phương trình tổng quát đường thẳng

1. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng


3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Hoạt động 4

Cho đường thẳng Δ có phương trình
Và véctơ


n = (3;−2)

 x = −5 + 2t

 y = 4 + 3t

Chứng tỏ n vng góc với véc tơ chỉ phương của Δ
Giải
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là


n.u = 3.2 + (−2).3 = 0

V ậy


u = (2;3)

 
n ⊥u

Véc tơ n có tính chất như trên được gọi là véctơ pháp
tuyến của Δ


ĐỊNH NGHĨA


n được gọi là véctơ
 pháp
 tuyến
 của

Véctơ
đường thẳng Δ nếu n ≠ o
và
góc vớivéctơ chỉ phương của Δ


n ≠ 0


 →n là vtpt của Δ
n ⊥ vtcpu ∆

vuông
n




☻Nếun là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì
Nhận xét

kn (kcũng
≠ 0là) một véc tơ pháp tuyến của∆
A

Một đường thẳng có


b

n

∆

bao nhiêu véctơ pháp
tuyến?

u

B

☻Một đường thẳng có vơ số véctơ pháp tuyến


a


x

Một đường thẳng
hoàn toàn xác định
khi nào

Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một
điểm và một véctơ pháp tuyến của nó


n
.

Mo


Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng ∆ đi qua điểm
M0(x0;y0) và nhận

n (a; blàm
) véc tơ pháp tuyến

Với M(x;y) ta có

M 0 M = ( x − x0 ; y − y0 )


n

∆

.

Khi đó



M ( x; y ) ∈ ∆ ⇔ n ⊥ M 0 M

y0

⇔ a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
⇔ ax + by + (−ax0 − by0 ) = 0

⇔ ax + by + c = 0


u

Với c = -ax0 – by0

M0
x0

M(x; y


Vậy đường thẳng có
phương trình tổng qt
như thế nào?

a) Định nghĩa
Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời
bằng không được gọi là phương trình tổng quát của
đường thẳng
Nhận xét

Phương trình ax + by + c = 0 có véctơ pháp tuyến


n = (a; b)và véc tơ chỉ phương


u = (−b; a )


b) Ví dụ

Lập phương trình tổng qt của đường thẳng ∆ đi qua
hai điểm A(2 ; 2) và B(4 ; 3)
GIẢI


AB = (2;1) Là véc tơ chỉ phương của ∆

Vtpt của ∆ là


n = (−1;2)

∆ qua A(2 ; 2) và có vtpt

Nên có PTTQ là
-1(x – 2 ) + 2( y – 2 )=0

⇔ –x + 2 +2y – 4 = 0
hay x – 2y + 2 = 0


n = (−1;2)


Hoạt động 6:
Hãy tìm toạ độ của véctơ chỉ phương của đường thẳng có
phương trình: 3x + 4y +5 =0
GIẢI

Véctơ pháp tuyến


n = (3;4)

Nên véctơ chỉ phương


u = (−4;3)


Bài tập
1.Viết PTTQ đường cao AH của tam giác ABC, với
A(2; 5), B(3; -1) và C(4; 1)
GIẢI


1. BC = (1;2) là vtcp của BC
AH ⊥ BC nên vtpt của AH là
vtcp của BC



n AH = BC = (1;2)

A

B



n AH = BC = (1;2)

AH qua A(2 ; 5) và có
nên có PTTQ là 1(x - 2) + 2(y + 5) = 0
Hay x + 2y +8 = 0

H

C


2.Viết PTTQ của ∆biết phương trình tham số là:

{

GIẢI

Vtcp của ∆ là

x = 4 + 2t
y = 3+ t


u = (2;1)

Nên vtpt của ∆ là

n = (−1;2)

∆qua M0 ( 4; 3 ) và có vtpt
PTTQ là


n = (−1;2nên
) có

-1( x – 4 ) + 2( y – 3 ) = 0
Hay

x - 2y + 2 = 0


c) Các trường hợp đặc biệt
Hệ số

a=0

b=0

c=0

∆: ax + by +c =
0
by + c = 0
c
hay y = −
b

Tính chất của ∆
Vng góc với trục
Oy tại điểm

c
(0;− )
b

ax + c = 0
c
hay x = −
a

Vng góc với Ox
tại điểm
c

ax + by = 0

Đi qua gốc toạ
độ O

x y
+ = 1 (2)
a,b,c
khác 0 a0 cb0
c
a0 = − , b0 = −
a
b

( − ;0)
a

(2) Là phương trình
đường thẳng theo đoạn
chắn, cắt Ox, Oy tại
M(a0 ;0) và N(0;b0 )

Vị trí trong Oxy
y

∆

c
−
b

x

O

∆

y

−

O
y

c
a

x

∆

O
y
N
O

x
bo

M

ao

∆

x


Hoạt động 7
Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng
có phương trình sau

d1 : x − 2 y = 0
d2 : x = 2
d 3 : y +1 = 0
x y
d 4 : + =1
8 4


GIẢI

d4

1) Vẽ đthẳng d1 :x – 2y = 0
Dt qua điểm O(0;0) và (2;1)
2) Vẽ đthẳng d2 :x = 2
Dt song song với Oy và cắt Ox tại
điểm (2; 0)
3) Vẽ đthẳng d3 : y + 1 = 0
⇔y=-1

Dt song song với Ox và cắt Oy tại
điểm (0 ; -1)
4) Vẽ đthẳng d4 :

x y
+ =1
8 4

Dt qua điểm (2; 3) và (0; 4)

y
d2

.
.
.
.
. . .
. . .
o.
.

d1
x
d3


CỦNG CỐ

là vtpt của Δ

n
→


 
n ≠ 0

n ⊥ vtcpu ∆


☻Nếun là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì
kn (kcũng
≠ 0là) một véc tơ pháp tuyến của ∆

☻Một đường thẳng có vơ số véctơ pháp tuyến


phương trình tổng quát của đường thẳng:

ax + by + c = 0
Phương trình ax + by + c = 0 có véctơ pháp tuyến


n = (a; b)và véc tơ chỉ phương


u = (−b; a )

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, cắt Ox,
Oy tại M(a0 ;0) và N(0;b0 )

x y
+ =1
a0 b0

v ới

c
c
a0 = − , b0 = −
a
b