Tìm nguyên hàm

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm
cơ bản trong SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm
số.
1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Nếu
1
f (x)
,
2
f (x)
, ...,
n
f (x)
là các hàm có nguyên hàm cơ bản thì
1 1 2 2 n n
f (x) f (x) f (x) ... f (x)= α + α + + α
có nguyên hàm tìm được nhờ tính chất :
1 1 2 2 n n
f (x)dx f (x)dx f (x)dx ... f (x)dx.= α + α + + α
∫ ∫ ∫ ∫
Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết :
1
a
a
−α
α
=
;
1
k

k
a a=
Thí dụ 1 : Tìm các nguyên hàm
1.
2
x 1
dx
x
+
∫
; 2.
2
3
x(x 1) dx+
∫
Giải :
1.
3 1 5 1
2
2 2 2 2
x 1 2
dx x x dx x 2x C
5
x
−
 
+
 
= + = +
 

∫ ∫
2.
1 7 4 1 10 7 4
2 2
3
3 3 3 3 3 3 3
3 6 3
x(x 1) x (x 2x 1)dx x 2x x dx x x x C
10 7 4
 
 
+ = + + = + + = + + +
 
∫ ∫ ∫
2.Sử dụng vi phân để tìm nguyên hàm
Bảng nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu
nào khác. Kết hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được nguyên hàm của các
lớp hàm phong phú hơn.
Thí dụ 2 : Tìm nguyên hàm :
2
2
x dx
x 1−
∫
.
Giải :
2
2 2
x dx 1 1 1 1 1 x 1
1 dx 1 dx x ln C

2 x 1 x 1 2 x 1
x 1 x 1
 
−
 
 
= + = + − = + +
 ÷
 ÷
 
− + +
 
− −
 
 
∫ ∫ ∫
Chú ý :
1 1 1 1 1 1 1
dx d(x 1) d(x 1)
2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1
 
 
− = − − +
 ÷
 
− + − +
 
 
∫ ∫ ∫
1 1 1 x 1

ln x 1 ln x 1 ln C
2 2 2 x 1
−
= − − + = +
+
1
Thí dụ 3 : Tìm nguyên hàm :
1.
2
6
x dx
x 1−
∫
; 2.
10
x(x 2) dx+
∫
Giải :
1.
2 3 3
3
6 3 2 3 3 3
x dx 1 d(x ) 1 1 1 1 1 x 1
d(x ) ln C
3 3 2 6
x 1 (x ) 1 x 1 x 1 x 1
−
 
= = − = +
 ÷

− − − + +
 
∫ ∫ ∫
2.
10 10
x(x 2) dx [(x 2) 2](x 2) .d(x 2)+ = + − + +
∫ ∫
=
11 10 12 11
1 2
[(x 2) 2(x 2) ]d(x 2) (x 2) (x 2) C
12 11
= + − + + = + − + +
∫
Thí dụ 4 : Tìm nguyên hàm
1.
2
sin 2xdx
1 cos x+
∫
; 2.
dx
sin 2x
∫
Giải :
1.
2
2
2 2
sin 2xdx d(1 cos x)

ln(1 cos x) C
1 cos x 1 cos x
+
= − = − + +
+ +
∫ ∫
2.
2
dx 1 dx 1 dx 1 d(tgx) 1
ln | tgx | C
sin 2x 2 sin x.cos x 2 2 tgx 2
tgx.cos x
= = = = +
∫ ∫ ∫ ∫
Thí dụ 5 : Tìm nguyên hàm
2
4
(x 1)dx
x 1
−
+
∫
.
Giải :
2
2
4
2
2
1

1 dx
(x 1)dx
x
.
1
x 1
x
x
 
−
 
−
 
=
+
+
∫ ∫
Đặt
1
u x
x
= +
⇒ du =
2
1
1 dx
x
 
−
 

 
và
2 2
2
1
x u 2.
x
+ = −
Do đó :
2
4 2
(x 1)dx du 1 1 1 1 u 2
du ln C
2 2 u 2 u 2 2 2 u 2
x 1 u 2
− −
 
= = − = +
 
− + +
 
+ −
∫ ∫ ∫
2
2
1
x 2
1 1 x 2x 1
x
ln C ln C

1
2
2 2
x 2x 1
x 2
x
+ −
− +
= + = +
+ +
+ +
2
3. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Các bạn sử dụng công thức
udv uv vdu.= −
∫ ∫
Như vậy để tìm
f (x)dx
∫
thì
phải nhìn f(x)dx là udv. Giả sử f(x)dx =
1 2
f (x).f (x)dx
với
1
f (x)
là đa thức thì việc
lựa chọn u, dv, hoàn toàn phụ thuộc vào
2
f (x)

. Nếu
2
f (x)
là các hàm lượng giác
ngược, hàm logarit, hàm vô tỉ thì đặt
2
u f (x)=
. Nếu
2
f (x)
là các hàm lượng giác,
hàm mũ thì đặt u =
1
f (x)
. Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và
những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn
cách thích hợp.
Thí dụ 6 : Tìm nguyên hàm :
1.
2
x 1dx−
∫
2.
2
x(ln x) dx
∫
Giải :
1. Đặt
2
u x 1= −

⇒
2
xdx
du
x 1
=
−
; dv = dx ⇐ v = x (chú ý chiều mũi tên này,
hiện nay đang bị viết ngược rất nhiều !). Ta có :
I =
2
2 2 2 2
2 2
x dx dx
x 1dx x x 1 x x 1 x 1dx
x 1 x 1
− = − − = − − − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Lưu ý :
( )
2
2
x
d x 1 x 1 dx
x 1
 
 
− + = +
 

−
 
⇒
2
2 2
dx d( x 1 x)
x 1 x 1 x
− +
=
− − +
, ta có
2
2 2 2
2
1 1 d( x 1 x) 1 1
I x x 1 x x 1 ln x 1 x C
2 2 2 2
x 1 x
− +
= − − = − − − + +
− +
∫
2. Đặt
2
u (ln x)=
⇒
2ln xdx
du
x
=

; dv = xdx ⇐
2
1
v x
2
=
. Khi đó :
2 2
1
I x(ln x) dx (x ln x) x ln xdx.
2
= = −
∫ ∫
Lại đặt u = lnx ⇒
dx
du
x
=
; dv = xdx ⇐
2
1
v x
2
=
, ta có :
2 2 2
1 1 1 1
x ln xdx x ln x xdx x ln x x C
2 2 2 4
= − = − +

∫ ∫
Vậy
2 2 2
1 1 1
I (x ln x) x ln x x C
2 2 4
= − + −
.
Bài tập tương tự
3
Tìm các nguyên hàm của các hàm số :
1.
5
6
x
f (x)
x 1
=
+
;
2.
2
4 3 2
x 1
f (x)
x 2x x 2x 1
+
=
− − + +
;

3.
2 2
sin x cos x
f (x)
a sin x bcos x
=
−
4. f(x) =
sin( x )
;
5.
3
2
x
f (x)
x 4x 3
=
− +
.
6.
1999
2000 1000
x
f (x)
x 2x 3
=
− −
;
7.
4

1
f (x)
cos x
=
.
4