GIAI PHUONG TRINH VO TY

Một số phơng pháp giảI phơng trình vô tỉ
1.Phơng pháp đánh giá
Ví dụ 1: Giải phơng trình. 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2x x2
Giải:
Vế trái :
2
2
3 ( x + 1) + 4 + 5 ( x + 1) + 9 4 + 9 = 5
Vế phải : 4 2x x2 = 5 (x+1)2 5.
Vậy pt có nghiệm khi: vế trái = vế phải = 5.
x+ 1 = 0 x = -1.
Ví dụ 2: Giải phơng trình. 3 x 2 + x + 1 = 3
Giải :
+ Điều kiện : x -1
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
Với x > 3 thì 3 x 2 > 1 ; x + 1 >2 nên vế trái của phơng trình lớn hơn 3.
Với -1 x < 3 thì 3 x 2 < 1 ; x + 1 < 2 nên vế trái của phơng trình nhỏ hơn
3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3 4x + 4 x + 1 =-16x2-8x+1 (1)
Giải
1
3
ĐK: x (*)
4
4
Ta có

(

3 4x + 4x + 1

)

2

= 3 4 x + 2 (3 4 x)(1 + 4 x) + 1 + 4 x

= 4 + 2 (3 4 x)(1 + 4 x) 4

3 4 x + 1 + 4 x 2 (2)
Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3)
Từ (2) và (3) ta có:

3 4 x + 1 + 4 x = 2
3 4 x + 2 (3 4 x)(1 + 4 x) + 1 + 4 x = 4
(1)

2
16 x 2 8 x + 1 = 2

16 x + 8 x + 1 = 0
(3 4 x )(1 + 4 x) = 0


1
x =
4

3
x = 4


1
1
x =
x=
(thoả mãn(*))

4

4


1
x =
4


Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =

1
4


Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) 4 x 1 + 4 x 2 + 8 x + 3 = 4 x 2 4 x
2) x 2 2 x + 5 + x 1 = 2

2. Phơng pháp đặt ẩn phụ
VD1:Giải phuơng trình:

1 + x + 8 x + (1 + x )(8 x ) = 3
Giải
C1: ĐK: 1 x 8
Đặt t = 1 + x + 8 x

(đk

t 0)

t 2 = 1 + x + 8 x + 2 (1 + x)(8 x)
t2 9
(1 + x)(8 x) =
2

t2 9
Khi đó phơng trình đã cho trở thành: t +
=3
2
t 2 + 2t 15 = 0
t = 5

t = 3

Với t=3, ta có:

1+ x + 8 x = 3

1 + x + 8 x + 2 (1 + x )(8 x ) = 9
(1 + x)(8 x) = 0
x = 1

x = 8

(thoả mãn (*))

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:x1=-1 và x2=8
C2: ĐK: 1 x 8
u = 1 + x
( u, v 0 )

v = 8 x
u 2 = 1 + x
2
u2 + v2 = 9
v = 8 x
u 2 + v 2 = 9
Ta có hệ phơng trình:
u + v + uv = 3

Đặt

6 uv 2
2uv = 9

2

6 uv

u + v = 2

(u + v) 2 2uv = 9

2(u + v) + uv = 6
uv = 0
uv(uv 20) = 0


uv = 20


6 uv
6 uv
u + v = 2

u + v = 2


uv = 0

u + v = 3

uv = 20

(loại)
u + v = 7
u + v = 3
u = 0

Với
ta có:
uv = 0
v = 3
u = 3
1 + x = 9

x=8
+)
v = 0
8 x = 0
u = 0
1 + x = 0

x =1
+):
v = 3
8 x = 9

u = 3
v = 0

hoặc

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x1=1 và x2=8
VD 2: Giải phơng trình
( 4 x 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
Giải
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
(4 x 1) x 2 + 1 = 2( x 2 + 1) + 2 x 1 (1)

Đặt t = x 2 + 1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thành:
(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có:
= (4 x 1) 2 8(2 x 1) = (4 x 3) 2 0, x R
Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t1=2x-1 và t2=

1
(loại)
2

Với t1=2x-1, ta có:

1

x
2 x 1 0


2
x 2 + 1 = 2x 1 2
2
x
+
1
=
(
2
x

1
)

