MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG BỐI CẢNH DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
TRONG BỐI CẢNH DẠY HỌC
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Lê Hồng Quang
Trêng THPT Xu©n Giang, Sãc S¬n, Hµ Néi.
TÓM TẮT
Trong giảng dạy toán học, mô hình toán học là một trong những công cụ
mạnh mẽ thúc đẩy học tập hiệu quả. Nhưng nó phải được sử dụng đúng cách. Giáo
viên cần phải sử dụng mô hình toán học như là một phần của phương pháp giảng dạy
của mình. Nghiên cứu đề xuất quy trình mô hình hóa toán học trong quá trình giải
quyết vấn đề toán học và thực tiễn.
Từ khóa: Mô hình hóa toán học; Quy trình mô hình hóa; Giải quyết vấn đề; Thực
tiễn toán học.

1. Đặt vấn đề
Những kinh nghiệm giải quyết vấn đề mà học sinh thường gặp trong các
trường học không còn phù hợp với thế giới ngày nay. Giải quyết vấn đề Toán
học liên quan nhiều đến làm thế nào để đi từ một tình huống cụ thể, nơi các
mục tiêu, giải pháp được quy định rõ ràng. Nhất là các khía cạnh thách thức
của các vấn đề gặp phải trong nhiều ngành nghề hiện nay liên quan đến việc
phát triển những cách hữu ích của tư duy toán học về các mối quan hệ có liên
quan, các mô hình và các quy tắc. Theo quan điểm (Lesh, Doerr 2003; Farzad
Bahmaei, 2011) với tầm quan trọng gia tăng Toán học trong sự thay đổi thị
trường toàn cầu, là nhu cầu lớn hơn cho lao động có khả năng toán học và công
nghệ, sáng tạo, định hướng tương lai. Quá trình tính toán mạnh mẽ như: xây
dựng, mô tả, giải thích, dự đoán, đại diện. Cùng với việc định lượng, phối hợp
và tổ chức dữ liệu, cung cấp một nền tảng cho sự phát triển của những khả
năng, nó ngày càng quan trọng bởi khả năng làm việc cộng tác trên các dự án
đa chiều, trong đó lập kế hoạch, giám sát và kết quả giao tiếp là rất cần thiết để
thành công. Theo tôi, giới thiệu mô hình toán học và ứng dụng vào các trường
phổ thông có ảnh hưởng tích cực để hạn chế những khó khăn trong thực tiễn

cuộc sống.
Hạn chế của dạy truyền thống là hoạt động học tập diễn ra trong không
gian lớp học và giáo viên thường trình bày một loạt các bước và yêu cầu học


sinh phải làm theo với một hình thức tương tự. Việc này một cách vô tình hạn
chế tiềm năng của học sinh trong việc giải quyết vấn đề. Giải quyết bài toán
theo cách thức đó vẫn có hiệu quả nhất định trong chương trình học. Tuy nhiên,
nó không hiệu quả trong việc chuẩn bị cho học sinh những kinh nghiệm, kỹ
năng giải quyết vấn đề toán học có liên quan đến các tình huống thực tiễn.
Trong chương trình học có rất nhiều bài toán thực tế được đặt ra và giải quyết
trong khuôn khổ lớp học một cách áp đặt. Một số nhà nghiên cứu chỉ ra rằng,
việc học như thế là không phù hợp để triển khai kiến thức toán học, sự linh
hoạt và việc xử lý trong xã hội mà đây là việc rất quan trọng trong thế kỷ XXI.
Điều đó dẫn đến sự thiếu hiểu biết kinh nghiệm thực tiễn của học sinh. Theo
thời gian việc học như vậy làm cho học sinh trở nên thụ động, học một cách cơ
học (hành vi). Những nỗ lực cải cách mới đây hướng tới giúp cho học sinh kỹ
năng suy nghĩ một cách sâu sắc và có khả năng áp dụng những tư duy ở trình
độ cao trong một môi trường cần giải quyết bằng toán học (tình huống thực tiễn).
Một trong những cách tiếp cận là phương pháp dạy học dựa vào giải
quyết vấn đề. Nhiệm vụ của nghiên cứu này là giải thích mô hình hóa toán học
và giải quyết vấn đề theo một chu trình dựa vào giải quyết vấn đề. Đồng thời
nghiên cứu việc thiết kế các nhiệm vụ (bài giảng) trong mô hình hóa toán học.
Phương pháp này có lợi ích là rèn cho học sinh phát huy được tư duy toán học
cũng như khả năng toán học và thấu hiểu đặt vấn đề (có khả năng đặt câu hỏi
và giải quyết vấn đề).
Ưu điểm nổi bật của dạy học dựa vào giải quyết vấn đề là nhấn mạnh vai
trò của người thiết kế bài giảng trong việc dẫn dắt học sinh tiếp thu kiến thức.
Khi học sinh quan sát được với mô hình hóa toán học tương ứng thì học sinh sẽ
có được rất nhiều kinh nghiệm trong việc áp dụng những kiến thức toán học

