Một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong tin học

Chơng 1

một số vấn đề cơ bản của đồ thị

I. Các định nghĩa đồ thị
1. Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh
này, các loại đồ thị khác nhau đợc phân biệt bởi kiểu và số lợng cạnh nối hai
đỉnh nào đó của đồ thị.
Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U XìX. Bộ G
= <X, U> đợc gọi là đồ thị hữu hạn. Mỗi phần tử xX gọi là một đỉnh và mỗi
phần tử u = (x,y) U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>.
Xét một cạnh u U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y X sao cho u = (x, y), ta nói
rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u.
x

u

y

- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh
kề nhau.
- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.
- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hớng từ x đến y
thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh
vào.
- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng
cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội
y

x

y

x

y

a)
b)
c)
a. Tại đỉnh y có một khuyên b. Một cung có hớng từ x sang y
c. Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song
Hình 1.1
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để
biểu diễn, nh sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lới giao thông, sơ đồ thi
công một công trình.
9


Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô
hình đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy đợc nối với nhau
bằng các dây truyền, chúng tơng ứng là các cạnh của đồ thị. Một mô hình
mạng máy tính nh hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tơng ứng là
các đỉnh, giữa 2 máy đợc nối trực tiếp với nhau thì tơng ứng với 1 cặp đỉnh kề
nhau.
A

B
C

D

Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị
2. Đồ thị đơn
Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ đợc nối với
nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không
có khuyên.
Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn
3. Đa đồ thị
Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh đợc
nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên.
4. Giả đồ thị
Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn. Tóm lại đây
là loại đồ thị tổng quát nhất.
A

B
D

A

B

C
D

a)
Hình 1.3 a. Đa đồ thị

b)

b. Giả đồ thị

II. Các loại đồ thị
1. Đồ thị vô hớng

10

C


Đồ thị G=<X,U> đợc gọi là đồ thị vô hớng nếu tất cả các cạnh e U mà
cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) X không phân biệt thứ tự. Đồ thị vô hớng là đồ
thị không có bất kỳ một cung nào.
Ví dụ: nh hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hớng.
2. Đồ thị có hớng
Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị có hớng nếu tất cả các cạnh e U mà
cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y) X có phân biệt thứ tự. Đồ thị có hớng là đồ thị
mà mọi e = (x, y) X đều là cung.
A

B

C

Hình 2.1 Đồ thị có hớng
3. Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hớng, vừa có cạnh có hớng thì nó đợc gọi là
đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi đợc dùng tới.
Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính
tơng đối, hiện nay vẫn còn cha mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu.

III. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị
1. Bậc đồ thị
1.1 Bậc đồ thị vô hớng
Cho đồ thị vô hớng G = <X,U>. Xét 1 đỉnh x X đặt m(x) là số cạnh thuộc
đỉnh x khi đó m(x) đợc gọi là bậc của đỉnh x. Nếu x có một khuyên thì m(x) đợc cộng thêm 2.
x

x

m(x) = 3

m(x) = 2

- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh cô lập
- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treo
Ta đặt

m(G) = m(x)
x X

thì m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị vô hớng G = <X, U>
1.2 Bậc đồ thị có hớng
11


Cho đồ thị có hớng G= <X,U> xét 1 đỉnh x X, ta ký hiệu m+(x) là số các
cung vào của đỉnh x, còn m-(x) là số các cung ra khỏi x. Khi đó ta gọi m +(x) là
bậc vào của đỉnh x còn m-(x) là bậc ra của đỉnh x.
- Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi đỉnh là cô lập
- Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treo

Ta đặt

m(G) = m + (x) +
x X

m



(x)

x X

Khi đó m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị có hớng G = <X,U>.
Trong đồ thị có hớng thì m+(x) = m-(x) = U
Ví dụ:
- Xét đồ thị vô hớng nh trong hình 1.3.a ta có:
m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10
- Xét đồ thị có hớng trong hình 2.1 ta có:
m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)]
= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8
Định lý:
Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh
của đồ thị, tức là m(G) = 2U .
Chứng minh:
Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2,
nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết
cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý.
Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn
Chứng minh:

Gọi A và B tơng ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị. Ta
có:

2m =

m(x)

xX

=

m(x) + m(x)

xA

xB

Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn. Mà tổng bậc của các đỉnh
bậc chẵn (xA) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (x) phải là số
chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn
các số hạng. Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn.
2. đờng đi và chu trình
2.1 Đờng đi
12


