2.1.7), (2.1.8) có thể được coi như cung cấp nền tảng cho
một lý thuyết của phép đo đối xứng thời gian. Trên cơ sở của các phương
trình (2.1.3), (2.1.4), chúng ta có thể tính toán xác suất liên quan đến một vài
các phép đo giữa J và F, hoặc chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên đề
cập tới các mẫu một phần trong đó kết quả của một vài phép đo được cố định.
Đặc biệt chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên tìm kết quả của d1l cho
kết quả d i0 . Dĩ nhiên để có được xác suất này chúng ta phải tổng hợp trên tất
cả các kết quả có thể của các phép đo trước A i0 và trên tất cả các kết quả có
thể xảy ra sau A1l như trước đây như kết quả của J và F cố định.

... n 'Tr(Di Dl Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm'Dl )
... n 'Tr(Di Dl'Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm'Dl' )
m'

m'

p(d l / d i ;a,b)
l'

di dl

2

... n 'Tr(Dl Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm' )
... n 'Tr(Di Dl'Dm' ...B...Dm'Dl' )
l'

m'

(2.1.9)

Kết quả được như dự kiến, post-selected sẽ ảnh hưởng xác suất chuyển
trạng thái từ di tới dl. Điều này là không thể tránh khỏi có thể được hiểu một
cách dễ dàng bằng cách xem xét các trường hợp cụ thể, trong đó tất cả các
quan sát Am ,....,An ,F giao hoán với nhau cũng như với A l . Tùy thuộc vào
việc lựa chọn các giá trị riêng b xác suất chuyển trạng thái trong trường hợp
đó sẽ là 0 hoặc 1.
Nếu chúng ta tính toán xác suất ngẫu nhiên của di, biết kết quả dl của
các quan sát ngay sau đó, chúng ta sẽ có được một biểu thức độc lập với toàn
bộ lịch sử tiếp theo phép đo A1l , nhưng mà sẽ phụ thuộc vào sự lựa chọn đầu a.
Bây giờ chúng ta xem xét các phép đo không đầy đủ. Kết quả (2.1.7),
(2.1.8) có thể được tổng quát ngay nếu chúng ta bỏ qua yêu cầu rằng mỗi
phép đo trung gian được hoàn thành. Theo von Neumann, một dự án quan sát
không đầy đủ trạng thái đầu không theo một hướng cụ thể nhưng trên một


15
không gian con tuyến tính (đa chiều) của không gian Hilbert, và có thể được
biểu diễn bởi một toán tử lũy đẳng Dk. Dạng của các phương trình (2.1.7),
(2.1.8) sẽ không thay đổi dưới sự giải thích lại của kí hiệu Dk. Tuy nhiên cần
lưu ý phương trình (2.1.9) nắm giữ chỉ khi Ai là không suy biến.

Nếu chúng ta tạo thành một tập hợp, trong đó bắt đầu lịch sử với trạng
thái a và kết thúc với trạng thái b tạo thành một cab phần nhỏ của toàn bộ

cab

0,

ca 'b' 1
a'

Thì xác suất sẽ P d j ,...,d n / c

(2.1.10)

b'

sẽ là

P d j ,...,d n / c

ca 'b'P d j ,...,d n / a ',b'
a'

(2.1.11)

b'

Tồn tại biểu thức không đơn giản mà sẽ phụ thuộc các ma trận mật độ
đầu và cuối. Các xác suất (2.1.11) phụ thuộc vào phân số của hệ thống trong
tập hợp từ trạng thái đầu tới trạng thái cuối, không chỉ đơn thuần là phân bố

đầu

b'

cab' và sự phân bố cuối

a'

ca 'b .

