Đề khảo sát chất lượng môn toán 11 trường Đoàn Thượng Hải Dương lần 2

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN TOÁN 11
Thời gian làm bài: 120 phút

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

Câu 1 (3,0 điểm).

cos650.cos 400 + sin 400.sin 650
a) Tính giá trị biểu thức:
sin 650
b) Giải phương trình: 3 sin 2 x − cos 2 x = 1
1 − cos 2 x
c) Giải phương trình: 1 + cot 2 x =
sin 2 2 x
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân
biệt. Tính tổng các số được thành lập.
b) Một thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau, bao gồm 5 cuốn sách văn, 4
cuốn sách toán, 3 cuốn sách tiếng anh. Ông muốn lấy 6 cuốn để tặng cho
6 học sinh, mỗi em một cuốn. Tính xác suất để sau khi thầy giáo tặng
xong, mỗi loại toán, văn, tiếng anh còn lại ít nhất 1 cuốn.
c) Tính tổng:
0
2015
1
2014
k
2015− k
2015 0

S C2016
C2016
C2015
C2016
=
+ C2016
+  + C2016
− k +  + C2016 C1

Câu 3 (1,0 điểm). Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) =
25 . Tìm phương
trình đường tròn ( C ') là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm I ( 3;1) tỉ số
k = −3
2

2

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M
là điểm thuộc cạnh SC (M không trùng điểm S và C),N, P lần lượt là trung điểm
AB, AD.
a) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy + yz + zx =
1 . Tính giá trị biểu

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y )
2

thức: S = x

1 + x2

2

2

2

1 + y2

2

2

1 + z2

……………Hết……………
Họ và tên thí sinh: ……………………………Số báo danh: ……………………


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN TOÁN 11

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

Câu Ý
1
a

Nội dung

cos650 cos 400 + sin 400.sin 650
sin 650
0
0
cos650 cos 400 + sin 400.sin 650 cos ( 65 − 40 ) cos 250
= =
sin 650
sin 650
sin 650
cos ( 900 − 650 ) sin 650
=
= =
1
sin 650
sin 650
1 b Giải phương trình: 3 sin 2 x − cos 2 x = 1
Tính

3
1
1
π
π 1
sin 2 x − cos 2 x =
⇔ sin 2 x cos − cos 2 x sin =
2
2

2
6
6 2
π
π

⇔ sin  2 x −  =
sin
6
6

π π
π


−
=
+
π
x
k
2
2
=
+ kπ
x


6 6
6

⇔
⇔
π
π
 2 x − = π − + k 2π
 x= π + kπ


6
6
2
pt ⇔

1

c

Điểm
1,00

0,5
0,5
1,25
0,25
0,5
0,25

0,25

1 − cos 2 x

Giải phương trình: 1 + cot 2 x =
sin 2 2 x

0,75

Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

0,25

π

2

1 − cos 2 x
pt ⇔ 1 + cot 2 x =
1 − cos 2 2 x
1
cos 2 x
1
⇔ 1 + cot 2 x =
⇔ 1+
=
1 + cos 2 x
sin 2 x 1 + cos 2 x
⇔ sin 2 x(1 + cos 2 x) + cos 2 x(1 + cos 2 x) =
sin 2 x
0,25
0 ⇔ cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x + 1) =
0
⇔ sin 2 x cos 2 x + cos 2 x(1 + cos 2 x) =

cos 2 x = 0
⇔
−1
sin 2 x + cos 2 x =

+ cos 2 x = 0 ⇔ x =

π
4

+k

π
2

(tm)

0,25


π

=
−
+ kπ ( tm )
x

π
π
4

+ sin 2 x + cos 2 x =
−1 ⇔ sin(2 x + ) = sin(− ) ⇔ 
4
4
 x= π + kπ ( L )

2
Vậy,phương trình có nghiệm: x=

2

π

4

+k

π

2

a Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân
biệt. Tính tổng các số được thành lập.
Gọi số cần tìm là abc ( a ≠ 0 , a, b, c đôi một khác nhau).
Chọn số a có 3 cách.
Chọn 2 chữ số b, c còn lại có A32 = 6 cách
Theo quy tắc nhân có 3.6 = 18 số tm yêu cầu bài toán.
+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.
Từ A34  24 số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví dụ 012 + 321
= 333.