Xét đồ thị G = <X,U> với
- Tập đỉnh X = {x1,x2,...,xn}
- Tập cạnh U = {u1,u2,...,um}
Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj đợc gọi là 1 đờng đi, kí hiệu

xixi1xi2 ... xj xiuixi1ui1xi2ui2 ... ujxj
Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đờng đi có thể lặp lại
Độ dài của đờng đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đờng đi đó.
*Chú ý rằng trong đồ thị có hớng, trên một cung uv chẳng hạn thì đờng đi chỉ
có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngợc lại.
2.2 Chu trình
Xét một đờng đi từ xi - xj. Nếu xi xj thì đờng đi này đợc gọi là một chu
trình. Nh vậy chu trình là một đờng đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng
nhau.
Chú ý rằng đờng đi trong đồ thị có hớng không đợc đi ngợc chiều mũi tên
- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một
lần.
- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần
A

B
D

E
C

Hình 3.1
Ví dụ nh ở hình 3.1 ADBE là một đờng đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;
ABCDBE là đờng đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB
là một đờng đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA
Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đờng đi độ dài 0.
Xét đồ thị có hớng nh hình 2.1 thì ABCB là một đờng đi độ dài 3; CBA
không là một đờng đi vì không có cung đi từ B đến A.
Định lý:
Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( x X

| m(x) 2 ) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình.
Chứng minh:
Xét tất cả các đờng đi đơn. Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đờng đi đơn
là hữu hạn. Chọn một đờng đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1 (xem hình
vẽ dới đây). Theo giả thiết m(x) 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh
nối đỉnh xi1 và xi0. Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đờng đi đã chọn
13


chẳng hạn xij vì đờng đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đờng đi.
xi2

xi1

xi3

xij

xij+1

xi0

3. Đồ thị liên thông
Cho đồ thị G = <X,U>. Hai đỉnh phân biệt x,y X đợc gọi là liên thông nếu
tồn tại một đờng đi nối các đỉnh x, y với nhau. Đồ thị G đợc gọi là liên thông
nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông.
Ví dụ nh hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đờng đi nối hai đỉnh bất
kỳ của đồ thị, còn đồ thị nh hình 3.2 là không liên thông vì không có đờng đi
từ A tới D hoặc từ D tới F v.v..
Xét 2 đồ thị liên thông

G1 = <X1, U1> và G2 = <X2, U2>
Trong đó:
X1 X2 =
và U1 U2 =
Khi đó: X = X1 X2
U = U1 U 2
Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2.
A

B
C

D

E

F

Hình 3.3
Ví dụ nh đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:
G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}
G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}
G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 =
Cho đồ thị có hớng G = <X, U>
- G đợc gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hớng tơng ứng với nó là
liên thông
- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn
có đờng đi x - y hoặc đờng đi y - x.
- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ
của G đều có đờng đi x - y và đờng đi y - x.

14


A

A

B

A

B

B

D

D

D

C

C

C

H2
Hình 3.4

H3

H1

ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi
từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh
khác cũng tơng tự nh vậy. H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có
chiều đi từ D tới A nhng không có chiều đi từ A tới D. H3 là liên thông yếu vì
tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B,
nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông.
4. Đồ thị con và đồ thị bộ phận
Cho đồ thị G = <X,U>
- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh
đó thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là
nếu D = <X',U'> là đồ thị con của G = <X,U> thì X' X và U' U
- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhng giữ nguyên các đỉnh thì phần
còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G.
IV. Các dạng biểu diễn của đồ thị
1. Biểu diễn hình học của đồ thị
Để có cái nhìn trực quan ta thờng biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị
có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Phơng pháp biểu
diễn nh sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô
vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đờng (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm
đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị.
Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó
X = {A, B, C, D, E} và
U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}
A

D

C
B

E

B

E

A

D
C

a)

b)
Hình 4.1
15


Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở
trên
2. Sự đẳng cấu
Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị tởng chừng khác nhau nhng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của cùng
một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận đợc điều đó.
Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = <X2, U2>
Hai đồ thị này đợc gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X 1 vào X2
và từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v) U1 tơng ứng với cạnh e' = (u', v')

