phương trình đường thẳng

Tuần 28 - 30. Tiết 37- 39


Kiểm tra bài cũ:
Câu 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;-1) đến mặt phẳng (P):

x − 2 y + 2z − 1 = 0
Câu 2: Cho đường thẳng MN với M ( − 1;0;1) và
Điểm nào trong hai điểm P ( 0;1;1)

và

N (1;2;−1)

Q( 0;1;0 ) thuộc đường

thẳng MN?
Tìm điều kiện cần và đủ để điểm E ( x; y; z )
MN?

thuộc đường thẳng


Kiểm tra bài cũ:
- Thế nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng ?
- Hãy tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng
a. đi qua 2 điểm

.

A(1;2;−1)

và

B( 0;3;−2 )

AB = ( − 1;1;−1)

b. đi qua điểm

M (1;2;3)

và vuông góc với mp(P):

x − 2 y + 3z − 1 = 0

r
a = ( 1; −2;3)


§3.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình tham số của đường thẳng.
I. Phương trình tham số của đường thẳng.
a. Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua
a. Bài toán: Trong không gian Oxyzrcho đường thẳng ∆ đi qua
điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a
r = a1 ; a2 ; a3 làm vtcp.
điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a = a1 ; a2 ; a3 làm vtcp.

Điều kiện cần và đủ để điểm M 0 thuộc
là có một số thực t
Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M 0 thuộc
?
sao cho
 x = x + ta

(
(

∆

0

)
)

∆

1

z

  x = x + ta
uuuuuu
r 
r y = y0 +0 ta2 1
M 0 ∈ ∆ ⇔ M 0 M = ta
 z⇔= zy =+y0ta+ ta2
3

  0

∆

 z = z0 + ta3

a

.M0
O

x
y


b.Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

r
và có vtcp a = ( a1 ; a2 ; a3 )

là phương trình có dạng

 x = x0 + ta1

 y = y0 + ta2 trong đó t là tham số.
 z = z + ta
0

3


ptts
thẳng
chứa
trục
tung?
* Nêu
Chú ý:
Nếucủa
đều
khác
0
thì
ta
viết
phương
trình của
a1 , ađường
,
a
2
3

x =
Ptts trục
đường
Oy là:thẳng

0
∆

y =t

dưới dạng chính tắc như sau:

x− x0 y − y0 z − z0
=
 z = 0=
 a1
a2
a3


VD1: Cho đường thẳng ∆ có ptts

 x = 1 + 2t

y = 2−t
 z = −3 + t


∆?

a.Tìm tọa độ một điểm và một vtcp của đường thẳng
b. Trong 2 điểm
đường thẳng

∆

A ( 3;1; −2 ) và B ( −1;3;0 ) ,điểm nào thuộc
.

?

Giải
Hãy tìm thêm một số điểm trên khác r
A?

∆

a. ∆ đi qua M(1;2;-3) và có một vtcp là
Xác định thêm 1 vtcp của ∆
b.Tìm
Điểm
A thuộc
đườngthuộc
thẳng∆
∆?
m để
M(m;2m;1)
Điểm B không thuộc đường thẳng ∆

a = ( 2; −1;1)


∆ biết:
B ( 0;3; −1)

VD2: Viết ptts và ptct của đường thẳng
a. ∆ đi qua 2 điểm
b. ∆ đi qua điểm

A ( 2; 4; −2 ) và

M ( 1;3; −2 )

và vuông góc với mặt phẳng (P):

x − 2 y − 3z + 1 = 0
a.

uuu
r
AB = ( −2; −1;1)
ptts:

ptct

Giải

 x = −2t

y = 3−t
 z = −1 + t

x
y − 3 z +1
=

=
−2
−2
1


x = 1+ t

 y = 3 − 2t
 z = −2 − 3t


b.ptts

x −1 y − 3 z + 2
=
=
1
−2
−3

ptct

Viết ptts đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có
vtcp
r bài tập 1, 2 SGK,Tr 89
- Giải
a 1; 2; −4 ?
-Xem
điều kiện

đườnggóc
thẳng
song,
Viếttrước
ptđt đikiến
quathức
điểmvềM(1;2;3)
cắtđểvà2 vuông
trụcsong
hoành?

