Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI
CHIỀU

Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS Bạch Thành Công

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới GS. TS Bạch Thành
Công. Cảm ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ để em hoàn thành đề tài luận văn đạt kết quả
tốt nhất. Em chân thành cảm ơn thầy!
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS. TS Nguyễn Quang Báu cũng các thầy cô trong
bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã ủng hộ và tạo điều kiện để em thuận lợi
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.37 đã hỗ trợ nghiên cứu.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và là
hậu phƣơng vững chắc cho con trong giai đoạn này.
Xin chân thành cảm ơn!

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM ............................................... 5
1.1 HÀM TƢƠNG QUAN THỜI GIAN VÀ HÀM GREEN .............................................. 5
1.1.1

Hàm tương quan thời gian ................................................................................. 5

1.1.2

Hàm Green .......................................................................................................... 7

1.2 BIỂU DIỄN FOURIER CHO HÀM GREEN ............................................................... 9
1.3 BIỂU DIỄN PHỔ CHO HÀM GREEN....................................................................... 11
1.3.1

Biểu diễn phổ cho hàm tương quan ................................................................. 11

1.3.2

Biểu diễn phổ cho hàm Green .......................................................................... 13

1.4 HAMILTONIAN SẮT TỪ VÀ CÁC TOÁN TỬ SPIN .............................................. 17
1.5 SÓNG SPIN: GẦN ĐÚNG PHA NGẪU NHIÊN (RANDOM– PHASE –
APPROXIMATION) ........................................................................................................... 20
CHƢƠNG 2 ............................................................................................................................ 28

ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ TRONG GẦN ĐÚNG
BOGOLYUBOV - TIABLIKOV .......................................................................................... 28
2.1 CHUỖI HÀM GREEN SPIN CHO MÀNG MỎNG TỪ ............................................... 28
2.2 PHƢƠNG TRÌNH CHO ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN ..................................... 32
CHƢƠNG 3 ............................................................................................................................ 35
ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN LỚP VÀ HAI LỚP
SPIN NGUYÊN TỬ ............................................................................................................... 35
3.1 MÀNG MỎNG ĐƠN LỚP SPIN NGUYÊN TỬ CÓ TRAO ĐỔI DỊ HƢỚNG …… 35
3.2 ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ HAI LỚP ........... 41
3.2.1

Hệ phương trình cho hàm Green phụ thuộc chỉ số lớp spin........................... 41

3.2.2

Trường hợp trao đổi dị hướng cả trong các lớp và giữa hai lớp spin............. 47

KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 54
PHỤ LỤC ................................................................................................................................ 54


MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài:

Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh
cao sôi động nhất trong thời gian gần đây. Điều đó đƣợc thể hiện bằng số các công

trình khoa học, số các bằng phát minh sáng chế, số các công ty có liên quan đến khoa
học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ. Con số ƣớc tính về số tiền đầu tƣ vào
lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ đô la vào năm 2004. Khi ta nói đến nano là nói đến một
phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng một phần tỷ
của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, một phần tỷ
của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thƣớc nm vì yếu tố quan
trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn.
Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thƣớc nano mét
(nm). Về trạng thái của vật liệu, ngƣời ta phân chia thành ba trạng thái rắn, lỏng và
khí. Vật liệu nano đƣợc tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu rắn, sau đó
mới đến chất lỏng và chất khí. Về hình dáng vật liệu, ngƣời ta phân ra thành các loại
sau:
Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thƣớc nano), ví dụ: đám
nano, hạt nano, …
Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thƣớc nano, ví
dụ: dây nano, ống nano, …
Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thƣớc nano, ví dụ:
màng mỏng, …
Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có
một phần của vật liệu có kích thƣớc nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều,
một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau.
Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ của khoa học
và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn... với nhiều khả năng ứng dụng to lớn trong đời
sống hàng ngày, trong sản xuất. Màng mỏng (tiếng Anh: Thin film) là một hay nhiều
lớp vật liệu đƣợc chế tạo sao cho chiều dày nhỏ hơn rất nhiều so với các chiều còn lại
1


