Quĩ tích Cung chứa góc (rất công phu)

M N
. C
B.
A .
* Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một cung tròn (như hình vẽ).
Các điểm M, N, Q có cùng
thuộc một cung tròn căng dây
AB hay không ?
Giải thích ?
Q
N
M
α
α
α
A
B

.
TIẾT 46 :

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
Cho đoạn thẳng AB và góc α (0
o
< α<180
o
).
Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn

AMB = α .
GT
KL
AMB = α không đổi
AB cố định,
Quỹ tích các điểm M
A B
α
- Xét một nửa mặt phẳng bờ AB
- Giả sử M là điểm thoả mãn AMB = α
(nằm trong nửa mặt phẳng đang xét)
- Xét cung AmB đi qua 3 điểm A, M, B
( SGK )
M
O
d
d
1
m
CUNG CHỨA GÓC

Do đó tâm O phải là giao điểm của :
Đường trung trực
của đoạn thẳng AB cố định
với
Một đường thẳng khác cũng cố định
I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
GT
KL

AMB = α không đổi
AB cố định,
Quỹ tích các điểm M
A B
( SGK )
- Như vậy ta chứng minh O là tâm của
đường tròn chứa cung AmB là một điểm
cố định không phụ thuộc vào M.
!
m
- Xét một nửa mặt phẳng bờ AB
- Giả sử M là điểm thoả mãn AMB = α
(nằm trong nửa mặt phẳng đang xét)
- Xét cung AmB đi qua 3 điểm A, M, B
CUNG CHỨA GÓC
α
M
d
d
1
M’
α
d’
O

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
GT
KL
AMB = α không đổi

AB cố định,
Quỹ tích các điểm M
A B
α
( SGK )
M
α
x
m
n
y
Tìm mối quan hệ giữa
góc xAB và α ?
- Trong nửa mp bờ AB không chứa M, kẻ
tiếp tuyến Ax của đường tròn đi qua ba
điểm A, M, B
lúc này góc tạo bởi Ax và AB
bằng α , do đó tia Ax cố định
- Vậy M thoả AMB = α thuộc cung tròn
AmB cố định
- Tâm O phải nằm trên đường thẳng Ay
vuông góc với Ax tại A.
Mặc khác O phải nằm trên đường trung
trực d của đoạn thẳng AB
Vậy O chính là giao điểm của d và Ay,
nên O cố định
d
CUNG CHỨA GÓC
- Như vậy ta chứng minh O là tâm của
đường tròn chứa cung AmB là một điểm

cố định không phụ thuộc vào M.
- Xét một nửa mặt phẳng bờ AB
- Giả sử M là điểm thoả mãn AMB = α
(nằm trong nửa mặt phẳng đang xét)
- Xét cung AmB đi qua 3 điểm A, M, B
O

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
A B
α
( SGK )
M
α
x
n
y
⇒ M thuộc cung tròn AmB cố định
AB cố định; AMB = α không đổi
m
d
CUNG CHỨA GÓC
- Như vậy ta chứng minh O là tâm của
đường tròn chứa cung AmB là một điểm
cố định không phụ thuộc vào M.
- Xét một nửa mặt phẳng bờ AB
- Giả sử M là điểm thoả mãn AMB = α
(nằm trong nửa mặt phẳng đang xét)
- Xét cung AmB đi qua 3 điểm A, M, B
- Trong nửa mp bờ AB không chứa M, kẻ

tiếp tuyến Ax của đường tròn đi qua ba
điểm A, M, B
lúc này góc tạo bởi Ax và AB
bằng α , do đó tia Ax cố định
- Vậy M thoả AMB = α thuộc cung tròn
AmB cố định
- Tâm O phải nằm trên đường thẳng Ay
vuông góc với Ax tại A.
Mặc khác O phải nằm trên đường trung
trực d của đoạn thẳng AB
Vậy O chính là giao điểm của d và Ay,
nên O cố định
O

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
- Vì AM’B là góc nội tiếp, xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, hai
góc này cùng chắn cung AnB nên : AM’B = xAB = α
AB cố định; M’ thuộc cung AmB
Thì AM’B = α hay không ?
M’
A B
O
α
α
m
n
x
⇒ AM’B = α
b- Phần đảo : (SGK)

CUNG CHỨA GÓC
( SGK )

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
CUNG CHỨA GÓC
( SGK )
AB cố định; M’ thuộc cung AmB
=> AM’B = α
M’
A B
O
α
α
m
n
x
b- Phần đảo : (SGK)

I- BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “CUNG CHỨA GÓC”:
1/ Bài toán :
M
A B
O
α
α
M’
m
m’
O’

Vậy mỗi cung trên được gọi là
một cung chứa góc α dựng trên AB
CUNG CHỨA GÓC
( SGK )