bài tập hàm số lũy thừa

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

BÀI 2 :Bài tập hàm số lũy thừa


Trả lời:
α
1.Tập xác định của hàm số y = x
trường hợp của số mũ α, cụ thể:

tuỳ vào

- Với α nguyên dương, tập xác định là R.
- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định
là R\{0}.
-Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).
2. Tìm tập xác định:
−5

Hs y = ( x − 2) có số mũ -5 là số nguyên âm
nên ta có điều kiện: x – 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.
Vậy TXĐ là R\{2} .


3. Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số
sau:
−1

a) y = (1 − x) 4
Giải:
a) Hs y =

b)

(1 − x)

−1
4

y = ( x − 1)
2

−3

có số mũ là số không nguyên.
−3

1- mũ
x > 0làhay
x < 1. âm
y =có( xđiều
− 1)kiện:
Nên
b)
Hsta
có số
số nguyên
2

2
2

Vậy
TXĐ
là:
(∞
;
1)
x
−
1
≠
0
⇔
x ≠1⇔
Nên ta có điều kiện:

Vậy TXĐ là: R\{±1}

x ≠ ±1


Xem lại bài giải
a) Hs y =

(1 − x)

−1
4

có số mũ là số không nguyên.

Nên ta có điều kiện: 1- x > 0 hay x < 1.
Vậy TXĐ là: (- ∞ ; 1)
b) Hs y = ( x

−3

− 1) có số mũ là số nguyên âm
2
2
x
−
1
≠
0
⇔
x
≠ 1 ⇔ x ≠ ±1
Nên ta có điều kiện:
2

Vậy TXĐ là: R\{±1}


4. Nhắc lại:
a) Hàm số

y= x

α

có đạo hàm là gì?

α

(x ) ' = α x
b) Hàm số hợp

y=u

α

α −1

có đạo hàm là gì?

( u ) ' = αu
α

α −1

.u '


5. Bài tập 2, tính đạo hàm của các hàm số sau:
Nhóm 1:
a)

Nhóm 3:

y = (2 x − x + 1)

2

1
3

c)

y = (3x + 1)

π
2

Nhóm 4:

Nhóm 2:
1
2 4

b) y = (4 − x − x )

d)

y = (5 − x)

3


Nhóm 1.

a)

1 '
3

1
−1
3

 2
 1 2
2
y ' =  (2 x − x + 1) ÷ = (2 x − x + 1) .(2 x − x + 1) ' =

 3
2
3

1
2
= (2 x − x + 1) (4 x − 1)
3
−


Nhóm 2.

b)
1 '
2 4

1

−1

 1
2 4
2
(4
−
x
−
x
)
.(4
−
x
−
x
)' =
y ' =  (4 − x − x ) ÷ =
4



3
4

1
1
2
(4 − x − x ) (−1 − 2 x) = − (2 x + 1)(4 − x − x 2 )
4

4
−

−

3
4


Nhóm 3.

c)
'


 π
y ' =  (3x + 1) ÷ = (3 x + 1)
2


π
2

=

π
2

(3 x +1)

π
2

−1

π
−1
2

.(3 x + 1) ' =
π

−1
3π
2
.3 =
(3 x +1)
2


Nhóm 4.

(

d)

y ' = (5 − x)

= 3(5 − x)

3

3 −1

)

'

=

3(5 − x)

3 −1

.(5 − x) ' =

.(− 1) = − 3(5 − x)

3 −1


6. Nhc li: Khảo sát hàm số luỹ thừa y = x
y = x , < 0

y = x , > 0
1. Tập khảo sát: (0 ; +)

1. Tập khảo sát: (0 ; +)

2. Sự biến thiên:

2. Sự biến thiên:
y' = x

-1

<0

x >0

y' = x - 1 > 0 x >0
Giới hạn đặc biệt:

Giới hạn đặc biệt:

lim+ x = 0;

lim+ x = +;

x 0

lim x = +.

x +

Tiệm cận: không có
3. Bảng biến thiên
x 0
y'
+

+
+

y
0

x 0

lim x = 0.

x +

Tiệm cận: có hai tiệm cận: Ox là
TCN và Oy là TCĐ của đồ thị
3. Bảng biến thiên
x 0
+
y'
+
y
0