(chiều rộng và chiều dài). Khái niệm "mỏng" trong màng mỏng rất đa dạng, có thể chỉ
từ vài lớp nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng micromet. Khi chiều dày của màng

mỏng đủ nhỏ so với quãng đƣờng tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài
tƣơng tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu
khối. Hiệu ứng thay đổi tính chất rõ rệt nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng
bề mặt. Khi vật liệu có kích thƣớc nm, các số nguyên tử nằm trên bề mặt sẽ chiếm tỉ lệ
đáng kể so với tổng số nguyên tử. Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt,
gọi tắt là hiệu ứng bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích
thƣớc nm khác biệt so với vật liệu ở dạng khối. Ví dụ nhƣ trong các vật liệu sắt từ, ở
vật liệu dạng khối, dị hƣớng từ tinh thể ảnh hƣởng rất lớn đến tính chất từ, nhƣng khi
chế tạo ở các màng đủ mỏng, dị hƣớng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị
hƣớng từ bề mặt.
Màng vật liệu từ tính có trạng thái vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng vài
μm (nhỏ hơn 5μm), còn đƣợc biết với tên gọi màng sắt từ hay màng từ. Màng từ có
thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng dụng bao gồm các
lĩnh vực bộ lƣu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành phần xử lý
và lƣu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu hút rất nhiều sự
quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua. Đặc biệt là những hiệu
ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3], [8]. Ví dụ: hình 1 (xem
[3]) cho thấy nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng mỏng giảm và tỷ số hằng số mạng
c
tăng khi độ dày màng mỏng giảm
a

2


Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra đƣợc sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ
Curie vào độ dày màng mỏng bằng phƣơng pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phƣơng
pháp tích phân phiếm hàm [6], [7].
Dựa trên những ý tƣởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và
sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phƣơng pháp hàm

Green nhiệt độ hai thời điểm và phƣơng pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

2.

Phƣơng pháp nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phƣơng pháp hàm Green nhiệt độ hai
thời điểm và phƣơng pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính
toán. Đồng thời, công cụ Matlab cũng đƣợc sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị.

3


3.

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chƣơng chính
-

Chƣơng 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm. Chƣơng này là lý thuyết

về phƣơng pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm; về Hamiltonian sắt từ và các toán
tử spin, về phƣơng pháp gần đúng pha ngẫu nhiên. Đây là cơ sở lý thuyết để ta đi thiết
lập phƣơng tình tổng quát cho màng mỏng từ tính trong chƣơng 2.
-

Chƣơng 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần

đúng Bogolyubov và Tiablikov. Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chƣơng 1, ta sẽ tính toán để
nhận chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử spin trong màng mỏng
và ngắt chuỗi hàm Green trong gần đúng Bogolibov-Tiablikov. Đƣa ra phƣơng trình
xác định phổ năng lƣơng sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ.
-

Chƣơng 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và hai

lớp spin nguyên tử. Áp dụng biểu thức đƣợc thiết lập cho màng mỏng từ gồm vài lớp
spin nguyên tử ở chƣơng 2 để tìm biểu thức độ từ hóa và biểu thức phổ năng lƣợng
của sóng spin trong các trƣờng hợp cụ thể: trƣờng hợp màng mỏng đơn lớp với trao
đổi dị hƣớng trong mặt màng; trƣờng hợp màng mỏng gồm hai lớp nguyên tử với sự
ảnh hƣởng của tích phân dị hƣớng trong mặt lớp và giữa các lớp lên độ từ hóa và phổ
sóng spin.

4


CHƢƠNG 1
HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Chƣơng 1 đƣa ra tổng quan về phƣơng pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm,
Hamiltonian từ và phƣơng pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ sở khoa học
cho việc tính toán ở các chƣơng sau.
Phƣơng pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong
vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trƣng vĩ mô và vi mô
(ví dụ năng lƣợng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các bài toán
động học nhƣ tính độ dẫn điện, độ cảm từ, hệ số động học … ngƣời ta cũng thƣờng sử
dụng phƣơng pháp hàm Green. Phƣơng pháp hàm Green hai thời điểm cho các hệ từ
tính đƣợc mô tả trong [9].