vào thực tiễn khi đối diện với một vấn đề cụ thể nào đó.
Mô hình hóa toán học và dạy học dựa vào giải quyết vấn đề là những
cách tiếp cận mới có mối quan hệ mật thiết với nhau.
2. Mô hình hóa toán học trong hoạt động giải quyết vấn đề
Maass (2006) cho rằng, mô hình hóa là một trong một số hoạt động học
tập dựa trên thực tế, nó liên quan đến đơn giản hóa một tình huống thực tế
phức tạp, tạo ra một mô hình, làm việc toán học với nó và giải thích kết quả
trong đó tình hình thực tế; Fox, Watters (2005) chỉ ra mô hình toán học được
sử dụng để giải thích tình huống thực tế hoặc các tình huống phi toán học trong
các định dạng toán học. Ví dụ, biểu đồ, bảng biểu và các phương trình được sử
dụng để mô hình và diễn giải dễ hiểu các mối quan hệ phức tạp giữa các hiện
tượng khác nhau (Ok-Ki Kang, Jihwa Noh, 2012) đưa ra khái niệm mô hình
hóa là một quá trình mang tính chu kỳ của việc tạo ra và sửa đổi các mô hình


tình huống thực nghiệm để hiểu họ tốt hơn và cải thiện các quyết định. Vai trò
của mô hình hóa và giảng dạy mô hình toán học trong toán học nhà trường đã
nhận được sự quan tâm như tạo học tập đích thực và tiết lộ những cách suy
nghĩ sản sinh ra nó (Lesh, Lehrer, 2003) đảm bảo rằng sự phân biệt giữa mô
hình và thế giới không chỉ đơn thuần là một vấn đề xác định các biểu tượng.
Tôi cho rằng, mô hình hóa là một trong các hoạt động học tập dựa trên
thực tế, nó đại diện và giải quyết vấn đề. Thế giới thực, học sinh học cách sử
dụng một loạt các đại diện của toán học để lựa chọn và áp dụng các phương
pháp toán học thích hợp, các công cụ trong việc giải quyết vấn đề thế giới thực.
Thực tế, mọi học sinh luôn có cơ hội áp dụng tri thức vào thực tiễn cuộc
sống (Less, 2007) đưa ra một định nghĩa về giải quyết vấn đề, ông xem giải
quyết vấn đề là một nhiệm vụ, một hoạt động hướng tới một mục tiêu cụ thể và
nó sẽ trở thành một bài tập khi người dạy áp dụng cách suy nghĩ hiệu quả vào
một tình huống cụ thể. Do đó, suy nghĩ theo một cách hiệu quả (có phương
pháp) sẽ yêu cầu người dạy cần có kỹ năng diễn đạt vấn đề theo ngôn ngữ toán

