Bai tap nang cao hinh hoc 9

Bµi tËp n©ng cao h×nh häc 9
Bài tập nâng cao chương I

Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên
(a)
(b)
y

x
9

25

8
x

10

b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)

x

z

y

5
4
Bài 2:
µ = 40 0 , F$ = 580 . Kẻ đường cao EI của tam giác đó.

1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, D
Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
µ = 90 0 , AB = 5, BC = 7.
2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A
3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 :
21.
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C
sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác
của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vò độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
b) Tính sinICJ.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD
= 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.

1

1

1

c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức AD2 + AC2 = AH2 ?
µ = 580, AC = 8.
Bµi 6. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ⊥ AD. BiÕt D
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
µ = 600 . Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
Bài 9: Cho ABC có A
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
1
µ là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=
Bài 7 Cho ABC có A
2
µ = 600
AB.AC.sinA. p dụng: a) Tính S(ABC) biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và A
µ
b) Biết S(ABC) = 5 2 (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của A


µ , B,
µ C
µ theo thứ tự là a,
Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc A

b, c. Chứng minh:

a
b
c
=

=
.
sin A sin B sin C

µ = 1200. Kẻ đường phân giác AD của
Bài 9: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, A
µ . Tính độ dài của AD.
A
·
< 900 ).
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ACD
·
a) Chứng minh : AD2 = CD 2 + CA 2 - 2CD.CA.cos ACD
.
1
3

·
= thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos ACD

tích của tứ giác đó.
µ < 900 ). Kẻ BK ⊥ AC.
Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; A
µ = 2.KBC
·
a) Chứng minh : A
.
A

A

b) Chứng minh : sin A = 2.sin 2 .cos 2 .
2
, tính sinA.
3
µ = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥ BM,
Bài 12: Cho tam giác vuông ABC ( B
·
=
c) Biết sin KBC

CK ⊥ BM.
·
a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC
.

·
MC BH.tg 2 BAC
=
.
MA
BK
µ = 600. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
Bài 13: Cho ABC có A

b) Chứng minh :

a) Chứng minh : KH = BC.cosA.
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.

·
= 450 . Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình
Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a. ACB
vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung
điểm của BC và EG là M và P.
a) Chứng minh AEC = ABG.
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
·
c) Biết BGC
= a . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và a .
Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M ∈
AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo
·
= 0, 75 .
của hình thoi. Biết AB = 7 cm. tgBAC
a) Tính diện tích hình thoi ABCD.
b) Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ
đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó.
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD và
CK ⊥ AB.
a) Chứng minh CKH ~ BCA.
·
b) Chứng minh HK = AC.sin BAD
.
·
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD
= 600 , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
µ = 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF và
Bài 17: Cho ABC ( A
BE.

a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
·
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB
.
Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC
theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
a) Chứng minh CM ⊥ DN.
·
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc CMN
.
·
c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc MDN
và diện tích tam giác MDN.
·
Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC.
·
a) AC cắt BD ở O, tính sin AOD
.
b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.
c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính
diện tích của nó.
Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường
tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.
a) Chứng minh :

4
1

1
=
+
2
2
MB
AM
AN 2

b) Tính số đo các góc của MAB.
µ = 900 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt
Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( A
các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm
của MN và BC là E
và F .
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của EFG.
c) Chứng minh EFG ~ ABC.
Bài 22: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy
điểm O sao cho OH = 2 cm.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho
AM OP ON 2
=
=
= . Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN.
AB OB OC 5

Bài tập nâng cao chương II
1- Đường tròn và sự xác định của đường tròn

1

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); BC = CD = 2 AD = a .
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác đònh tâm O và bán
kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ⊥ OB.
Bài 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.


