ĐỒ THỊ HÀM SỐ TIẾP XÚC VỚI TRỤC HOÀNH

ĐỒ THỊ HÀM SỐ TIẾP XÚC VỚI TRỤC HOÀNH
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Giáo viên chuyên luyện thi THPT QG tại Hà Nội – ĐT: 0902.920.389
Trước đây, bạn đọc luôn có quan điểm sai lầm rằng tiếp xúc là chạm vào, chàm chạm, nhè nhẹ vào nhau tại
mỗi 1 điểm ta gọi là tiếp xúc như kiểu thế này:

Thật sự quan điểm như vậy là rất sai lầm, bởi cái sự nhè nhẹ và chàm chạm đó chỉ đúng với tiếp tuyến theo định
nghĩa của lớp 9 – 10. Để giúp bạn đọc hiểu hơn, tôi sẽ phân tích đầy đủ như sau:
Chú ý 1: Hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  được gọi là tiếp xúc với nhau nếu hệ phương trình tiếp xúc của
 f  x   g  x 
hai đồ thị sau có nghiệm: 
. Mỗi một nghiệm của hệ phương trình trên cho ta một tiếp điểm và hệ
 f '  x   g '  x 
có bao nhiêu nghiệm sẽ có bấy nhiêu tiếp diểm. Và cũng chính vì vậy, nếu một họ đường cong  Cm  : y  f  x; m 

thỏa mãn điều kiện: f '  x; m   k  const thì các đường cong của họ trên cùng tiếp xúc với nhau và có một tiếp
tuyến chung với hệ số góc k. Hình ảnh mô tả như hình vẽ dưới đây:

Chú ý 2: Do vậy trục hoành (Hay còn gọi là đường thẳng y  0 ) cũng là một dạng đồ thị hàm số và đồ thị hàm
 f  x   0
số tiếp xúc với trục hoành nếu thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm: 
.
 f '  x   0

Mỗi nghiệm thu được là một tiếp điểm cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx  m  1 tiếp xúc trục hoành.
ĐỒ THỊ TIẾP XÚC TRỤC HOÀNH

ĐOÀN TRÍ DŨNG


A. m  1

B. m  2

C. m  1

D. m 

1
2

 x3  3mx  m  1  0 
 x3  3mx  m  1  0 
 x 3  3x 3  x 2  1  0  x  1

Xét hệ phương trình:  2




2
2
3x  3m  0
m  x
m  x
m  1




Rất đơn giản ngọn nhẹ và tôi tin rằng KHÔNG HỀ LÂU HƠN SO VỚI CÁCH THAY ĐÁP ÁN.

Do vậy, ta có thể hiểu rằng, một đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox nếu nghiệm của phương trình f’(x) = 0 cũng
là nghiệm của phương trình f(x) = 0 và thưở phương trình, hệ phương trình còn khỏe mạnh, ta còn gọi
bằng từ thân thương: nghiệm bội. Do vậy ta có các quan điểm sau:


Đồ thị hàm số y  x n với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2, luôn tiếp xúc với trục hoành. Và trục
hoành chính là tiếp tuyến chung của họ đường cong  Cn  : y  x n .



Đồ thị hàm số y  x n với n là số thực không nguyên không thể tiếp xúc với trục hoành mặc dù vẫn có
thể đạo hàm bình thường y '  nx n 1 bởi vì khi n là số thực không nguyên thì hàm số chỉ xác định khi
x0.






Đồ thị hàm số y   x  1 x  2   x  3  x  4  tiếp xúc với trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lần
2

3

4

lượt là x  1, x  2, x  3, x  4 .
Với đồ thị hàm số bậc 3 tiếp xúc trục hoành nếu xảy ra một trong hai điều kiện sau:
o Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai nghiệm thực phân biệt  y1 y2  0 trong đó y1 , y2 là các
giá trị cực đại và cực tiểu.

o Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm phức  Ta
b
 b 
 b 
có f     f '     0 (Chú ý: x  
là hoành độ điểm uốn).
3a
 3a 
 3a 
Với đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương y  ax 4  bx 2  c tiếp xúc trục hoành nếu xảy ra một trong hai
điều kiện sau:
o Đồ thị hàm số có điểm cực trị đơn nằm trên trục hoành: c  0 (Ta gọi cực trị đơn bởi nếu như đồ
thị hàm số có 3 điểm cực trị thì cực đại (khi a  0 ), cực tiểu (khi a  0 ) là cực trị đơn bởi hai
cực trị còn lại giống nhau. Ngoài ra nếu có một cực trị duy nhất ta cũng gọi là cực trị đơn).
o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị còn lại nằm trên trục hoành (Trong trường hợp có 3 cực trị):
ab  0
 2
b  4ac



Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ tiếp xúc với trục hoành.
CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!

ĐỒ THỊ TIẾP XÚC TRỤC HOÀNH

ĐOÀN TRÍ DŨNG