học. Thường theo trình tự: diễn đạt, thử lại, xem xét lại kết quả từ nhiều hướng
khác nhau.
Việc nghiên cứu về mô hình hóa toán học dành cho học sinh xuất phát từ
các khía cạnh khác nhau về mô hình và mô hình hóa. Cách nhìn này khẳng
định rằng kiến thức toán học của học sinh được thu nhận được thông qua việc
hình dung và trải nghiệm thực tế. Việc phát triển kiến thức được xem như là
một hành động của một cá nhân đối với người khác trong một môi trường cụ
thể. Học sinh phát triển các mô hình bao gồm: Các ý tưởng; Các khái niệm;
Cấu trúc; Quan hệ giữa các ý tưởng; Thực hiện ý tưởng. Các mô hình này có
thể được diễn đạt cụ thể thông qua các hình thức giao tiếp khi học sinh vẽ hình,
giải thích, vẽ các biểu đồ, phân loại, tìm quan hệ, định lượng và phán đoán.
Nói cách khác, khi học sinh tham gia vào các hoạt động này, chúng đã đưa
những khái niệm bên trong ra thế giới bên ngoài nhằm mục đích triển khai ý
tưởng trừu tượng một cách rõ ràng thông qua nói, ký hiệu, đồ thị, biểu đồ (sơ
đồ). Nhiều nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng, học sinh có khả năng xử lý các tình
huống liên quan đến mô hình hóa, đặc biệt chúng còn có khả năng tự mình tạo
ra được mô hình giúp chúng làm rõ hơn các khái niệm.
Dạy học dựa vào giải quyết vấn đề là phương pháp giảng dạy ủng hộ
việc học liên quan đến giao tiếp và được xem là kênh phù hợp thực hiện mô
hình hóa toán học. Phương pháp này được thiết kế bao gồm các chu trình ngắn,
trong đó có ba yếu tố quan trọng là: thiết kế mô hình; học sinh; giáo viên. Mối
tương tác làm cho việc giải quyết vấn đề trở nên có ý nghĩa và có sức mạnh về
mặt học thuật.


Thiết kế mô hình là hướng đến vấn đề, cung cấp các tình huống nhằm
giúp học sinh đưa ra nhiều góc nhìn khác nhau về cùng một vấn đề và nó yêu
cầu học sinh cần hợp tác làm việc với nhau trong nhiệm vụ, phát triển, kiểm
tra, xem lại kết quả.
Giáo viên được xem như là người hướng dẫn về mặt nhận thức. Giáo

viên có thể tham gia vào môi trường học thuật nhưng tuyệt đối không được đưa
ra giải pháp. Điều này giúp giáo viên hiểu được học sinh cần và có khả năng
làm được gì. Giáo viên có thể làm nhiệm vụ hỗ trợ khi cần thiết và mở rộng
suy nghĩ của học sinh theo hướng sây hơn hướng tới mục tiêu bài giải. Do đó,
dạy học dựa vào giải quyết vấn đề giúp học sinh có khả năng tự định hướng
trong việc học. Giáo viên không cần phải cung cấp ý tưởng cho học sinh và có
thể vắng mặt trong lúc học sinh giải quyết nhệm vụ. Bước đầu khẳng định, dạy
học dựa vào giải quyết vấn đề là cách thức cung cấp môi trường học thuật
trong đó nâng cao vai trò học sinh tự nhận thức.
3. Quy trình mô hình hóa và thiết kế nhiệm vụ
Mô hình là đại diện của một hệ thống hay một quá trình. Xây dựng mô
hình bởi vì chúng giúp xác định các vấn đề, tổ chức những suy nghĩ của người
học, hiểu dữ liệu, giao tiếp và kiểm tra sự hiểu biết đó, cũng như đưa ra dự
đoán. Do đó, mô hình là một công cụ hữu ích của trí tuệ (Cheng, 2000) trình
bày ví dụ về hình thức các quá trình mô hình toán học và được sử dụng trong
lớp học ở trường trung học Singapore. Nhờ đó, phát triển những ý tưởng và
khái niện toán học cơ bản, bổ sung nhiều kỹ năng đầy thách thức và thú vị mới
trong khi người phọc hát triển các mô hình. Điều này thường bị bỏ qua trong
dạy học toán học truyền thống.
Hơn hết, quá trình xây dựng mô hình từ vấn đề thế giới thực là một
nhiệm vụ thú vị. Nó thường liên quan đến rất nhiều lần lặp lại trong một chu
kỳ như trong Sơ đồ 1 mà tôi đề xuất, các giai đoạn khác nhau của chu kỳ mô
hình xuất hiện kết nối với nhau, đòi hỏi sự tương tác nhiều hơn giữa các nhiệm
vụ nhỏ.
Mô tả quy trình mô hình hóa đề xuất tại sơ đồ 1
(1) Trừu tượng trong ý nghĩa chính của nó là một quá trình khái niệm
toán học bởi các quy tắc và các khái niệm chung được bắt nguồn từ việc sử
dụng và phân loại các tính năng cụ thể. Chúng tôi xác định các biến trong tình
hình và lựa chọn những đại diện cho các tính năng cần thiết.
(2) Áp dụng kiến thức toán học: giáo viên xây dựng liên kết hiệu quả