1.1

Hàm tƣơng quan thời gian và hàm Green

1.1.1 Hàm tƣơng quan thời gian
Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg
At   e iHt A0e  iHt ; Bt '  e iHt ' Bt 'e  iHt '

(1.1)

Ở đây H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng -λ N , với λ là hoá thế
và N là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trƣờng hợp tổng quát A, B có thể là
tích của các hàm sóng lƣợng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phƣơng trình chuyển
động cho các toán tử có dạng:

dAt 
 e iHt iHA0  A0iH e  iHt hay
dt
i

dAt 
 At , H   At H  HAt 
dt

(1.2)

Giao hoán tử ở phía bên phải của (1.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc
vào dạng của Hamiltonian H .
Ta định nghĩa hàm tƣơng quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) là

5


FAB(t,t’)= At Bt '

(1.3)

Ngoặc nhọn <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H.
<A> = Tr (ρ A)

(1.4a)

Ở đây ρ là toán tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)
 H
exp   
   , θ=k T

B
Q

(1.4b)

Q còn là tổng thống kê

 H

Q  Tr  e 









(1.4c)

Mối quan hệ giữa tổng thống kê và thế nhiệt động Ω thể hiện qua đẳng thức
H



   ln  Tre 











(1.4d)

H
( Hoặc e  = Tr ( e θ ) = Q ). Toán tử thống kê còn đƣợc viết là




H

 e 

(1.5)

Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dƣới dấu
vết Tr nên hàm tƣơng quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy
H
H
H



 
 
 


iHt
 iH t  t '
 iHt'  
iH t  t '
 iH t  t '

Tr  At Bt 'e   Tr e A0e
B0e

e   Tr e
A0e
B0e  







H



iH t t '
iH t t ' 
B0e
e
= Tr  A0e


Hay FAB(t,t’) = FAB(t-t’)





(1.6)

6

Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tƣơng quan thời gian trở thành trung bình
thống kê thông thƣờng

FAB (t , t ' )  FAB (0)  A(0) B(0)

(1.7)

Lấy đạo hàm của hàm tƣơng quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t
chẳng hạn) ta sẽ có phƣơng trình mô tả sự biến đổi của nó theo thời gian (xem (1.2)).

dFAB t , t ' d
dAt 

At Bt ' 
Bt ' Hay
dt
dt
dt

i

d
At Bt '  At , H Bt '
dt

(1.8)

Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một

số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tƣơng quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tƣơng tự
nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta đƣợc hệ các phƣơng trình chuyển động
kiểu móc xích

i

d
At , H Bt ' 
dt

At , H , H Bt '

(1.9)

Hệ móc xích các phƣơng trình chuyển động (1.8), (1.9) không giải chính xác
đƣợc mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phƣơng trình
đó ở một bƣớc nào đó để nhận đƣợc một hệ phƣơng trình hữu hạn sau đó giải hệ để
tìm biểu thức cho hàm tƣơng quan.

1.1.2 Hàm Green
Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a –
advanced) và nguyên nhân (c – causal) nhƣ sau:

r  t , t ' 
G AB

At  | Bt '

r 

  t  t ' At , Bt '

(1.10a)

a  t , t ' 
G AB

At  | Bt '

a 

  t 't  At , Bt '

(1.10b)

c  t , t '  At  | Bt '
G AB
7

c 

 T At Bt '

(1.10c)


Ở đây ký hiệu giao hoán tử , và trật tự thời gian T cũng nhƣ hàm bậc
thang θ(x) có ý nghĩa là

At , Bt '

 At Bt '  Bt 'At 

(1.11a)

T At Bt '   t  t 'At Bt '   t 't Bt 'At 

(1.11b)

1, x  0
0, x  0

 x   

(1.11c)

Tham số ξ = 1 hay -1 đƣợc chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định
luật giao hoán cho A, B. Thông thƣờng ngƣời ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể
hiện qua các toán tử kiểu Bose và ξ = -1 nếu chúng đƣợc thể hiện qua các toán tử kiểu
Fermi.
Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng đƣợc biểu thị qua các hàm
tƣơng quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).

 j  t , t '  G  j  t  t ' (j = r, a, c)
G AB
AB
Theo định nghĩa hàm Green

A| B

( j)

