phương trình đường tròn

Kiểm tra bài cũ
Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(xA;yA),B(xB;yB).

⇒

Khi đó AB = ?

AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A )
2

2

2)Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ đi qua điểm
Mo(xo;yo) và có vectơ pháp tuyến n = (a, b) . Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng Δ ?

⇒ Δ có phương trình tổng quát là:a(x-x )+b(y-y )=0
o

o


Trung tâm GDTX Đống Đa


1)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC:

y
b

M(x;y)

I

R

x
O

a

Ta có

M ( x; y ) ∈ (C )

IM=R
⇔

( xM − xI ) 2 + ( yM − yI ) 2 = R

⇔
⇔ ( x − a ) + ( y − b)
⇔ (x - a) + (y - b) = R
2

2

2

2

=R

2

Phương trình (1) được gọi là phương trình đường tròn
tâm I(a;b) bán kính R

(1)


1)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC:

y
b

M(x;y)
I

R

x
O

a

Ta có

M ( x; y ) ∈ (C )

IM=R
⇔

( xM − xI ) 2 + ( yM − yI ) 2 = R

⇔
⇔ ( x − a ) + ( y − b)
⇔ (x - a) + (y - b) = R
2

2

2

2

=R

2

Phương trình (1) được gọi là phương trình đường tròn
tâm I(a;b) bán kính R

(1)


Theo phương trình (1) thì để viết
phương trình đường tròn ta phải
biết các yếu tố nào?
Ta cần biết toạ độ tâm và bán kính của đường
tròn đó

Câu hỏi trắc nghiệm:
Biết đường tròn có phương trình
(x-7)2 + (y+3)2 =2.Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trước khẳng định đúng:
a)Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 2
b)Toạ độ tâm (7; -3) và bán kính bằng 2
c) Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng
d)Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng

2

2


Câu hỏi trắc nghiệm:
Biết đường tròn có phương trình
(x-7)2 + (y+3)2 =2.Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trước khẳng định đúng:
a)Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 2
b)Toạ độ tâm (7; -3) và bán kính bằng 2
c) Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng
d)Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng

2

2


2.CÁC VÍ DỤ
VD1a)Viết phương trìnhđường tròn tâm I(-4,1)

bán kính R=3.
GIẢI
a) Phương trình đường tròn có tâm I(-4;1) bán
kính R=3 là (x+4)2 + (y-1)2 = 9


b)Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3;4).Viết
phương trình đường tròn nhận AB làm
đường kính
GIẢI

Đường tròn nhận AB làm đường kính vậy
tâm đường tròn là trung điểm I của AB
và bán kính đường tròn là

AB
R=
2

A

I *

B


x A + xB 3 − 3
xI =
=
=0

2
2
y A + yB −4 + 4
yI =
=
=0
2
2
AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
= (−3 − 3) 2 + (4 + 4) 2 = 10
AB 10
⇒R=
=
=5
2
2
Vậy phương trình đường tròn là :

x +y
2

Hãy nhận xét toạ độ tâm I ở trên ?

2

= 25


x A + xB 3 − 3
xI =

=
=0
2
2
y A + yB −4 + 4
yI =
=
=0
2
2
AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
= (−3 − 3) 2 + (4 + 4) 2 = 10
AB 10
⇒R=
=
=5
2
2
Vậy phương trình đường tròn là :

x +y
2

Hãy nhận xét toạ độ tâm I ở trên ?

2

= 25

LƯU Ý
•

Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O(0;0) có bán kính
R là:
x2 +y2 = R2

y

O

x


3) NHẬN XÉT:
Cho đường tròn ( C ) có phương
trình
(x-a)2 + (y-b)2 =R2

(1)

Phương trình đường tròn có dạng
như phương trình (1) , phương
trình đường tròn còn có dạng nào


Ta có:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = R2

⇔
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2
⇔

- R2 = 0

Đặt a2 + b2 – R2 = c. Khi đó ta có phương trình

c

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0

Đây là dạng khác của phương trình đường tròn (C) ở trên
Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính
R=

a +b −c
2

2


Ngược lại cho phương trình
x2 + y2 -2ax -2by + c =0 (2)
Khi đó phương trình (2) có chắc
chắn là phương trình của một
đường tròn nào đó không ?


Ta có:

X2 + y2 -2ax -2by +c =0

⇔ X2 -2ax +a2 +y2 -2by +b2 –a2 –b2+c =0
⇔ (x-a)2 +(y-b)2 = a2 +b2 –c
Với điều kiện a2 + b2 –c > 0 , ta đặt a2 + b2 –c = R2
Lúc đó ta có phương trình
(x - a)2 + (y - b)2 = R2


Tóm lại , ta có nhận xét sau:
•

Phương trình đường tròn (x-a)2 +(y-b)2=R2 có thể được viết dưới dạng x2+y2 -2ax

•

Ngược lại , phương trình x2 +y2 -2ax -2by +c =0 (2) là phương trình của đường tròn khi

-2by +c = 0, trong đó c = a2 +b2 –R2.
và chỉ khi a2 +b2-c >0.Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính
R=

a

2

+b

2

−c

Hãy nhận xét về hệ số của x2 và y2 trong phương trình
(2) ở trên

⇒ Hệ số của x

2

và y2 bằng nhau


Như vậy phương trình (2) là
phương trình đường tròn khi và chỉ
khi Hệ số của x2 và y2 bằng nhau
và a2 +b2-c >0.
•

Cách xác định tâm và bán kính:

he so cua x
a=−
2
he so cua y
b=−
2

R = a +b −c
2

2


Trắc nghiệm:
•

Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình đường tròn:

a) 2x2 +y2 -8x +2y -1 = 0
b) x2 + y2 + 2x -4y -4 =0
c) x2 + y2 -2x -6y +20 = 0
d) 2x2 +2y 2 + 6x + 2y - 10 = 0


4) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
M
Mo
*I

Cho điểm Mo(xo;yo) nằm trên đường
tròn (C) tâm I(a;b).
Gọi
là tiếp tuyến với (C) tại Mo
Ta có Mo thuộc
và vectơ
IMo=(xo-a;yo-b) là vectơ pháp
tuyến của

Do đó

có phương trình

(xo-a)(x-xo) + (yo-b)(y-yo) = 0

Phương trình (3) là phương trình tiếp tuyến của đường
tròn (x-a)2 +(y-b)2 =R2 tại điểm Mo nằm trên đường tròn

(3)


Ví dụ:
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1) thuộc đường tròn (C) : (x -2)2 +
(y-3)2 = 5

Giải
(C) Có tâm I(2;3) , vậy phương trình tiếp
tuyến với (C) tại M(1;1) là
(1-2)(x-1) +(1-3)(y-1) =0

⇔
- x - 2y +3 =0


III) CỦNG CỐ:
Cho đường tròn có phương trình
x2 + y2 -2y -1 =0 (C)
1)Tâm của đường tròn(C) là:

a)
c)

I(1;0)

b) I (0;1)

I(0;-1)

d) I(-1;0)

2) Bán kính đường tròn là:
a) 2

b)

c) 1

d) 3

3) Tiếp tuyến của đường tròn tại M(1;2) là

a)
c)

x+y-3=0
x-y-3=0

2

b) x + y + 3 = 0
d) x - y + 3 = 0

Bài tập về nhà:
bài 1,2,3,6 SGK