hàm mũ và hàm logarit

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit


KiÓm tra bµi cò

-Em h·y nªu ®Þnh nghÜa lòy thõa víi sè mò thùc ?
- Em h·y nªu ®Þnh nghÜa l«garit ?


Nhận xét:
+ Với mỗi số thực x, ta luôn xác định đợc một giá trị ax duy
nhất.
+ Với mỗi giá trị dơng của x, ta luôn xác định đợc một giá trị
logax duy nhất xác định trên R*+.


Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit.
a. định nghĩa (sgk/101)
Với a là một số dơng và khác 1
+) Hàm số dạng y=ax : hàm số mũ cơ số a (hàm số mũ)
+) Hàm số dạng y=logax : hàm số logarit cơ số a (hàm số
lôgarit)
b. Chú ý:
y=logx (hoặc lgx) :hàm số lôgarit cơ số 10
y=lnx : hàm số lôgarit cơ số e
y=ex : còn kí hiệu là y=exp(x)

Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

2. Mét sè giíi h¹n liªn quan ®Õn hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
2.1.Hµm sè y=ax liªn tôc trªn R
Hµm sè y=logax liªn tôc trªn R*+
VÝ dô 1:
TÝnh c¸c giíi h¹n sau:

a ) lim e

1
x

x − > +∞

2.2. ®Þnh li 1:(sgk/102)

ln(1 + x)
lim
=1
x − >0
x

e x −1
lim
=1
x −>0
x

b) lim log 2 x
x − >8

sin x
c) lim log
x −>0
x


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

3. ®¹o hµm cña hµm sè mò vµ hµm sè logarit.
3.1. ®¹o hµm cña hµm sè mò:

a)hµm sè y=ax cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x∈Rvµ
( ax )’= ax.lna; Nãi riªng ta cã (ex)’= ex
b)NÕu hµm sè u=u(x) cã ®¹o hµm trªn J thi hµm sè y=au(x) cã
®¹o hµm trªn J vµ
( au(x) )’= u’(x) au(x).lna;
Nãi riªng ta cã ( eu(x) )’= u’(x) eu(x).


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

a)hµm sè y=ax cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm
x∈Rvµ
( ax )’= ax.lna; Nãi riªng ta cã (ex)’= ex
b)NÕu hµm sè u=u(x) cã ®¹o hµm trªn J thi hµm sè y=au(x) cã
®¹o hµm trªn J vµ
( au(x) )’= u’(x) au(x).lna;

Nãi riªng ta cã ( eu(x) )’= u’(x) eu(x).
VÝ dô 2:TÝnh ®¹o hµm cña mçi hµm sè sau:
a. y =(x2+1)ex
b. y = (x+1)e2x
c. y = exsinx


Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

3. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.
3.2. đạo hàm của hàm số lôgarit

a)hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi điểm
(logax) =

1
x ln a

; Nói riêng ta có (lnx)=

x R+* và
1
x

b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dơng và có đạo hàm trên J
thi hàm số y= loga u(x) có đạo hàm trên J
và (loga u(x))=

u '( x )
u ( x ) ln a

Nói riêng ta có (lnu(x))=

u '( x)
u ( x)


Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

a)hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi điểm
(logax) =

1
x ln a

; Nói riêng ta có (lnx)=

x R+* và
1
x

b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dơng và có đạo hàm trên J
thi hàm số y= loga u(x) có đạo hàm trên J
và (loga u(x))=

u '( x )
u ( x ) ln a

Nói riêng ta có (lnu(x))=

u '( x)
u ( x)

Ví dụ 3:
a. Tính đạo hàm của hàm số y= ln(x2-x+1)
b. CMR [ln(-x)]=1/x với mọi x<0.


Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

3. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.
3.2. đạo hàm của hàm số lôgarit
Hệ quả:
1
a) (ln x ) =
x
,

với mọi x khác 0

b) Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thi
(ln u ( x) ) ' =

u '( x)
u ( x) với mọi x khác 0


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

4. Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè mò vµ hµm sè logarit

4.1.Hµm sè y= ax
a.Trêng hîp a>1:
B¶ng biªn thiªn

x
-∞
y = ax

0
1

0

+∞
+∞


Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

? Dựa vào fần a)

-Lập bảng biên thiên của hàm số y=ax với 0- Nêu kết luận về đờng tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y=ax


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

b.Trêng hîp 0

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ghi nhớ:
Hàm số y=ax
+) có tập xác định là R và tập giá trị là khoảng (0; +)
+) đồng biên trên R khi a>0, nghịch biến trên R khi
0+) Có đồ thị
-đi qua điểm (0;1)
- nằm ở phía trên trục hoành,
-Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang,

a>1

0

Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

4.2.Hµm sè y= logax
a>1


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

4.2.Hµm sè y= logax
0

Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

4.2.Hµm sè y= logax


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

VÝ dô 4: lËp b¶ng biÕn thiªn cña
hµm sè y=logax
Th1: a>1
Th2: 0

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ghi nhớ: Hàm số y= logax
* Có tập xác định là khoảng (0;+00) và tập giá trị là R
* đồng biến trên khoảng (0; +00) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; +00) khi
0*Có đồ thị :
+) đi qua điểm (1;0)
+) Nằm ở bên phải trục tung,
+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

a>1

0

Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ghi nhớ: Hàm số y= logax
* Có tập xác định là khoảng (0;+00) và tập giá trị là R
* đồng biến trên khoảng (0; +00) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; +00) khi

0*Có đồ thị :
+) đi qua điểm (1;0)
+) Nằm ở bên phải trục tung,
+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

a>1

0M
M


Bµi 5: Hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

-Cñng cè bµi tËp vÒ nhµ:
-Bµi tËp sgk/112 vµ 113