(1.12)

phụ thuộc tuyến tính vào các tham số

trƣớc toán tử A, B hay

1 A1   2 A2 | B

 j

 1 A1 | B

 j

  2 A2 | B

 j

(1.13)

Với α1, α2 là các số tuỳ ý.
Bây giờ ta sẽ lập phƣơng trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm
(1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang
θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)

 t  

t

e

t '

 t 'dt'

(   0 )

(1.14)



Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14)
d (t )
  (t )
dt

8

(1.15)


Sử dụng (1.15), phƣơng trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta đƣợc phƣơng
trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)

i

d
 j

At  | Bt '
 i t  t ' At , Bt ' 
dt

At , H  | Bt '  j  (j=r,a,c)

(1.16)

Phƣơng trình (1.16) khác với phƣơng trình chuyển động (1.8) cho hàm tƣơng
quan ở chỗ bên phải có số hạng thứ nhất với hệ số là hàm delta. Phƣơng trình (1.16)
giống với phƣơng trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu thức
(1.10a), (1.10b), (1.10c) đƣợc gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời điểm.
Tƣơng tự nhƣ khi nhận đƣợc chuỗi phƣơng trình móc xích cho hàm tƣơng quan
thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải
của (1.16) (số hạng thứ hai).
i

d
dt

A(t),H

B(t')

(j)

 i(t  t') A(t),H B(t') 

A(t),H,H 

(1.17) là phƣơng trình chuyển động cho hàm Green

B(t')

A(t),H

(j)

B(t')

(1.17)

(j)

. Nếu

lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên
phải của (1.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận đƣợc chuỗi phƣơng trình móc xích
cho các hàm Green

A|B

(j)

; A,H  B

(j)

;

A,H ,H 

B

(j)

...

Chuỗi phƣơng trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và nguyên
nhân đều nhƣ nhau

1.2

Biểu diễn Fourier cho hàm Green

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng nhƣ các hàm tƣơng quan) ta có thể
phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier

 

j
t  t ' 
G AB



 j

 G AB E e



9

 iE t  t '

dE

(1.18a)


( j)
( j)
G AB ( E ) gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm G AB
(t  t ' ) .

Biến đổi Fourier ngƣợc cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

 j  E   1
G AB
2



 j

 G AB t e

iE t 

(1.18b)

dt



Với j = r, a, c
Sử dụng (1.18a) ta có thể viết phƣơng trình chuyển động cho hàm Green
(1.16):


i   iE(t  t')
(j)  iE(t  t')


E
A|B
e
dE

e
dE
A,B





E
2π  




A,H 

B

(j)  iE(t  t')
e
dE
E

Hay

E A| B
Ở đây, ký hiệu

A,H 

B

(j)
E

 j
E



A| B

i
2

A, B



A, H 

B

 j
E

(1.19)

( j)
( j)
biểu thị hàm Green ảnh G AB
( E ) , còn
E

là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tƣơng ứng. Ngoài ra, ta đã

sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac
1
 t  t ' 
2



e

 iE t  t '

dE

(1.20)



Phƣơng trình đạo hàm Green ảnh (1.19) đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động
cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lƣợng).
Để giải phƣơng trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên theo
t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh, chậm,
nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của chúng (1.10a),
(1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của hàm Green
( j)
G AB ( E ) , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc hệ

10


thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có
nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green).
Chúng ta cần thấy rằng sự xuất hiện chuỗi phƣơng trình móc xích (1.16),
(1.17)… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tƣơng tác với nhau: ta không thể xét
một hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng
để giải chuỗi phƣơng trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thƣờng là ngắt chuỗi hàm

Green ở một bƣớc nào đó để nhận đƣợc hệ phƣơng trình hữu hạn cho các hàm Green
rồi giải.

