Toàn bộ công thức toán lớp 12 - Luyện Thi Đại Học

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

  0
a / f ( x)  0, x  R  
a  0
  0
b / f ( x)  0, x  R  
a  0
c / x1    x2  af ( )  0

  0

d /   x1  x2  af ( )  0
S
   0
2

  0

e / x1  x2    af ( )  0
S
   0
2
  x1  x2
  0
f /


af ( )  0
 x1  x2  
af ( )  0
g / x1    x2    
af (  )  0
af ( )  0
h / x1      x2  
af (  )  0
af ( )  0
i /   x1    x2  
af (  )  0
b
2
(a  0;  ,   R;    ; S   ;   b  4ac)  x    x  
2
a
j/ 1
 f ( ). f (  )  0
  x1    x2

f ( x)  ax 2  bx  c

lvdoqt 1


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn


  0


af ( )  0

k /   x1  x2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2
2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a  b
*
ac
b  c
*a  b  a  c  b  c
c  0
*
 ac  bc
a  b
c  0
*
 ac  bc
a  b
a  b
*
 ac bd
c  d
*a  c  b  a  b  c
a  b  0

*
 ac  bd
c  d  0
a  b  0
*
 a n  bn
*
n

N

*a  b  0  a  b
*a  b  3 a  3 b
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
 a  a  a a  R

x  a  a  x  a

 a  0

x  a  x  a  x  a
a  b  ab  a  b

(a , b  R )

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không âm):
ab
 ab dấu “=” xảy ra khi a = b
*
2

abc 3
 abc
*
3
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực):
*ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 )
lvdoqt 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
*a1b1  a2b2  c3b3 

a

2
1

 a22  a32  b12  b22  b32  Dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 a3
 
b1 b2 b3

3. Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu un  un1  d
b/Số hạng thứ n: un  u1  (n  1)d
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:

n
n
Sn  (u1  un )  [2u1  (n)d ]
2
2
4. Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu un  un 1.q
b/Số hạng thứ n: un  u1.q n1
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1  qn
Sn  u1
(q  1)
1 q
u
Nếu 1  q  1  lim S n  1
n 
1 q
5. Phương trình, bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối:
* A  B  A  B

B  0
*A B
 A  B
A  B
*A B
 A  B
* A  B  A2  B 2
A  B
*A B

 A  B

lvdoqt 3


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
6. Phöông trình , baát phöông trình chöùa caên thöùc:
( B  0)
A  0
* A B
A  B

B  0
* AB
2
A  B
A  0
* A B
A  B
A  0

* A  B  B  0
 A  B2

 B  0

A  0
* A  B  
B  0


  A  B 2
7. Phöông trình, baát phöông trình logarit:
0  a  1

*log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0
( g ( x)  0)
f(x)=g(x)

hoctoancapba.com
0  a  1
 f ( x)  0

*log a f ( x)  log a g ( x)  
 g ( x)  0
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0

8. Phöông trình , baát phöông trình muõ:
 0  a  1

 f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
*a
a

 a  1

  / f ( x), g ( x)

a  0

*a f ( x )  a g ( x )  
(a  1)  f ( x)  g ( x)  0

lvdoqt 4


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
9. Lũy thừa:
*a .a  .a   a   

a
*   a  
a
*(a )   a




* a  a 


a  a 
*   
b
b
 
*a b  (a.b)
1
*a   
a

k

* a  a a
10. Logarit:0n m

k

n.m

k

n .m

*log a N  M  N  a M
*log a a M  M
*a loga N  N
*N1loga N2  N 2 loga N1
*log a ( N1 N 2 )  log a N1  log a N 2
N 
*log a  1   log a N1  log a N 2
 N2 
*log a N    log a N
*log a N 
*log a N 
*log a b 

