Giao trinh bai tap 7 điện môi và vật dẫn

Trả lời câu hỏi
1. Một vật có khối lượng m1 được đặt trên một tấm ván khối lượng m2; tấm ván lại được đặt trên
mặt phẳng ngang nhẵn. Hệ số ma sát giữa m1 và m2 bằng k. Người ta tác dụng lên tấm ván một lực
có phương nằm ngang, độ lớn F = ct, trong đó c là hằng số còn t là thời gian. Tìm thời điểm lúc tấm
ván bắt đầu trượt đối với vật m1.
m1
m1

fms
F

m2

Khi ma sát là ma sát nghỉ, m1 đứng yên so với m2. Hệ (m1 + m2) chuyển động với gia tốc:
‫ܨ‬
݉ଵ + ݉ଶ

ܽ=

DL 2 cho riêng vật m1 trên phương ngang:
݉ଵ ܽ = ݂௠௦
Suy ra:
݂௠௦ =

݉ଵ
ܿ‫ݐ‬
݉ଵ + ݉ଶ

Để m1 không bị trượt ma sát nghỉ phải không vượt quá giá trị cực đại của nó:
݂௠௦ ≤ ݇ܰ = ݇݉ଵ ݃
Vậy:

݉ଵ
ܿ‫݉݇ ≤ ݐ‬ଵ ݃
݉ଵ + ݉ଶ
.
Vậy thời điểm lúc m1 bắt đầu trượt là:
‫=ݐ‬

1
݇݃ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ
ܿ

2. Vật m nằm ở đỉnh của bán cầu nhẵn cố định bán kính R và được nối với vật M bằng sợi dây nhẹ
không giãn. Hệ được thả không vận tốc đầu. Xác định tỉ số m/M để vật rời bán cầu khi trượt được
góc 45°.

Lê Quang Nguyên

1/10


Trả lời câu hỏi

m
Rg(1 − cos θ)
R

θ

M

Rθ
Khi m bắt đầu rời bán cầu ở vị trí có góc lệch θ phản lực vuông góc N bằng không, DL 2 cho m trên
phương pháp tuyến lúc đó:
݉

‫ݒ‬ଶ
= ݉݃ܿ‫ߠݏ݋‬ሺ1ሻ
ܴ

Định lý động năng cho hệ hai vật giữa vị trí θ và đỉnh bán cầu:
1
ሺ݉ + ‫ܯ‬ሻ‫ ݒ‬ଶ = ܴ݉݃ሺ1 − ܿ‫ߠݏ݋‬ሻ + ‫ߠܴ݃ܯ‬ሺ2ሻ
2

với ܴߠ là độ cao mà M đi xuống khi m trượt xuống góc θ trên bán cầu.
Từ (1) và (2) suy ra:

ሺ݉ + ‫ܯ‬ሻܿ‫ = ߠݏ݋‬2݉ሺ1 − ܿ‫ߠݏ݋‬ሻ + 2‫ߠܯ‬

Đặt x = m/M và θ = π/4 trong biểu thức trên ta có:
ߨ
√2
√2
ሺ1 + ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ቆ1 − ቇ +
2
2
2
Giải phương trình trên ta được:

ߨ − √2

‫ = ݔ‬൫3√2 + 4൯ · ቆ
ቇ ≈ 7.12
2
3. Một hạt khối lượng m, bắt đầu chuyển động từ lúc t = 0 dưới tác dụng của một lực F = F0cos(ωt)
(vectơ), với F0 và ω không đổi. Tính vận tốc cực đại của hạt trên quãng đường hạt đi được tới khi hạt
dừng lại lần đầu tiên?
Gia tốc của hạt trên phương của lực F là:
ܽ=

