các hệ thức lượng

BÀI 3.
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC


3. Công thức tính diện tích tam giác
Kí hiệu ha , hb ,hc là đường cao kẻ từ A, B ,C của
tam giác ABC, S là diện tích tam giác
A
Hoạt động 7.
c h
b
a

Viết công
thức tính
diện tích tam
giác theo
một cạnh và
đường cao
tương ứng

B

a

C

1
1

1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2


Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,
nội tiêp tam giác

a+b+c
Là nửa chu vi tam giác
p=
2
Ta có công thức tính diện tích S của tam giác
S ABC

S ABC

1
1
1
= ab sin C = ac sin B = bc sin A (1)
2
2
2

abc (2)
=
4R

S ABC = pr

(3)

S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) Công thức Hê-rông(4)


Hoạt động 8. Chứng minh công thức

abc
S=
4R

Theo định lí sin ta có

Giải

a
a
= 2 R ⇒ sin A =
sin A
2R
Mà
Vậy

1
1
a
S = bc sin A = bc.

2
2 2R
abc
S=
4R


Hoạt động 9. Chứng minh CT S = pr A

S ABC = SOBC + SOCA + SOAB
1
1
1
a+b+c
= ar + br + cr =
r = pr
2
2
2
2
B
Vậy

c

b

O
r
a

SSABC
=prpr
ABC =
Với R là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

C


Ví dụ 1
Tam giác ABC có các cạnh a = 13, b = 14, c
=15.
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại
13 + 14 + 15
Giải:
tiếp a)
tam
giác
ABC
Ta có
p=
= 21

S ABC =

2
p ( p − a )( p − b)( p − c)

S ABC =

S ABC

21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84
abc 13.14.15 65
abc
⇒R=
=
=
=
4S ABC
4.84
8
4R

sABC = pr ⇒ r = S ABC / p = 84 / 21 = 4


Ví dụ 2
Tam giác ABC có cạnh a = 2 3 , cạnh b = 2
0
và cˆ = 30 .Tính cạnh c, góc A và diện tích
tam giác
Giải
3
2
2
2
c = a + b − 2ab cos C = 12 + 4 − 2.2 3.2.
=4

2

⇒c=2

b + c − a 2 + 2 − (2 3 )
1
cos A =
=
=−
2bc
2.2.2
2
0
ˆ
⇒ A = 120
2

2

2

2

2

2

1
1
1

0
S = ab sin C = .2 3.2. sin 30 = 2 3. = 3
2
2
2

(đvdt)


4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 17,4
0
0
ˆ
ˆ
m, B = 44 30' và C = 64 Tính góc A và cạnh
b, c
Giải Aˆ = 1800 − ( Bˆ + Cˆ ) = 1800 − (44030'+640 ) = 71030'
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
0
a sin B 17,4. sin 44 30'
⇒b=
=
≈ 12,9m
0

sin A
sin 71 30'
0
a sin C 17,4. sin 64
c=
=
≈ 16,5m
0
sin A
sin 71 30'


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 49,4

cm, b = 26,4cm và Cˆ = 47 0 20' Tính góc A và cạnh
b, c

Giải c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
= 49,4 2 + 26,4 2 − 2.49,4.26,4. cos 47 0 20' ≈ 1369,66
⇒ c ≈ 37cm
b 2 + c 2 − a 2 26,4 2 + 37 2 − 49,4 2
cos A =
≈
≈ −0,191
2bc
2.26,4.37
⇒ Aˆ ≈ 1010
0
0
0

0
0
ˆ
ˆ
ˆ
B = 180 − ( A + C ) = 180 − (101 + 47 20' ) ≈ 31 40'


Ví dụ 3 :
Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm, b = 13
cm, c = 15 cm.Tính diện tích S của tam giác và
bán kính r của đường tròn nội tiếp
Giải
a + b + c 24 + 13 + 15
=
= 26
Nữa chu vi tam giác p =
2

Diện tích S =

2

p ( p − a )( p − b)( p − c)

S = 26(26 − 24)(26 − 13)(26 − 15) ≈ 85,8(cm

S 85,8
Bán kính S = pr ⇒ r = =
≈ 3,3

p 26

2


1

Nắm vững các công thức tính diện tích
tam giác
- Định lý Cosin và định lý Sin trong
tam giác

2

Làm các bài tập từ bài 30 đến bài
38/SGK/T66