1



log a N

log b N
log b a

1
log b a

II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

lvdoqt 5


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
1. Hệ thức cơ bản:
sin 2 x  cos 2 x  1
sin x
tgx 
cos x
cos x
cot gx 
sin x
tgx.cot gx  1
1
1  tg 2 x 
cos 2 x
1
1  cot g 2 x 

sin 2 x
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos( x)  cos x
sin( x)   sin x

tg ( x)  tgx
cot g ( x)   cot gx
Cung bù:
sin(  x)  sin x
cos(  x)   cos x

tg (  x)  tgx
cot g (  x)  tgx
Cung phụ:



sin(  x)  cos x
2



cos(  x)  sin x
2



tg (  x)  cot gx
2



cot g (  x)  tgx
2
Cung hơn kém  :
sin(  x)   sin x
cos(  x)   cos x
tg (  x)  tgx
cot g (  x)  cot gx

lvdoqt 6


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Cung hơn kém




2

sin(  x)  cos x
2



cos(  x)   sin x
2



tg (  x)   cot gx
2



cot g (  x)  tgx
2
3. Công thức cộng:
sin( x  y )  sin x cos y  sin y cos x
cox( x  y )  cos x cos y sin x sin y
tgx  tgy
tg ( x  y ) 
1 tgxtgy
4. Công thức nhân đôi:
sin 2 x  2sin x cos x

cos 2 x  2 cos 2 x  1
 1  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2tgx
tg 2 x 
1  tg 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
1

cos
2x

sin 2 x 
2
5. Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
cos 3 x  4 cos3 x  3cos x
3tgx  tg 3 x
1  3tg 2 x
3cos x  cos 3 x
cos3 x 
4
3sin x  sin 3 x
sin 3 x 
4
tg 3 x 

6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo t  tg

x
2

2t
1 t2
1 t2
cos x 
1 t2
2t
tgx 
1 t2
sin x 

lvdoqt 7


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
1
cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x sin y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
b/Tổng thành tích:
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2sin
sin
2
2
x y
x y

sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin
2
2
sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y
Đặc biệt:





sin x  cos x  2 sin( x  )  2 cos( x  )
4

4





sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)
II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:

lvdoqt 8


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
1. Phương trình cơ bản:
 x  u  k 2
a / sin x  sin u  
 x    x  k 2

sin x  1  x 


2

 k  Z

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

 k 2

 x  u  k 2
b / cos x  cos u  
(k  Z)
 x  u  k 2
cos x  1  x   k 2
cos x  1  x    k 2



k
2
c / tgx  tgu  x  u  k (k  Z )
d / cot gx  cot gu  x  u  k (k  Z )
2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta chuyển về phương trình:
ant n  an1t n1  ......  a0  0
cos x  0  x 

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú ý điều kiện 1  t  1
3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:
a sin x  b cos x  c

Điều kiện để có nghiệm: a 2  b2  c2
Cách giải: Chia hai vế cho a 2  b2 và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  0
Cách giải:
*Xét cos x  0  x 



2

 k có là nghiệmkhông?

*Xét cos x  0 chia 2 vế chia cho cos2x và đặt t= tgx Chú ý: d
5.

1
 d (1  tg 2 x)
2
cos x

Phương trình dạng:
a.(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0



t  sin x  cos x  2 sin( x  )   2  t  2
4
Cách giải: Đặt
và giải phương trình bậc hai

2
t 1
1 t2
 sin x.cos x 
(sin x.cos x 
)
2
2
theo t
III. Hệ thức lượng trong tam giác:

lvdoqt 9


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
1. Đònh lý cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A

b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
b2  c2  a 2
2bc
2
a  c2  b2
cos B 
2ac
2
a  b2  c2
cos C 
2ab

Đònh lý hàm số sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
b2  c2 a 2
ma2 

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2
4
2
2
a  b c2
mc2 

2
4
Công thức độ dài đường phân giác trong:
A

2bc cos
2
la 
bc
B
2ac cos
2
lb 
ac
C
2ab cos
2
lc 
ab
Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B
2
2
2
abc

S  p.r 
4R
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
cos A 

2.

3.

4.

5.

