Phương pháp tìm nguyên hàm và tích phân

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng
1.
Caxadx +=
∫
2.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α

(
)
1≠
α

3.
∫
+= Cx
x

dx
ln

4.
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
5.
Cedxe
xx
+=
∫
6.
Cxdxx +=
∫
sin.cos
7.
Cxdxx +−=
∫
cos.sin
8.
∫ ∫
+=+= Ctgxdxxtg
x

dx
)1(
cos
2
2
9.
∫ ∫
+−=+= Cgxdxxg
x
dx
cot)cot1(
sin
2
2

10.
∫
+= Cx
x
dx
2

1.
C
bax
a
dxbax +
+
+
=+

+
∫
1
)(1
)(
1
α
α
α
(
)
1,0 ≠≠ xa

2.
∫
++=
+
Cbax
a
b
ax
dx
ln
1

)0(
≠
a

3.

Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1

)0(
≠
a

4.
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(
)0(
≠
a

5.
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫

)cos(
1
)sin(
)0(
≠
a

6.
∫ ∫
++=
+
dxbaxtg
bax
dx
))(1(
)(cos
2
2

Cbaxtg
a
++= )(
1

)0(
≠
a

7
∫ ∫

++=
+
dxbaxg
bax
dx
))(cot1(
)(sin
2
2

Cbaxg
a
++−= )(
1
cot

)0(
≠
a

8.
∫
++=
+
Cbax
a
bax
dx 2

)0(

≠
a

9.
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22

)0(
≠
a

10.
∫
+++=
+
Caxx

ax
dx
2
2
ln
B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ
I. Tích phân hàm đa thức
1) Tích phân dạng
( )
b
a
A= P x dx
∫

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.
2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân
trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm.
II. Tích phân hàm hữu tỷ
1) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A = dx
n
x
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 2/25
Phương pháp: Chia P(x) cho x
n
để đưa tích phân về dạng
b
a
A = Q , dx
k
a
x
x
 
 
 
∫
trong đó
Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý: +) Hàm số
1
y
x
=
có một nguyên hàm là hàm số
l n
y x
=

+) Hàm số
1

n
y
x
=
(n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số
( )
1
1
1
n
y
n x
−
= −
−

2) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A = dx
ax
b
+
∫

Phương pháp: Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng

( )
b
a
A = Q + dx
ax
k
x
b
 
 
+
 
∫

trong đó Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý: +) Hàm số
1
y
ax b
=
+
có một nguyên hàm là hàm số
1
l n
y
ax b
a
= +
3) Tích phân dạng
(

)
( )
b
a
P x
A = dx ( k , 1 )
a x
k
N k
b
∈ >
+
∫
Phương pháp:
1. Đặt
a x
t b
= +
ta có:
+)
t b
x
a
−
=

+)
dt
dt adx dx
a

= ⇒ =
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng
(
)
b'
a'
A = dt
k
Q t
t
∫

4) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
có hai nghiệm x
1,
x
2

)
Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau:
( )( )
2
1 2
dx dx
A
ax bx c a x x x x
β β
α α
= =
+ + − −
∫ ∫
=
( )( ) ( )
(
)
(
)
( )( )
1 2
1 2 2 1 1 2
1 1
x x x x dx
dx
a x x x x a x x x x x x
β β
α α
− − −
 

 
=
− − − − −
∫ ∫

( ) ( )
( )
2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ln ln |
dx x x x x
a x x x x x x a x x
β
β
α
α
 
− = − − −
 
− − − −
 
∫
Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
có 2 nghiệm x
1

, x
2
thì khi đó f(x)
được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
).
+)
( )( )
1 1 1 1
x m x n m n x m x n
 
= −
 
− − − − −
 
5) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c

vô nghiệm)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 3/25
( )
2
2
2
1
0
2
2
dx dx dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
= = = >
+ +
 
 
 
+ +
+ +

 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ =
⇒
= +

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được
(
)
2
' '
2
' '
1 tan
1 1

tan
C u du
A du
a C u C
a C
β β
α α
+
= =
+
∫ ∫
Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
vô nghiệm , k h i đó ta luôn biểu diễn
tam thức về dạng
2
( )
2
b
f x a x C
a
 
 
= + +
 
 
 

 
 
(C>0).
6) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
có nghiệm kép)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
2 2
2
1 1
2
2 2
dx dx dx b
A x
ax bx ca a a
b b
a x x
a a
β

β β β
α
α α α
 
= = = = − +
 
+ +
 
   
+ +
   
   
∫ ∫ ∫
7) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
có hai nghiệm x

1,
x
2
)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
( )( )
(
)
( )( )
2
1 2 1 2
1
mx n dx mx n dx mx n dx
A
ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + +
= = =
+ + − − − −
∫ ∫ ∫


(
)
( )( )

(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
1
1 2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 1
m x x n mx m x x
mx n
dx dx
a x x x x a x x x x x x x x
mx nm dx dx
a x x a x x x x
β β
α α
β β
α α
 
− + + −
+
= = +
 
− − − − − −
 
+
= +
− − −

∫ ∫
∫ ∫
8) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
vô nghiệm)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2