giữa các tri thức toán học được sử dụng để giải quyết các vấn đề trong thế giới
thực của các đối tượng. Thông qua việc phân tích các khung toán học liên


quan. Phân tích và thực hiện các hoạt động trên các mối quan hệ để rút ra kết
luận; nếu việc thực hiện các hoạt động không thể hoàn chỉnh, sau đó sửa đổi
các lựa chọn của các biến được sử dụng để xây dựng các mô hình. Do đó, ta có
kết luận toán học.
(3) Theo (Mette Sofie Olufsen 2003) những kết luận này sau đó được
Vấn đề thế giới thực

Trừu tượng (1)

Hệ thống toán học

Vận dụng
tri thức
Toán học
(2)

Các thí
nghiệm và
dự đoán
(1’)
Giải thích kết quả
(3)

Kết quả thực tiễn

Kết quả toán học

Mở
rộng
vấn đề
thế giới
thực (4)
Mở rộng vấn đề có thể
trong cuộc sống
Sơ đồ 1: Quy trình mô hình hóa

giải thích như những dự đoán về thế giới thực. Để có ích, hệ thống toán học
nên dự đoán kết luận về thế giới thực được thực sự quan sát khi các thí nghiệm
thích hợp được thực hiện (1') và giải thích kết quả của toán học về tình hình
ban đầu.
(4) Mở rộng vấn đề thế giới thực: Giải quyết các vấn đề thế giới thực có
thể làm cho vấn đề bền vững rõ ràng hơn và có ý nghĩa cho học sinh. Ví dụ
thực tế cung cấp các ứng dụng cụ thể để kiến thức toán học và kỹ năng học
được trong lớp học có liên quan đến sinh viên bản thân và xã hội. Ví dụ thực tế
cũng khuyến khích học sinh nhận thức được những lựa chọn mà họ làm và làm
thế nào họ phù hợp với một bối cảnh xã hội lớn hơn. Ví dụ thực tế thế giới
chứng minh sự phức tạp và không thể tiên đoán các vấn đề thực tế, và như vậy,
có thể kích thích tư duy phê phán. Họ cũng nhấn mạnh sự cần thiết cho một
cách tiếp cận tương tác và đa ngành để giải quyết vấn đề. Hơn nữa, sử dụng
các ví dụ từ thế giới thực chứng minh rằng, đôi khi, không có giải pháp hoàn


hảo cho một vấn đề nhất định. Nhưng, khi làm như vậy, được học sinh suy
nghĩ về các giải pháp, thay vì chỉ tập trung vào vấn đề.
Thiết kế nhiệm vụ
Thiết kế nhiệm vụ cần được đặc trưng bởi yếu tố thực tế và phù hợp với