U2 thì cặp đỉnh u, v X1 cũng là tơng ứng cặp đỉnh u', v' X2
Ví dụ xét 2 đồ thị G1 và G2 nh hình 4.2
a

b

m

n

d

c

q

p

G1

G2
Hình 4.2

Ta có f : G1 G2
f(a) = m
f(c) = n
f(d) = q
f(b) = p
Nếu a, b X1 kề nhau thì f(a), f(b) X2 kề nhau.
Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G 1 và G2 thực chất chỉ là 1

chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau.
Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không
đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn.
Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến nh sau:
- Số đỉnh bằng nhau
- Số cạnh bằng nhau
- Bậc các đỉnh tơng ứng cùng nh nhau
- 2 Ma trận kề cũng nh nhau
- Các chu trình cũng nh nhau
3. Một số đồ thị đặc biệt
Do tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại
một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau:
16


3.1 Đồ thị đều
Là một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k
- đều

a)

b)

c)

d)

Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều.
Trờng hợp riêng nh đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký
hiệu Cn (n là số đỉnh)

3.2 Đồ thị đầy đủ
Đồ thị đầy đủ n đinh, ký hiệu K n là đơn đồ thị vô hớng mà mọi cặp đỉnh phân
biệt luôn kề nhau. Xem ví dụ nh hình 4.4 dới đây hoặc 1 trờng hợp riêng của
đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ

a)
b)
Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K2 ; b - đồ thị đầy đủ K4
3.3 Đồ thị bánh xe:
Ký hiệu Wn, thu đợc từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh
mới nối tất cả các đỉnh đã có.

W4
W5
Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe

W6

3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt
ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thờng đợc kết nối theo một cách
thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy). Dựa theo đặc điểm của các totolopy
17


này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt. Ví dụ với mạng LAN
các máy tính đợc kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:

Hình 4.6
ở dạng này, tất cả các máy đợc nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ
nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu. Từ đặc điểm

này có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W 6 nh hình
4.7.a

a)
b)
c)
d)
a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete)
Hình 4.7 Một số topolopy của LAN
ở mạng LAN ta cũng thờng có các dạng topolopy khác nh dạng chu trình
(loop) hoặc gọi là vòng. ở dạng này mỗi máy nối đúng với 2 máy khác. Mạng
cục bộ với cấu trúc vòng tròn đợc mô hình bằng các đồ thị đặc biệt dạng vòng
Cn nh hình 4.7.b, thông báo gửi từ máy này sang máy khác theo chu trình vòng
tròn cho tới khi tới đợc máy đích. Hoặc 1 dạng nữa là dạng hỗn hợp, đó là sự
kết hợp của dạng hình sao và hình vòng. Topolopy kiểu này là một đồ thị bánh
xe Wn (hình 4.7.c). Mạng cục bộ dạng bánh xe các máy có thể truyền vòng
quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua bộ phận trung tâm. Ngoài ra ngời ta
cũng thờng hay bố trí mạng sao cho các máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với
kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d)
4. Biểu diễn đồ thị trên máy tính
Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng
dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng
đó. Nên việc biểu diễn và lu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng
18


tâm, phơng thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hởng đến các giải
thuật, phơng pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính.
4.1 Biểu diễn bằng ma trận kề
Phơng pháp này dựa trên mối quan hệ giữa các cặp đỉnh, mỗi đồ thị đợc đặt tơng ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị). Gọi ma trận kề

là A = (aij ) i,j = 1...n.
+ Trờng hợp G = <X,U> là đồ thị vô hớng với X = {x1, x2,...,xn} khi đó mỗi
phần tử aij của ma trận A đợc xác định nh sau: aij = aji = d, nếu cặp đỉnh (x i, xj)
có d cạnh nối với nhau. Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau
thị aij = 0. Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô hớng là ma trận đối xứng.
+ Trờng hợp G = <X,U> là đồ thị có hớng với X = {x1, x2,...,xn} thì mỗi phần
tử aij của A đợc xác định nh sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến xj nếu có
d cung thì aij = d. Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hớng từ xj đến xi. Ma
trận kề trong trờng hợp này là không đối xứng.
Trong 2 trờng hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tơng ứng
của ma trận kề là aii = 1

A

B

C

A
D

B

C

G1

G2
Hình 4.8

Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:
Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn
viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó
M G1