‫ܨ‬଴
ܿ‫ݐ߱ݏ݋‬
݉

Vì: ܽ = ݀‫ ݒ‬⁄݀‫ ݐ‬, tích phân lên ta có vận tốc hạt:
‫=ݒ‬

‫ܨ‬଴
‫ݐ߱݊݅ݏ‬
݉߱

Lê Quang Nguyên

2/10


Trả lời câu hỏi
Suy ra vận tốc cực đại:
‫ݒ‬௠௔௫ ൌ

‫ܨ‬଴

݉߱

4. Thế năng của một hạt trong một trường lực nào đó có dạng ܷ ൌ ܽ/‫ ݎ‬ଶ െ ܾ/‫ݎ‬, với a, b là những
hằng số dương và r là khoảng cách từ tâm của trường. Xác định (a) vị trí cân bằng của hạt và (b) giá
trị cực đại của lực hút.
Đề bài không nói rõ, nhưng phải coi lực này là lực xuyên tâm, tức là có phương nằm trên ‫ݎ‬Ԧ, mới có
thể giải được.
(a) Vị trí cân bằng của hạt ứng với thế năng cực tiểu:
ܷ݀ 2ܽ ܾ
2ܽ
ൌ ଷ െ ଶ ൌ 0 → ‫ݎ‬଴ ൌ
݀‫ݎ‬
‫ݎ‬
‫ݎ‬
ܾ

(b) Công của lực thế bằng độ giảm thế năng:
‫ܨ‬Ԧ . ݀‫ݎ‬Ԧ ൌ ‫ܨ‬௥ ݀‫ ݎ‬ൌ െܷ݀

Fr là hình chiếu của ‫ܨ‬Ԧ trên phương ‫ݎ‬Ԧ (độ lớn lực F = |Fr|)
Suy ra:
‫ܨ‬௥ ൌ െ

ܷ݀ 2ܽ ܾ
ൌ ଷെ ଶ
݀‫ݎ‬
‫ݎ‬
‫ݎ‬

Dưới đây là giản đồ của Fr ứng với a = 0.5, b = 5. Lực này ở khoảng cách nhỏ là lực đẩy (Fr > 0), còn ở

khoảng cách lớn lại là lực hút (Fr < 0). Khoảng cách rm ứng với lực hút cực đại.

rm

rm được xác định từ ݀‫ܨ‬௥ ⁄݀‫ ݎ‬ൌ 0:
‫ݎ‬௠ ൌ

3ܽ
ܾ

Thay rm vào biểu thức của Fr ta suy ra lực hút cực đại:
‫ܨ‬௠௔௫ ൌ

ܾଷ
27ܽଶ

Lê Quang Nguyên

3/10


Trả lời câu hỏi
5. Một sợi dây mảnh có thể chịu được tải trọng 25 kg. Một vật có khối lượng 3 kg được mắc vào sợi
dây và quay thành một vòng tròn có bán kính 0.8 m trên mặt bàn nằm ngang không ma sát, đầu kia
cố định. Tính khoảng vận tốc mà vật có thể đạt được trước khi dây đứt?
DL 2 cho vật trên phương pháp tuyến:
݉

‫ݒ‬ଶ
ൌܶ

ܴ

Để dây không đứt: ܶ ൑ ܶ௠௔௫ ൌ 250ܰ
Suy ra:
ܴܶ௠௔௫
‫ݒ‬൑ඨ
ൌ 8.16 ݉⁄‫ݏ‬
݉
6. Một vật nhỏ có khối lượng m được thả không vận tốc đầu xuống mặt nghiêng của một chiếc nêm
có khối lượng M và góc nghiêng α. Giả thiết nêm chỉ chuyển động tịnh tiến trên mặt phẳng ngang. Bỏ
qua mọi ma sát. Biết vận tốc của vật ngay trước va chạm là v0. Tìm vận tốc của nêm ngay sau va
chạm, suy ra góc α để vận tốc nêm là lớn nhất.