Bài 3: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn
tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O)
tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
·
a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ABC
; CK, CH là những đường
·
phân giác của góc ACB
.
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.
Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy
điểm M trên cung AC. Hạ MH ⊥ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH.
a) Tìm q tích các điểm P khi M chạy trên cung AC..
b) Tìm q tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến
AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau
theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R.
a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.

c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố đònh khi các
dây AB, CD thay đổi vò trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa
A, D.
·
= 600 . Lấy điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm
Bài 7: Cho góc xOy
vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot).
Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy.
a) Chứng minh DA = EB.
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều.
Xác đònh vò trí của T một cách nhanh nhất.
c) Tìm q tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt
Ox, Oy).
d) Tìm q tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c).
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy
điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK,
đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của
đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:
a) AEF là tam giác cân.
b) DO ⊥ OE.
c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn.
3. V ị trí t ương đối của đường thẳng và đường tròn –
Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến
chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ ,


NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm
Q, Q’.
a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra

O 'Q '

PQ

M 'O ' MP
=
.
M ' P MO

b) Chứng minh rằng Q ' P = QO .
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng.
·
= 600 . Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A,
Bài 9: Cho góc xOy
tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt
Oy tại F.
a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trò không đổi khi M chạy trên cung
nhỏ AB.
·
b) Chứng minh EIF
có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 30 0.
Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD.
b) DB.DA = DC2 = 3R2.
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB
tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.
Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H
là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường
tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E.
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H.
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa
đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt
Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với
By. Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn
hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã
cho.
·
·
a) Chứng minh: BOC
.
= DAE
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
·
·
=1800.
BOC
+ DAE

4. V ị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B.
biết OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D.
a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;
c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;
d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD.
Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai
đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng
·
BD và CE. Chứng minh rằng: a) DME
= 900 ;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC.
Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R) và
một đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ; r1).
a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R.
b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm.
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn
tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính
AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng
DE tại F.
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau
tại A. Đường thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d 2 vuông góc với
d1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’.
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố đònh.

b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm q tích điểm I khi d 1 và d2
thay đổi vò trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau).
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay xung
quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.
a) Chứng minh OB // O’C.
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.
c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M. Tìm q tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi
vò trí nhưng vẫn vuông góc với nhau.
5. Ơn tập chương II
Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tun chung ngoµi
cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm. TiÕp tun chung trong cđa hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i
M.
a) Chøng minh r»ng A, B, C thc ®êng trßn ( M ; BC/2 )
b) §êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®êng trßn ( M ; BC/2 )


c) X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ hai tia
Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D.
Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By. Chøng minh:
a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
c) §êng trßn ngo¹i tiÕp COD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc
vu«ng t¹i O thay ®ỉi
Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tun chung ngoµi MN, PQ ( M,P
n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
a) CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®êng th¼ng OO’.
b) CMR: 4 ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn.

c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA = QB.
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tun xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i mét
®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng.
c) Cho hai ®êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iĨm
M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét
®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2.
Bµi 5: Cho 2 ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®êng th¼ng a c¾t (O) t¹i
C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’.

§2. Tính chất đối xứng

Hướng dẫn giải
x

Bài 2: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE
·
= 60 0 nên dễ dàng chứng minh
b) Vì xOy
·
·
AIB
= DIE
= 120 0

A'

A
O

t

D
I

B'
Ta chứng minh được ATI = BTI
E
B
y
0
T
·
·
Nên ATI = BTI = 60 . Suy ra đó là những tam giác đều.
Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính là tâm
đường tròn qua A, I, B.
c) Ta chứng minh được rằng đường tròn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả sử (T)
cắt IO tại O’ và cắt O’T tại T’.
· ' = 2IO
· ' T ' . Nhưng BTT
·
· T ' . Suy ra ITB
·
· ' B , do đó IO
· ' B = 30 0 .
Ta có ITT
' = 2BO'
= 2IO

· ' B và IOB
·
·
Ta có IOB
có một góc
= 300 . Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì IO
ở vò trí góc ngoài còn góc kia là góc trong của BOO’, như vậy chúng không thể bằng
nhau được. Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O.
PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO ⇒ T thuộc trung trực của OI cố đònh. Để đường tròn
·
·
; TOy
tâm T cắt các tia Ox, Oy thì TOx
là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền trong góc
·uOv xác đònh bởi Ou ⊥ Ox, Ov ⊥ Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực
của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).
PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt
Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh IDA’ = IEB’
⇒ IA’ = IB’).
KẾT LUẬN: Q tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2.
d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz ⊥ AI,
ta chứng minh được Bz ⊥ BT.


Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.
Q tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2.
F
Bài 3
A
D

B

O
I

H

E
C

K

a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng
của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là
trục đối xứng của đường tròn (O). F là giao điểm của AB với (O).
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E.
F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy AEF là tam giác cân.
·
·
·
·
= 2DFO
, EOI
= 2EFO
b) Ta c/m được: DOI
.
0
·
·
Suy ra DOE = 2DFE = 90 hay DO ⊥ OE.

c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO. Vậy D, A, O, E nằm trên một
đường tròn tâm I bán kính DE/2.
Bài 4:
B
A
C

D

D'

O
B'

Ta có C và D đối xứng qua O.
Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố đònh. CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’.
Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’….

§3. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến

O

Bài 9:
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
·
OIB có IOB
= 300 ; ta tính được OB = R 3 ; do đó:
OE + EF + OF = 2R 3 .
Giá trò 2R 3 không phụ thuộc vào vò trí điểm M.

F
E

M

A
B

1·
1·
·
·
·
= 120 0 ; EIM
= AIM
; MIF
= MIB
b) Ta tính được AIB
.
2
2

I

1·
·
·
·
= AIB

hay EIF
= 60 0 . Vậy EIF
Suy ra EIF
có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ

AB.
Bài 10:

2

C
30
A

30
O

B

30

D

·
= 30 0 .
a) Tính số đo các góc, ta được CAO
·
·
·
= 30 0 (chung); ACO

= ADC
= 30 0
Hai tam giác OAC và CAD có CAO
Vậy OAC ~ CAD.
·
= 30 0 (có nhiều cách chứng minh),
b) Tam giác COB là tam giác đều, OCA
·
CBD
= 120 0 . Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD. Suy ra BD = R.


DCB ~ DAC ⇒
Vậy DA.DB = DC2 = 3R2.
Bài 11:

DC DB
=
. Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R.
DA DC
A
P

F

E
B

I

H

J

C

a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường
kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn
đường kính BH.
Ta có IH ⊥ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J).
b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và EF. Ta
có PE = PF = PH = PA.
·
·
Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra IEP
= IHP
= 90 0 . Vậy EF là tiếp tuyến của đường
tròn (I).
· = PHJ
·
Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra PFJ
= 90 0 . Vậy EF là tiếp tuyếAn của đường
tròn (J)
Bài 12:
O
I
B

K

C

H

a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm O
đường kính AI đi qua K.
·
·
= OAK
b) Ta có AOK cân ⇒ AKO
(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
·
·
Ta lại có HK = HB nên HBK
. Từ đó ta c/m được OK ⊥ HK.
= HKB
C
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O.
E
Bài 13:
A
B
a) ACED là hình thang vuông
H O D I
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
·
·
Hai tam giác OHC và IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH

(đv)
= HIE
Suy ra OHC = IEH (c.g.c).
Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.
µ =E
µ = 90 0 , tức là HE ⊥ IE. Vậy HE là tiếp tuyến của đường
c) Do OHC = IEH nên H
B'
tròn tâm I
x
Bài 14: a) Tự giải.
D
A'
b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt nhau tại C)
M
Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của AA’M.
C
I
Vậy CA = CA’. Tương tự DB = DB’.
B
K

A

O


AC

DB

c) Ta có AA’ // BB’. Lại có CA ' = DB' = 1 .Vậy B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: a) CO ⊥ AE tại P, BO ⊥ AD tại Q.
Gọi I là giao điểm của OP và AQ.
µ = 900 ; PIA
·
·
= QIO
Hai tam giác PAI và QOI có: P$ = Q
·
·
Suy ra BOC
.
= DAE
C
A
0
0
$
µ
$
µ
b) Tứ giác AQOP’ có P = Q = 90 hay P + Q = 180
C
P'
0
0
·
·
mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 360 , suy ra BOC' + DAE ' = 180 E'

B

E
I

Q

D

O

§4. Vò trí tương đối của hai đường tròn
D
C
Bài 8:
A
a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB và OO’
O'
cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’. D’ đối xứng của
O
I
D qua O nên D’ thuộc O’.
B
OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’).
D'
AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Nhưng trung điểm của AB là I, nên
CD’ đi qua I. Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD. Vì BA ⊥ OO’ nên BA ⊥ CD.
Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB.

