Tiết 55 công thức nghiệm của phương trình bậc hai

GV Ngun Ngäc H©n


HÃy giải phương trình sau bằng cách biến đổi thành phương
trình có vế trái là bình phương của một biểu thức chứa x, còn
vế phải là một hằng số :

a )3 x − 12 x + 1 = 0
2

b) x 2 − 6 x + 9 = 0
2
c) x + 4 x + 5 = 0

GV Ngun Ngäc H©n


ở bài trước, ta đà biết cách giải
một số phương trình bậc hai một
ẩn. Bài này, một cách tổng quát,
ta sẽ xét xem khi nào phương
trình bậc hai có nghiệm và tìm
công thức nghiệm khi phương
trình có nghiệm.

GV Nguyễn Ngọc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
1. công thức nghiệm.

Cho phương trình : ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)(1)

3 x 2 − 12 x + 1 = 0

(1) ⇔ ax 2 + bx = −c

⇔ 3 x 2 − 12 x = −1
1
⇔ x2 − 4x = −
3

b
c
⇔ x2 + x = −
a
a

b 2 c
b
b 2
⇔ x + 2. .x + ( ) = ( ) −
2a
2a
2a
a
2

b 2 b 2 − 4ac
⇔ (x + ) =
(2)

2
2a
4a

1
⇔ x − 4x + 4 = 4 −
3
11
2
⇔ ( x − 2) =
3
2

b
∆
Ng­êi ta ký hiÖu ∆ = b 2 − 4ac th× (2) ⇔ (x + )2 = 2 (3)
2a
4a

GV Ngun Ngäc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai

b 2

(x + ) = 2 (3)
2a
4a

∆
a) NÕu ∆ > 0 th× từ phương trình (3) suy ra x + b =
2a

2a

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm :
b + ∆
……....
2a

−b − ∆
x 2 = ……....
2a

x1 =
b) NÕu ∆ = 0 thì từ phương trình (3) suy ra
b
x+
=0
2a

b

Do đó phương trình (1) có nghiệm kép x=
2a

HÃy giải thích rõ vì sao < 0 thì phương trình vô nghiƯm ?
GV Ngun Ngäc H©n

Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
Kết luận:
Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vµ biƯt thøc ∆ = b 2 4ac
*Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a

b
*NÕu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 = − .
2a

*NÕu ∆ < 0 th× phương trình vô nghiệm.

GV Nguyễn Ngọc Hân


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
2. áp dụng
Ví dụ : Giải phương trình :
2
3x + 5 x 1 = 0
HÃy xác định các hệ số a, b,
c?

– H·y tÝnh ∆ ?
a = 3 ; b = 5 ; c = –1
∆ = b 2 − 4ac = 52 – 4. 3. (–1)= 25 + 12 = 37 >
0
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biÖt.
− b + ∆ −5 + 37
x1 =
=
2a
6

; x2 =

−b − ∆ −5 − 37
=
2a
6

GV Ngun Ngäc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
Vậy để giải phương trình bậc hai bằng công thức
nghiệm, ta thực hiện qua các bước nào ?
+ Xác định các hệ sè a, b, c.
+ TÝnh ∆.
+ TÝnh nghiƯm theo c«ng thức nếu 0.
+ Kết luận phương trình vô nghiƯm nÕu ∆ < 0.

GV Ngun Ngäc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình :

a )5 x 2 − x − 4 = 0
b)4 x − 4 x + 1 = 0
2

c) − 3 x 2 + x − 5 = 0
a)Ta cã a = 5 ; b = –1 ; c = –4
=
– 4. 5. (–4)= 1 + 80 = 81 > 0, do
∆ = b 2 4ac
(1) 2
đó
phương trình có 2 nghiệm phân biÖt :
−b + ∆ 1 + 81
− b − ∆ 1 − 81
4
x1 =
=
= 1 ; x2 =
=
=−
2a
2.5
2a

2.5
5

GV NguyÔn Ngäc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
b) a = 4 ; b = – 4; c = 1
∆ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4. 4. 1= 16 16 = 0, do đó
phương trình có nghiệm kÐp lµ :

b
4
1
x1 = x 2 = −
=
=
2a 2.4 2
c)a = –3 ; b = 1 ; c = –5
∆ = b 2 − 4ac = 12– 4. (–3). (–5) = 1 60 = 59 <
0, do đó phương trình vô nghiệm.
GV Nguyễn Ngọc Hân


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai
Nếu bài toán chỉ là yêu cầu giải phương trình (không có câu
áp dụng công thức nghiệm )thì ta có thể chọn cách khác
nhanh hơn, ví dụ câu b.

2
a )5 x x − 4 = 0
2
b)4 x − 4 x + 1 = 0
1
2
⇔ (2x – 1) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0⇔ x =
2
NhËn xÐt vỊ dÊu hƯ số a và c của phương trình câu a).
Vì sao phương trình có a và c trái dấu luôn có 2 nghiƯm
ph©n biƯt ?
XÐt ∆ = b 2 − 4ac, nếu a và c trái dấu thì tích ac < 0 ⇒ – 4ac > 0
⇒ ∆ = b 2 4ac> 0 phương trình có 2 nghiệm phân biƯt.
GV Ngun Ngäc H©n


Tiết 55: công thức nghiệm của
Phương trình bậc hai

Hướng dẫn vỊ nhµ
– Häc thc “KÕt ln chung” tr 44. SGK.
– Làm bài tập số 15, 16 SGK tr 45.
Đọc phÇn “Cã thĨ em ch­a biÕt”. SGK tr 46.

GV Ngun Ngäc H©n




HÃy giải phương trình sau bằng cách biến đổi thành phương

trình có vế trái là một bình phương của một biểu thức chứa x,
còn vế phải là một hằng số :

x 2 − 6 x + 2 = 0(1)
(1) ⇔ x 2 − 6 x + 9 = 7
⇔ ( x − 3) = ± 7
x = 3 + 7
⇔
x = 3− 7


⇔ ( x − 3) 2 = 7
 x −3 = 7
⇔
x − 3 = − 7


VËy ph­¬ng trình đà cho có tập nghiệm là:

{

S = 3 + 7;3 − 7

}

GV Ngun Ngäc H©n