ôn tập chương 3 hình học

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
LỚP: 11T
NĂM HỌC: 20092010
THỰC HIỆN:
TRẦN YẾN QUYÊN
NGUYỄN NAM KHÁNH
NGUYỄN THỊ VIỆT TRINH


I.TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.

Định nghóa vector và các phép toán vector trong không gian cũng
giống như trong mp. Ngoài ra:
a) 3 vector gọi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song
với 1 mp.
b) điều kiện cần và đủ để 3 vector
đồngphẳng là có 3 số

m,n,p không đồng thời =0 sao cho: ma + nb + pc = 0

2.

2 đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng 90°


3.

_1 đường thẳng gọi là vuông góc với 1 mp nếu nó vuông góc với mọi

đường thẳng trong mp đó.
_đường thẳng a vuông góc với mp (P) khi và chỉ khi a vuông góc với 2
đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P).
_định lí 3 đường vuông góc: đường thẳng b nằm trên mp(P) vuông
góc với đường thẳng a (a không vuông góc với (P)) khi và chỉ khi nó
vuông góc với hình chiếu (vuông góc) của a trên (P).
_góc giữa đường thẳng và mp là góc giữa đường thẳng và hình chiếu
của đường thẳng đó trên mp (nếu hình chiếu đó là 1điểm thì xem góc
giữa đường thẳng và mp bằng 90° )

4.

_góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2
mp đó.
_2 mp gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng = 90°
_điều kiện cần và đủ để 2 mp vuông góc với nhau là mp này chứa
đường thẳng vuông góc với mp kia.


5.

6.

7.

_Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đường thẳng) là khoảng cách
từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mp (đường thẳng).
_Khoảng cách giữa đường thẩng và mp(P) song song với a là
khoảng cách từ 1 điểm nào đó của a đến mp(P).
_Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1 điểm bất

kì của mp này đến mp kia.
_Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài của
đoạn vuông góc chung IJ, trong đó I,J là các giao điểm của đường
vuông góc chung của a và b với a và b.
_Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa 1 trong 2 đường thẳng đó và mp song song với nó, chứa đường
thẳng còn lại.
_khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đường thẳng đó.
_Mp đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB
gọi là mp trung trực của AB.
_Mp trung trực của 1đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều 2
đầu mút của 2 đoạn thẳng đó.
_Tập hợp các điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC là đường
thẳng vuông góc với mp(ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Đường thẳng đó gọi là trục của tam giác ABC.


BÀI 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA=SB=SC=a và cùng tạo với
mp(ABC) góc . Một mp song song với 2 cạnh chéo nhau của hình chóp và cắt hình chóp
đó theo một thiết diện là hình vuông. Tính diện tích thiết diện đó.
S

P
x

a
Q

x

N

A
H
M
B

C


•
•
•

Giả sử H là tâm của tam giác đều.
SA=SB=SC ⇒ SH ⊥ ( ABC ), ∠SAH = 60°
Gỉa sử mp song song với SA,CD và thiết diện thu được là hình vuông
MNPQ. Khi đó nếu kí hiệu cạnh hình vuông là x thì:
S

x CQ
=
SA CS
x
SQ
=
BC SC
1  CQ + SQ
 1
⇒ x

+
=1
=
CS
 SA BC 
SA.BC
a.BC
⇒x=
=
SA + BC a + BC

•
•

Mặt khác:
Mà:

HA = SA. cos 60° =

P
x

a
Q

x

a
2

BC 3
a 3
HA =
⇒ BC =
3
2

N

A
H
M
B

C


– Từ đó:

a 3
a.
a 3
2
x=
=
= a 3 2− 3
a 3 2+ 3
a+
2
– Vaäy:

[

(

S MNPQ = a 3 2 − 3

)]

2

(

)

(

)

= 3a 2 − 3
2

2


•

•

•

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang can với các cạnh
đáy AB=2a, CD=a và 2 cạnh bean BC=AD=a, SO vuông góc với
mp(BAC) trong đó O là trung điểm của AB, SO=a
a/ Chứng minh rằng điểm cách đều các điểm S,A,B,C,D thuộc
đường thẳng SO. Tính khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh của
hính chóp.
b/ tính góc giữa đường thẳng SO và mp(SCD).
S

H
A

O
B

D

M

C


a)
•
•

•

AO và DC song song và bằng nhau

nên AD=OC mà AD=AO nên
OA=OC
Tương tự ta có: OB=OD
Do đó: OA=OB=OC=OD. Mặt
khác do SO vuông góc với
mp(ABCD) nên mọi điểm trên SO
cách đều các đỉnh A,B,C,D. Vì SA
và SO cắt nhau nên xét đường
trung trực của SA trong mp(SAB)
thì nó cắt đường thẳng SO tại 1
điểm, đó là điểm cách đều 5 đỉnh
S,A,B,C,D. Vì SO=a, AO=a nên
OS=OA.
Vậy O là điểm cách đều các điểm
S,A,B,C,D. Do đó khoảng cách từ
điểm cách đều phải tìm đến các
đỉnh =a.