1
0
2
2
mx n dx mx n dx mx n dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
+ + +
= = = >
+ +
 
 
 
+ +
+ +
 
 
 
 
 
 
 

∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ = ⇒ = +
,
tan
2
b
x C u
a
= −

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+

=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
có nghiệm kép)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 4/25
( ) ( )
2 2 2
2
1 1
2 2
2
2
2 2 2
b m b
mb
m x n
n
mx n dx mx n dx
m dx
a a
a
A dx dx
b
ax bx ca a a
b b b

x
a x x x
a
a a a
β β β β β
α α α α α
   
+ + −
−
   
+ +
   
= = = = +
+ +
     
+
+ + +
     
     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

III. Tích phân hàm vô tỷ
1) Tích phân dạng:
( , , )
n
f ax b x C dx
β
α
+
∫

A =
Phương pháp:
1. Đặt u =
n
ax b+
n
u ax b
⇒ = +
n
u b
x
a
−
⇒
=
1
.
n
n u
dx
du
a
−
⇒
=

2. Đổi cận theo biến mới.
3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ .
2) Tích phân dạng:
2

dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp: Đặt
2
u ax ax bx c
= + + +
(
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b b
ax a ax bx c ax
du a dx dx
ax bx c ax bx c
b b
a ax bx c ax au
dx dx
ax bx cax bx c
 
+ + + + +

 
⇒ = + =
 
+ + + +
 
 
+ + + + +
= =
+ + + +
2
2
dx du
b
ax bx c
au
⇒ =
+ +
+
3) Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
1. Biến đổi:

( )
( )
2
1
0
dx
A k
a
k x m
β
α
= >
−
− +
∫

2. Đặt
sin c o s
2 2
x m k t t dx k tdt
π π
 
+ = − ≤ ≤
⇒
=
 
 

3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được:

' ' '
2 2
' ' '
1 c o s 1 cos 1
cos
cos
sin 1 sin
k tdt tdt tdt
A
t
a a a
k k t t
β β β
α α α
= = =
− − −
− −
∫ ∫ ∫

4) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a dương)
Phương pháp:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 5/25

Đặt:
2
2
2
2
2
ax b
du dx
u ax bx c
ax bx c
b
dv dx
v x
a
+

=


 
= + +
+ +
⇒
 
=



= +



( )
2
2
2
2
2
2
b
ax b x
b
a
A x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
 
+ +
 
 
 
⇒ = + + + −
 
 
+ +
∫

(
)
2
2
2
2
2
2
ax bx C
b
x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
 
= + + + −
 
 
+ +
∫

Ta có:
(
)
(

)
(
)
2 2
1
2 2
2 2 2
2 2
ax bx C ax bx c C c
A dx dx
ax bx cax bx c
β β
α α
+ + + + + −
= =
+ + + +
∫ ∫
2
2
2
C c dx
A
ax bx c
β
α
−
= +
+ +
∫

Vậy t a được:
2
2
2
2 2
b C c dx
A x ax bx cA
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
= + + + − +
 
 
 
 
+ +
 
∫


2
2
1 2
2 2 2

b C c dx
A x ax bx c
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
⇒ = + + + −
 
 
 
+ +
 
∫

Tính
2
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫

(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a âm)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
2
2
2
b c b
A a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
 
= −− − − = − − +
 
 
∫ ∫
1. Đặt
sin c o s
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π

 
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
 
 
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được:
'
2
'
sin cos
A a C C t tdt
β
α
= − −
∫


'
2
'
'
2
'
'
2
'
1 sin .cos
os .cos
os
C a t tdt

C a c t tdt
C a c tdt
β
α
β
α
β
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫
5) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 6/25

( )
2
2
2 2
m bm
ax b n
a a
A dx
ax bx c
β
α
+ + −
=
+ +
∫

(
)
2 2
2
2 2
ax b
m mb dx
dx n
a a
ax bx cax bx c
β β
α α
+
 

+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫

Tính:
(
)
1
2
2ax b
A dx
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
đặt
2
u ax bx c
= + +
Tính
2
2
dx
A
ax bx c

β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
6) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
(
)
(
)
2
2
1 1
2
mx n dx mx n dx
A

a b c a
b
x x
C x
a a
a
β β
α α
+ +
= =
− −
 
− − −
− +
 
 
∫ ∫

1. Đặt
sin c o s
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
 
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
 
 
2. Đổi cận tích phân.

3. Thay vào A được:
'
2
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
sin
b
m C t n C tdt
a
A
a
C C t
β
α
− +
=
−
−
∫

'
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
cos
b
m C t n C tdt

a
t
a
β
α
− +
=
−
∫

'
'
1
( sin )
2
m b
m C t n dt
a
a
β
α
= + −
−
∫
7) Tích phân dạng:
ax b
dx
c x d
β
α

+
+
∫
A =
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
ax b ax b
A dx dx
cx d
ax b cx d
β β
α α
+ +
= =
+
+ +
∫ ∫


( )
2 2
2 2
(2 ) ( )
2 2
2
2 2
a an
mx n b
ax b
m m
dx dx

mx nx k mx nx k
mx n dx
a an dx
b
m m
mx nx kmx nx k
β β
α α
β β
α α
+ + −
+
= =
+ + + +
+
 