1.3

Biểu diễn phổ cho hàm Green

1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tƣơng quan
Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị riêng và hàm riêng của
Hamiltonian H của hệ
(H - Eν)Cν = 0

(1.21)

Hệ các hàm riêng C  là hệ đầy do đó ta có thể viết giá trị trung bình thống kê
của tích hai toán tử

B  t ' A  t 


 H
 exp   

 Tr 
Q









B t' A t 
  




Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên






B  t ' A  t   Q 1  C* , B  t ' A  t  C e  E


 ,







 Q 1  C* , B  t ' C C* , A  t  C e  E



(1.22)

Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng
eiHt C  eiE t C

11

(1.23)


Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở
thành:


 ,





B  t ' A  t   Q 1  C* , eiHt ' B  0  eiHt 'C C* , eiHt A  0  eiHt C e  E




 ,

 i E E t ' C* , A 0 C  ei E E t eE


 ,



B  t ' A  t   Q 1  C* , B  0  C e









B  t ' A  t   Q 1  C* , B  0  C C* , A  0  C e









i E  E  t t '  E 
e



(1.24)

Tính toán hoàn toàn tƣơng tự cho hàm tƣơng quan A  t  B  t '


 ,

A  t  B  t '  Q 1  C* , A  0  C

 C* , B  0 C ei E E t 't eE








Hay viết theo thứ tự giống (1.24)





 iE

 ,



  E  t  t '  E

At Bt '  Q 1  C* , B0C  C * , A0C e

e

  E   E  

e

(1.25)
Ta đƣa vào khái niệm hàm cƣờng độ phổ IAB(ω)
I AB    Q

1

 C , B  0 C  C , A  0 C e
*

*

E
 



 ,

  E  E   

(1.26)

Thì hàm tƣơng quan (1.24), (1.25) đƣợc biểu diễn trong dạng tích phân Fourier
B  t ' A  t  



 I AB   e

i  t t '

d

(1.27a)



A  t  B  t ' 



  i  t t '

 I AB   e

e

d

(1.27b)



(1.27a), (1.27b) còn đƣợc gọi là biểu diễn phổ cho hàm tƣơng quan thời gian.
Khi t = t’ ta có công thức cho trung bình các toán tử dƣới dáng tích phân

12




B  0 A  0 

 I AB   d

(1.28a)



A  0 B  0 



 I AB  


e  d

(1.28b)



Nhân (1.27a) và (1.28a) với ξ và lấy (1.27b), (1.28b) trừ đi chúng, một cách
tƣơng ứng ta đƣợc biểu diễn phổ cho trung bình của các giao hoán tử.

At , Bt '



 I AB  e







  e  i t  t 'd

(1.29a)



A0, B0



 I AB  e







  d

(1.29b)



Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu
diễn phổ cho các hàm tƣơng quan và cho trung bình của các giao hoán tử.

1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green
Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lƣợng ((1.18b), (1.11a))

r  E   1
G AB
2



e

iE t  t '

dt t  t ' At Bt '  Bt 'At 



Theo (1.29a) thì

r  E  
G AB

1
2

r  E   1
G AB
2






 dI AB   e  



 dI AB  e









  dte it iEt t 




  dteiE  t t 


(1.30)



Bây giờ ta sử dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn θ(t) (đặt (1.20) vào
(1.14)):

13


t

1
 t    e dt'
2


 t  



t '

i
2







e

 iEt '

dE

(ε> 0)



e  iEt
dE
E  i

(1.31)

Ngƣợc lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì

1
0

 (t )  

khi

t 0

khi

t0

nhƣ sau: Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho

rằng E là đại lƣợng phức. Áp dụng định lý về thặng dƣ:

 f z dz  2i Re sf z 



z  z0

(1.32)

z0 là cực của hàm f(z).
f(z) là hàm holomorphic trong
mặt phẳng phức trừ ở các cực.
γ là đƣờng chu tuyến bao
quanh cực z0, có chiều ngƣợc chiều

kim đồng hồ.
Khi t > 0 ta có thể chọn đƣờng
lấy tích phân γ khép kín trong mặt
phẳng phức E ở bên dƣới bao quanh cực
E = -iε (hình vẽ 1.a)

 (t )  