Vì DA ⊥ AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA ⊥ CB. Vậy A là trực tâm của BCD.
Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE)
tiếp xúc nhau tại E.
F
·
·
·
·
b) Ta c/m được ADF
= AED
= FEB
= DFB
·
·
ADF
= DFB
⇒ BF // AD (*)
E
A
B
Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng
I'
Bài 10:
D
C
Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA
O
A
Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với

I
D tại B. Tại A vẽ tiếp tuyến chung nó cắt d tại P, thì PB = PA.
Từ đó ta suy ra cách dựng
B'
P
B
Bài 11:
d1
· ' BA = BAC
·
P
B
= 90 0 ⇒ A’B // AC
a) A
I'

· 'B = O
· ' AC'
OA
Ta có ·
·
· ' B)
OBA ' = O'C'
A = (OA

A'

Do đó OA’B ~ O’AC’
Ta có BOC là đường kính của đường tròn (O),
B’O’C’ là đường kính của đường tròn (O’)

O'C'

O ' B'

P'

I

1

O

C'
A

C
T

I''

M

O'
B'

T'

d2

Ta có BC // B’C’ và OB = OC = 3 nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M.

MO '

O'C

1

Ta lại có MO = OB = 3 . Suy ra M là điểm cố đònh.


M1P

MO '

1

b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M1, ta chứng minh được MP = MO = 3 . Suy ra M1 trùng với M.
·
= 90 0 (A, I cố đònh), đồng thời I không ở miền ngoài của góc PMT.
c) Phần thuận: AIM
Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là
cung I1I2 (khi B ở vò trí P thì C’ ở vò trí P’)
Phần đảo: Lấy I’ trên cung I1I2. Đường thẳng MI’ cắt (O) tại B1, cắt (O’) tại C’1, ta phải
· AC' = 1v và AI’ ⊥ B C* (có thể sử dụng đònh lí đảo của đònh lí Thales)
chứng minh B
1
1
1
1
Kết luận: Q tích điểm I là cung I»1I 2 .
C

0
0
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
E
Bài 13: Ta tính được B + C = 2A ; A + B + C = 180 suy ra A = 60 .
F
I
Ta cũng tính được BC = R 3 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp,
O
B
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC, CD.
D
A
·
·
Trong tam giác IAD vuông tại D ta thấy IAD
= IAF
= 300 ,
1

ID = IF = r, do đó AD = AF = r 3 . Ta có: SABC = p.r = 2 (AB + BC + CA).r
1

= 2 (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r

Trong đó DB+CF = BE + EC = R 3 .Thay các giá trò đã biết và thu gọn ta được
C
SABC = r.(R + r). 3
Bài 14: Ta chứng minh được
1
1
1
DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin α .
2
2
2
ab.sin α
180 0 − α
·
·
R
=
EDC
=
FDC
=
Ta rút ra được
.Ta tính được
.
a+ b
2

Gọi M, N là giao điểm của tiếp tuyến chung tại K với AC và BC thì
180 0 − α
·

KDN
=
. Ta chứng minh được CMN cân tại C nên:
4
α  ab
α


·
MK = KN = R.tg  450 − ÷ =
tg  450 − ÷.sin α . Do đó OK = r = KN.tgKNO
,
4  a+b 
4

180 0 − α
α
ab
α

·
KNO
=
= 450 − . Suy ra r =
.sin α .tg 2  450 − ÷
4
4
a+b
4


M
E
A

N
K

D

F
B