+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
Tính
(
)
1
2
2
mx n d x
A

mx nx k
β
α
+
=
+ +
∫
đặt
2
u mx nx k
= + +
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 7/25
Tính
2
2
dx
A
mx nx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
Chú ý: +) Khi dùng tính chất
A A
B
B
=

ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.
8) Tích phân dạng:
( )
2
,
A f ax bx c x dx
β
α
= + +
∫
Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản
m à t a c ó t h ể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:
+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
+) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Cụ thể:
a. Cách 1: Đặt
2
t ax bx c
= + +
b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa
biểu thức dưới dấu tích phân.
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
2 2
( ,
f x a x dx
β
α
−
∫

sin
x a t
=
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
2 2
( ,
f x x a dx
β
α
−
∫
c o s
a
x
t
=

0 ; ;
2 2
t
π π
π
   

∈ ∪
 
 
   
2 2
( ,
f x x a dx
β
α
+
∫
tan
x a t
=
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng:
sin
n
A xdx
β
α
=

∫
hoặc
os
n
A c x d x
β
α
=
∫

Phương pháp:
a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k
∈
N), ta biến đổi như sau:
( )
( )
2 2
1 cos 2 1
sin sin 1 cos 2
2 2
k
k
k
k
k
x
A xdx x dx dx x dx
β β β
α α α
−

 
= = = = −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k
∈
N), ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 1 2 2 2
sin sin .sin sin .sin 1 cos .sin
k k
k k
A xdx x xdx x xdx x x d x
β β β β
α α α α
+
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫

1. Đặt
cos sin sin
u x du x d x xdx du
= ⇒ = − ⇒ = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với
os

n
A c x d x
β
α
=
∫
giải tương tự.
2. Tích phân dạng:
tan
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
cot
n
A xdx
β
α
=
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 8/25
Phương pháp:
a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau:
sin
tan l n cos

c o s
x
A xdx dx x
x
β β
β
α
α α
= = = − 
 
∫ ∫
(Tử là đạo hàm của mẫu)
( )
[ ]
2 2
tan tan 1 1 tan
A x d x x dx x x
β β
β
α
α α
 
= = + − = −
 
∫ ∫
b) Trường hợp
3
n
≥
, ta biến đổi như sau:

( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
tan tan .tan tan . 1 tan 1
tan . 1 tan tan
n n n
n n
A xdx x x d x x x dx
x x dx xdx
β β β
α α α
β β
α α
− −
− −
 
= = = + −
 
= + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tính
( )
2 2
1
tan . 1 tan
n
A x x dx
β

α
−
= +
∫
dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.
Tính
2
2
tan
n
A xdx
β
α
−
=
∫
ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng:
sin
n

dx
A
x
β
α
=
∫
hoặc
os
n
dx
A
c x
β
α
=
∫

Phương pháp:
a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
. . 1 c o t .
sin sin sin sin sin sin
k
k
k k
dx dx dx dx

A x
x x x x x x
β β β
α α α
−
 
= = = = +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 12 2
2 2
sin sin sin
sin sin
sin 1 cos
k k
k k

dx xdx xdx xdx
A
x x
x x
β β β β
α α α α
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
cos sin
u x du xdx
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng
tích phân của hàm hữu tỷ
Trường hợp đối với
cos
n
dx
A
x
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
4. Tích phân dạng:
cos sin

dx
A
a x b x c
β
α
=
+ +
∫

Phương pháp:
1. Đặt
tan
2
x
t =
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 9/25
( )
2 2
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
 
= + = +
⇒

=
 
+
 
2
2 2
1 2
cos , sin
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
5. Tích phân dạng:
sin
c o s sin
x d x
A
a x b x
β
α
=
+
∫
;
cos

c o s sin
x d x
B
a x b x
β
α
=
+
∫

Phương pháp:
Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng
các tổ hợp kết quả sau:
sin co s co s sin
cos sin c o s sin c o s sin
b x d x a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
co s sin c o s sin
ln c o s sin
cos sin c o s sin cos sin
b xdx a x d x b x a x
bB aA dx a x b x
a x b x a x b x a x b x

β β β
β
α
α α α
−
− = − = = +
+ + +
∫ ∫ ∫
Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán.
6. Tích phân dạng:
sin .cos
n m
A x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta
biến đổi như sau:
( )
( )
2 2
2
sin .cos .cos sin . cos .cos
sin . 1 sin .cos
k
n k n
k

n
A x x x d x x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫
Đến đây, ta đặt
sin co s
u x du x d x
= ⇒ =
, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )
'
2 2 ' 2 2
sin .cos sin . c o s
k k
k k
A x xdx x x dx
β β
α α
= =
∫ ∫
Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:
( )
2

2
1 tan
1
du
du x dx dx
t
= +
⇒
=
+
2
2
1
cos
1
x
u
=
+
,
2
2
2
sin
1
u
x
u
=
+

Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ .
7. Tích phân dạng:
2 2
( cos sin ).sin 2
A f a x b x c xdx
β
α
= + +
∫