 (t )  

i
2

dE.e  iEt
 E  i





i
2i Re s e  iEt
2



θ(t) = 1
Khi t < 0 đƣờng lấy tích phân
nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía
14

bên trên (hình 1.b). Khi đó đƣờng lấy tích phân không chứa điểm cực E = -iε, hàm
dƣới dấu tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó
là điều phải chứng minh.
Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành:


i E  t

 t  

 dte






dte 

i E  t

 t  





i E  t

 dte





dE ' i
 E ' i 2








i
eiE ' t
 E ' i dE '
2 





i E ' E  t
de 


dE '
i
i  E ' E    
E ' i
E    i


(1.33)
Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ đƣợc biểu diễn qua hàm
cƣờng độ phổ nhƣ sau:

r  E   i
G AB
2

 e







  ..I AB  



d
E    i

(1.34)

Bằng cách hoàn toàn tƣơng tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh

a  E  
G AB

i
2

 e







  ..I AB  



d
E    i

(1.35)

((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → -iε)
Trong (1.33)  (1.35) E đƣợc coi là thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lƣợng
phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức

i
G AB E  
2

 e









(r )

d
G AB ( E )
  .I AB  

E   G ( a) ( E )
 AB

,

Im E  0

,

Im E  0

(1.36)

(1.34)  (1.36) đƣợc gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green.
(r )
(a)
Hàm Green chậm G AB
( E ) và nhanh G AB ( E ) là các hàm giải tích trong nửa

mặt phẳng trên (ImE > 0) và dƣới (ImE < 0) tƣơng ứng. Cả hai hàm đó có thể xem
nhƣ một hàm giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều
khi ta không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
15


Cũng tƣơng tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân

c  E   i
G AB
2







 e




I


 AB  E    i E    i d




(1.37)

Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

1
1
 P  i x    0
x  i
x

(1.38)

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác

c  E   i
G AB
2



1
1





I AB  e   P
 i E       P
 i E    d
 E 

 E 






c  E   i
G AB
2

 e










1

  I AB  P
 i
E





e   
e   




 E   d (1.39)



Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ
hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức đƣợc, do đó ngƣời ta ít sử
dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cƣờng
độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)

I AB    G AB   i   G AB   i 

1
e





(1.40)

Thật vậy, theo (1.36)
i
G AB   i   G AB   i  
2







e'    I AB 'd'   1 'i    1 'i 

Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta đƣợc
i
G AB   i   G AB   i  
2

 e



' 



16



  I AB  'd '  2i     '






G AB   i   G AB   i   e    I AB  
Đó là điều phải chứng minh.
Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính đƣợc trung bình thống kê tích các toán tử
theo (1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) đƣợc viết là
A0B0 





e 



 e

G AB   i   G AB   i d

(1.41)

Nếu A là toán tử sinh hạt A = a+, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta
cách tính giá trị trung bình số hạt nˆ  a  a ở một nhiệt độ xác định.

1.4

Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin

Hamiltonian Heisenberg:Trƣớc hết chúng ta nghiên cứu hiện tƣợng sắt từ trong
tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin S j đứng tại nút j của mạng tinh thể
hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu j là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ
toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tƣơng tác trao đổi với nhau và độ lớn của tƣơng
tác đó đƣợc đặc trƣng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của
tƣơng tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp
vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tƣơng tác
trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc
điện tử trung gian).
Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tƣơng tác trao đổi với nhau và đƣợc đặt
trong trƣờng ngoài đƣợc viết là:
H    J ij S i S j  g B h S iz
i j

(1.42)

i

Tổng thứ nhất lấy theo mọi cặp (i, j) khác nhau; h – cƣờng độ từ trƣờng ngoài,
g – nhân tử Lande,  B 

e
2mc

Magneton Bohr. Số hạng thứ hai là số hạng Zeeman

mô tả tƣơng tác của hệ spin với từ trƣờng ngoài h hƣớng song song với trục z. Vì Jij
17


giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa i và j tăng lên nên trong tính toán ngƣời ta
thƣờng dùng các phép gần đúng sau:
+ Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là n.n)
Jij = J1 khi i và j là lân cận gần nhất, Jij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất.
+ Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour)
Jij = J1 (i, j là lân cận gần nhất)
Jij = J2

(i, j là lân cận thứ hai)

Jij = 0 (trong các trƣờng hợp khác)
Để thấy rõ đóng góp vào tƣơng tác của các spin ngƣời ta hay viết (1.42) nhƣ
sau:

