SKKN khai thac bai toan so hoc 6

 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”

A- MỞ ĐẦU:
I. Đặt vấn đề:
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.
- Trong thực tế q trình học tập có nhiều HS khơng tự giác về nhà làm bài tập tốn,
nhiều học sinh lười suy nghĩ tìm cách giải một bài tốn số học.
- Trong q trình giảng dạy mơn Tốn 6 nói chung và phần Số học 6 nói riêng, có thể
nhiều giáo viên chưa có thời gian để đề cập đến việc khai thác, mở rộng thêm các bài
tốn từ những bài tốn cho trước, để qua đó giúp phát triển năng lực tư duy, tự học, tự
nghiên cứu của các em học sinh, đặc biệt là đối với các em học sinh khá giỏi. Tuy
nhiên khai thác, mở rộng bài tốn như thế nào cho phù hợp, để từ đó có thể đưa các
dạng bài tốn mở rộng về dạng bài tốn quen thuộc để giải là một vấn đề khơng dễ
dàng đối với các em học sinh.
- Qua q trình giảng dạy, học tập và nghiên cứu, tơi nhận thấy rằng việc quy các bài
tốn từ lạ về quen là một điều rất quan trọng để tìm ra lời giải hợp lí cho từng bài tốn.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Việc khai thác, mở rộng từ những bài tốn cho trước sẽ giúp cho các em học
sinh có được một hệ thống bài tập mà khi giải nó, nếu tn theo quy tắc, phương pháp
của bài tốn cho trước thì việc giải sẽ dễ dàng hơn, từ đó giúp học sinh có thể phát hiện
những vấn đề mới chưa được học, …Đồng thời nó sẽ giúp cho người dạy có được cái
nhìn sâu hơn, rộng hơn về một bài tốn. Qua đó, có những phương pháp hợp lí trong
giảng dạy, giúp học sinh phát triển về tư duy tốn học, biết cách tìm tòi các vấn đề
tương tự hoặc cao hơn, rộng hơn từ những vấn đề đã biết.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Sách giáo khoa, sách bài tập Tốn 6 (tập 1,2)
- Nâng cao và phát triển Tốn 6 (Vũ Hữu Bình)
- Chun đề bồi dưỡng Số học 6 (Nguyễn Đức Tấn)
- Tuyển tập 250 bài tốn Số học 6 (Võ Đại Mau)
- 500 bài tốn nâng cao lớp 6 (Nguyễn Đức Tấn – Tạ Tồn)
II. Phương pháp tiến hành:

1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải
pháp của đề tài.
Để học tốt bộ mơn Số học 6, bên cạnh việc học lí thuyết và luyện tập các bài
tốn cơ bản ở lớp thì việc làm bài tập ở nhà, bài tập mở rộng là khơng thể thiếu.
Bài tập mở rộng giúp cho học sinh đào sâu, mở rộng thêm kiến thức.
a-Giải được một dạng tốn mở rộng.
2

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
b-Từ bài tốn mở rộng, khai thác ra các dạng tốn khác để khi giải quy về bài tốn ban
đầu.
2. Các biện pháp tiến hành.
- Thực hành trên chính đối tượng học sinh (chủ yếu là học sinh khá, giỏi)
- Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp.
- Nghiên cứu từ các loại sách tham khảo.
- Thực hiện bồi dưỡng học sinh.
B- NỘI DUNG:
I. Mục tiêu:
Nhiệm vụ của đề tài nghiên cứu này là giúp HS phát triển được tư duy thơng qua
cách khai thác một bài tốn số học, giúp học sinh quy được các bài tốn lạ về dạng
tốn quen thuộc để giải.
II. Mơ tả giải pháp của đề tài:
1. Thuyết minh tính mới:
Thực trạng học sinh hiện nay là tư duy giải tốn, đặc biệt là các bài tốn mở rộng
còn nhiều hạn chế. Vì vậy khi gặp một bài tốn mà khơng phải là các dạng đã học thì
lại gặp khó khăn trong việc tìm phương pháp giải.
Sau đây tơi xin minh hoạ bằng một bài tốn cụ thể. Từ đó mở rộng ra các bài tốn

khác:

Bài tốn I Tính tổng: S =

1
1
1

 ... 
1.2 2.3
99.100

Giải
Ta nhận thấy:

1
1
1 ;
1.2
2

1 1 1
1
1
1
  ; …;
 
2.3 2 3
99.100 99 100

1
1
1

 ... 
1.2 2.3
99.100
1 1 1 1 1
1
1
= 1       ...  
2 2 3 3 4
99 100
1
99
= 1

100 100

Như vậy: S =

-Từ đó ta có bài tốn tổng qt:
S=

1
1
1
1
n


 ... 
= 1
(với n  N*)

1.2 2.3
n.(n  1)
n 1 n 1

-Từ bài tốn trên, ta có thể khai thác, mở rộng thêm một số bài tốn sau:
*Bài 1: Tính tổng: A =

3 3 3
3
   ... 
2 6 12
9900

Bài tốn trên có thể biến đổi để đưa về phương pháp của bài tốn I như sau:
Lượt giải
3

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”


A = 3.     ... 