III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1.
Đạo hàm các hàm số thường gặp:

lvdoqt 10


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
1/( x ) '   .x 1
1
2 /( x ) ' 
2 x
1
1
3/ '   2
x
 x

4 /(sin x) '  cos x
5 /(cos x) '   sin x
1
6 /(tgx) ' 
cos 2 x
1
7 /(cot gx) '   2
sin x
x
x
8 /(e ) '  e

12 /(u ) '   .u 1.u '
u'
13 /( u ) ' 
2 u
u'
1
14 /   '   2
u
u
15 /(sin u ) '  u '.cos u
16 /(cos u ) '  u '.sin u
u'
17 /(tgu ) ' 
cos 2 u
u'
18 /(cot gu ) '   2
sin u
u

u
19 /(e ) '  u ' e

9 /(a x ) '  a x ln a
1
10 /(ln x) ' 
x

20 /(a u ) '  u ' a u ln a
u'
21/(ln u ) ' 
u
1
u'
11/(log a x) ' 
22 /(log a u ) ' 
x.ln a
u.ln a
2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

 dx  x  C

 x dx 

x 1
 C (  1)
 1

dx
 ln x  C

x
dx
1
 x2   x  C



 e dx  e
x

Chú ý:

x

 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

x

dx

 sin

C

ax
C
ln a

x
 a dx 

2

x

 tgx  C
  cot gx  C

1

 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C

3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:
a

S   f ( x)  g ( x) dx
b

a

S   f ( y )  g ( y ) dy
b

-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
a

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx
b

lvdoqt 11


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
a

V    f 2 ( y)  g 2 ( y) dy
b

-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm.
IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi
là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm
M thành điểm M’ sao cho MM '  u.
Phép tònh tiến theo vectơ u thường được ký hiệu là T hoặc Tu . Vectơ u được gọi là vectơ






tònh tiến.
Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì
M’N’ = MN
Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn
thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép
tònh tiến theo vectơ u .
Biết tọa độ của u là (a,b). Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
x '  x  a

y'  y b
Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép biến hình không là thay đổi khoảng cách giữa
hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính , biến góc thành góc bằng nó.

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
 Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình
mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a

 Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình
 Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:
x '  x

y'  y
lvdoqt 12


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:
x '  x

y'  y


Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối
Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
 Đònh nghóa phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O cố đònh và góc lượng giác  không
đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’
sao cho OM = OM’ và (OM , OM ')   được gọi là phép quay tâm O góc quay  .






Đònh lý: Phép quay là một phép dời hình

Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghóa là OM  OM '  0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho
phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
 x '  2a  x

 y '  2b  y
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối
xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:
 Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác
ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình
biến tam giác này thành tam giác kia.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB  ( xB  xA , yB  y A )
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
xA  kxB

x

M

1 k
M

 y  y A  kyB
 M
1 k
*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:

MA
 k ( k  1)
MB

lvdoqt 13


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
x A  xB

 xI  2
I
 y  y A  yB
 I
2
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
xA  xB  xC

 xG 
3
G
y


y
B  yC
y  A
G

3
*Cho tam giác ABC có
AB  (a1 ; a2 ), AC  (b1; b2 )
1
a1b2  a2b1
2
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng  :
-Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0
 SABC 

Vectơ pháp tuyến n  ( A; B);
A2  B2  0
 x  x0  at
tR
-Phương trình tham số: 
 y  y0  bt
Vectơ chỉ phương u  (a; b) và qua điểm M(x0; y0)
x  x0 y  y0

-Phương trình chính tắc:
a
b
x y
-Phương trình đoạn chắn:   1

a b
 qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax  By  C  0

A' x  B ' y  C '  0
A. A ' B.B '
Cos 
A2  B 2 . A '2  B '2
c/Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng:
dM /  

Ax0  By 0 C

A2  B 2
d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:
AX  By  C
A' x  B ' y  C '

2
2
A B
A '2  B '2
e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với   t1.t2  0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so với   t1.t2  0
Ax  By1  C
A ' x2  B ' y2  C '
(t1  1
; t2 

)
2
2
A B
A '2  B '2
lvdoqt 14


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R
2
2
 x  a    y  b  R2
-Dạng 2: Phương trình có dạng
x 2  y 2  2ax  2by  c  0
Với điều kiện a 2  b2  c  0 là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính
R  a 2  b2  c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với một đường tròn:
PM /(C )  x02  y02  2ax0  2by0  c

4/Elip:
-Phương trình chinh tắc Elip (E)

x2 y 2

1
a 2 b2

(a  b); c 2  a 2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
-Bán kính qua tiêu:
MF1  a  exM