chương trình giảng dạy, thống nhất về cách nhìn đảm bảo yêu cầu về kỷ luật,
không nặng nề về trình bày, ghi chép, có tính thách thức (gợi mở), mới lạ.
Theo (Jonathan Borwein, Keith Devlin et al., 2009), thông qua hoạt động mô
hình hóa, học sinh biết các xây dựng, cải tiến mô hình toán học để giải quyết
vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Học sinh cần xử lí các số liệu thực tế, sử
dụng các phương pháp biểu diễn số liệu khác nhau, lựa chọn và áp dụng các
công cụ và phương pháp Toán học phù hợp để giải quyết bài toán nảy sinh từ
chính các tình huống trong thực tiễn.
Yêu cầu chung phải đảm bảo sáu nguyên tắc:
- Đảm bảo tính thực tế.
- Đảm bảo về xây dưng mô hình; các tình huống đặt ra có cần phải kiểm
tra, điều chỉnh, mở rộng hay không?
- Tự đánh giá: Tính huống đặt ra có cần yêu cầu học sinh tự đánh giá hay
không?
- Làm rõ ý tưởng: Tính huống đặt ra có cần yêu cầu học sinh làm rõ
những suy nghĩ, ý tưởng của mình hay không?
- Đơn giản: Mô hình có đơn giản không, có dễ sử dụng không?
- Tổng quát hóa: Mô hình này có áp dụng vào các tình huống khác nhau
hay không?
Ví dụ 1 (Bài toán về thể tích): Bạn của em nói rằng: “Mực nước có liên
hệ trực tiếp với thể tích của nước rót vào”. Em hãy giải thích rõ tại sao khẳng
định của bạn chưa đủ tốt? Nếu cần hãy giải thích cụ thể về mối quan hệ giữa
chiều cao và thể tích để thuyết phục bạn.
Liên hệ thực tế, nhà trường hiện có một bể chứa nước đã xây dựng từ rất
lâu nên không ai có được số liệu của bể. Chỉ biết rằng, bể có hình trụ đứng và
bán kính đáy cũng như chiều cao của bể có thể đo được. Hãy tính thể tích của
bể, thời gian máy bơm nước có thể bơm đầy nước vào bể.
Phân tích
Trước tiên, giáo viên hướng học sinh kiểm tra sáu nguyên tắc cho thiết
thiết kế nhiệm vụ đã đưa ra:

- Thực tế: Ví dụ yêu cầu học sinh tìm ra chứng cứ để thuyết phục cả lớp;
Học sinh đã quen thuộc ở nhà và trải qua kinh nghiệm.


- Xây dựng mô hình: Học sinh phải tự đặt ra câu hỏi cho bản thân là mực
nước và thể tích có liên hệ hay không? Nếu có thì mối liên hệ đó có giống nhau
trong cả ba trường hợp không.
- Tự đánh giá: Học sinh cần phải đặt một số giả định, ví dụ chúng phải
giả thiết mực nước thay đổi như thế nào nếu cùng một lượng nước được rót
vào ba bình?
- Làm rõ ý tưởng: Học sinh có thể trình bày được sự đổi của mực nước
dưới dạng bảng hoặc biểu đồ.
- Đơn giản: Học sinh có thể mô ta được mối quan hệ giữa mực nước và
thể tích trong ba trường hợp.
- Tổng quát hóa: Nếu ba trường hợp làm được thì với một hình dạng nào
đó học sinh cũng có thể làm tương tự.
Để tổ chức hoạt động mô hình hóa nhiệm vụ ở ví dụ này, giáo viên
hướng dẫn học sinh thực hiện theo quy trình đề xuất trên.
Thực hiện các bước mô hình hóa
(1) Đây là một bài toán mở, điều kiện ban đầu chưa rõ ràng. Do vậy,
trước hết giáo viên cần cho học sinh thảo luận về những số liệu cần thiết cần
thu thập để đơn giản hóa bài toán. Nhận thấy, khi thể tích tăng thì chiều cao
cũng tăng nhưng chiều cao không tăng theo cùng một tỷ lệ trong các bình khác
nhau. Vì độ rộng của các bình chứa khác nhau. Học sinh giải thích rằng, nước
không có hình dạng xác định mà phụ thuộc vào hình dạng của bình chứa. Nếu
bình chứa rộng nó sẽ có diện tích nền lớn hơn và do đó nước sẽ phải phủ một
diện tích lơn hơn và vì vậy độ cao thấp hơn.
(2) Nếu bể chứa nước có dạng hình trụ đứng thì thể tích bể chứa sẽ được
tính thế nào? Học sinh huy động tri thức toán học liên quan: Liên quan đến thể
tích hình trụ Vtru bởi các đại lượng (diện tích mặt tròn đáy Sday , chiều cao khối

trụ cần tính h ); diện tích mặt tròn đáy tiếp tục được chi tiết bởi bán kính R của
2
nó và số π = 3,141593 Cụ thể: Vtru = Sday h = π R h . Thông số đo được R = 2,5m ,
h = 3,1m . Do đó, tính được Vtru = 3,14.(2,5) 2 (3,1) = 60,837 m3 . Hơn nữa, học sinh
tìm hiểu về các thông số của máy bơm nước theo thiết kế: Điện vào 220V –
50Hz, Công suất 200W ( 3m3 / h ), Độ cao đẩy 30m, Độ sâu hút 9m, Đường
kính ống hút và xả 25mm. Học sinh tính được nếu bơm liên tục bởi máy bơm
này thì cần thời gian là t =