H    J  S j S j     g B h S zj

j 

(1.43)

j

Chỉ số α chỉ các loại spin (α=1 là n.n, α=2 là n.n.n…) là lân cận loại nào tƣơng
ứng với tích phân trao đổi J1, J2 … δ vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến α.
Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ
- Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0.
- Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0.
- Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tƣơng tác n.n.n, ngoài ra
J1, J2 khác dấu nhau.
Trật tự từ đƣợc đặc trƣng bởi “tham số trật tự”. Thí dụ trong trƣờng hợp sắt từ
ở trạng thái cơ bản tất cả các moment spin nguyên tử song song với nhau nên ta chọn
tham số trật tự là S z . Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của moment từ
tổng cộng

M z   g B S zj  Ng B S z
j

18

(1.44)


Sz
Mz



Ng B S
S

Ta chọn S z là tham số trật tự hoặc ζ là tham số trật tự cũng đƣợc (ζ còn
đƣợc gọi là từ độ tỷ đối). Vì S z chỉ khác với Mz một hằng số nên nhiều khi ngƣời ta
cũng gọi nó là độ từ hoá (khi dùng thuật ngữ này ta hiểu N là số nguyên tử hay số spin
trong một đơn vị thể tích).
Tham số trật tự trong trƣờng hợp AF đƣợc chọn là độ từ hoá của một trong hai
phân mạng.
Trƣờng hợp cấu trúc spin xoắn tham số trật tự có thể chọn là ảnh Fourier của
spin S j ở vecto sóng Q ứng với bƣớc của cấu trúc xoắn.
Các toán tử spin (Spin operators): Toán tử spin nguyên tử tại nút j ( S j ) có ba
y

thành phần là S xj , S j , S zj . Các thành phần đó tuân theo định luật giao hoán (tƣơng tự
nhƣ các định luật giao hoán cho moment cơ học quỹ đạo)
S xj S jy'  S jy' S xj  iS zj  jj '
S jy S zj'  S zj' S jy  iS xj jj '

(1.45)

S zj S xj'  S xj' S zj  iS jy  jj '

1
Ở đây  jj '  
0

khi

j  j'

khi

j  j'

là ký hiệu Kronecker

Ngoài ra bình phƣơng toán tử spin bằng S(S+1)

S j , S j    S j 2  S S  1

(1.46)

  x, y , z

Thành phần z của toán tử spin trong biểu diễn mà nó là chéo hoá chỉ có thể có
(2S + 1) giá trị. Điều này có thể thể hiện bằng công thức

19


S



r  S

S zf  r   0

(1.47)

Thay cho các toán tử S j (α = x, y, z) ngƣời ta thƣờng sử dụng các toán tử
S j , S zj

 




S j  S xj  iS jy ;  S j  S j ; S zj



(1.48)

Biểu thị S xj , S j ngƣợc lại qua S j , S j và đặt vào (1.45) ta đƣợc biểu thức giao
y

hoán sau cho toán tử S j , S j , S zj

S j S j '  S j ' S j  2S zj  jj '

S j S zj'  S zj' S j   S j  jj '

(1.49)

Sử dụng (1.46), (1.48), (1.49) ta còn có

 2
2

S j S j  S S  1  S zj  S zj 
S j S j  S S  1  S zj  S zj

1.5

(1.50)

Sóng spin: gần đúng pha ngẫu nhiên (Random – phase –

Approximation)
Trong phƣơng pháp trƣờng phân tử của Weiss hay phƣơng pháp trƣờng trung
bình Hamiltonian HMF có dạng đơn ion, mỗi spin Sj chịu ảnh hƣởng của các spin khác
thông qua tác động của một trƣờng trung bình đồng nhất, không thay đổi theo thời
gian. Từ đó ta thấy tính chất tập thể của hệ spin đƣợc thể hiện trong phép TTB rất hạn
chế. Ta có thể chỉ ra hạn chế đó trên một suy luận sau: giả sử ở T = 0 các nguyên tử
chất rắn đông cứng ở các vị trí cân bằng, đối với chất sắt từ thì các spin là songsong
với nhau. Khi nhiệt độ tăng lên các nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân bằng,
nguyên tử này ảnh hƣởng lên nguyên tử khác thông qua thế năng tƣơng tác nguyên tử
- nguyên tử làm xuất hiện “sóng mạng” ở nhiệt độ thấp và khi lƣợng tử sóng đó ta có
20