Suy ra tổng các số A là 12.333 = 3996.
+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.
Từ A23  6 số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. Ví dụ 032 + 012 =
44.
Suy ra tổng các số B là 3.44 = 132.
Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.

2

b Một thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau, bao gồm 5 cuốn sách văn, 4
cuốn sách toán, 3 cuốn sách tiếng anh. Ông muốn lấy 6 cuốn để tặng
cho 6 học sinh, mỗi em một cuốn. Tính xác suất để sau khi thầy giáo
tặng xong, mỗi loại toán, văn, tiếng anh còn lại ít nhất 1 cuốn.
Ta thấy không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Chọn 6 cuốn sách bất kì tặng cho 6 học sinh có A126 = 665280 cách.

1,25

0,5

0,5

0,25

1,0

0,25

Số cách chọn sao cho không còn sách văn: 1.C71.6! = 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách toán: 1.C82 .6! = 20160

2

Số cách chọn sao cho không còn sách tiếng anh: 1.C93 .6! = 60480
n ( A )= 665280 − 5040 − 20160 − 60480= 579600
579600
=
P ( A ) = 0,8712
665280
Tính tổng:
c

0,25

0,25
0,25
0,75


0
2015
1
2014
k
2015− k
2015 0
=
S C2016
C2016
+ C2016

C2015
+  + C2016
C2016
− k +  + C2016 C1

Ta có:
2016!
2015!
k
2015− k
k
=
=
2016 ⋅
2016.C2015
C2016
C2016
−k =
k !( 2015 − k )!
k !( 2015 − k )!
0
1
2015
⇒
=
S 2016.( C2015
+ C2015
+  + C2015
=
) 2016 (1 + 1)= 2016.22015

2015

3

Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) =
25 . Tìm phương trình đường
tròn ( C ') là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm I ( 3;1) tỉ số
k = −3
2

0,5

0,25

2

Đường tròn (C) có tâm A ( 2; −3) , bán kính R = 5

phép vị tự tâm I ( 3;1) tỉ số k = −3 biến điểm A thành A’. Tìm được
A '(7;13)
đường tròn ( C ') là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm I ( 3;1) tỉ
số k = −3 có bán kính R ' =
−3 .5 =
15
Vậy pt đường tròn ( C ') : ( x − 7 ) + ( y − 13) =
225
2

2

1,00

0,25
0,25
0,25
0,25

4

4

a Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM)

4

AC ∩ BD =
O
Trên (SAC) có: AM ∩ SO =
I
Trên (SBD) có: BI ∩ SD =
J
Vậy J là giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM)
b Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

1,0
0,5
0,5
1,0

NP
( MNP ) ∩ ( ABCD ) =

0,25

NP ∩ BC
= M 1; NP ∩ CD
= N1
=
SD N 2
) MN1; MN1 ∩=
( MNP ) ∩ ( SCD
SBC )
( MNP ) ∩ (=
=
)
( MNP ) ∩ ( SAD

5

MM 1; MM 1=
∩ SB M 2

PN 2 ; ( MNP ) ∩ ( SAB
=
) NM 2
Vậy thiết diện là ngũ giác MM 2 NPN 2
Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy + yz + zx =
1 . Tính giá trị biểu thức:

0,25

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y )

1,00

2

S=x

2

1 + x2

2

2

2

1 + y2

ĐÆt x = tan α ; y = tan β ; z = tan γ

víi 0 < α ; β ; γ <

2

1 + z2

π
2

(*)

1
gt ⇒ tan α ⋅ tan β + tan β ⋅ tan γ + tan γ ⋅ tan α =
1 − tan β ⋅ tan γ
⇔ tan α ( tan β + tan γ ) =
1
π
π
⇔ tan ( β + γ ) =
= cot α ⇔ α + β + γ = + kπ , do (*) ⇒ α + β + γ =
tan α
2
2

0,25

(1 + y )(1 + z ) = tan α

cos 2 α
cos α
sin α
= tan α
=
2
2
2

cos β ⋅ cos γ cos β ⋅ cos γ
1+ x
cos β ⋅ cos γ
cos(β + γ ) cos β ⋅ cos γ − sin β ⋅ sin γ
=
=
= 1 − tan β ⋅ tan γ = 1 − yz
cos β ⋅ cos γ
cos β ⋅ cos γ

0,5

Tương tự ⇒ S = 1 − yz + 1 − xz + 1 − xy = 3 − 1 = 2.

0,25

2

x

2