Bài giảng bài sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số

Thế nào là hàm số đồng
biến, nghịch biến? Hàm số
đơn điệu?


1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
* Hàm số y = f(x) gọi là :
- Đồng biến trên (a; b) nếu:

∀x1 , x 2 ∈ (a;b ) mµ x1 < x 2 ⇒ f(x1 ) < f(x 2 )
- Nghịch biến trên (a; b) nếu:

∀x1 , x 2 ∈ (a;b ) mµ x1 < x 2 ⇒ f(x1 ) > f(x 2 )
* Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu trên (a; b) nếu nó
đồng biến hoặc nghịch biến.


Cách khác để xét tính đơn
điệu của hàm số?


f(x1 ) − f(x 2 ) ∆y
XÐt dÊu cña tû sè :
=
∆x
x1 − x 2
∆y
NÕu :
> 0 ⇒ hµm sè đồng biến
x

y
Nếu :
< 0 hàm số nghịch biến
x


2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Định lý1: (Lagrange)
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b]
và có đạo hàm trên (a;b)
thì tồn tại c ∈ (a;b) sao cho:
f (b) − f (a) = f '(c)(b − a)

f (b) − f (a)
⇔ f '(c) =
b−a

(*)


Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE
XÉT CUNG AB CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F(X) VỚI A(A;
F(A)), B(B;F(B))
Hệ số góc của cát tuyến AB

f (b) − f (a)
b−a
f(b) − f(a)
f '(c) =

b−a
Hệ số góc của tiếp tuyến
của cung AB tại điểm
C(c; f(c)) bằng hệ số góc
của cát tuyến AB.

y

C

f(c)
f(b)

B

f(a)

O

A

a

c

b

x

* Dấu hiệu (điều kiện đủ) của tính đơn
điệu
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b).
a) Nếu f’(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b)
b) Nếu f’(x) > 0 ∀ x ∈ (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)

Để xét tính đơn điệu của hàm số ta đi
xét dấu của f’(x)


Ví dụ 1: Xét tính đồng
biến, nghịch biến (đơn
điệu) của hàm số sau

1 3
2
y = x − 3x + 8x + 2
3
2
y ' = x − 6x + 8
x = 2
2
x − 6x + 8 = 0 ⇔ 
x = 4

TXĐ: D = R


1 3
2

y = x − 3x + 8x + 2
3

Bảng biến thiên
x
Y’

y

−∞

2
+

0

+∞

4

-

14
3

Kết luận: + Hàm số đồng biến trên
khoảng
+ Hàm số đồng biến trên

+

0

−2
3
(−∞;2) ∪ (4; +∞)

(2;4)


Ví dụ 2: Xét tính đồng
biến, nghịch biến (đơn
điệu) của hàm số sau

3x + 1
TX § : D = R \ { 1}
y=
1− x
4
y' =
2
( 1 − x)

y' > 0 ∀x ∈ D


3x + 1
y=
1− x

Bảng biến thiên
x
Y’

−∞

+∞

1
+

+

y

Kết luận: + Hàm số đồng biến trên
khoảng

(−∞;1) ∪ (1; +∞)


Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)
ta đi xét dấu của f’(x)
Các bước xét tính đơn điệu:
Bước 1: Tìm TXĐ và tính y’
Bước 2: Xét dấu y’
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận


HẾT