Chú thích: Để giải cần phải biết phương của vận tốc vật sau va chạm. Do đề bài không nói rõ nên tôi
giả sử va chạm là hoàn toàn đàn hồi, để vận tốc sau va chạm (so với nêm) cũng hợp với pháp tuyến
mặt nghiêng một góc α như hình vẽ.
ሬԦ (1)
Trong hệ quy chiếu mặt đất vận tốc sau va chạm là: ‫ݒ‬Ԧ ൌ ‫ݑ‬
ሬԦ ൅ ܸ
Tổng ngoại lực trên phương ngang bằng không nên động lượng trên phương ngang ngay trước và
sau va chạm được bảo toàn:
0 ൌ ݉‫ݒ‬௫ ൅ ‫ܸܯ‬௫

Từ (1) ta có: ‫ݒ‬௫ ൌ ‫ݑ‬௫ ൅ ܸ௫ ൌ ‫݊݅ݏݑ‬2ߙ െ ܸ
Suy ra: 0 ൌ ݉ሺ‫݊݅ݏݑ‬2ߙ െ ܸሻ െ ‫( ܸܯ‬2)

Không có ma sát nên động năng bảo toàn ngay trước và sau va chạm:
ଵ
݉‫ݒ‬଴ଶ
ଶ

ൌ ݉‫ ݒ‬ଶ ൅ ‫ ܸܯ‬ଶ
ଵ
ଶ

ଵ
ଶ

ሬԦ ൅ ܸ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ ൅ 2‫ݑ‬௫ ܸ௫ ൅ ܸ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ 2‫݊݅ݏݑ‬2ߙܸ ൅ ܸ ଶ
Cũng từ (1) ta có: ‫ ݒ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ ൅ 2‫ݑ‬
ሬԦ. ܸ
Lê Quang Nguyên

4/10


Trả lời câu hỏi
Suy ra: ଶ ݉‫ݒ‬଴ଶ = ଶ ݉ሺ‫ݑ‬ଶ − 2‫݊݅ݏݑ‬2ߙܸ + ܸ ଶ ሻ + ଶ ‫ ܸܯ‬ଶ (3)
ଵ

ଵ

ଵ

Thay u từ (2) vào (3) ta tìm được V:
ܸ=

݉
‫ܯ‬

‫ݒ‬଴

ට1 + ‫ ܭ‬ଶ +

݉
‫ܯ‬

1
1
݉
‫ = ܭ‬൬ܿ‫ ߙݐ݋‬−
൰ ቀ + 1ቁ
2
ܿ‫ܯ ߙݐ݋‬
với

Nhận xét: V cực đại khi K2 = 0, tức là khi α = 45°. Điều này là hợp lý, vì khi đó vật bay ngang sau va
chạm, động lượng giật lùi của nêm sẽ lớn nhất.
Lưu ý: Kết quả trên chỉ khác với đáp án của BM Vật Lý ở biểu thức của K, theo đó:
1
1 ݉
‫ = ܭ‬ቆܿ‫ ߙݐ݋‬−
ቀ + 1ቁቇ
2
ܿ‫ܯ ߙݐ݋‬

Nếu kết quả của BM Vật Lý là đúng thì V cực đại khi K2 = 0, tức là khi α thỏa:
ܿ‫ = ߙݐ݋‬ට1 +

݉

‫ܯ‬

Điều này theo tôi là không hợp lý, vì nếu vật không bay ngang sau va chạm thì làm sao nêm có động
lượng giật lùi cực đại được?
7. Một hạt chuyển động trong mặt phẳng Oxy với vận tốc v có độ lớn không đổi. Hãy xác định gia tốc
của hạt tại vị trí x = 0 nếu quỹ đạo của hạt là một parabol cho bởi y = cx2, với c là một hằng số.
Vận tốc v = hằng số nên gia tốc tiếp tuyến: ܽ௧ = ݀‫ݒ‬/݀‫ = ݐ‬0, vậy gia tốc ܽ = ܽ௡ (gia tốc pháp
tuyến)

Ở vị trí x = 0 (đỉnh hay đáy parabol) tiếp tuyến nằm ngang: phương pháp tuyến là phương y. Vậy tại x
= 0 ta có ܽ = ܽ௡ = ܽ௬
Từ ‫ ݔܿ = ݕ‬ଶ lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t ta được: ‫ݒ‬௬ = 2ܿ‫ݒݔ‬௫ (1)
Lấy đạo hàm hai vế (1) theo thời gian ta có: ܽ௬ = 2ܿ(‫ݒ‬௫ଶ + ‫ܽݔ‬௫ ) (2)
Ở x = 0 từ (1) ta suy ra: ‫ݒ‬௬ = 0. Vậy tại đó ‫ ݒ‬ଶ = ‫ݒ‬௫ଶ

