ôn tập phương trình lượng giác

ÔN TẬP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


I. 1)Các dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Phương trình sinx=m

π- α
– Điều kiện: ∀ x∈R
α
– |m|>1: Vô nghiệm
– |m|≤1: Có nghiệm
Nếu α là nghiệm thì sinx=m ⇔ x=α+k2π
x= π- α+k2π

• Phương trình cosx=m
α
– Điều kiện: ∀ x∈R
-α
– |m|>1: Vô nghiệm
– |m|≤1: Có nghiệm
Nếu α là nghiệm thì sinx=m ⇔ x = ±α + k2π


I. 1)Các phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình tanx=m

α
π+

α

– Điều kiện: cosx ≠ 0
– Nếu α là nghiệm thì tanx=m ⇔ x=α+kπ

• Phương trình cotx=m

α
π+

– Điều kiện: sinx ≠ 0
– Nếu α là nghiệm thì cotx=m ⇔ x=α+kπ

α


I. 1)Các phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình tanx=m

α
π+

α

– Điều kiện: cosx ≠ 0
– Nếu α là nghiệm thì tanx=m ⇔ x=α+kπ

• Phương trình cotx=m

α

π+

– Điều kiện: sinx ≠ 0
– Nếu α là nghiệm thì cotx=m ⇔ x=α+kπ

α


I. 2) Phương trình có cách giải tổng quát
• Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai với một hàm số :
– Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số
– Giải phương trình đại số
– Tìm nghiệm phương trình lượng giác ban đầu
• Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
– Chia cả 2 vế cho a 2 + b 2
– Đưa về phương trình dạng sin(x+α) = m
• Phương trình dạng thuần nhất đẳng cấp đối với sinx và
cosx: asin2x+bcosxsinx+ccos2x+d=0
– Chia cả 2 vế cho cos2x (sin2x)
– Đưa về phương trình đối với tanx (cotx)


II. Luyện tập: Giải các phương trình
• Bài 1: a) (3cosx+4sinx+ 5)(cos2x +sinx+2)=0
b) tan(2x + 45o).tan(180o - x) = 1

• Bài 2:

x
1

2 x
sin
+sinx-2cos
=
2
2
2
2

• Bài 3:

1 + cos2x
sin2x
=
cos x
1- cos2x

• Bài 4:

sin 2 x +sin 2 2x+sin 2 3x = 2


Bài 1
Hướng dẫn giải:
a) (3cosx+4sinx+ 5)(cos2x +sinx+2)=0
3cosx+4sinx+ 5=0 (1)
⇔
cos2x +sinx+2=0 (2)

(1) ⇔ x=α + (2k+1)π với α=arcsin3/5

(2) ⇔ sinx = -1 ⇔ x = -90o + k360o
b) tan(2x+45o)tan(180o-x) = 1
⇔ tan(2x+45o) = cot(180o-x)
⇔ tan(2x+45o) = tan(x-900)
⇔ x =-135o+k180o k ∈ Z


Bài 2:

x
1
2 x
sin
+ sinx - 2cos
=
2
2
2
2

Hướng dẫn:
C1) Thay vế phải là

1 1
2 x
2 x
= (cos
+ sin ) ,ta có:
2 2
2

2
x
x
1 2 x
2 x
2 x
2 x 
sin
+2sin cos -2cos
=  cos + sin ÷
2
2
2
2
2
2
2

Ta đưa về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos
Ta có phương trình đại số: t2 + 4t -5 = 0
C2) Dùng công thức góc nhân đôi ta đưa phương trình
về dạng bậc nhất đối với sinx và cosx:
1+cosx
1
sin x - cosx =
2
2
3
⇔ sin x - cosx = 1 ⇔ 2sinx - 3cosx = 2
2

Bài 2:

x
1
2 x
sin
+ sinx - 2cos
=
2
2
2
2

Hướng dẫn:
C1) Thay vế phải là

1 1
2 x
2 x
= (cos
+ sin ) ,ta có:
2 2
2
2
x
x
1 2 x
2 x

2 x
2 x 
sin
+2sin cos -2cos
=  cos + sin ÷
2
2
2
2
2
2
2

Ta đưa về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos
Ta có phương trình đại số: t2 + 4t -5 = 0
C2) Dùng công thức góc nhân đôi ta đưa phương trình
về dạng bậc nhất đối với sinx và cosx:
1+cosx
1
sin x - cosx =
2
2
3
⇔ sin x - cosx = 1 ⇔ 2sinx - 3cosx = 2
2


Bài 3:

1 + cos2x

sin2x
=
cos x
1- cos2x

-Điều kiện: cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 1
-Biến đổi tương đương phương trình:
⇔ (1 + cos2x)(1 – cos2x) = cosx.sin2x
⇔ 1 – cos22x = cosx.sin2x
⇔
sin22x = cosx.sin2x
⇔ sin2x( sin2x – cosx) = 0
sin2x = 0

⇔ 
o
cosx = sin2x = cos(90 − 2x)


Bài 4: sin2x + sin22x + sin23x = 2
Dùng công thức hạ bậc ta có:

1- cos2x
1- cos4x
1- cos6x
⇔
+
+
=2
2

2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

cos2x + cos4x + cos6x = -1
2cos4x.cos2x + cos4x = -1
2cos4x.cos2x + cos4x+1 = 0
2cos4x.cos2x + 2cos2 2x = 0
2cos2x.(cos4x + cos2x) = 0
2cos2x.2.cos3x.cosx
=0
cosx = 0 hoặc cos2x = 0 hoặc cos3x = 0

Chú ý: Bài toán tương tự
cos2x + cos22x + cos23x = -1


III. Hướng dẫn học ở nhà

Phương pháp chung giải phương trình lượng giác:
- Xét điều kiện của phương trình
- Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, biến đổi thành
tích, các công thức biến đổi lượng giác đưa
phương trình cần giải về phương trình đã có cách

giải:
+ Phương trình lượng giác cơ bản
+ Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm
số
+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ Phương trình thuần nhất đẳng cấp đối với sinx
và cosx
Bài tập luyện tập ở nhà phần ôn tập chương.