(

)

cắt nhau và chéo nhau


II. Điều kiện để 2 đường thẳng song song,cắt nhau và chéo nhau
1. Điều kiện để 2 đường thẳng song song

→
r
'
'
'
'
Gọi a = ( a1 ; a2 ; a3 ) và a = ( a1 ; a 2 ; a 3 )

lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M (x0; y0; z0) trên d
→
→
a = k. a '
d // d’ ⇔ 
'

M 0 ∉ d

→
→

a = k a'
'
Đặc biệt: d ≡ d ⇔ 
'

M 0 ∈ d


Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song

x = 1 + t

d :  y = 2t
z = 3 − t


và

 x = 2 + 2t '
' 
d :  y = 3 + 4t '
 z = 5 − 2t '


Giải
→

d có
vectơ
phương
Tìm
vectơ
chỉchỉ
phương
củaad=và(1d;’2?;−1)
→
'

d’ có vectơ chỉ phương a = ( 2;4;−2)
TìmLấy
mộtM
điểm
(1;0thuộc
;3) ∈Mdthuộc d, thay vào d’ có thoả không?

1 →'
a= a
2

→

Vì

và M không thuộc d’ nên d // d’


2. Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau
d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ pt ẩn t, t’ sau có đúng một nghiệm:

 x 0 + ta1 = x 0' + t ' a1'

'
' '
 y 0 + ta 2 = y 0 + t a 2

'
' '
z
+
ta
=
z
+
t
a3
3
0
 0

Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’
ta có thể thay t0 vào ptts của d hoặc thay t’0 vào ptts của d’


Ví dụ 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

x = 1 + t

d :  y = 2 + 3t
z = 3 − t

Xét hệ phương trình

và

 x = 2 − 2t '
' 
d :  y = −2 + t '
 z = 1 + 3t '


Giải

1 + t = 2 − 2t '

'
2
+
3
t

=
−
2
+
t

3 − t = 1 + 3t '


(1)
(2)
(3)

Từ (1)
ra kết
t = -quả
1 vàvào
t’ =(3)
1. ?
Giải
(1)và
và(2)
(2),suy
thay
Thay vào pt (3) ta thấy thoả. Vậy hệ pt trên có nghiệm là t = - 1 và t’ = 1.
Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0 ; - 1 ; 4).


3. Điều kiện để 2 đường thẳng chéo nhau
d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a và a’ không cùng

phương và hệ phương trình sau vô nghiệm

 x0 + ta1 = x0' + t ' a1'

'
' '
 y0 + ta2 = y0 + t a2

'
' '
z
+
ta
=
z
+
t
a3
3
0
 0


Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

 x = 1 + 2t

d :  y = −1 + 3t
z = 5 + t


Giải

→
'

→

a

 x = 1 + 3t '
' 
d :  y = −2 + 2t '
 z = −1 + 2t '

→
'

a

→
phương 'của

Tìm
vectơ
Ta có
: a
= (2chỉ
;3;1) và

a =

’
d
và
d
(3;2;2)?

→ → → →
' '
Vì Nhận
khôngxét
tồnvịtại
k để
trísố
của
vectơ
và nên ?a và
→

a ≠ak a a

d

.
→
'

'


’1 + 2t = 1 + 3t
Chứng minh xem d và d cắt hay chéo nhau?

Xét hệ phương trình − 1 + 3t = −2 + 2t '
5 + t = −1 + 2t '

→

a’

a không cùng phương.

’
Vị trí
của
và dcắt
? nhau hoặc chéo nhau
Từ
đótương
suy rađối
d và
d’ dhoặc
a'

.a
d’


Từ hai pt đầu ta được t = -3/5 và t’ =-2/5,
thay vào pt cuối không thoả mãn.

Ta suy ra hệ trên vô nghiệm. Vậy hai đường d và d’ chéo nhau.


ssss