định đề và định lý của cơ học lượng tử

BÀI BÁO CÁO

Chương 6:
ĐỊNH ĐỀ VÀ ĐỊNH LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nhóm thực hiện : Nguyễn Đinh Diệu Trâm
Nguyễn Thị Hồng Mận
Lớp : Cao học hóa lý k17


NỘI DUNG BÁO CÁO

1.

ĐỊNH ĐỀ HÀM SÓNG

2. CÁC ĐỊNH ĐỀ CHO XÂY DỰNG TOÁN TỬ

3.ĐỊNH ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHODINGER PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN

4. ĐỊNH ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ RIÊNG

5.ĐỊNH ĐỀ CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

6.ĐỊNH ĐỀ VỀ TOÁN TỬ HERMIT

7. NGUYÊN LÝ LOẠI TRỪ PAULI ( ĐỊNH ĐỀ VII)

8. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
2

1.

ĐỊNH ĐỀ HÀM SÓNG

Định đề I: Bất kỳ trạng thái liên kết của sự chuyển động của n hạt được mô tả một cách đầy đủ bởi một hàm khả tích bình
phương Ψ (q1, q2, ... q3n, ω1, ω2, ..., ωn, t), trong đó q’s là tọa độ không gian, ω’s là tọa độ spin, và t là thời gian. Ψ*Ψ dτ là xác
suất mà các tọa độ spin không gian nằm trong một thể tích dτ (≡ dτ1dτ2… dτn) tại thời điểm t, nếu hàm Ψ chuẩn hóa.

Giả sử, chúng ta có một hệ hai electron trong một trạng thái phụ thuộc thời gian mô tả bởi hàm sóng Ψ(x1, y1, z1, ω1, x2,
y2, z2, ω2, t). Tọa độ spin ω là sự tổ hợp hàm spin α và β. Nếu ta tích phân Ψ*Ψ trên các tọa độ spin của cả hai điện tử, ta có
hàm mật độ spin tự do. Gọi nó là ρ (x1, y1, z1, x2, y2, z2, t) ≡ ρ (v1, v2, t). Với ρ (v1, v2, t) dv1 dv2 là xác suất mà điện tử 1
trong dv1 (ví dụ, giữa x1 và x1 + dx, y1 và y1 +dy, và z1 và z1 + dz) và điện tử 2 trong dv2 tại thời điểm t. Nếu ta lấy tích phân
trên các tọa độ của điện tử 2, ta có được một hàm mật độ mới, ρ’ (v1, t), trong đó mô tả xác suất tìm thấy electron 1 trong các thể
tích khác nhau vào những thời điểm khác nhau mà không phụ thuộc vào vị trí của điện tử 2.

3


2. CÁC ĐỊNH ĐỀ CHO XÂY DỰNG TOÁN TỬ
.

Định đề II: Biến động lực M có thể được gán một toán tử tuyến tính hermit Ta bắt đầu bằng cách viết các biểu thức cổ
điển đầy đủ nhất về động lượng và vị trí, sau đó:
a) Nếu M là q hoặc t, là q hoặc t. (q và t là tọa độ không gian và thời gian.)
b) Nếu M là một động lượng, p , cho hạt thứ j, toán tử là (h/i)∂/∂q , trong đó q là liên hợp với p (ví dụ, x là liên hợp với
j
j
j
j

j
px ).
j

Mˆ

c) Nếu M là q’s, p’s và t, được tìm thấy bởi thay thế các toán tử trên trong biểu thứcM.
nó phải là các số thực.

là toán tử Hermit thì trị riêng của

ˆ
M

4


Cho một ví dụ cụ thể về điều này, ta xem xét lại nguyên tử hydro. Giả sử một hạt nhân cố định, khái
niệm cổ điển cho tổng năng lượng của hệ là
Trong đó, số hạng đầu tiên chỉ là động năng của các electron và các hạng thứ hai là thế năng. Gốc tọa độ là
hạt nhân. Áp dụng các định đề II, ta có biến x, y, z trong biểu thức của thế năng không thay đổi, nhưng p x
được thay thế bằng (h/i)∂/∂x,

