giới hạn hàm số

CHệễNG IV: GIễI HAẽN
BAỉI 2: GIễI HAẽN
CUA HAỉM SO(t.t)

1


III.Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số:
1.Hàm số dần tới vô cực:

Đònh nghóa : lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀( x n ) : x n ≠ a
sao cho

x →a

lim xn = a

thì lim

f ( xn ) = ∞

2


Neáu lim f ( x ) = ∞
x→a

 Neáu f(x) > 0 (x → a) thì lim f ( x ) = +∞
x→a

 Neáu f(x) < 0 (x → a) thì lim f ( x ) = −∞

Ñònh lyù: Neáu lim f ( x ) = 0
x →a

x→a

( f ( x ) ≠ 0)

1
=∞
thì lim
x →a f ( x )

f (x) = ∞
Ngöôïc laïi, neáu lim
x →a

1
=0
thì lim
x →a f ( x )
3


2.Giụựi haùn taùi voõ cửùc:

ẹũnh nghúa: lim f ( x ) = L ( x n ) : lim x n =
x

thỡ lim f ( x ) = L
x

Vớ Duù:

x 2 3x + 1
lim
=
x 3
x 3
4


0 ∞
Khử dạng vô đònh
0.∞ ∞ − ∞
0 ∞
∞
 Dạng
hay 0.∞
∞

Đặt bậc cao nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung
Nếu bậc tử < bậc mẫu thì f(x)→0
Nếu bậc tử = bậc mẫu thì f(x)→số thực
Nếu bậc tử > bậc mẫu thì f(x)→∞

+ x

2
x = x =
 - x

nếu x ≥ 0
nếu x < 0

 Dạng ∞ − ∞ dùng lượng liên hợp
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
5


Caực baứi taọp vớ duù:
1

x +3
lim 2
x 3 x 9

3

1+ 2x 1
lim
x 0
2x

4

4x
lim
x 0
9+ x 3

2

2

x + x 6
lim
2
x 2
x 4

6


Đònh nghóa giới hạn một bên: Số L đgl
giới hạn bên phải (hoặc bên trái ) của
hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu ∀ (xn)
(xn>a) (hoặc xnthì lim f(xn)= L
Ví Dụ:

4x − 2
lim
x →2
x −2
3

7

Ñònh lyù : ∃ lim
f
(
x
)
=
L
x →a
⇔ ∃ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x →a

x →a

8


Các ví dụ:
Cho hàm số :

2x −1

f (x) =  x
5x + 3


nếu

x >1

nếu

x ≤1

Tìm giới hạn bên trái ,giới hạn bên phải và giới hạn hàm số
( nếu co ù)khi x→1

9


Các ví dụ:
Cho hàm số :

 x3 −1

f (x) =  x − 1
ax + 2


nếu

x >1

nếu

x <1

Đònh a để lim
f
(
x

)
tồ
n
tạ
i
x →1
10