MF2  a  exM
-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)  ( E )
x0 x y0 y
 2 1
a2
b
-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a
b
2 2
2 2
A a  B b  C2
5/Hypebol:
a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)

x2 y 2

1
a 2 b2

c 2  a 2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
c
-Tâm sai : e   1
a
-Phương trình đường chuẩn: x  

a
e
lvdoqt 15


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
-Phương trình tiệm cận: y  

b
x
a

-Bán kính qua tiêu:
MF1  exM  a
MF2  exM  a

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)  ( E )

x0 x y0 y
 2 1
a2
b
-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a
b
2 2
2 2
A a  B b  C2
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
( P) : y 2  2 px
p
-Tiêu điểm: F ( ;0)
2
p
-Phương trình đường chuẩn: x  
2
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0)  ( P) :
y0 y  p( x0  x)
-Điều kiện tiếp xúc của (P) và    : Ax  By  C  0

2AC  B 2 p
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ
u  ( x; y; z )

v  ( x '; y '; z ')

 y z z x x y 
u , v   
;
;

 
 y' z' z' x' x' y' 
Các ứng dụng:
- u, v cùng phương  u, v   0

- u, v, w đồng phẳng  u , v  .w  0
1
- SABC   AB, AC 
2
-ABCD là tứ diện   AB, AC  . AD  m  0
1
m
6
b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:

- VABCD 

lvdoqt 16


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn

Ax  By  Cz  D  0
n  ( A; B; C )
( A2  B 2  C 2  0)
Dạng 2:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
n  ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

-Phương trình mặt phẳng chắn:
x y z
  1
a b c
((  ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng khác:
( ) : Ax  By  Cz  D  0
là
( ) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
 ( Ax  By  Cz  D)   ( A ' x  B ' y  C ' z  D ')  0
Trong đó  2   2  0
-Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng:
  : Ax  By  Cz  D  0

  : A' x  B ' y  C ' z  D  0
a /        d  A : B : C  A ' : B ' : C '
A B C D



A' B ' B ' D '
A B C
D

c /   //    



A' B ' C ' D '
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
 Ax  By  Cz  D  0

A' x  B ' y  C ' z  D '  0
b /       

b/ Phương trình tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct
0

Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là u  (a; b; c)
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
2
2
2

(a  b  c  0)
4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương là u  (a; b; c) và đường thẳng d’
qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có vectơ chỉ phương là u '  (a '; b '; c ')

lvdoqt 17


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
a / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
 u.u ' .M 0 M '0  0

b / d  d '  I  
a : b : c  a : b ' : c '
c / d d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0  5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và
d / d  d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 
e / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
mặt phẳng trong không gian: trong không gian cho :
x  x0 y  y0 z  z0
d:


a
b
c
  : Ax  By  Cz  D  0
a / d     I  aA  bB  cC  0
b/d

aA  bB  cC  0

 Ax0  By0  Cz0  D  0

   

aA  bB  cC  0
c / d     
 Ax0  By0  Cz0  D  0
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

  : Ax  By  Cz  D  0
 d( M /  ) 

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
M1 ( x1 ; y1 ; z1 )
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
 M 0 M .u 


 dM / d 

u
d:

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x  x0 y  y0 z  z0
:


a
b
c
x  x '0 y  y '0 z  z '0
':


a'
b'
c'

u.u ' .M 0 .M '0


 d /  ' 
u.u '


7/ Góc : hoctoancapba.com
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
lvdoqt 18

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
d : u  (a; b; c)
d ' : u '  (a ', b ', c ')
cos  

u.u '



u . u'

aa ' bb ' cc '
a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

d : u  (a; b; c)

  : n  ( A; B; C )
00    900
sin  

Aa  Bb  Cc

A  B2  C 2 a 2  b2  c 2
- Góc giữa hai mặt phẳng:
  : AX  By  Cz  D  0

2

  : A' x  B ' y  C ' z  D '  0
cos  

AA ' BB ' CC '
A2  B 2  C 2 A '2  B '2  C '2

8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
 x  a    y  b   z  c   R2
Dạng 2: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính R  a 2  b 2  c 2  d
III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt nhau A  a  b
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong các điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( )  ( ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng ( )  (a, A)

c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( )  (a, b)
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ ( )  (a, a ')
Quan hệ song song :
lvdoqt 19