Phương pháp:
1. Đặt
2 2
c o s sin
u a x b x c
= + +
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 10/25
(
)
(
)
2 .sin .cos sin 2
du b a x xdx b a xdx
= − = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
8. Tích phân dạng:
cos .sin

m n
dx
A
x x
β
α
=
∫

Phương pháp:
a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k')
Ta thực hiện biến đổi như sau:
' 1
2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1
. .
cos .sin co s .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dx
A
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
−
   
= = =
   
   

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
' 1 ' 1
2 2 2
2 2 2
1
1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin c o t sin
k
k k k
dx dx
x x x
x x x
β
α
− −
 
= + + = + +
 
 
∫ ∫
Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x
du
x

= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)
Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )
1 1
2 1 2 2
2 2
co s cos c o s
cos .sin c o s .sin
cos .sin 1 sin .sin
k k
k n k n
n n
dx xdx x d x xdx
A
x x x x
x x x x
β β β β
α α α α
+ +
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
sin c o s
u x du x d x

= ⇒ =
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng:
( )
x
A f e dx
β
α
=
∫
,
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
1. Đổi biến
x
u e
=
, tính dx theo u và du.
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa
thức hoặc hàm số hữu tỷ .

Trường hợp tích phân
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫
tương tự.
2. Tích phân dạng:
(ln )
A f x dx
β
α
=
∫
,
( )
lo g
a
B f x dx
β
α
=
∫

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt:
l n
dx

u x
du
x
dv dx
v x

=
=


⇒
 
=


=

Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm
đa thức hoặc hàm hữu tỷ .
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 11/25
Trường hợp tích phân
( )
l o g
a
B f x dx
β
α
=
∫

tương tự.
VI. Phương pháp tích phân từng p h ần
1. Tích phân dạng:
( )
c o s
A P x xdx
β
α
=
∫
,
( )
sin
B P x x d x
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
c o s sin
u P x du P x dx
dv xdx v x
 = =

 
⇒
 
= =
 
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )
sin ' sin
A P x x P x x d x
β
β
α
α
= −
∫
Để tính tích phân
( )
' sin
P x x d x
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu
được kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
sin
B P x x d x
β

α
=
∫
tương tự.
2. Tích phân dạng:
( )
l n
A P x x d x
β
α
=
∫
,
( )
l o g
a
B P x x d x
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
( )
( ) ( )
l n
dx
du
u x

x
dv P x dx
v P x dx Q x

=
=

 
⇒
 
=



= =

∫
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( )
(
)
l n
Q x
A Q x x dx
x
β
β
α
α
= −

∫

Tích phân
(
)
Q x
dx
x
β
α
∫
: sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính.
Trường hợp tích phân
( )
l o g
a
B P x x d x
β
α
=
∫
tương tự.
3. Tích phân dạng:
( )
x
A P x e dx
β
α
=
∫

,
( )
x
B P x a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
x x
u P x du P x dx
dv e dx v e
 =  =
 
⇒
 
= =
 
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )
'
x x

A P x e P x e dx
β
β
α
α
= −
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 12/25
Để tính tích phân
( )
'
x
P x e dx
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được
kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
x
B P x a dx
β
α
=
∫
tương tự.
4. Tích phân dạng:

co s
x
A x e dx
β
α
=
∫
,
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
co s sin
x x
u x du x d x
dv e dx v e
= = −
 
⇒
 
= =
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
co s sin

x x
A xe x e dx
β
β
α
α
= +
∫
Để tính tích phân
sin
x
xe dx
β
α
∫
ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ
biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A.
Trường hợp tích phân
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫
tương tự.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 13/25
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Tính các tích phân sau đây:

1/I =
1
2
0
( 3 5 1 )
x x dx
− +
∫
2/I =
1
2
1
2
( 2 1 ) ( 3 )
x x x dx
+ − +
∫
3/I =
4
1
1
x dx
x












 
+
∫
4/I =
3
2
4
3tg x dx
π
π
∫

5/I =
4
2
6
(2cotgx 5 ) d x
π
π
+
∫

6/I =
2
0
1 cos x

dx
1 cos x
π
−
+
∫

7/ I =
∫
2
0
π
sin
2
x.cos
2
xdx
8/I =
∫
3
0
π
(2cos
2
x-3sin
2
x)dx
9 / I =
2
2

s i n ( x )
4
d x
s i n (
x )
4
π
− π
π
−
π
+
∫

10 / I =
∫
−
3
6
π
π
(tgx-cotgx)
2
dx
11/ I =
4
4
0
cos x dx
π

∫

12 / I =
2
3
0
sin x dx
π
∫

13*/ I =
3
3
2
3
sin x sin x
cot gxdx
sin x
π
π
−
∫

14/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫

15/I =
∫
3
4
22
2
cos
2
sin
1
π
π
xx
dx
16/I =
∫
4
6
π
π
cotg2x dx
17/I =
2
2
sin x
4
e sin2xdx
π
π

∫

18/ I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx
19/ I =
∫
2
4
4
sin
1
π
π
x
dx
20/ I =
∫
4
0
6

cos
1
π
x
dx
21/I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
π

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 14/25
22/ I =
2
3
0
cos xdx
π
∫