chuẩn hạt phonon. Tƣơng tự nhƣ vậy ở T ≠ 0, vectơ spin của nguyên tử ở một nút
mạng nào đó sẽ lệch khỏi định hƣớng của nó khi T = 0, vì tƣơng tác trao đổi giữa các
spin ở nút mạng khác nhau có xu hƣớng giữ các vectơ spin song song với nhau
(trƣờng hợp sắt từ) cho nên định hƣớng của các spin lân cận cũng bị ảnh hƣởng. Hệ
quả là sẽ lan truyền “sóng spin” trong tinh thể sắt từ và nếu lƣợng tử hoá ta có khái
niệm magnon. Gần đúng TTB là định xứ (HMF là tổng của các số hạng đơn ion) không
mô tả đƣợc trạng thái tập thể kiểu “sóng spin” kể trên.
Để nghiên cứu sóng spin ta viết Hamiltonian (1.42) trong gần đúng lân cận gần

nhất





H   J  S zj S zj    S xj S xj  S jy S jy   g B h S zj
j 

(1.51)

j

Chuyển sang các biến là các toán tử S j  S xj  S j

y

Hamiltonian Heisenberg trở thành





1


H   J   S zj S zj    S j S j    S j S j     g B h S zj
2

j  

j

(1.52)

Các toán tử Sz, S± tuân theo định luật giao hoán

S j , S j'  2S zj j, j' ;S zj , S j'  S j  j, j'

(1.53)

Bây giờ ta viết phƣơng trình chuyển động cho ảnh Fourier của hàm Green xây
dựng trên các toán tử S j và Bj’ (ta chƣa đƣa ra dạng chính xác của toán tử Bj’). Theo
phƣơng trình chuyển động trong biểu diễn Fourier (1.19)

E S j B j '


E





S , H  B

i
S j , B j '  jj ' 
2



j

j'

(1.54)
E

Giao hoán tử của S j với H đƣợc tính dựa trên (1.52) và (1.53)

S j ,H   J  S j ,S zj S zj  δ  12 S j ,S j S j  δ  12 S j ,S j S j  δ 
j1 δ

1

1

1

21

1

1

1




 gμB h S j ,S zj

1



(1.55)

j1

Dễ dàng tính các toán tử trong (1.55), thí dụ









a. S j ,S zj S zj  δ  S j ,S zj S zj  δ  S zj S j ,S zj  δ
1 1
1
1
1
1



(ở đây ta sử dụng đẳng thức [a,bc] = [a,b]c + b[a,c])

S



 z z
 z
z

j ,S j S j  δ   S j S j    j , j1  S j  S j  j , j1  
1 1


 

c. S ,S S
  S ,S S  2S S
d. S ,S    S 
(1.56)

b. S j ,S j S j1  δ  S j S j ,S j1  δ  2S j  S zj  j , j1  
1
1

j

 
j1 j  δ
1


j


j


j1


j1  δ

z 
j j    j , j1


j j , j1

z
j1

Đặt các giao hoán tử đó vào (1.55) ta có

E S j | B j '


E





i
S j , B j '  j , j '  J  S j S zj  | B j '
2


 J  S j   S zj | B j '

E



 J  S zj S j   | B j '


E

 J  S zj  S j | B j '
E


 g B h S j | B j '

E

(1.57)
E

Vì các toán tử spin thuộc các nút mạng khác nhau là giao hoán nên (1.57) đƣợc
viết gọn lại là
E S j | B j '


E





i
S j , B j '  j , j '  2 J  S zj  S j | B j '
2


 g B h S j | B j '

E

 2 J  S zj S j  | B j '


(1.58)
E

Chỉ có số hạng cuối cùng trong (1.58) (số hạng Zeeman) là có dạng hàm Green
ban đầu còn số hạng thứ hai, thứ ba là hàm Green bậc cao hơn. Dễ thấy rằng để nhận
(1.58) ta đã sử dụng Hamiltonian chính xác H chứ không dùng Hamiltonian TTB HMF.

22

E