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng  thì d song song
với mặt phẳng 
3/ Nếu d//  , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt  theo một giao tuyến thì giao tuyến đó
cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng
song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì cũng song
song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao
tuyến mới song song nhau
8/ Nếu  //  thì  song song với mọi đường thẳng nằm trong 
9/ Nếu  chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song với  thì  // 
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt
phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng
sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng

vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ
ba thì song song nhau.
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông
góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song

lvdoqt 20


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
OH   

Giả sử OA là đường xiên
 A  d nằm trong 

 

Ta có OA  D  HA  D hoctoancapba.com
O

d
H

A



Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn OH  d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng  là độ dài đoạn OH  
4/ Khoảng cách từ O đến  là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên 
5/ Khoảng cách giữa d //  là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d đến 
6/Khoảng cách giữa  //  là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên  đến 
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường
thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống 
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai
đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với d1

- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

lvdoqt 21


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2/ Thể tích chóp cụt:

B,B' là diện tích 2 đáy
1
B  B ' B.B ' .h 
3
 h là chiều cao hình chóp
3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh
V=





5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Sxq  2 Sđáy
6/ Thể tích hình trụ: V= R 2 h
7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   Ra

1
8/Thể tích hình nón V=  R 2 h
3
9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq 


2

 R  R ' a

1 2
R  R '2  RR '  h

3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq  4 R 2
10/ Thể tích hình nón cụt: V=

4
12 / Thể tích mặt cầu: V=  R 3
3
V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò: Pn  n !  n(n  1)(n  2)...3.2.1
n!
-Chỉnh hợp: Ank 
0  k  n
 n  k !
-Tổ hợp: Cnk 

n!
 n  k !k !

-Các hệ thức cần nhớ:
n !   n  1 !n
Cnk  Cnn  k
C C
k
n

k
n 1

C

0  k  n
0  k  n

k 1
n 1

-Nhò thức Newton:
(a  b)n  Cn0 a nb0  Cn1a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
k 0

  Cnk a n k b k
n

-Các công thức cần nhớ:
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n
Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1) k Cnk  ...  (1) n Cnn  0

lvdoqt 22


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
A
AC
AB
3. tan  =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot  =
(KỀ chia ĐỐI)
AB
AC
1. sin  =

II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

6.



B
H

C

1
1
1


2
2
AH
AB AC2

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA

a
b
c


 2R

sin A sin B sin C

IV. ĐỊNH LÍ SIN
V. ĐỊNH LÍ TALET
a)

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
A

MN // BC

AM AN MN
;


AB AC BC

b)

N

M

AM AN

MB NC

B

C

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =

1
ah
2

b) S =

p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:

a 3
a) Đường cao: h =
;
2

a2 3
b) S =
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông: a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

a 3
a2 3
b) BC = 2AB
c) AC =
d) S =
2
8
B
1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2

A

60 o

30 o

C

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:

S=

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2
lvdoqt 23


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
9. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn)
b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =

2
1

BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

A

N

M
G
B

C

P

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(  ):

d  a; d  b


d ( )
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(  ) Tức là: a  b
a,b  

()  ()

b) ()  ()  a  d  (  )
d
a  d  ()

c) Đt d vuông góc với mp(  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(  )
4. Góc  giữa đt d và mp(  ): d cắt (  ) tại O và A  d
AH  ()
d'
ˆ =
Nếu 
thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH

 H  ( )
5. Góc giữa 2 mp(  ) và mp(  ):
()  ()  AB

Nếu FM  AB;EM  AB
EM  (),FM  ()

ˆ =
thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF

A



O

H


F

E

B

M



A

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ):
Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H  (  ))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp:

V=

1

Bh (diện tích đáy là đa giác)
3
lvdoqt 24


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:
5. Thể tích của khối nón tròn xoay:
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:
8. Diện tích của mặt cầu:
9. Thể tích của khối nón tròn xoay:

VS.ABC SA SB SC

.
.
VS.ABC SA SB SC
Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
1
V = Bh (diện tích đáy là đường tròn)
3
Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
2
V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ)
2
S = 4 R (R: bk mặt cầu )
4 3
V = R (R: bán kính mặt cầu)

3

lvdoqt 25