23/ I =
3
2
0
4sinx
dx

1 cosx
π
+
∫

24/ I =
1
3 2
0
x 1 x dx
−
∫

25/I =
1
5 2
0
x 1 x dx
+
∫
26/I =
1
0
x
dx
2x 1+
∫
27/I =
1
x

0
1
dx
e 4+
∫
28/I =
2
x
1
1
dx
1 e
−
−
∫
29/I =
2x
2
x
0
e
dx
e 1+
∫
30/I =
x
1
x
0
e

dx
e 1
−
−
+
∫
31/I =
e
2
1
l n x
dx
x(lnx 1 )+
∫

32/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
33/I =
2
3
2

0
(x 3 ) x 6x 8 dx
− − +
∫
.34/I =
1
2 2
3
1
dx
x 4 x
−
∫
35/I =
4
2
2
1
dx
x 16 x−
∫
36*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9−
∫

37/I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
38/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx
+
∫

39/I =
2
4
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫

40*/I =
2
2

2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫
41/I =
ln 2
x
0
e 1 d x
−
∫
42/I =
1
0
1
dx
3 2x−
∫

43/I =
2
5
0
sin xdx

π
∫

44*/I =
3
0
1
dx
cos x
π
∫
45/I =
2x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫
46/I =
ln 3
x
0
1
dx
e 1+

∫

47/I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
π
π
∫

48/I =
3
2
e
1
l n x 2 l n x
dx
x
+
∫
49/I =
e
1
sin(lnx)
dx
x
∫

50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1 ) dx
−
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 15/25
51/I =
1
2 3
0
( 1 2x)(1 3x 3x ) dx
+ + +
∫

52/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫

53/I =
3
2 2

6
tg x cot g x 2 d x
π
π
+ −
∫
54/I =
1
2 3
0
( 1 x ) dx
−
∫
55*/I =
1
2x
0
1
dx
e 3+
∫
56/I =
x
l n 3
x 3
0
e
dx
(e 1 )+
∫

57/I =
0
2x
3
1
x(e x 1 )d x
−
+ +
∫
58/I =
2
6
3 5
0
1 c o s x sinx.cos xdx
π
−
∫
59*/I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4+
∫

60/I =
4

0
x
dx
1 cos 2x
π
+
∫
61/I =
2x
l n 5
x
l n 2
e
dx
e 1−
∫
62/I =
2
e
1
x 1
.lnx d x
x
+
∫
63/I =
2
1
0
x

dx
(x 1 ) x 1
+ +
∫

64/I =
2
0
sinx.sin2x.sin3xdx
π
∫
65/I =
2
4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx
π
+
∫
66*/I =
2
3 3
0
( cos x sinx)dx
π
−
∫
67/I =
7
3

8 4
2
x
dx
1 x 2x+ −
∫

68*/I =
2
0
4cosx 3sinx 1
dx
4sinx 3cosx 5
π
− +
+ +
∫
69/I =
9
3
1
x. 1 xdx
−
∫
70/I =
2
3
0
x 1
dx

3x 2
+
+
∫
71*/I =
6
0
x
sin dx
2
π
∫
72*/I =
2
0
x
dx
2 x 2 x
+ + −
∫
73/I =
3
3 2
0
x . 1 x dx
+
∫
74**/I =
1
2

0
l n ( 1 x)
dx
x 1
+
+
∫

75/I =
2
0
sinx
dx
sin x cos x
π
+
∫

76/I =
e
1
cos(ln x)dx
π
∫
77*/I =
2
2
0
4 x dx
+

∫
78/I =
2
1
x
dx
1 x 1
+ −
∫
79/I =
e
1
1 3lnx l n x
dx
x
+
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 16/25
80/I =
3
2
2
ln(x x)dx
−
∫
81/I =
e
2

1
( l n x)dx
∫

82/I =
2
e
e
l n x
dx
x
∫

83/I =
2
e
1
l n x
dx
l n x
∫
84/I =
2
2
1
x l n ( x 1 ) d x
+
∫
85/I =
3

2
3
1
dx
x 3+
∫
86/I =
1
2
0
1
dx
4 x−
∫

87/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫

88/I =
3
2
6
l n ( s i n x)
dx
cos x

π
π
∫

89/I =
2
1
cos(ln x)dx
∫
90*/I =
2
2
0
ln( 1 x x)dx
+ −
∫
91*/I =
3
2
2
1
dx
x 1−
∫

92/I =
3
8
1
x 1

dx
x
+
∫
93/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16−
∫

94/I =
6
2
0
cos x
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
95*/I =
2
e
2
e
1 1

( )dx
l n x
l n x
−
∫
96/I =
3
2
4
x 4 dx
−
−
∫
97/I =
2
3 2
1
x 2x x 2 dx
−
− − +
∫
98/I =
3
4
4
cos 2x 1 d x
π
π
+
∫

99/I =
0
cos x sinxdx
π
∫
100/I =
2
0
1 sinxdx
π
+
∫

101/I =
3
4
4
sin2xdx
π
π
∫

102/I =
0
1 sinxdx
π
−
∫
103/I =

1
3
2
1
l n ( x x 1 ) dx
−
 
+ +
 
 
∫
104*/I =
2
0
xsinx
dx
1 cos x
π
+
∫
105*/I =
1
2 x
1
1
dx
(x 1 ) ( 4 1 )
−
+ +
∫