1

1
=
1

0


1
0
2
1

1
2
0
0

0

1
0

0

M G2

0 1 1


= 0 1 0
1 1 0



mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)
Ưu điểm của phơng pháp này là dễ dàng xác định đợc các cặp đỉnh có kề
nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập
phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị.
Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của
đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó.
19


Định lý:
Nếu G = <X,U> là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận
tích AìAì...ìA = As = (Pij)
s lần

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng
đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn
một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền
giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự
phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi

giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn 1 là đã có đờng
truyền dự phòng.
* Chơng trình viết bằng PASCAL sau tính số đờng đi độ dài l nhập từ bàn
phím
Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer;
Var a, b, aa: MaTran;
n,l,x1,x2: Integer;
Procedure InputMt(Var Mt: Matran);
Var i, j: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
Write('a',i,j,'= '); Readln(Mt[i,j]);
End;
End;
Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 <-- Mt1}
Var i,j:Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j];
End;
Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq =
Mt1*Mt2 }
Var i,j,k: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
MtKq[i,j]:=0;
For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j];

20


End;
End;
Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) }
Var i: Integer;
Begin
Gan(a,b);
For i:=1 to m-1 do Begin
TichMt(b,a,aa);
Gan(aa,b);
End;
End;
Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i-->j }
Begin
If aa[i,j]<>0 then
Writeln('So duong di do dai ',l,' tu x',x1,' --> ','x2 ','la: ',aa[i,j])
Else
Writeln('Khong co duong di tu dinh ',i,' toi dinh ',j,' voi do dai ',l);
End;
BEGIN
Writeln('Nhap ma tran ke cho do thi:');
Write('So dinh do thi: '); Readln(n);
InputMt(a);
Write('Dinh xuat phat: '); Readln(x1);
Write('Dinh ket thuc: '); Readln(x2);
Write('Do dai duong di: '); Readln(l);
LthuaMt(l);
FindWay(x1,x2);

END.

4.2 Danh sách cạnh (cung)
Cho đồ thị G = <X, U> với số cạnh m, số đỉnh n. Nếu m < 6n thì G thờng đợc biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung).
Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng). Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e],
Cuoi[e].
1
4

2

1

2

3

3

G1

4

G2
21


Hình 4.9
Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung)
nh sau:

Dau Cuoi
Dau Cuoi
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
3
1
2
4
4
1
3
4
4
2
Danh sách cạnh G1
Danh sách cung G2

Nh vậy để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhợc điểm của phơng
pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trớc
chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và

thờng hay dùng cho đồ thị có hớng.
Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x i theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi.
Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau:

FIRST
1

2

3

2

1

3

4

Nil

3

1

2

4

Nil

4

2

3

Nil

Nil

a) Danh sách kề của đồ thị G1
FIRST
1

2

Nil

2

3

Nil

3

1

Nil

4

2

3

Nil

22


b) Danh sách kề đồ thị G2
Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với
tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị.
Nhợc điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một
cạnh đi từ đỉnh xi tới đỉnh xj có hay không mất O(n). Cách biểu diễn này thích
hợp cho các thuật toán mà cấu trúc đồ thị hay thay đổi nh thêm hoặc bớt các
cạnh.
Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:
Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn
viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó
M G1

1

1
=

1

0


1
0
2
1

1
2
0
0

0

1
0

0

M G2

0 1 1


= 0 1 0
1 1 0

mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)
Ưu điểm của phơng pháp này là dễ dàng xác định đợc các cặp đỉnh có kề
nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập
phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị.
Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của
đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó.
Định lý:
Nếu G = <X,U> là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận
tích AìAì...ìA = As = (Pij)
s lần

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng
đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn
một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền
giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự
phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi
giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn 1 là đã có đờng
truyền dự phòng.
* Chơng trình viết bằng PASCAL sau tính số đờng đi độ dài l nhập từ bàn
phím
Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer;
Var a, b, aa: MaTran;
n,l,x1,x2: Integer;
Procedure InputMt(Var Mt: Matran);

23

Var i, j: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
Write('a',i,j,'= '); Readln(Mt[i,j]);
End;
End;
Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 <-- Mt1}
Var i,j:Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j];
End;
Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq =
Mt1*Mt2 }
Var i,j,k: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
MtKq[i,j]:=0;
For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j];
End;
End;
Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) }
Var i: Integer;
Begin
Gan(a,b);
For i:=1 to m-1 do Begin
TichMt(b,a,aa);
Gan(aa,b);