Eclassical = (1/2me)(p

x

2

+p

2

2
2
+ p ) − e /4π
y
z
2

2
2
2 1/2
(x + εy0 + z )
2

2

1
1  h ∂   h ∂   h ∂ 
− h2
2
2
2
2
 + 
( px + p y + pz ) ⇒
 + 
 = 2 ∇


2 me
2me  2πi ∂x   2πi ∂y   2πi ∂z  8π me
2
2
−
h
e
Hˆ = 2 ∇ 2 −
8π me
4πε o ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2


ĐỊNH ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN

Định đề III. Các hàm trạng thái (hoặc hàm sóng) thỏa mãn
phương trình

là toán tử Hamilton của hệ.
Phương trình trên phù hợp với phương trình Schrodinger độc lập thời gian. Khi
Thay vào phương trình (6-1)

Ψ (q, t) = ψ(q)f (t)

Chia 2 vế cho

ψ (q) f(t)

ˆ ψ(q)f(t) = -h ∂ ψ(q)f (t)
H
i ∂t

ta được

Hˆ ψ (q) (−h / i )(∂ / ∂t ) f (t )
=
ψ (q)
f (t )
Từ mỗi bên của phương trình (6-3) phụ thuộc vào một biến khác nhau, hai bên phải bằng hằng số giống nhau, mà chúng ta gọi
E. Điều này đưa ra

Hˆ ψ (q) = E ψ (q)

Và

−h d
f (t ) = Ef (t )
i dt


4. ĐỊNH ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ RIÊNG

Định đề IV: Bất kỳ kết quả của một phép đo của một biến động lực là một trong
những trị riêng của toán tử tương ứng


5. ĐỊNH ĐỀ CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định đề V: Khi một số lượng lớn các hệ giống hệt nhau có cùng hàm trạng thái ψ, giá trị trung bình dự kiến của các
phép đo trên biến M (một phép đo cho mỗi hệ ) được cho bởi công thức:

M av = ∫ψ * Mˆ ψdτ / ∫ψ *ψdτ
Mẫu số là một đơn vị nếu ψ là chuẩn hóa.


6.ĐỊNH ĐỀ VỀ TOÁN TỬ HERMIT

φ
,cácψhàm này là khả tích bình phương,thõa mãn
ˆ φdv = φ Aˆ *ψ * dv
ψ
*
A
∫
∫

Cho

Khi đó:

ˆ

Atử Hermit
Là toán

Ví dụ : toán tử i (d / dx) là một toán tử Hermit . Khi đó vế trái :

Vế phải:

+∞

+∞

−∞

−∞

∫

φ (id / dx) *ψ * dx = −i ∫ φ (dψ * / dx)dx

 1

φH *ψ * = φ − (1 / r 2 )(d / dr )r 2 (d / dr ) − 1 / r  8 / π exp(−2r )
 2


= φ [ (1 / r ) − 2] 8 / π exp(−2r ) = [ (1 / r ) − 2]ψ *φ
( Và

= φ [ (1/ r) − 2] 8 / π exp(−2r) = [ −(1/ r) − 2 ] ψ * φ

)


7. NGUYÊN LÝ LOẠI TRỪ PAULI ( ĐỊNH ĐỀ VII)

Định đề VII: ψ phải phản đối xứng (đối xứng) để việc trao đổi hạt fermion (hay hạt boson) giống hệt nhau.

8. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
Nhiều trong số các tính toán hóa học lượng tử dựa trên nguyên tắc biến phân Rayleigh-Ritz trong đó nêu: Đối với bất kì hàm

chuẩn hóa


ân thành cảm ơn thầy và các bạn đã dành thời gian theo