106*/I =
4
1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫

107/I =
2
4
0
xsinxdx
π
∫

108/I =
2
4
0
x cos xdx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 17/25

109/I =
6
2
0
x.sinx cos xdx
π
∫
110*/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)+
∫
111/I =
2x 2
0
e sin xdx
π
∫

112/I =
2
2
1
1
x l n ( 1 )dx
x

+
∫

113/I =
e
2
1
e
l n x
dx
(x 1 )+
∫

114/I =
1
2
0
1 x
x.ln dx
1 x
+
−
∫

115/I =
2
t
1
l n x
dx I 2

x
 
⇒
<
 
 
∫
116/I =
3
0
sinx.ln(cosx)dx
π
∫

117/I =
2
e
2
1
cos (ln x)dx
π
∫

118/I =
4
0
1
dx
cos x
π

∫

119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x
π
∫
120/I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫

121/I =
2
2
sin x 3
0
e .sinxc o s xdx
π
∫
122/I =
2
4

0
sin2x
dx
1 cos x
π
+
∫
123/I =
1
2
0
3
dx
x 4x 5
− −
∫
124/I =
2
2
1
5
dx
x 6x 9
− +
∫
125/I =
1
2
5
1

dx
2x 8x 26
−
+ +
∫
126/I =
1
0
2x 9
dx
x 3
+
+
∫
127/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )
+
∫

128*/I =
0
2
2
sin 2x
dx

(2 sinx)
−π
+
∫

129/I =
1
2
0
x 3
dx
(x 1 ) ( x 3x 2)
−
+ + +
∫
130/I =
1
3
0
4x
dx
(x 1 )+
∫
131/I =
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3 )

+ +
∫

132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3 )
π
+
∫

133/I =
3
3
6
4sinx
dx
1 cos x
π
π
−
∫

134/I =
3
2

6
1
dx
cos x.sin x
π
π
∫

.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 18/25
135/I =
3
0
sinx.tgxdx
π
∫
136/I =
3
4
1
dx
sin2x
π
π
∫
137/I =
3
4
2 2 5

0
sin x
dx
(tgx 1 ) .cosx
π
+
∫
138/I =
3
2 2
3
1
dx
sin x 9cosx
π
π
−
+
∫
139/I =
2
2
cos x 1
dx
cos x 2
π
π
−
−
+

∫
140/I =
2
0
1 sinx
dx
1 3cosx
π
+
+
∫
141/I =
2
0
cos x
dx
sin x cos x 1
π
+ +
∫
142/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )+
∫
143/I =
1

3
3
1
dx
x 4 (x 4)
−
+ + +
∫
144/I =
3
3
0
sin x
dx
cos x
π
∫
145/I =
1
0
x 1 xdx
−
∫
146/I =
6
4
x 4 1
. dx
x 2 x 2
−

+ +
∫
147/I =
0
2
1
1
dx
x 2x 9
−
+ +
∫

148/I =
3
2
1
1
dx
4x x−
∫
149/I =
2
2
1
4x x 5 dx
−
− +
∫
150/I =

2
2
2
2x 5
dx
x 4x 13
−
−
+ +
∫
151/I =
1
x
0
1
dx
3 e+
∫
152/I =
1
4x 2x
2
2x
0
3 e e
dx
1 e
+
+
∫

153/I =
4
2
7
1
dx
x 9 x+
∫

154/I =
2
x 2
0
e sin xdx
π
∫
155/I =
4
2
4 4
0
c o s x
dx
cos x sin x
π
+
∫
156/I =
1
0

3
dx
x 9 x
+ −
∫
157/I =
0
xsinxdx
π
∫
158/I =
2 2
0
x cos xdx
π
∫
159/I =
1
0
c o s x dx
∫
160/I =
1
0
sin x dx
∫
161/I =
2
4
0

xsinx dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 19/25
162/I =
2
4
0
x cos x dx
π
∫
163/I =
2
0
x cos xsinx dx
π
∫
164/I =
6
2
0
x cos xsinx dx
π
∫
165/I =
4
x
1

e dx
∫
166/I =
4
3x
0
e sin4xdx
π
∫
167/I =
2x 2
0
e sin x dx
π
∫
168/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)+
∫
169/I =
e
1
( 1 x)lnx dx
+
∫

170/I =
e
2
1
x l n xdx
∫
171/I =
1
e
2
1
l n x dx
∫
172/I =
e
1
x(2l n x)dx
−
∫
173/I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
l n x
l n x
−
∫

174/I =
2
2
1
(x x)lnxdx
+
∫
175/I =
2
2
1
1
x l n ( 1 )dx
x
+
∫
176/I =
2
5
1
l n x
dx
x
∫

177/I =
e
2
1
e

l n x
dx
(x 1 )+
∫
178/I =
1
2
0
1 x
x ln dx
1 x
+
−
∫
179/I =
2
3
cos x.ln(1 cos x)dx
π
π
−
∫
180/
2
2
sin x 3
0
e sinx cos x dx
π
∫