Ở x = 0 từ (2) ta có: ܽ௬ = 2ܿ‫ݒ‬௫ଶ . Nhưng ܽ = ܽ௬ và ‫ ݒ‬ଶ = ‫ݒ‬௫ଶ nên ܽ = 2ܿ‫ ݒ‬ଶ

8. Vật có khối lượng m = 2 kg, đang đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang thì chịu một lực kéo F = 5 N
hướng xiên góc 60° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt và ma sát nghỉ lần lượt là 0,2 và 0,25.
Tính lực ma sát tác dụng lên vật?
Lực kéo trên phương ngang:
‫ܨ‬௫ = ‫ݏ݋ܿܨ‬60° = 2,5ܰ
Lê Quang Nguyên

5/10


Trả lời câu hỏi
Ma sát nghỉ cực đại:

݂௦௠௔௫ = ߤ௦ ܰ = ߤ௦ (݉݃ − ‫݊݅ݏܨ‬60°) = 3,8ܰ

‫ܨ‬௫ < ݂௦௠௔௫ : vật đứng yên, vậy ma sát là ma sát nghỉ:
݂௦ = ‫ܨ‬௫ = 2,5ܰ

9. Một tên lửa có m = 3000 kg được bắn lên từ mặt đất với góc nâng 60°. Động cơ tạo lực đẩy 6×104
N cho tên lửa, có phương không đổi 60° so với phương ngang trong 50 s, sau đó ngừng hoạt động.
Bỏ qua sức cản không khí và khối lượng nhiên liệu. Hãy tính độ cao của tên lửa khi động cơ ngừng
hoạt động?
DL 2 cho tên lửa trên phương y (hướng lên) trong thời gian động cơ hoạt động:
݉ܽ௬ = ‫݊݅ݏܨ‬60° − ݉݃ =

√3
‫ ܨ‬− ݉݃
2

Lấy tích phân ta được thành phần trên phương y của vận tốc (vận tốc đầu bằng không):
‫ݒ‬௬ =

√3‫ܨ‬
‫ ݐ‬− ݃‫ݐ‬
2݉

Lấy tích phân ta được vị trí y (vị trí ban đầu = 0):
‫=ݕ‬

√3‫ ܨ‬ଶ 1 ଶ
‫ ݐ‬− ݃‫ݐ‬
4݉
2

Thay t = 50 s, ta được độ cao khi tên lửa ngừng hoạt động: y ≈ 9,15 km
10. Một con khỉ khối lượng m = 10 kg leo lên một sợi dây không khối lượng, vắt qua một cành cây
không ma sát. Đầu kia của dây được buộc vào một cái thùng khối lượng M = 15 kg đặt trên mặt đất.
Hỏi con khỉ phải leo lên với gia tốc ít nhất là bao nhiêu để thùng được nâng lên khỏi mặt đất?

DL 2 cho con khỉ và cái thùng trên phương y hướng lên:
݉ܽଵ = ܶ − ݉݃ (1)

‫ܽܯ‬ଶ = ܶ − ‫( ݃ܯ‬2)

Để thùng có thể được nâng khỏi mặt đất phải có a2 ≥ 0
Lê Quang Nguyên

6/10


Trả lời câu hỏi
Do đó từ (2) suy ra điều kiện đối với sức căng dây: T ≥ Mg
Thay điều kiện trên vào (1) ta được:
ܽଵ ൒