3 x 2 4 x = 0

1

x


2

4
x = 0
x=
3

4
x =
3


Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: x =

4
3

Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích
VD3: Giải phơng trình
3

2 x + x 1 = 1

Giải
ĐK: x 1 (*)


u = 3 2 x
Đặt
, v0
v = x 1
u 3 = 2 x
2
u3 + v2 = 1
v = x 1

Khi đó ta có hệ phơng trình:

u + v = 1
u 3 + (1 u ) 2 = 1
3
2
u + v = 1

u 3 + u 2 2u = 0

u = 0
u = 1
u = 2

2 x = 0 x=2
Với u=1, ta có: 3 2 x = 1 2 x = 1 x = 1
Với u=-2, ta có: 3 2 x = 2 2 x = 8 x = 10
Với u=0, ta có:

3

Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
2x2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 9 = 33 (*)
Giải:
* 2x2 + 3x +9 + 2 x 2 + 3x + 9 - 42 = 0
Đặt y =

2

3 27
2 x + 3 x + 9 (y > 0 vì 2x + 3x +9 = 2 x + ữ + > 0)
2
4


2

2

Ta có y2 + y 42 = 0 (y 6 ) ( y + 7 ) = 0
y1 = 6 ; y2 = -7 (Loại)

9

Suy ra 2 x 2 + 3x + 9 = 6 2x2 + 3x 27 = 0 (x 3)(x + ) = 0
2
x1 = 3 ; x2 = -

9
2

Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) x 2 + x + 5 = 5
2) ( x 3)( x + 1) + 4(( x 3)

x +1
= 3
x3

3) x 2 3x + 3 + x 2 3x + 6 = 3
3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Dạng phơng trình:
Dạng 1:
Dạng 2:

g ( x) 0
f ( x ) = g ( x)
2
f ( x) = g ( x)
g ( x) 0
f ( x) = g ( x)
f ( x) = g ( x )

VD1: Giải phơng trình:

x + 4 1 x = 1 2x


Giải
x + 4 0
1

ĐK: 1 x 0 4 x (*)
2
1 2 x 0


Với đk(*) phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:

1 2x + 1 x = x + 4

1 2 x + 1 x + (1 2 x)(1 x) = x + 4

(1 x)(1 2 x) = 2 x + 1

2 x + 1 0

2
(1 x)(1 2 x) = (2 x + 1)
1

x

1


2
x



2
x=0
2 x 2 + 7 x = 0


x = 7
x = 0 (thoả mãn (*))

Vậy phơng trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phơng trình
x 1+ 2 x 2 x 1 2 x 2 = 1

Giải
Ta có:

x 1+ 2 x 2 x 1 2 x 2 = 1


x 2 + 2 x 2 +1 x 2 2 x 2 +1 = 1

( x 2 + 1) 2 - ( x 2 1) 2

=1



x 2 +1

x 2 +1



x2 =

x 2 1 = 1

x 2 1 = 1

x 2 1 x 2 = ( x 2 1) 2

x 2 = x 2 +1 2 x 2
1
1
9
x2 = x2= x =
2
4
4

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: x =
Giải các phơng trình sau:
1) 3 + x 6 x = 3

2) x( x 1) + x( x + 2) = 2 x 2
3) 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 1 = 2 x + 2

9
4

Luyện tập

4. Phơng pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất


4 x + x+5 = m

Giải: Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x0 thì (-1-x0 ) cũng là nghiệm của phơng trình. Do đó để phơng trình có nghiệm duy nhất thì
1
x
=

x 0 = 1 x 0 0
2
1
x0 =
m=3 2
2 vào phơng trình đã cho ta đợc:
Thay
Điều kiện đủ:
Với m = 3 2 phơng trình đã cho trở thành:
4 x + x+5 =3 2

4 x 0

x + 5 0

2
( 4 x + x + 5 ) = 18

x 4

x 5

4 x + 2 (4 x)( x + 5) + x + 5 = 18

5 x 4
5 x 4
5 x 4


2
2 (4 x)( x + 5) = 9
4( 4 x)( x + 5) = 81
4 x + 4 x + 1 = 0
5 x 4
1


x=
1
2
x = 2

Vậy với m = 3 2 thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất

Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số