181/I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫
182/I =
2
4
0
sin2x
dx
1 cos x
π
+
∫
183/I =
2
2
1
5
dx
x 6x 9
− +
∫
184/I =

2
1
0
x 3x 2
dx
x 3
+ +
+
∫
185/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )+
∫
186/I =
1
2
0
l n ( 1 x)
dx
x 1
+
+
∫
187/I
4
1

6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫
188/I =
1
15 8
0
x 1 x dx
+
∫
189/I =
x
1
x x
0
e
dx
e e
−
+
∫
190/I=
e
1
e

l n x dx
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 20/25
.
191/I =
2
sin x
0
(e cos x)cosx dx
π
+
∫
192/I =
2
0
sin 2x.cosx
dx
1 cos x
π
+
∫
193/I =
2
0
sin2x sin x
dx
1 3cosx
π

+
+
∫
194/I =
2
4
0
1 2sinx
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫
195/I =
5 3
3
2
0
x 2x
dx
x 1
+
+
∫
196/I =
3
2
4
tgx

dx
cos x 1 cos x
π
π
+
∫
197/I =
2
2
1
x 1
( ) dx
x 2
−
−
+
∫
198/I =
4
2
0
x.tg x dx
π
∫
199/I =
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −

∫
200/I =
4
1
2
dx
x 5 4
−
+ +
∫
201/I =
2
1
x
dx
x 2 2 x
+ + −
∫
202/I =
2
2
1
l n ( 1 x)
dx
x
+
∫
203/I =
2
0

sin2x
dx
1 cos x
π
+
∫

204/I =
2008
2
2008 2008
0
sin x
dx
sin x c o s x
π
+
∫
205/I =
2
0
sinx.ln(1 cos x)dx
π
+
∫
206/I =
2
3
2
1

x 1
dx
x
+
∫
207/I =
3
4
2
0
sin x
dx
cos x
π
∫
208/I =
2
2
0
cos x.cos 4x dx
π
∫
209/I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫

210/I =
e
2
1
e
l n x
dx
(x 1 )+
∫
211/I =
1
0
1
dx
x 1 x+ +
∫
212/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
213/I =
1
2
0
x

dx
4 x−
∫
214/I =
1
4
2
2
0
x
dx
x 1−
∫
215/I =
2
0
sin3x
dx
cos x 1
π
+
∫
216/I =
2
2
2
2
0
x
dx

1 x−
∫
217/I =
2
2
4
1
1 x
dx
1 x
−
+
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 21/25
218/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
219/I =
x
l n 2
x

0
1 e
dx
1 e
−
+
∫
220/I =
1
0
x 1 x dx
−
∫
221/I =
1
2
0
x 1dx
+
∫
222/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
223/I =
2

3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
224/I =
1
2 2x
0
( 1 x). e dx
+
∫
225/I =
2
2
0
cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
226/I =
7
3
3
0

x 1
dx
3x 1
+
+
∫
227/I =
2
6
1 sin 2x cos 2x
dx
cos x sin x
π
π
+ +
+
∫
228/I =
x 2
1
2x
0
( 1 e )
dx
1 e
+
+
∫
229/I =
3

2 3
0
x ( 1 x)dx
−
∫
230/I =
3
2
2
0
sin x.cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
231/I =
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2
−
− +
∫

232*/I =
2

0
xsinx.cos xdx
π
∫
233/I =
2
0
cos x
dx
cos 2x 7
π
+
∫
234/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )+
∫
235/I =
2
2 3
0
sin2x(1 sin x)dx
π
+
∫
236/I =

2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫
237/I =
4
2
7
1
dx
x x 9+
∫
238/I =
3 4
0
xsinx c o s xdx
π
∫
239/I =
2
3
2
cos x cos x cos xdx
π
π

−
−
∫
240*/I =
1
2
1
l n ( x a x)dx
−
+ +
∫
241/I =
2
x
0
1 sin x
dx
( 1 cos x)e
π
−
+
∫
.
242/I =
2
0
sin2x sin x
dx
c o s 3 x 1
π

+
+
∫
243/I =
4
2 2
0
sin2x
dx
sin x 2cosx
π
+
∫
244/I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x−
∫

.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 22/25
245/I =
2
3

2
2
0
x
dx
1 x−
∫
246/I =
2
1
2
2
2
1 x
dx
x
−
∫
247/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
248/I =
2
2

2
3
1
dx
x x 1−
∫
249/I =
1
5 3 6
0
x ( 1 x ) dx
−
∫
250/I =
2
0
sin x
dx
1 sin x
π
+
∫
251/I =
2
0
cos x
dx
7 c o s 2 x
π
+

∫
252/I =
4
2
1
1
dx
( 1 x)x+
∫
253/I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫
254*/I =
3
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫

255/I =
2
3
2
cos x cos x cos xdx
π
π
−
−
∫
256/I =
3
4
4
tg xdx
π
π
∫

.
257*/I =
2
x
0
1 sinx
e dx
1 cos x
π
+
+

∫
258/I =
1
2 3
0
( 1 x ) dx
−
∫
259/I =
4
2
0
x.tg xdx
π
∫
260/I=
2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫
261/I =
2
1
3
0
3x
dx

x 2+
∫
262*/I =
5
2
5
1
1 x
dx
x(1 x )
−
+
∫
263/I =
3
2
0
cos x
dx
1 sin x
π
−
∫
264/I =
2
3
6
0
sin x
dx

cos x
π
∫
265/I =
3
6
0
sin x sin x
dx
cos 2x
π
+
∫
265/I =
2
3
1
dx
sin x 1 cos x
π
π
+
∫
266/I =
3
6 2
1
1
dx
x ( 1 x )+

∫
267/I =
2
2
0
sin x
dx
cos x 3
π
+
∫
268/I =
2
0
sin x
dx
x
π
∫

.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 23/25
269/I =
2
2
0
sinx c o s x(1 cos x)dx
π
+

∫
270/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫
271/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫
272/I =
2
0
sin x cos x cos x
dx
sin x 2
π

+
+
∫
273/I =
1
1
x
3
a
e
dx
x
∫
274/I =
3 2
1
2
0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
+ + +
+ +
∫
275/I =
3
1
2 3
0
x

dx
(x 1 )+
∫
276/I =
1
3
0
3
dx
x 1+
∫
277*/I =
4
1
6
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
278/I =
1
3
0
x
dx
(2x 1 )+
∫

279/I =
7
2
1
dx
2 x 1+ +
∫
280/I =
3
2
2
1
2
1
dx
x 1 x−
∫
281*/I =
2
1
2
0
x l n ( x 1 x )
dx
1 x
+ +
+
∫
282/I =
4

2
1
(x 1 ) l n x dx
−
∫

283/I =
3
2
0
x l n ( x 1 ) d x
+
∫
284/I =
3
2
2
1
3x
dx
x 2x 1
+ +
∫
285/I =
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2

−
+ + +
∫
286/I =
1
2
2
1
2
1
dx
(3 2x) 5 12x 4x
−
+ + +
∫
287/I =
1
0
1
dx
x 1 x
+ +
∫
288/I =
2
0
cos x
dx
2 c o s 2 x
π

+
∫
289/I =
2
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫
290/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
291/I =
2
5 4
0
cos xsinxdx
π
∫
292/I =
2

4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx
π
+
∫
293/I =
2
0
1
dx
2 sinx
π
+
∫
294/I =
2
0
1
dx
2 c o s x
π
−
∫
295/I =
2
2
2
3
1

dx
x x 1−
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 24/25
296/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
297*/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫
298/I =
3
1
2
0
x

dx
x 1 x
+ +
∫
299/I =
1
2
1
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫
300/I =
3
4
6
1
dx
sin xcos x
π
π
∫
301/I =
2
0
cos x
dx
cos x 1

π
+
∫
302/I =
2
0
cos x
dx
2 c o s x
π
−
∫
303/I =
2
0
sin x
dx
sin x 2
π
+
∫
304/I =
3
2
0
c o s x
dx
cos x 1
π
+

∫
305/I =
2
0
1
dx
2cosx sinx 3
π
+ +
∫
306/I =
2
2
3
c o s x
dx
( 1 cos x)
π
π
−
∫
307/I =
4
3
0
tg x dx
π
∫
308*/I =
1

2x
1
1
dx
3 e
−
+
∫

309*/I =
2
x
sin x
dx
3 1
π
−π
+
∫
310*/I =
2
0
sinx
dx
cos x sin x
π
+
∫
311/I =
4

2
4 4
0
sin x
dx
cos x sin x
π
+
∫
312*/I =
2
2
0
tgx
dx
1 l n ( c o s x)
π
−
∫
313*/I =
2
0
sin x
dx
cos x sin x
π
+
∫
314*/I =
1

x 2
1
1
dx
(e 1 ) ( x 1 )
−
+ +
∫
315*/I =
1
3x 1
0
e dx
+
∫
316*/I =
2
1
2
0
x
dx
x 4+
∫
317*/I =
3
2
4 2
0
cos x

dx
cos 3cosx 3
π
− +
∫
318*/Tìm x> 0 sao cho
2 t
x
2
0
t e
dt 1
(t 2)
=
+
∫

319*/I =
3
2
4
tan x
dx
cos x c o s x 1
π
π
+
∫
320*/I =
1

2
0
3x 6x 1 d x
− + +
∫
321*/I =
4
5
0
tg x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 25/25
HẾT
Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao!
322/I =
4
3
6
cotg x dx
π
π
∫
323/I =
3
4
4
tg x dx

π
π
∫
324*/I =
4
0
1
dx
2 tgx
π
+
∫
325/I =
5
2
0
sin x
dx
cos x 1
π
+
∫
326/I =
3
2
6
c o s 2 x
dx
1 cos 2x
π

π
−
∫

327*/I =
4
2
0
t gx 1
( ) dx
tgx 1
π
−
+
∫
328*/I =
1
3
1
2
x
dx
x 1+
∫
329*/I =
3
3
2
4
1

x x
dx
x
−
∫
330/I =
x
l n 3
x x
0
e
dx
(e 1 ) e 1
+ −
∫
331/I =
1
4
e
2
1
e
1
dx
x cos (ln x 1 )
π
−
+
∫
333*/I =

4
0
l n (1 tgx)dx
π
+
∫