số phức

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUANG TRUNG – ĐÀ NẴNG

Tuần 27 – 29. Tiết 57- 61


§. SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
ĐỊNH NGHĨA 1
Một số phức là biểu thức có dạng:
Trong đó

Ký hiệu

a, b ∈ ¡
2
i = −1

z = a + bi
• a gọi là phần thực
• b gọi là phần ảo

a + bi
VD :
1
3
2 + 3i; 1+2i; − +
i
2 2
1
−2i; i; i
2

3; -2


Chú ý:

• Mỗi số thực a được coi là số phức có phần ảo bằng 0
z = a + 0i = a ∈ ¡
• Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay thuần ảo)
z = 0 + bi = bi (b ∈ ¡ )
i = 0 + 1i


ÑÒNH NGHÓA 2
Cho hai soá phöùc

z = a + bi

(a,b ∈ ¡ )

z ' = a '+ b ' i

(a',b' ∈ ¡ )

z = z'

a=a'
⇔ 
 b=b'

2. Biểu diển hình học của số phức

z = a + bi
Trục ảo

M(a;b)
y

b
0

Mặt phẳng
phức

M

•

a

x

Trục thực


VÍ DỤ:

Cho các số phức
z1 = 2 + 3i; z 2 = 1 + 2i; z 3 = 2 − i
Biểu diển các số phức đó trong mặ t phẳng phức

3. Phép cộng và phép trừ số phức
a. Tổng của hai số phức
Tổng của hai số phức z=a+bi, z'=a+b'i (a,b,a',b' ∈ R) là số phức

Ví dụ:

z + z ' = a + a '+ (b + b ')i

(2 + 3i) + (3 − 2i)
= 5+ i
(1 − 3i) + (−3 + 5i) = −2 − 2i
(3 − 4i) + (−3 + 4i) = 0


b. Tính chất
• Tính kết hợp:
• Tính giao hoán:
• Cộng với 0:

(z + z') + z'' = z + (z+z'')
z + z' = z' + z
z+0=z

• Với mỗi số phức z=a+bi, nếu kí hiệu số phức − a+bi là − z
thì ta có : z + ( − z) = 0. Số − z gọi là số đối của số phức z


c. Phép trừ hai số phức

Hiệu của hai số phức z và z' là tổng của z và − z',
tức là:
z − z' = z + ( − z')
Hiệu của hai số phức z=a+bi, z'=a+b'i (a,b,a',b' ∈ R) là số phức

z − z ' = a − a '+ (b − b ')i
VÍ DỤ

(2 + 3i) − (3 − 2i)
(1 − 3i) − (−3 + 5i)

=
=

(3 − 4i) − (−3 + 4i) =

−1 + 5i
4 − 8i
9 − 8i


4.Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
ĐỊNH NGHĨA 4

Tích của hai số phức
z = a + bi
z'= a'+ b'i

(a,b,a'b' ∈ ¡ )

là số phức:
zz'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i
VÍ DỤ

(2 − i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 − 1)i = 4 + 3i
(2 + i)(2 − i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5
(2 + i)(1 + 2i) = (2 − 2) + (4 + 1)i = 5i


Tính chất

• Tính kết hợp:
(zz')z''=z(z'z'')
• Tính giao hoán:
zz' = z'z
• Nhân với 1:
1z = z
• Tính chất phân phối (của phép nhâ n đối với phép cộng):
z(z'+z'') = zz'+zz''


5. Số phức liên hợp
a) Khái niệm số phức liên hợp
ĐỊNH NGHĨA 5

Số phức liên hợp của z = a + bi

(a,b ∈ ¡ )

là số phức a-bi và được kí hiệu là z
z = a + bi = a − bi
VÍ DỤ

(a,b ∈ ¡ )

2 +3i =2 −
3i
4 − 2i =4 + 2i
i =−
i
−
i =i


z = a + bi
z = a − bi

VÍ DUÏ

Tính zz

zz = a + b
2

2


b) Tính chất

1) Với mọi số phức z,z', ta có
z+z' = z + z '
zz' = zz '
2) Với mọi số phức z, số zz ' là số thực
và nếu z=a+bi (a,b ∈ ¡ ) thì
zz = a + b
2

2


Mô đun của số phức
Đònh nghóa

Mô đun của số phức z = a + bi (a,b ∈ ¡ )
là số thực không âm a 2 + b 2 và được kí hiệu là z

Nếu z = a + bi thì z = zz = a + b
2

zz = z

2

2


Hoạt động

Với số phức z = a + bi (a,b ∈ ¡ ) khác 0, chứng minh rằng số
1
1
-1
-1
z = 2
z
=
z
là
số
thỏ
a
mã
n
zz
=1
2
2
a +b
z


6. Phép chia cho số phức khác 0
ĐỊNH NGHĨA 6

Số phức nghòch đảo của số phức z khác 0 là số
-1

z =

1
z

2

z

z'
Thương
của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0
z
là tích của z' với số phức nghòch đảo của z tức là
z'
= z ' z −1
z

z'
z'z
z'z
=
=
2
z
zz
z


z'
z'z

z'z
=
=
2
z
zz
z
VÍ DUÏ

3 − i (3 − i)(1 − i) (3 − i)(1 − i) 2 − 4i
=
=
=
= 1 − 2i
2
2
1 + i (1 + i)(1 − i)
1 +1
2
1 + 2i (1 + 2i)(1 + 2i) (1 + 2i)
−3 + 4i
=
= 2
=
2
1 − 2i (1 − 2i)(1 + 2i) 1 + 2
5
2

Thöïc haønh

Tính
1
3 − 2i 3 − 4i
;
;
2 − 3i
i
4−i
z'
z'z
z'z
=
=
2
z
zz
z


Baøi taäp

1
3
Cho z = − +
i
2 2

Haõy tính:

1
2
3
2
; z; z ; (z) ; 1 + z + z
z


z + z ' = a + a '+ (b + b ')i
z = a + bi
z ' = a '+ b 'i

z − z ' = a − a '+ (b − b ')i

zz'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i
z = a + bi = a − bi

z'
z'z
(a '+b ' i)(a −bi)
=
=
z
(a +bi)(a −bi)
zz


Giaûi caùc phöông trình:

a) iz + 2 − i = 0
b) (2 + 3i)z = z − 1