Vtru 60,837
=
= 20, 28 giờ sẽ bơm đầy bể (bể chưa có
Vtc
3

nước đến lúc đầy).
(3) Thảo luận về kết quả: thực tế máy bơm cần thời gian nhiều hơn
chúng ta tính toán theo các công thức. Tại sao lại có độ chênh lệch này? Giáo


viên định hướng quá trình thảo luận tiếp theo cho học sinh như: Thực tế để
kiểm nghiệm lời giải bài toán, cải tiến mô hình bằng cách thay đổi hình dạng
biểu diễn hoặc bổ sung thêm các tham số khác (tấc dộ bay hơi của nước, các
thông số về điện sử dụng thực tế là thấp hơn tiêu chuẩn đề ra, ống hút, ống xả,
độ cao, độ sâu có trong phạm vi tiêu chuẩn của máy bơm không, máy bơm sử
dụng qua nhiều năm nên hiệu suất của máy giảm dần theo thời gian, mức độ
ngấm nước ở bể,…).
(4) Thể tích nước đổ vào bể hình trụ đứng có thể tính được thông qua
công thức tính thể tích khối trụ nước chiếm. Vấn đề mở rộng hơn khi có yêu
cầu tính thể tích của một vật thể rắn mà nó không phải hình dạng đặc biệt có

công thức tính. Học sinh đo thế nào?. Chẳng hạn, tính thể tích của một pho
tượng bằng đồng; Hay tính thể tích chứa của một bình xăng xe máy sau khi tu
sửa và cải tạo bình khác thiết kế ban đầu,… Đây là một vấn đề thực tiễn
thường xảy ra, học sinh cần thảo luận. Khi đó, quy trình mô hình được lập lại.
Vấn đề này hướng học sinh biết cách xác định thể tích một vật thể bất kì thông
qua thể tích bị chiếm chỗ.
Ví dụ 2 (Chiều cao của cổng Parabol): Tại trường Đại học Bách Khoa,
có nhiều cổng ra vào nhà trường, nhưng có một cổng có hình đặc biệt dạng
parabol có bề lõm quay xuống dưới. Em hãy tính chiều cao của cổng (khoảng
cách từ điểm cao nhất của cổng đến mặt đất).
Phân tích
Tương tự như ví dụ thứ nhất, giáo viên hướng học sinh tới kiểm tra 6 nguyên
tắc cho thiết thiết kế nhiệm vụ đã đưa ra:
Thực tế: Học sinh đã gặp nhiều mô hình dạng parabol này ở cuộc sống
như: hình ảnh đáy hồ cắt ngang, vết quỹ đạo của phi lao khi vận động viên
phóng lao, cổng Acxơ ở thành phố Lui (Mĩ),…
Xây dựng mô hình: Cổng dạng parabol có thể xem là đồ thị của hàm số
bậc hai, chiều cao của cổng tương ứng với độ cao từ đỉnh của parabol xuống

đất. Học sinh có thể đo đạc vị trí 2 chân của cổng, xác định được một số vị trí
trên cổng, lập bảng số liệu, biểu đồ tính toán thử nghiệm.


Tự đánh giá: Học sinh cần phải đặt một số giả định, ví dụ vị trí chân
cổng thay đổi nhưng vẫn gữi hình dạng parabol thì độ cao của cổng thay đổi
thế nào, phụ thuộc yếu tố nào?
Làm rõ ý tưởng: Học sinh có thể trình bày được sự thay đổi độ cao của
cổng dưới dạng bảng hoặc biểu đồ.
Đơn giản: Học sinh có thể chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ trùng
vị trí một chân cổng.

