Thao giảng 263 toán 8

Líp 9A


Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình
trong trường hợp  > 0 ?


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
ĐÞnh lÝ vi- Ðt

Nếu phương trình bậc hai:
ax2 + bx +c = 0(a ≠ 0)có nghiệm

−b + ∆
−b − ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a

NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng
trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

b

x
+
x
=

−
2

 1
a

x .x = c
1
2

a


?1:H·y tÝnh : x1+x2 ?;
x2? −b + ∆ −b − ∆

x1 + x2 =

=

2a

+

x 1.

2a

−b + ∆ + (−b) − ∆ −2b - b
=

=
2a
2a
a

 −b + ∆   −b − ∆ 
x1.x2 = 
×
÷
÷
÷
÷
2
a
2
a

 


b 2 − ∆ 4ac
c
=
=
=
4a 2
4a 2
a

Tit 59: H THC VI-ẫT V NG DNG
1. Hệ thức vi- ét
ịnh lí vi- ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng
trỡnh ax2 + bx + c= 0 (a0) thỡ

b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a

áp dụng:

p dng:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú
nghim, khụng gii phng trỡnh,

hóy tớnh tng v tớch ca chỳng:
a/ 2x2 - 9x + 2 = 0
b/ -3x2 + 6x -1 = 0
Giải
( 9 ) 9
=
a/ x1+ x2 =
2

x1.x2 = 1
b/ x1+ x2 =

6
=2
3

1 1
x1.x2= 3 = 3

2


Tit 59: H THC VI-ẫT V NG DNG
1. Hệ thức vi- ét
ịnh lí vi- ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng
trỡnh ax2 + bx + c= 0 (a0) thỡ

b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a

áp dụng:

(?2 ) :

Cho phng trỡnh2x2- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của ph
ơng trỡnh.
c) Dùng định lý Vi- ét để tỡm x2..
(?3)

Cho phơng trỡnh 3x2 +7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phơng

trỡnh v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của
phơng trỡnh.
c) Tỡm nghiệm x2.


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
ĐÞnh lÝ vi- Ðt

NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng
trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

b

x
+
x
=
−
2

 1
a

x .x = c
1
2

a


¸p dông:
Tæng qu¸t :1. PT: ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã
a+b+c=0 thì ph¬ng trình cã m«t nghiÖm
c
x1=1, cßn nghiÖm kia lµ
x2=
a
2. PT: ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 thì
ph¬ng trình cã mét nghiÖm x1= -1, cßn
c
x
=
−
nghiÖm kia lµ 2
a

Phương trình 2x2-5x+3 = 0
a/ a
=2 ; b = - 5 ; c = 3
(?2)

a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x=1 vào phương trình ta
được: 2+(-5)+3=0
Vậy x=1 là một nghiệm của
phương trình c 3
3

a

2

2
c/ Ta
có x1.xtrình
Phương
2= =3x =>
+7xx2+= 4=20
(?3)
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0
b/ Thay x= -1 vào phương trình ta
được: 3+(-7)+4=0
Vậy x= -1 là một nghiệm của
phương trình
c/ Ta có x1.x2= c = 4 => x2 = −4

a

3

3


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
ĐÞnh lÝ vi- Ðt NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph¬ng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

b

x + x2 = −

 1
a

x .x = c
1
2


¸p dông: a

(?4 )
Tính nhẩm nghiệm của các phương
trình:
a/ -5x2 +3x +2 =0 ;
b/ 2004x2 +2005x + 1 =0
Giải a/ -5x2 +3x +2 =0
Ta có:a = -5; b = 3; c = 2

Tæng qu¸t :1. PT: ax +bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã
Do đó: a + b + c =(-5) +3 + 2 = 0
a+b+c=0 thì ph¬ng trình cã m«t nghiÖm
⇒ Phương trình có nghiệm:
c
x2=
x1=1, cßn nghiÖm kia lµ
c

−2
=
x
=
2. PT: ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+ca = 0 thì
x1 = 1;
2
a
5
ph¬ng trình cã mét nghiÖm x1= -1, cßn
2
c
b/
2004x
+2005x + 1 =0
x
=
nghiÖm kia lµ 2 −
2

a

Ta có:a = 2004; b = 2005; c = 1
Do đó: a - b + c =2004 - 2005 + 1 = 0

⇒

Phương trình có nghiệm:
−1
c

=
x1 = -1; x2= −
2004
a


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Giả sử 2 số cần tìm có tổng bằng S và

1. Hệ thức Vi-et

tích bằng P.
Gọi một số là x thì số kia là S - x.

ĐÞnh lÝ vi- Ðt NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph¬ng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì
b

x + x2 = −

 1
a

x .x = c
1
2


¸p dông: a

Tæng qu¸t :1. PT: ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã
a+b+c=0 thì ph¬ng trình cã m«t nghiÖm
c
x2=
x1=1, cßn nghiÖm kia lµ
2. PT: ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+ca = 0 thì
ph¬ng trình cã mét nghiÖm x1= -1, cßn
c
nghiÖm kia lµ x2= −

a
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu2 số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
x2 –Sx + P = 0 (điều kiện: S2 – 4P

≥

0)

Theo giả thiết ta có :.
x (S – x) = P
Hay

≥

x2 –Sx + P = 0 (1)
Nếu: =S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình
(1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là
hai số cần tìm.

Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
*VD1/SGK-t52

1. Hệ thức Vi-et

(?5 )

ĐÞnh lÝ vi- Ðt NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1,

cña ph¬ng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì
b

x + x2 = −

 1
a

x .x = c
1
2


¸p dông: a
Tæng qu¸t :1. PT: ax +bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã
a+b+c=0 thì ph¬ng trình cã m«t nghiÖm
c

x2=
x1=1, cßn nghiÖm kia lµ
2. PT: ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+ca = 0 thì
ph¬ng trình cã mét nghiÖm x1= -1, cßn
c
nghiÖm kia lµ x2= −
2

a
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu2 số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
x2 –Sx + P = 0 (điều kiện: S2 – 4P

≥

0)

tích của chúng bằng 5
Giải:
Hai số cần tìm là nghiêêm của Pt:
≥

x2 –

x +5 =0

(a=1; b =-1; c = 5

)

Ta có:  =b2 – 4ac =(-1)2- 4.1.5

⇒

= 1 – 20 =-19 < 0
Phương trình vô nghiêêm

Vâêy không có hai số thỏa
mãn có tổng bằng 1 và tích
bằng 5
*VD2/SGK-t52


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ NHÀ

- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc biệt:
a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.
Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
b/ u+v= -8, u.v = -105
c/ u+v=2, u.v=9
Chú ý:
u+v= S và uv= P
Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:
x2 – Sx + P=0 (· = S2 - 4P ·0)
Bài 29: (SGK) Không giải phương trình ,hãy tính tổng và tích các

nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
.
a/ 4x2 + 2x - 5 = 0
b/ 9x2 - 12x + 4 = 0
c/ 5x2 + x + 2 = 0
d/ 159x2 - 2x -1 = 0
Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm ∆
: ≥ 0 (hay ac < 0)
-Rồi tính tổng x1+x2 ; tích x1x2


Tiết 59: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

F.Viète

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi
tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các
nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai và ngày nay nó được phát biểu
thành một định lí mang tên ông .