phương trình đường tron

Tuần 33

KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ CÙNG
CÁC EM HỌC SINH THÂN MẾN!


Bài cũ:

1/ Nêu khái niệm đường tròn?
2/ Hãy cho biết một đường tròn được
xác định bởi những yếu tố nào?


Trả lời:

1/ Đường tròn là tập hợp tất cả các
điểm M trong mặt phẳng cách điểm I
một khoảng không đổi bằng R gọi là
đường tròn tâm I bán kính R.
2/Một đường tròn được hoàn toàn
xác định nếu biết tâm và bán kính
của nó.


PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN


1. Phương trình đường tròn có
tâm và bán kính cho trước
Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.

Điểm M( x; y)
thuộc ( C)

⇔ IM = R


⇔ ( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

⇔ ( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

2

2

(1)

Phương trình (1 ) được gọi là phương
trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Vậy đường tròn (C ) tâm I (a; b) bán kính
R có phương trình dạng:

⇔ ( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

2


VÍ DỤ:

Đường tròn ( C ) tâm I( -1;4 ) và
bán kính R= 3 có phương trình :

( x + 1) + ( y − 4) = 9
2

2


*Chú ý: đường tròn có tâm là gốc
tọa độ O (0; 0) và có bán kính R có
phương trình là:

x +y =R
2

2

2


Hoạt đông 1:
Lập phương trình đường tròn đường kính

AB với A (3;- 4) B (-3;4 ).
Giải:
Tâm I của đường tròn là trung
điểm của AB
I ( 0;0 ).

⇒

Bán kính của đường tròn :
2

2

AB (-3-3) + (4+4) 100
=
=5
R= =
2
2
2


Vậy đường tròn cần lập có phương trình:
2

2

x + y = 25

2. Nhận xét

* Phương trình đường tròn

⇔ ( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

2

Có thể viết lại dưới dạng:
2
2
x + y − 2ax − 2by + c = 0

trong đó

c= a +b −R
2

2

2


Ngược lại, phương trình
x + y − 2ax − 2by + c = 0
2
2

Với a + b − c > 0
2

2

Là phương trình đường tròn ( C)
có tâm I (a ;b ) và bán kính
R = a +b −c
2

2


Ví dụ

Phương trình đường tròn
(x -1)2 + (y+2)2 = 4
có tâm
I(1; - 2), bán kính R = 2 có
thể viết lại dưới dạng

x + y – 2x + 4y +
1=0
2

2


3. Phương trình tiếp tuyến
của đường tròn

Cho điểm M(x0; y0) nằm trên
đường tròn (C) tâm I(a;b). Gọi D
là tiếp tuyến với (C) tại M
M thu
ộc
D
và


IM 0 = ( x0 − a )( y0 − b)

Là véc tơ pháp tuyến của D


Do đó D có phương trình

( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = 0
Phương trình trên là phương trình

tiếp tuyến của đưòng tròn

⇔ ( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

2

Tại một điểm M nằm trên đường tròn

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn có
tâm I(1;2 ) và tiếp xúc với đường thẳng
D : 3x-4y+15=0.
Giải:
Vì đường tròn tiếp xúc
với đường thẳng D nên:

R = d ( I , D) =
3.1 − 4.2 + 15
=
=2
9 + 16


+Phương pháp để viết phương trình
đường tròn là:
Cách 1:
* Bước 1: Tìm tọa độ tâm I( a;b);
* Bước 2: Tìm bán kính R;
*Bước 3: Phương trình đường
tròn cần lập có dạng:

( x − a ) + ( y − b) = R
2

2

2

Cách 2:
* Bước 1: Gọi đường tròn cần lập có
phương trình dạng:

x + y − 2ax − 2by + c = 0
2

2

* Bước 2: Dựa vào giả thiết ta lập hệ
phương trình với các ẩn a,b ,c;
* Bước 3:Thay vào phương trình ban
đầu ta được phương trình đường tròn
cần lập;


Chú ý:
* Đường tròn đi qua hai điểm A,B khi
và chì khi IA= IB =R.
* Đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc
với đường thẳng a tại A khi và chỉ khi
IA= d(I,a).
* Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a và
b khi và chì khi d(I,a) = d ( I ,b) = R.


+Phương pháp nhận dạng một phương
trình bậc hai là phương trình của đường
tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn :

Cách 1:
Bước 1: Đưa phương trình bậc hai về dạng:

x + y − 2ax − 2by + c = 0 ( 1)
2

2

Bước 2: Tìm a, b, c.
Bước 3: Tính:

a +b −c
2

2


a2 + b2 − c > 0

*Nếu

thì ( 1) là phương trình

đường tròn có tâm I (a; b ) và bán kính

R= a +b −c
2

2

*Nếu a + b − c ≤ 0 Thì không tồn tại
phương trình đường tròn.
Cách 2:
2

Bước 1:

2

Đưa phương trình về dạng:

( x − a ) + ( y − b) = m
2

2

(2)


* Nếu m > 0 thì (2) là phương trìmh
đường tròn tâm I( a; b ) và bán kính
R= m
* Nếu m < 0 thì không tồn tại phương trình
đường tròn.