1.5. Mô tả trạng thái lƣợng tử tại thời điểm t
Hệ thức vectơ trạng thái đơn (SSVF) hay trạng thái lượng tử thường.
Trong (quy ước) QM một hệ tại t được mô tả bởi một trạng thái lượng
tử, một “ket”

, mà xác định như kết quả của phép đo đầy đủ trong quá khứ

tại t1
(t)

U(t, t1 )

(t1 )

(2.1.12)

Cho thông tin về hệ tại t (đối với việc làm thế nào hệ có thể ảnh hưởng
các hệ khác).
Là thời gian- không đối xứng (trong ý nghĩa): kết quả của một phép đo

tại t chỉ phụ thuộc vào vào quá khứ (từ t1 tới t) nhưng tương lai không đóng
vai trò.


16
2. Những tính chất của hệ lƣợng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo
Một mô tả của các hệ lưởng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo
liên tiếp đã được thực hiện. Với hai hàm sóng, trước tiên preselected bởi phép
đo đầu và thứ hai postselected bởi phép đo cuối, mô tả hệ lượng tử tại một
thời điểm duy nhất. Nó chỉ ra rằng làm thế nào phương pháp này đưa đến một
khái niệm mới: giá trị yếu của một quan sát. Các giá trị yếu này là kết quả của
một đặc điểm mới của hệ lượng tử giữa hai phép đo. Chúng là kết quả của
một quá trình đo chuẩn mà thực hiện một số yêu cầu của “sự yếu”. Chúng tôi
gọi đó là phép đo yếu. Ý nghĩa vật lý, nhờ công thức toán học và sự thành
công của việc sử dụng thực tế phép đo yếu đã được khám phá!
2.1. Giới thiệu
Gần đây chúng tôi phát triển một hệ lượng tử trong khoảng thời gian
giữa hai phép đo. Mô tả này đã khám phá ra một số khía cạnh mới của lý
thuyết lượng tử.
Trong cách tiếp cận của chúng tôi, chúng tôi chỉ ra một hệ lượng tử tại
một thời điểm cho hai hàm sóng (thay vì một hàm sóng). Ngoài ra cùng với
hàm sóng chuẩn, chúng tôi xét một hàm sóng khác, phát triển từ tương lai đến
quá khứ. Về hình thức hai hàm sóng được giới thiệu bởi Ahanorov, Bergman
và Lebonitz để đơn giản hóa phép tính toán xác suất trong việc tìm kiếm kết
quả đưa ra trong một phép đo được thực hiện trong thời gian trung gian giữa
hai phép đo khác.
Kết quả quan trọng nhất trong cách tiếp cận của chúng tôi là khả năng
định nghĩa một khái niệm mới: giá trị yếu của một biến lượng tử. Nó là một
đặc tính vật lý của một hệ lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một
hệ lượng tử thuộc một tập hợp là cả preselected and postselected. Đặc tính

này có thể biểu thị chính nó thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu


17
của “sự yếu”. Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ
thuộc rất nhiều vào giá trị yếu. Giá trị yếu của một biến có thể khác nhau
đáng kể từ giá trị riêng của một toán tử liên quan. Vì vậy đặc tính này của
phép đo yếu có thể dùng như một chương trình mở rộng mới.
2.2. Nghịch đảo thời gian
Một mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép đo là đối xứng
theo nghịch đảo thời gian. Trong lí thuyết lượng tử của các định luật động lực
là đối xứng thời gian như là một bản sao cổ điển của chúng, cụ thể, các
phương trình chuyển động Hamilton. Sự bất đối xứng đi vào thông qua lý
thuyết của các phép đo. Sự “sụp đổ” của một hàm sóng là một phần của quá
trình đo không phải là (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) đối xứng thời gian:
hàm sóng tồn tại trước khi phép đo “sụp đổ”, nói chung, một hàm sóng mới
phù hợp với kết quả của phép đo. Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ
ràng làm thế nào chúng ta khôi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì
không có trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian. Ví dụ sau sẽ làm rõ
sự khác biệt giữa hai hướng thời gian.
Giả sử ta có tập hợp hạt có spin
trạng thái

x=1.