4. §å thÞ cña hµm sè trªn kho¶ng (0 ; +∞)
y
α>1

α=1
0<α<1

α=0

1
O

1

α<0
x

§å thÞ cña hµm sè luü thõa y = xα lu«n ®i qua ®iÓm (1; 1)


3
Bi tp 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x

Giải:
1. TXĐ: R\{0}

2. Sự biến thiên:
3
- Chiều biến thiên: y ' = ( x )' =

3
3x = 3x = 4
x
y' < 0 trên R\{0} nên hàm số nghịch biến
31

trên các khoảng (- ; 0) và (0; + )

- Tim cn:
lim y = ; lim+ y = + .
x 0

lim y = 0;

x

x 0

lim y = 0.

x +

ồ thị có tiệm cận đứng là trc Oy.
Tiệm cận ngang là trc Ox

4


y

- Bảng biến thiên :
x -
y
y 0

+

0

-

-

-1

+
-

1
O

-1

1

0

3. Đồ thị:

th hm s i qua cỏc im

(1; 1) , (-1; -1).

Hàm số đã cho là lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ

x

Bài tập 4. So sánh các số sau với số 1.

a)

(4,1)

2,7

b) (0, 2) 0,3
Giải:
Dựa vào tính chất đồng biến của hàm số
Suy ra:
a) (4,1)

2,7

2,7

>1

Vậy (4,1) 2,7

>

1

b) (0, 2) 0,3< 10,3 Vậy (0, 2) 0,3 < 1

y=x

α


Bài tập 5. So sánh các cặp số sau với sau:
7,2
7,2
(3,1)
(4,3)
a)
và

2,3

 10 
b)  ÷ và
 11 
c)

( 0,3)

0,3

2,3

12 
 ÷
 11 

và ( 0,2 )

0,3

Giải:
α
Dựa vào tính chất đồng biến của hàm số y = x
Suy ra:
7,2
7,2
a) Do 3,1 < 4,3 và số mũ 7,2 > 0 nên (3,1) < (4,3)


10
12
b) Tương tự:
và 2,3 > 0, nên
<
11
11
2,3

 10 
 ÷
 11 

2,3

<

c) Tương tự:

12 
 ÷
 11 

( 0,3)

0,3

>

( 0,2 )

0,3


Trắc nghiệm:
Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào mỗi câu sau:
1)Tập xác định của hàm số

y = ( x + 1)
2

4

là R\{0}
R

2) Tập xác định của hàm số
−4
y = ( x − 3) là R\{3}

R

S

Đ

3) Tập xác định của hàm số

y = ( x − 5)

−

1
3

là (5; +∞)

Đ


Trắc nghiệm:
Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào mỗi câu sau:
1) Hàm số y = ( x − 9)

−7

2) Đồ thị của hàm số
có toạ độ là (1; 1)
3) (3,5) −5 >

(2,5)− 5

đồng biến trên (9; +∞)

y= x

−7

Đ
S

luôn đi qua điểm

S


Trắc nghiệm:
Chọn một đáp án đúng:
1) Hàm số y = ( x − 5) có đạo hàm là:
10

10

B)

y ' = 10( x − 5)

9
y
'

=
10(
x
−
5)
.x
C)

D)

y ' = 10 x( x − 5)10

A) y ' = 10( x − 5)

9


Trắc nghiệm:
Chọn một đáp án đúng:
2)

A) (3,5 + 5)

−5

>1

0
(3,
5

+
5)
>1
B)

C)

(3, 5 + 5) 4 > 1

D)

(3, 5 + 5) 4 < 1


Trả lời:
α
1.Tập xác định của hàm số y = x
trường hợp của số mũ α, cụ thể:

tuỳ vào

- Với α nguyên dương, tập xác định là R.
- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định
là R\{0}.
-Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).
2. Tập xác định:
−5

Hs y = ( x − 2) có số mũ -5 là số nguyên âm
nên ta có điều kiện: x – 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Vậy TXĐ là R\{2} .


4. Nhắc lại:
a) Hàm số

y= x

α

có đạo hàm là gì?

α

(x ) ' = α x
b) Hàm số hợp

y=u

α

α −1

có đạo hàm là gì?

( u ) ' = αu
α

α −1

.u '


Khảo sát hàm số luỹ thừa y = x
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số luỹ thừa y = x trên
khoảng (0; + )

Đạo hàm
Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị

>0

<0

y' = x -1

y' = x -1

Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến
Không có

TC.N là trục Ox

TC.Đ là trục Oy
Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)