‫ܯ‬െ݉
݃ ൌ 5 ݉ ⁄‫ ݏ‬ଶ
݉

11. Một đoàn tàu có tổng khối lượng M chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 trên đường ray nằm
ngang. Lực cản ở mỗi toa tàu đều bằng k lần trọng lực và không phụ thuộc vào vận tốc của tàu. Tại
một thời điểm nào đó toa tàu cuối cùng có khối lượng m bị tuột khỏi đoàn tàu, nhưng lực kéo của
đầu tàu vẫn không đổi. Hỏi tại thời điểm toa cuối cùng vừa dừng lại thì vận tốc v của đoàn tàu phía

trước là bao nhiêu?
Lúc đầu lực toàn phần trên phương ngang bằng không do đoàn tàu chuyển động thẳng đều. Nếu gọi
F là lực kéo và x là trục hướng theo chiều chuyển động ta có:
‫ܨ‬௧௢௧,௫ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇‫ ݃ܯ‬ൌ 0 → ‫ ܨ‬ൌ ݇‫݃ܯ‬
Sau khi toa cuối tách rời lực toàn phần tác động lên hệ (đoàn tàu còn lại + toa tách rời) trên phương
ngang vẫn bằng không:
‫ܨ‬௧௢௧,௫ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇ሺ‫ ܯ‬െ ݉ሻ݃ െ ݇݉݃ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇‫ ݃ܯ‬ൌ 0
Do F không thay đổi. Vậy động lượng của hệ trên phương x bảo toàn:
‫ݒܯ‬଴ ൌ ሺ‫ ܯ‬െ ݉ሻ‫ ݒ‬൅ ݉ሺ0ሻ → ‫ ݒ‬ൌ

‫ܯ‬
‫ݒ‬
‫ܯ‬െ݉ ଴

12. Một hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R đang quay với vận tốc ω0 thì được đặt (không
có vận tốc ban đầu) xuống một mặt phẳng nằm ngang. Tìm vận tốc hình trụ khi nó lăn không trượt
trên mặt ngang.

Khi đặt vật xuống mặt ngang lực ma sát trượt làm vận tốc góc ω giảm dần từ giá trị ban đầu ω0,
nhưng lại làm vận tốc tịnh tiến v của khối tâm tăng dần từ 0, cho đến khi v = ωR thì vật bắt đầu lăn
không trượt.
DL 2 cho khối tâm trên phương x (chiều dương hướng sang phải):
݉

݀‫ݒ‬
ൌ ߤ݉݃ሺ1ሻ
݀‫ݐ‬

với μ là hệ số ma sát trượt.
Lê Quang Nguyên

7/10


Trả lời câu hỏi
DL 2 cho chuyển động quay quanh trục:
‫ܫ‬

݀߱
= −ߤܴ݉݃(2)
݀‫ݐ‬

Tích phân hai vế của (1) ta có vận tốc khối tâm v theo t:
‫(ݐ݃ߤ = ݒ‬3)

Tương tự, từ (2) ta có vận tốc góc theo thời gian:
߱ = ߱଴ − 2

ߤ݃
‫(ݐ‬4)
ܴ

trong đó ta đã dùng I = mR2/2.
Khi v = ωR thì vật bắt đầu lăn không trượt. Dùng v và ω từ (3) và (4) ta được:
ߤ݃‫߱ = ݐ‬଴ ܴ − 2ߤ݃‫ݐ‬
Hay:

3ߤ݃‫ = ݐ‬3‫߱ = ݒ‬଴ ܴ
Suy ra:

‫߱ = ݒ‬଴ ܴ ⁄3

13. Một chất điểm chuyển động với phương trình: ‫ = ݔ‬3‫ ݐ‬ଶ − 4‫ ݐ‬ଷ ⁄3 , ‫ = ݕ‬8‫ݐ‬. Xác định bán kính cong
quỹ đạo của chất điểm lúc t = 2s.
Thay t = y/8 vào biểu thức của x ta có phương trình quỹ đạo:
‫=ݔ‬

3 ଶ
1 ଷ
‫ ݕ‬−
‫ ݕ‬ሺ1ሻ
64
384

Bán kính cong của đường cong có phương trình x(y) được xác định từ công thức toán học:
ܴ=ቤ