1
, mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong
2

Ta có thể dự đoán rằng xác suất tìm thấy

y=1

ngay sau đó là

1
. Tuy nhiên, ta không thể xác định bởi “retrodiction” rằng xác suất tìm thấy
2
y=1

ngay trước thời điểm t cũng là

1
. Nó có thể xảy ra với tất cả các hạt
2

trong tập hợp được chuẩn bị trong trạng thái
có hạt sẽ được tìm thấy với
chuẩn bị với

y=1

y=1

y=-1,

trong trường hợp không

hoặc nó có thể là tất cả các hạt đã được

và sau đó tất cả chúng đều mang lại

y=1.

Ta vẫn có thể

xác định bởi retrodiction rằng xác suất tìm thấy x=1 trước thời điểm t là 1,


18
tuy nhiên, cho kết quả các phép đo các quan sát khác chúng tôi đưa vào lý giải
trạng thái của hệ trước thời điểm t. Chúng tôi giả định rằng một trạng thái tồn
tại, và nếu chúng tôi không hiểu nó là gì, thì chúng tôi không thể tìm thấy xác
suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo.
Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì chúng tôi
không giả định có trạng thái (thậm chí không biết) đến từ tương lai. Vì vậy, sự
khác biệt giữa quá khứ và tương lai không phải là một đặc tính nội tại của lý
thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc trưng phương pháp của chúng tôi về mũi tên
thời gian: hiện tại chúng tôi xem quá khứ như tồn tại và tương lai như không
tồn tại (chưa) (giả định rằng cả hai phép đo được hoàn thành). Do đó đối với
khoảng thời gian trung gian, có một sự đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch
đảo thời gian. Sự đóng góp mô tả hệ lượng tử từ kết quả của phép đo đầu là
hàm sóng thông thường phát triển từ quá khứ tới tương lai, từ phép đo đầu tới
phép đo cuối. Vì tính đối xứng dưới nghịch đảo thời gian, sự đóng góp của
phép đo cuối tương tự như: hàm sóng phát triển ngược trở lại trong thời gian
từ phép đo cuối đến phép đo đầu.
Một hệ tại thời điểm t (t12

1

với

1

được định nghĩa ở phương trình (2.1.12) và “bra”

định nghĩa như kết quả trạng thái

2

2

được

(t 2 ) của phép đo đầy đủ trong tương lai

t2>t và phát triển dưới V(t2, t) ngược trở lại từ t2 đến t
2

Bra

2

(t)

2

(t 2 ) V(t 2 ,t)

cho thông tin về hệ tại t. Nó là thời gian đối xứng: kết quả của

một phép đo tại thời điểm t phụ thuộc không chỉ vào quá khứ (từ t1 đến t) mà
còn vào tương lai (từ t2 về t)
Chúng ta xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B. Tại
thời điểm t1 một quan sát A được đo và không suy biến, giá trị riêng a đã


19
được tìm thấy, tại thời điểm t2 B được đo và không suy biến, b đã được tìm
thấy. Tại thời điểm t trung gian hệ được mô tả bởi hai hàm sóng sau: một bra
1

(hàm sóng phát triển hướng tới tương lai) và môt ket

2

(hàm sóng

phát triển hướng tới quá khứ).
t
1

(t)

U(t, t1 ) A a

exp

i Hd

A a

t1

t2

(t)
2

B b V(t 2 , t)

B b exp

i Hd

(2.2.1)

t

Hai hàm sóng này

2

và

1

rất hữu ích cho việc tính toán xác suất

các phép đo tại thời điểm t. Từ phương trình (2.1.17), xác suất của quan sát C
tại thời điểm t (t1
P(C c) P(

2

(t) c

2

c

'

1

(t) )

(t) c c
2

1

2

(t)

(t) c' c'

1

2

(t)

b V(t 2 , t) c c U(t, t 1 ) a
c

'

(2.2.2)

2

b V(t 2 , t) c' c' U(t, t 1 ) a

2

điều này phụ thuộc quá khứ a và tương lai b . Trường hợp đặc biệt với
“chuyển động tự do” trong đoạn [t1,t2], tức, U(t,t1)=V(t2,t)=0

bc ca

P(C c)
c

'

2

b c' c' a

2

(2.2.3)