9900 

 2 6 12
1

1

1

1




 ... 
= 3.  

99.100 
 1.2 2.3 3.4
1

1

1

1


= 3. 1     ...  

2 2 3
99 100

1

1

1

1

1








= 3. 1 
  3.
100
100 100
1



99

297



-Ta có nhận xét rằng:

99
khơng phải là một số ngun nên ta có bài tốn:
100

*Bài 2: Chứng minh rằng

1
1
1
1
khơng phải là một số ngun.


 ... 
1.2 2.3 3.4
99.100

Lượt giải
1
1
1
1
99
=
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.



 ... 
1.2 2.3 3.4
99.100 100
1 1 1
1
-Từ đó ta có bài tốn tổng qt: Chứng minh rằng 2  2  2  ...  2 (n  N*) khơng
2 3 4
n

phải là số ngun.
*Bài 3: Cho M =

1 1 1
1
 2  2  ... 
2
2 3 4
1002

Chứng minh rằng: M < 1.
Cách giải
1
1
1
1
1
1
; 2
; …;



2
2
2 1.2 3 2.3
100 99.100
1 1 1
1
Do đó: M = 2  2  2  ... 
2 3 4
1002
1
1
1
1
99
M<
=S=
<1


 ... 
100
1.2 2.3 3.4
99.100

Ta nhận xét rằng:

Vậy M < 1.
-Từ đó ta có bài tốn tổng qt:
Cho N =

1 1 1
1
*
 2  2  ...  2 (n  N )
2
2 3 4
n

Chứng minh rằng N < 1.
-Khai thác bài tốn này ta có:
1

1 3
1 8
1
9999
 ; 1  2  ; …; 1 

2
2
2
4
3
9
100
10000

Từ đó ta có bài tốn:
*Bài 4: Cho P =

3 8
9999
  ... 
4 9
10000

Chứng minh rằng: P > 98.
Cách giải
4

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
3 8
9999
  ... 
4 9
10000

P=

1
1
1 
= 1    1    ...  1 

4
9

10000


 


= 1 








1  
1
1 

  1  2   ...  1 
2 
2 
2   3 
 100 



= 99 –  2  2  ... 
2 
100 

2 3
1

Mà:

1

1

1 1
1
< 1 (theo bài 2)
 2  ... 
2
2 3
1002

Nên P > 99 – 1 = 98.
-Từ đó ta có bài tốn tổng qt:
Cho Q =

3 8 15
n2 1



...

22 32 42
n2

Chứng minh rằng: Q > n – 2
-Ta lại có nhận xét:
1

1 5
1 10
1
10001
 ; 1  2  ; …; 1 

2
2
2
4
3
9
100
10000

Từ đó ta có bài tốn:
*Bài 5: Cho K =

5 10 17
10001
   ... 
4 9 16
10000

Chứng minh rằng: K< 100.

Cách giải
Do từ 2 đến 100 có 99 số nên K có 99 số hạng. Do đó:

K = 1 


1  
1
1 

 1  2   ...  1 
2 
2 
2   3 
 100 



= 99 +  2  2  ... 
2 
100 
2 3
1

1

1

 1

1

 1

1



1


 ... 
= 99 + 

100.100 
 2.2 3.3
1



 ... 
< 99 +  

99.100 
 1.2 2.3

 K < 99 + S = 99 + 1 

1
1

= 100 –
100
100

Vậy K < 100.
-Từ đó ta có bài tốn tổng qt sau:
5 10 17
n2 1
Cho L = 2  2  2  ...  2 ( n  N*)
2 3 4
n

Chứng minh rằng L < n.
5

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
1 1 1
1
 2  2  ... 
2
2 4 6
2002
1
Chứng minh rằng: C <
2

*Bài 6: Cho C =

Cách giải
C=

1
1
1
1
 2 2  2 2  ...  2
2
2 .1 2 .2 2 .3
2 .1002

=

1 
1 1
1 
. 1  2  2  ... 

2 
2  2 3
1002 

1
.(1  1)
22
1
Hay C <
2

<

(theo bài 2)

-Từ đó ta có bài tốn tổng qt:
Cho D =

1
1
1
1
 2  2  ... 
(n  N*)
2
2
2
4 6
(2n)

Chứng minh rằng D <

1
2

1 1 1
1
   ... 
5 13 25
19801

1
Chứng minh rằng E <
2

*Bài 7: Cho E =

Cách giải
1
1
1
1


 ... 
4  1 12  1 24  1
19800  1
1 1
1
1
<    ... 
4 12 24
19800
1
1
1
1
E<


 ... 

2.2 2.6 2.12
2.9900
1 
1 1 1 1
E < .     ... 