ሺ1 + ‫ݔ‬′ଶ ሻଷ⁄ଶ
ቤ,
‫ݔ‬′′

‫ݔ‬ᇱ =

Áp dụng cho (1) ta được:
3‫ ݕ ݕ‬ଶ
ቆ1 + ൬32 − 128൰ ቇ
ተ
ܴ=
‫ݕ‬
3

ተ
−
32 64

ଶ ଷ ⁄ଶ

݀‫ݔ‬
݀ଶ‫ݔ‬
‫ ݔ‬ᇱᇱ = ଶ
݀‫ݕ‬
݀‫ݕ‬

ተ
ተ

Lúc t = 2s thì y = 16, thay vào ta có:
ܴ = 8,94݉

Lê Quang Nguyên

8/10


Trả lời câu hỏi
14. Ân có khối lượng 80 kg và Bích có khối lượng nhỏ hơn dạo chơi trên hồ trong một chiếc ca-nô
khối lượng 30 kg. Khi ca-nô đứng yên trên mặt hồ yên tĩnh họ đổi chỗ cho nhau, các chỗ này cách
nhau 3 m và đối xứng qua tâm ca-nô. Ca-nô dịch chuyển 40 cm so với trụ bến thuyền khi họ đổi chỗ.
Tìm khối lượng của Bích.
Đề bài không nói rõ nhưng để giải bài này ta phải bỏ qua lực cản của nước. Vì hai người trên ca-nô di
chuyển chậm nên ca-nô cũng dịch chuyển chậm, khi đó lực cản là rất nhỏ, hoàn toàn có thể bỏ qua

được.
Vì tổng ngoại lực tác dụng lên hệ (ca-nô + hai hành khách) bằng không và lúc đầu hệ đứng yên nên
khối tâm của hệ đứng yên.
Cách 1:
Vì vị trí khối tâm O của hệ không thay đổi nên sau khi đổi chỗ khoảng cách từ A, B và khối tâm C của
ca-nô tới O phải không thay đổi, như minh họa trên hình vẽ. Lưu ý là khối tâm hệ ở gần A hơn vì A có
khối lượng lớn hơn.

Chọn O là gốc tọa độ của trục x hướng sang phải như trên hình vẽ ta có:
2‫ݔ‬஼ ൌ 0,4 → ‫ݔ‬஼ ൌ 0,2
‫ݔ‬஺ ൌ ‫ݔ‬஼ െ 1,5 ൌ െ1,3
‫ݔ‬஻ ൌ ‫ݔ‬஼ ൅ 1,5 ൌ 1,7
Vị trí khối tâm hệ:
0ൌ

݉஺ ‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ‫ݔ‬஻ ൅ ݉஼ ‫ݔ‬஼
→ 80 ൈ ሺെ1,3ሻ ൅ 1,7݉஻ ൅ 30 ൈ 0,2 ൌ 0
݉஺ ൅ ݉஻ ൅ ݉஼

Suy ra:
݉஻ ൌ

80 ൈ 1.3 െ 30 ൈ 0.2
ൌ 57,6݇݃
1.7

Cách 2:

Độ dịch chuyển của khối tâm so với bờ bằng không:
∆‫ݔ‬஼ெ ൌ

݉஺ ∆‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ∆‫ݔ‬஻ ൅ ݉஼ ∆‫ݔ‬஼
ൌ 0 → 80∆‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ∆‫ݔ‬஻ ൅ 60∆‫ݔ‬஼ ൌ 0ሺ1ሻ
݉஺ ൅ ݉஻ ൅ ݉஼

Lê Quang Nguyên

9/10


Trả lời câu hỏi
Độ dịch chuyển của A so với bờ = Độ dịch chuyển của A so với ca-nô + Độ dịch chuyển của ca-nô so
với bờ
∆‫ݔ‬஺ = 3 − 0,4 = 2,6
Độ dịch chuyển của B so với bờ = Độ dịch chuyển của B so với ca-nô + Độ dịch chuyển của ca-nô so
với bờ
∆‫ݔ‬஻ = −3 − 0,4 = −3,4
Thay các độ dịch chuyển trên vào (1) ta suy ra:
݉஻ =

80 × 2,6 − 60 × 0,4
= 57,6݇݃
3,4

Lê Quang Nguyên

10/10