Tổng quát hóa: Nếu học sinh hiểu được mối liên hệ giữa các yếu tố liên
quan đến đỉnh của parbol thì học sinh cũng có thể giải quyết nhiệm vụ với các
tình huống tương tự.
Để tổ chức hoạt động mô hình hóa nhiệm vụ ở ví dụ này, giáo viên
hướng dẫn học sinh thực hiện theo quy trình đề xuất trên.
Thực hiện các bước mô hình hóa
Để giải quyết bài toán này cần phải tìm hiểu xác định các điều kiện của
bài toán cho cụ thể hơn. Do vậy, giáo viên khuyến khích học sinh thảo luận về
những số liệu cần thiết cần thu thập để đơn giản hóa bài toán. Nhận thấy, hình
dạng cổng parabol đã xác định. Do vậy nếu ta xác định được một số điểm đặc
biệt mà từ đó có thể tìm ra độ cao của cổng. Học sinh giải thích rằng, các điểm
trên cổng sẽ thỏa mãn một tính chất của parabol.
Học sinh biết rằng hàm số bậc hai có dạng y = ax 2 + bx + c , ( a ≠ 0 ). Vậy
muốn đồ thị hàm số nhận hình dáng cổng làm đồ thị của nó, trước tiên học sinh
cần chọn hệ trục tọa độ vuông góc. Để tính toán thuận tiện, chọn gốc O trùng
với một chân cổng. Xác định phương trình của nó cần phải xác định được ít
nhất 3 điểm trên cổng, chẳng hạn O(0;0), B(x b;0), M(xM;yM). Học sinh tiến
hành đo đạc để tìm số liệu cần thiết.
Đối với trường hợp này học sinh cần đo: khoảng cách giữa hai chân và
xác định tọa độ một điểm trên parabol, chẳng hạn: khoảng cách hai chân cổng
là 10m, tức xb = 10m; điểm M bất kì trên cổng có độ xa so với trục thẳng đứng
từ gốc O là xM = 1m và điểm M cách mặt đất y M = 3m. Khi đó: y =
Như vậy, cổng parabol cao y =

−1 2 10
x + x.
3
3

25

≈ 8,33 m.
3

Thảo luận về kết quả: thực tế qua trao đổi với công nhân đã xây dựng
cổng thì cổng cao hơn so với tính toán mà học sinh đua ra khoảng 7 cm. Điều
này được lí giải bởi học sinh xác định vị trí của các chân cổng và điểm M đều
lấy ở mặt trong của cổng, hơn nữa cổng còn phải tính độ dày của lớp bê tông
cấu trúc cổng.


Qua các bước thực hiện, độ cao của cổng có thể tính được thông qua các
bước của chu trình mô hình hóa. Vấn đề mở rộng hơn khi có yêu cầu tính độ
cao hoặc độ xa của hai chân parabol trong nhiều trường hợp khác và việc đo
đạc phức tạp hơn, học sinh giải quyết thế nào?. Chẳng hạn, trong diễn tập đánh
trận, đội pháo binh cần tính toán thế nào để bắn đúng vào vị trí cứ điểm của
địch...
Như vậy, kết quả nghiên cứu thực nghiệm cho thấy, hầu hết học sinh đều
đánh giá mô hình hóa các vấn đề thực tiễn là bài toán khó. Theo N.D. Nam
(2015), đa số các em đều gặp khó khăn ở bước đầu tiên đó là tìm hiểu bài toán,
cụ thể nhiều học sinh nhận xét rằng bài toán không đủ dữ liệu để giải, không
biết sử dựng tri thức toán học để giải quyết… Chính vì vậy, nhiều học sinh đã
gặp lúng túng trong bước lập giả thuyết và xây dựng bài toán. Thực tế rằng, khi
học sinh xây dựng được bài toán thì có thể giả được bài toán đó. Vì thế học
sinh cần vượt qua trở ngại toán học hóa được vấn đề thực tiễn và biết giải thích
kết quả.
4. Kết luận
Hoạt động mô hình hóa hoàn toàn có thể được vận dụng trong dạy học
Toán ở trường Trung học phổ thông dựa theo quy trình tác giả đề xuất. Mô
hình toán học và dạy học dựa trên giải quyết vấn đề đã được chứng minh có
mối lên hệ biện chứng. