Phương trình bậc cao

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao
Ph ơng trình quy về bậc hai
L u ý : *) Đa thức P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+a
2
x
n-2
++a
n
có nghiệm x= c thì P
n
(x)

(x- c).
*) P
n
(x) có nghiệm hữu tỷ x=
q
p
Thì : p là ớc của a
n
còn q là ớc dơng của a

0
.
1.Dạng bậc ba: a x
3
+bx
2
+cx+d= 0
Ph ơng pháp giải: Thờng nhẩm đợc một nghiệm x=

và đa phơng trình về dạng:
(x-

)(a
1
x
2
+b
1
x+c
1
)=0



=++
=

0
11
2

1
cxbxa
x

giải đợc.
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1. 2x
3
+7x
2
+7x+2= 0
2. (x-3)
3
+(x+1)
3
=8(x-1)
3
B) Giải ph ơng trình sau có tham số:
1. Giải và biện luận: x
3
+(m-3)x
2
-(2m-1)x-3(m+1)= 0 m
R

.
2. Giải phơng trình: x
3
-(m

2
-m-7)x-(3m
2
-3m-18)= 0 biết nó có một nghiệm là 1.
3. Giải và biện luận : x
3
+(x-2)m-8= 0 tuỳ m
R


4. Giải và biện luận: x
3
+2(1-2m)x
2
+(5-7m)x+2(m+5)= 0 m
R

. Biết rằng
nó có nghiệm không phụ thuộc x.
5. Tìm m để: x
3
-3(m+1)x
2
+2(m
2
+4m+1)x-4m(m+1)= 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
6. Tìm m để: x
3
-2(2m+1)x
2

+(3m+1)x-(m+1)= 0 có 3 nghiệm dơng phân biệt.
7. Cho: x
3
-(2a+1)x
2
+(a
2
+2a-b)x-(a
2
-b)= 0. Giải và biện luận theo a, b
R

8. Xác định a,b sao cho: 3x
3
+a x
2
+bx+12= 0 có nghiệm
31
+=
x
2. Dạng: ax
4
+bx
2
+c= 0
Ph ơng pháp giải: Đặt y=x
2
(đk: y

0) Đa về dạng: ay

2
+by+c=0 giải đợc y
Từ y=x
2
giải đợc x.
L u ý: +) Mỗi giá trị y>0 ta đợc 2 giá trị của x=
y

.
+) Nếu x
0
là nghiệm thì (-x
0
) cũng là nghiệm.
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1: (x
2
+x+1)
4
-3(x
2
+x+1)
2
-54=0
2: (x+1)
5
-(x-1)
5
=32x

3: (2x+a)
5
-(2x-a)
5
=242a
5
B) Giải ph ơng trình sau có tham số:
1: Cho mx
4
-2(m-1)x
2
+1= 0
(1)
Tìm m để (1) có : 4 nghiệm; không nghiệm.
2: Định m để: x
4
+(1-2m)x
2
+m
2
-1= 0 có: không ;một,hai,ba nghiệm.
3. Dạng: ax
4
+bx
3
+cx
2


bx+a= 0

Ph ơng pháp giải:
+) Thử trực tiếp x=0
+) Khi x

0 Chia 2 vế cho x
2
đợc:
0)
1
()
1
(
2
2
=++++
c
x
xb
x
xa
.
đặt t=
x
x
1
+

(*)
(đk:
2

t
) thì
2
1
2
2
2
=+
t
x
x

Giải: at
2
+bt+c-2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.
Hoặc +) Khi x

0 Chia 2 vế cho x
2
đợc:
0)
1
()
1
(
2
2
=+++
c

x
xb
x
xa
.
Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao
đặt t=
x
x
1


(*)
thì
2
1
2
2
2
+=+
t
x
x
Giải: at
2
+bt+c+2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.
L u ý: Nếu x
0
0

là nghiệm thì (
0
1
x
) cũng là nghiệm.
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1. x
4
+x
3
-10x
2
+x+1=0
2. 6x
4
+25x
3
+12x
2
-25x+6=0
3. x
4
+x
3
-4x
2
+x+1=0
4. 4x

4
+12x
3
+47x
2
+12x+4=0
5: 2x
4
-21x
3
+34x
2
+105x+50=0
B) Giải ph ơng trình sau có tham số:
1. Định m để: x
4
+mx
3
+mx
2
+mx+1=0 vô nghiệm.
2. Định m để: x
4
+mx
3
+x
2
+mx+1=0 có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.
3. Định m để: x
4

-mx
3
-(2m+1)x
2
+mx+1=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
4: Cho phơng trình 3x
4
-4x
3
+mx
2
+4x+3=0
a) Giải phơng trình khi m=-5.
b) Tìm m để phơng trình vô nghiệm?
4. Dạng: (x+a)
4
+(x+b)
4
=c
Ph ơng pháp giải: Đặt
2
ba
xt
+
+=
(*)
và
m
ba
=

2
ta đợc phơng trình:
(t+m)
4
+(t-m)
4
=c đa về dạng: At
4
+Bt+C=0 giải đợc t từ (*) tìm đợc x.
A) Giải các ph ơng trình sau:
1: (x+4)
4
+ (x+6)
4
= 2
2: (x-4)
4
+ (x-6)
4
= 82
3: (x+5)
4
+ (x+3)
4
= 2
4: (x-5)
4
+ (x-3)
4

= 82.
B) Giải ph ơng trình sau có tham số:
1: Tìm m để: (x+4)
4
+(x+2)
4
= m có nghiệm.
5. Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

= m (*).
Trong 4số a,b,c,d thì tổng 2 số bằng tổng 2 số còn lại.Chẳng hạn a+c=b+d=k.
Ph ơng pháp giải:
(*)

[x
2
+(a+c)x+ac][x
2
+(b+d)x+bd]=0

(x
2
+kx+ac)(x
2
+kx+bd)=0.
Đặt x
2
+kx=t Hoặc x
2
+kx+ac=t Hoặc x

2
+kx+bd=t Hoặc x
2
+kx+
2
bdac
+
=t (*).
Đa về dạng At
2
+Bt+C=0 giải đợc t thay vào (*) đợc x tìm x.
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
2: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x
2
3: Tìm nghiệm nguyên: x(x+1)(x+2)(x+3)= y
2
.
4: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x
2
.
5: (x
2
+3x+2)(x
2
+7x+12)=24.
6: ((3x+4)(x+1)(6x+7)
2
=6.

7: x(x-1)(x-2)(x-3)=120.
8: (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4)=24
B) Giải ph ơng trình sau có tham số:
Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao
1: (2x-3)(2x-4)(2x-5)(2x-6)= m Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= m Giải khi m=24 .Tìm m để hệ vô nghiệm.
6.Dạng: af
2
(x)+bf(x)g(x)+cg
2
(x)= 0
Ph ơng pháp giải:
+) Thử trực tiếp g(x)=0
+) Khi g(x)

0 đặt f(x)=kg(x) (*) đợc: ak
2
+bk+c=0 giải đợc k từ (*) giải đợc x
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1:
0
4
9
46)
2
3
(168)
2

3
(3
2
2
22
=



+

+

+
x
x
x
x
x
x

2:
0
1
4
2
5
)
1
2

()
1
2
(
2
2
22
=





+
+
+
x
x
x
x
x
x
3:
0
1
4
48)
1
2
(5)

1
2
(20
2
2
22
=


+

+

+

x
x
x
x
x
x

7.Dạng:
c
bxfaxf
=
+
+
+
22

)
)(
1
()
)(
1
(
Ph ơng pháp giải: Sử dụng A
2
+B
2
=(A-B)
2
+2AB
Đa phơng trình về dạng:
[ ][ ] [ ][ ]
0
)()(
1
2
)()(
1
)(
2
=
++
+

++

c
bxfaxfbxfaxf
ab
.
Giải đợc
[ ] [ ]
dbxfaxf
=++
)()(
Từ đây tìm đợc f(x)=e giải tìm đợc x.
Luyện tập
A) Giải các ph ơng trình sau:
1)
36
13
)
2
1
()
1
1
(
2

2
2
2
=
++
+
++
xxxx

2)
12
)2(
4
2
2
2
=
+
+
x
x
x

3)
40
)9(
81
2
2
2

=
+
+
x
x
x

4)
15
)1(
2
2
2
=
+
+
x
x
x

5)
1
)1(
2
2
2
=
+
+
x

x
x

6)
11
)5(
25
2
2
2
=
+
+
x
x
x
8.Dạng:
k
cqxax
cpxax
cnxax
cmxax
=
++
++
+
++
++
2
2

2
2
;
k
cqxax
px
cnxax
cmxax
=
++
+
++
++
22
2
;
k
cqxax
px
cnxax
mx
=
++
+
++
22

Ph ơng pháp giải:
+) Thử trực tiếp x=0
+) Khi x

0 Chia cả tử và mẫu cho x đặt
t
x
c
ax
=+
(*) đa về:At
2
+Bt+C=0
Giải đợc t thay vào (*) tìm đợc x.
Luyện tập
Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao
A) Giải các ph ơng trình sau:
1.
1
253
7
23
2
22
=
++

+
xx
x
xx
x

2.
4
1
7
13
3
22
=
++
+
+
xx
x
xx
x

3.
3
8
1
2
14
3
22
=
++

+
xx

x
xx
x

4.
6
32
13
352
2
22
=
++
+
+
xx
x
xx
x
5.
4
1
56
55
54
53
2
2
2
2

=
+
+

+
+
xx
xx
xx
xx

6.
1512
4
156
1510
22
2
+
=
+
+
xx
x
xx
xx
7.
2
24
23

2
2
2
2
2
2
=
++
++
+
++
+
xx
xx
xx
x

8.
1
23
3
22
2
22
2
=
+
+
+
+

xx
x
xx
xx
9.
6
23
13
253
2
22
=
++
+
+
xx
x
xx
x
9.Dạng bình đẳng giữa ẩn và tham số.
Ph ơng pháp giải:
Đa phơng trình từ ẩn x thành dạng ẩn a giải a theo x
sau đó lại giải x theo a.
Luyện tập
Với a là số thực tuỳ ý
1. Giải và biện luận: x
4
-10x
3
-2(a-11)x

2
+2(5a+6)x+2a+a
2
= 0
2. Giải: a
3
x
4
+6a
2
x
2
-x+9a+3= 0 khi a
0

3. Giải và biện luận: x
4
-2ax
2
+x
2
+a
2
-2a+1= 0
4. Giải và biện luận: x
6
-(a
2
+1)x
2

+a= 0
Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.