9900 
2  2 6 12

E=

1
.S
2
1
1
1 1
1
E < .(1 –
)= 
<
2 50
2
100
2
1
Vậy E <
2

E<




 .. 
*Bài 8: Cho G = 2001   

1  2  3  ...  99 
1 1 2 1 2  3
1

1

1

1

Chứng minh rằng G > 1999.
6

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
Cách giải
Nhận xét: 1 

1.2
2.3
3.4

99.100
; 1 2 
; 1 2  3 
; …; 1  2  3  ...  99 
.
2
2
2
2

Do đó:


 1
1
1
1 


 ... 
G = 2001  
1.2 2.3 3.4
99.100 


2
2
2 
 2



 ... 
= 2001   

99.100 
 1.2 2.3 3.4
2

2

2


= 2001  2.S  2001  2. 1 


= 2001 – 2 +
= 1999 +

2

1 

100 

1
50

1
> 1999

50

Vậy G > 1999.
-Từ cách giải của bài tốn I, ta có bài tốn sau:
*Bài 9: Tính tổng: I =

2
2
2
2


 ... 
1.3 3.5 5.7
97.99

Cách giải
2 1 1 2 1 1
2
1
1
  ;
  ; …;


1.3 1 3 3.5 3 5
97.99 97 99
1 1 1 1 1 1
1
1

Do đó: I =       ...  
1 3 3 5 5 7
97 99
1 98
= 1 
99 99

Nhận xét:

-Từ bài tốn trên, ta có bài tốn sau:
*Bài 10: Tính tổng: J =

5 5 5
5
   ... 
3 15 35
9603

Cách giải
5 5 5
5
   ... 
3 15 35
9603
5
5
5
5
=



 ... 
1.3 3.5 5.7
97.99

J=

=

5  2
2
2 
.

 ... 

2  1.3 3.5
97.99 

=

5
5 98 245
.I  . 
2
2 99 99

-Dựa vào nhận xét: a2 > (a – 1)(a + 1) 

1

1

.
2
a
(a  1)(a  1)
7

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
Ta có bài tốn sau:
*Bài 11: Cho T =

3 3 3
3
 2  2  ...  2
2
2 4 6
98

Chứng minh: T < 2
Cách giải
Ta có:

3
3
3
3

3
3
3
3
; 2
; 2
; …; 2 

2
2 1.3 4 3.5 6 5.7
98 97.99

Do đó:
T<

3
3
3
3


 ... 
1.3 3.5 5.7
97.99

T<

3 2
2
2

2 


 ... 


2  1.3 3.5 5.7
97.99 

T<

3
3 98 49
<2
.I  . 
2
2 99 33

Vậy T < 2.
*Bài 12: Cho X =

11 31 59 95 139
. Chứng minh X > 4.
  

17 37 65 101 145

Cách giải
X=

11 31 59 95 139
6
6
6
6
6
= 1 1 1 1
  

1
17 37 65 101 145
17
37
65
101
145









= 5   
 = 5  3.  

 17 37 65 101 145 
 17 37 65 101 145 

6

6

6

6

6

2

2

2

2

2


X > 5  3. 

2
2
2
2
2 






 15 35 63 99 143 


X > 5  3. 

2
2
2
2
2 





 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 


X > 5  3.  

1 1

 3 13 

X>5–1+

3

3
= 4+
>4
13
13

Vậy X > 4.
2. Khả năng áp dụng:
Với những kinh nghiệm trên, GV dạy mơn Tốn nào cũng có thể áp dụng được và
trường nào thuộc bậc THCS cũng có thể áp dụng được.

8

Năm học 2011 – 2012


 Kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác bài toán số học”
C- KẾT LUẬN:
Hiện nay, đa số học sinh khi giải xong một bài tốn thì các em thường bằng lòng
với kết quả có được. Do đó khi gặp những dạng tốn còn lạ thì các em trở nên lúng
túng, khơng định hướng được hướng giải. Hy vọng rằng với một ít kiến thức tơi nêu ra
đây sẽ giúp được cho các em tự tin hơn, có tư duy tốt hơn khi gặp các dạng tốn mới.
Đồng thời, bản thân mong muốn rằng chun đề này sẽ góp một phần nhỏ phục vụ cho
cơng tác giảng dạy, góp phần phát triển tư duy của học sinh.
Tuy nhiên để giảng dạy tốt cho học sinh các vấn đề mở rộng từ một vấn đề cơ
bản đòi hỏi người dạy phải nỗ lực nghiên cứu, tìm hiểu, từ đó sắp xếp hệ thống bài tập
một cách hợp lí, chỉ cho học sinh thấy được con đường đưa bài tốn về dạng quen
thuộc để giải. Đồng thời cũng khuyến khích các phương pháp giải của các em để cho
các em thấy được sự sáng tạo của người học là vấn đề rất quan trọng.
Mặc dù đã nghiên cứu và thu thập rất nhiều, nhưng với kinh nghiệm và khả năng

hạn hữu của bản thân, chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ý kiến
đóng góp của bộ phận chun mơn, của q thầy cơ đồng nghiệp, … để kinh nghiệm
được hồn chỉnh hơn và có thể ứng dụng vào thực tế việc học tập của học sinh. Xin
chân thành cảm ơn!
Cát Thắng, ngày 08 tháng 03 năm 2012
Ý kiến của Hội đồng khoa học nhà trường
Người viết

BAN GIÁM HIỆU

9

Năm học 2011 – 2012