End;
End;
Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i-->j }
Begin
If aa[i,j]<>0 then
Writeln('So duong di do dai ',l,' tu x',x1,' --> ','x2 ','la: ',aa[i,j])
Else
Writeln('Khong co duong di tu dinh ',i,' toi dinh ',j,' voi do dai ',l);
End;

24


BEGIN
Writeln('Nhap ma tran ke cho do thi:');
Write('So dinh do thi: '); Readln(n);
InputMt(a);
Write('Dinh xuat phat: '); Readln(x1);
Write('Dinh ket thuc: '); Readln(x2);
Write('Do dai duong di: '); Readln(l);
LthuaMt(l);
FindWay(x1,x2);
END.

4.2 Danh sách cạnh (cung)
Cho đồ thị G = <X, U> với số cạnh m, số đỉnh n. Nếu m < 6n thì G thờng đợc biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung).
Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng). Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e],
Cuoi[e].
1
4

2

1

2

3

3

G1

4

G2

Hình 4.9
Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung)
nh sau:
Dau Cuoi
Dau Cuoi
1
2
1
2
1
3
2
3

2
3
3
1
2
4
4
1
3
4
4
2
Danh sách cạnh G1
Danh sách cung G2

Nh vậy để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhợc điểm của phơng
pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trớc
chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và
thờng hay dùng cho đồ thị có hớng.
25


Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x i theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi.
Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau:

FIRST

1

2

3

2

1

3

4

Nil

3

1

2

4

Nil

4

2

3

Nil

Nil

a) Danh sách kề của đồ thị G1
FIRST
1

2

Nil

2

3

Nil

3

1

Nil

4

2

3

Nil

b) Danh sách kề đồ thị G2
Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với
tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị.
Nhợc điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một
cạnh đi từ đỉnh xi tới đỉnh xj có hay không mất O(n). Cách biểu diễn này thích
hợp cho các thuật toán mà cấu trúc đồ thị hay thay đổi nh thêm hoặc bớt các
cạnh.
Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:
Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn
viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó
M G1

1

1
=
1

0


1
0
2
1

1
2
0
0

0

1
0

0

M G2

0 1 1


= 0 1 0
1 1 0



mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)
26


Ưu điểm của phơng pháp này là dễ dàng xác định đợc các cặp đỉnh có kề
nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập
phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị.
Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của

đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó.
Định lý:
Nếu G = <X,U> là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận
tích AìAì...ìA = As = (Pij)
s lần

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng
đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn
một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền
giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự
phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi
giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn 1 là đã có đờng
truyền dự phòng.
* Chơng trình viết bằng PASCAL sau tính số đờng đi độ dài l nhập từ bàn
phím
Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer;
Var a, b, aa: MaTran;
n,l,x1,x2: Integer;
Procedure InputMt(Var Mt: Matran);
Var i, j: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
Write('a',i,j,'= '); Readln(Mt[i,j]);
End;
End;
Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 <-- Mt1}
Var i,j:Integer;
Begin
For i:=1 to n do

For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j];
End;
Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq =
Mt1*Mt2 }
Var i,j,k: Integer;

27


Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
MtKq[i,j]:=0;
For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j];
End;
End;
Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) }
Var i: Integer;
Begin
Gan(a,b);
For i:=1 to m-1 do Begin
TichMt(b,a,aa);
Gan(aa,b);
End;
End;
Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i-->j }
Begin
If aa[i,j]<>0 then
Writeln('So duong di do dai ',l,' tu x',x1,' --> ','x2 ','la: ',aa[i,j])
Else

Writeln('Khong co duong di tu dinh ',i,' toi dinh ',j,' voi do dai ',l);
End;
BEGIN
Writeln('Nhap ma tran ke cho do thi:');
Write('So dinh do thi: '); Readln(n);
InputMt(a);
Write('Dinh xuat phat: '); Readln(x1);
Write('Dinh ket thuc: '); Readln(x2);
Write('Do dai duong di: '); Readln(l);
LthuaMt(l);
FindWay(x1,x2);
END.

4.2 Danh sách cạnh (cung)
Cho đồ thị G = <X, U> với số cạnh m, số đỉnh n. Nếu m < 6n thì G thờng đợc biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung).
Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng). Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e],
Cuoi[e].
28


1
4

2

1

2

3

3

G1

4

G2

Hình 4.9
Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung)
nh sau:
Dau Cuoi
Dau Cuoi
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
3
1
2
4
4
1

3
4
4
2
Danh sách cạnh G1
Danh sách cung G2

Nh vậy để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhợc điểm của phơng
pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trớc
chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và
thờng hay dùng cho đồ thị có hớng.
Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x i theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi.
Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau:

FIRST
1

2

3

2

1

3

4

Nil

3

1

2

4

Nil

4

2

3

Nil

Nil

a) Danh sách kề của đồ thị G1
FIRST
1

2

Nil

3

Nil

1

Nil

2

29
3

Nil


2
3
4
b) Danh sách kề đồ thị G2
Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với
tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị.
Nhợc điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một
cạnh đi từ đỉnh xi tới đỉnh xj có hay không mất O(n). Cách biểu diễn này thích
hợp cho các thuật toán mà cấu trúc đồ thị hay thay đổi nh thêm hoặc bớt các
cạnh.
Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:

Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn
viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó
M G1

1

1
=
1

0


1
0
2
1

1
2
0
0

0

1
0

0

M G2

0 1 1


= 0 1 0
1 1 0



mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)
Ưu điểm của phơng pháp này là dễ dàng xác định đợc các cặp đỉnh có kề
nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập
phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị.
Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của
đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó.
Định lý:
Nếu G = <X,U> là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận
tích AìAì...ìA = As = (Pij)
s lần

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng
đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn
một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền
giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự
phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi
giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn 1 là đã có đờng
truyền dự phòng.
30

* Ch¬ng tr×nh viÕt b»ng PASCAL sau tÝnh sè ®êng ®i ®é dµi l nhËp tõ bµn
phÝm
Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer;
Var a, b, aa: MaTran;
n,l,x1,x2: Integer;
Procedure InputMt(Var Mt: Matran);
Var i, j: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
Write('a',i,j,'= '); Readln(Mt[i,j]);
End;
End;
Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 <-- Mt1}
Var i,j:Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j];
End;
Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq =
Mt1*Mt2 }
Var i,j,k: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
MtKq[i,j]:=0;
For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j];
End;
End;

Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) }
Var i: Integer;
Begin
Gan(a,b);
For i:=1 to m-1 do Begin
TichMt(b,a,aa);
Gan(aa,b);
End;
End;
Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i-->j }

31


Begin
If aa[i,j]<>0 then
Writeln('So duong di do dai ',l,' tu x',x1,' --> ','x2 ','la: ',aa[i,j])
Else
Writeln('Khong co duong di tu dinh ',i,' toi dinh ',j,' voi do dai ',l);
End;
BEGIN
Writeln('Nhap ma tran ke cho do thi:');
Write('So dinh do thi: '); Readln(n);
InputMt(a);
Write('Dinh xuat phat: '); Readln(x1);
Write('Dinh ket thuc: '); Readln(x2);
Write('Do dai duong di: '); Readln(l);
LthuaMt(l);
FindWay(x1,x2);
END.

4.2 Danh sách cạnh (cung)
Cho đồ thị G = <X, U> với số cạnh m, số đỉnh n. Nếu m < 6n thì G thờng đợc biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung).
Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng). Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e],
Cuoi[e].
1
4

2

1

2

3

3

G1

4

G2

Hình 4.9
Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung)
nh sau:
Dau Cuoi
Dau Cuoi
1

2
1
2
1
3
2
3
2
3
3
1
2
4
4
1
3
4
4
2
Danh sách cạnh G1
Danh sách cung G2

32


Nh vậy để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhợc điểm của phơng
pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trớc
chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và

thờng hay dùng cho đồ thị có hớng.
Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x i theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi.
Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau:

FIRST
1

2

3

2

1

3

4

Nil

3

1

2

4

Nil

4

2

3

Nil

Nil

a) Danh sách kề của đồ thị G1
FIRST
1

2

Nil

2

3

Nil

3

1

Nil

4

2

3

Nil

b) Danh sách kề đồ thị G2
Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với
tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị.
Nhợc điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một
cạnh đi từ đỉnh xi tới đỉnh xj có hay không mất O(n). Cách biểu diễn này thích
hợp cho các thuật toán mà cấu trúc đồ thị hay thay đổi nh thêm hoặc bớt các
cạnh.
Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:

33