2.3. Hai quan sát không giao hoán có giá trị xác định ở khoảng thời gian
giữa hai phép đo
Phương trình (2.2.1) chỉ ra làm thế nào đưa vào lời giải thích phát triển
thời gian của hàm sóng mô tả một hệ lượng tử. Điều thú vị xuất hiện ngay cả


20
khi Hamilton tự do của hệ là 0, và để đơn giản, chúng tôi sẽ xem xét trường
hợp này. Bây giờ mô tả hệ lượng tử ở thời điểm t, t12

A a và

1

B b thấy rằng cả A=a và B=b tại thời điểm đó. Rõ ràng, nếu A được

đo ở thời điểm t, kết quả sẽ là A=a và nếu thay là B, kết quả sẽ là B=b. Các
cuộc thảo luận ở trên có thể đưa đến gợi ý rằng giá trị của C=A+B trong thời
gian trung gian phải là a+b. Nhưng đối với các biến A, B không giao hoán giá
trị a+b có thể khác giá trị riêng bất kì của C và, do đó, phép đo C không thể
mang đến giá trị a+b. Lí do cho sự khác biệt này là cả A=a và B=b là chính
xác tại thời điểm t nếu chỉ một trong hai phép đo được thực hiện. Nếu A và B

được đo ở giữa và phép đo A xẩy ra trước khi đo B, thì rõ ràng A=a và B=b.
Tuy nhiên, nếu B được đo trước A, nói chung, phép đo A và B mang lại kết
quả khác. Nếu chúng ta thực hiện phép đo A và B đồng thời, sau đó chúng lại
làm nhiễu loạn lẫn nhau, do đó, kết quả của phép đo A+B không phải là a+b.
Sự thất bại để có được cả hai đặc điểm A=a và B=b bằng cách sử dụng
các phép đo của C=A+B không phải là đáng ngạc nhiên. Phép đo C thay đổi
tình hình và do đó, chúng tôi không thể kết hợp hàm sóng

1

và

2

với

hệ của chúng tôi trong khoảng thời gian [t1,t2]. Điều này cho thấy chúng tôi sử
dụng các phép đo mà không làm thay đổi đáng kể hai hàm sóng trên. Chúng
tôi dẫn đến xem xét một quá trình đo với tương tác “sự yếu” mang lại A=a và
B=b ngay cả khi phép đo được tiến hành trong trật tự “sai”, cụ thể là, B trước
A. nhưng cũng sẽ đúng nếu các phép đo thực hiện đồng thời, và do đó, phép
đo yếu của C=A+B phải mang lại giá trị “cấm” a+b.
2.4. Phép đo Von Neumann
2.4.1. Phép đo thƣờng (“mạnh”)

ˆ ˆ a
Chúng ta muốn đo quan sát A(A
n
1

tại t1.

a n a n ) của trạng thái lượng tử


21
Cho
1

2

an ;

n

1

n
n

Tại t1 chuẩn bị một thiết bị trong

mà tương tác với

1

H( )

1

ˆˆ
t)PA

g (

qua
(2.4.1)

ˆ ˆ thiết bị momem- giống toán tử
g độ lớn liên kết, P(Q)

ˆ q
Q
Chúng ta định rõ

1

q q ; Pˆ p

như sau
dp
1

1

(p) p p representation

dq %1 (q) q q representation

%1 (p) là biến đổi Fourier ngược của

1

1

(2.4.2)

(p)

(p)

p

1

dq p %1 (q) q

(2.4.3)

%1 (p)

q

1

dq q

(2.4.4)

1

đưa

pp

1

(p) p

(p) tới hệ Gaussian tâm tại 0 với chiều rộng
1

(p)

1
e
2 )1/2

(

dp

2
1

p2 /4

p

2

2

trong không gian p
(2.4.5)

(p) 1
2

%1 (q) (

)1/2 e

2 2

q

(2.4.6)

dq %12 (q) 1
Mà chiều rộng

q

1/

trong không gian q

Dưới H cho t>t1:
1

1

T

e

i

t
t1

H

d
1

1

(2.4.7)