S

H
A

O
B

D

M

C


•
•

Gọi M là trung điểm của CD thì OM ⊥ DC ⇒ CD ⊥ mp(OMS )
Vậy nếu kẻ OH vuông góc với SM thì DC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ mp(SCD)

•
•
•

Như thế ∠HSO là góc giữa SO và mp(SCD).
Mà
=
∠HSO ∠MSO
Xét tam giác SOM vuông góc tại O ta có:

a 3
OM
3
2
tan ∠HSO = tan ∠MSO =
=
=
OS
a
2
•

Vậy góc giữa SO và mp(SCD) laø α maø tan

α

=

3
2


BÀI 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a;
AD=B; cạnh bên SA vuông góc mp đáy, AS=2a. Gọi M là điểm bất
( 0 ≤ x ≤ 2a )
kì trên AS, đặt AM=x
a)
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình gì?
Tính diện tích thiết diện,
b) tính khoảng cách từ điểm S đến mp(MBC) ứng với mỗi vị trí của
•
M.
S

H
M

N

D

A

B

C


a.

•
•
•
•
•

vì BC//(SAD)
M ∈ mp( SAD ) ∩ mp( MBC )
⇒ mp( MBC ) ∩ ( SAD ) = MN
MN // BC ( N ∈ SD )
Vậy BMNC là hình thang vuông
Do đó thiết diện nói chung là
hình thang vuông.
Khi x=0 thiết diện là hình chữ
nhật ABCD
Khi x=2a thì thiết diện là tam
giác SBC.
Ta có: S BMNC

1
= ( BC + MN ).BM

2

S

H
M

N

D

A

B

BM 2 = a 2 + x 2 ⇒ BM = a 2 + x 2
MN
SM
2a − x
2a − x
=
=
⇒ MN = b.
AD
SA
2a
2a
1
2a − x 
b

2
2
( 4a − x )
⇒ S BMNC =  b + b.
. a + x =
2
2a 
4a

C

a2 + x2


b)
Do (BMNC) ⊥ (SAB) nên khi kẻ
SH vuông góc với đường thẳng BM thì
SH ⊥ (BMNC).
Khoảng cách từ S đến mp(BCM) là SH.

S

H
M

N

Dễ thấy:

SH .BM = 2 S SBM

1
= 2. a ( 2 a − x )
2
B

Vaäy: SH=

a ( 2a − x )
a2 + x2

D

A

C


III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

• CÂU 1: Mệnh đề này sau đây là đúng:
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng
thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng
thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường
thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường
thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường
thẳng còn lại.

•
A.
B.
C.
D.

Câu 2: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
2 đường thẳng cùng vuông góc với 1 mp thì song song
2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì
song song.
2 mp phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì song song.
2 mp phân biệt cùng vuông góc với 1 mp thì song song


Câu 3: mệnh đề nào sau đây là đúng:
A. 2 mp vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mp này
sẽ vuông góc với mp kia.
B. 2 mp phân biệt cùng vuông góc với 1 mp thì vuông góc với nhau.
C. 2 mp phân biệt cùng vuông góc với 1 mp thì song song với nhau.
D. 3 mệnh đề trên đều sai.


•
A.
B.
C.
D.

Câu 4: trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng:
Có duy nhất 1 đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước và vuông góc
với 1 đường thẳng cho trước;
Có duy nhất 1 mp đi qua 1 đường thẳng cho trước và vuông góc
với 1 mp cho trước;
Có duy nhất 1 mp đi qua 1 điểm cho trước và vuông góc với 1 mp
cho trước;
Có duy nhất 1 mp đi qua 1 điểm cho trước và vuông góc với 1
đường thẳng cho trước.


•
A.
B.
C.
D.

Câu 5: tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu hình hộp có 2 mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương;
Nếu hình hộp có 3 mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là
hình lập phương;
Nếu hình hộp có 6 mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.
Nếu hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập
phương


•
A.
B.
C.

D.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Tìm mệnh
đề đúng trong các mệnh đề sau:
S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân
S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân
với đỉnh S;
S.ABC là hình chóp đều nếu góc giữa các mp chứa các mặt bên
và mp chứa đáy bằng nhau;
S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau.


•
A.
B.

C.
D.

Câu 7: tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau thì nằm
trong mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia;
Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau thì vuông
góc với mp chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng
kia;
1 đường thẳng là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo
nhau nếu nó vuông góc với cả 2 đường thẳng đó;
Các mệnh đề trên đều sai.

•

Câu 8: Hình tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và
AB=AC=AD=3. Diện tích tam giác BCD bằng:

A.

S=

B.

S=

C.

S=27

D.

S=27/2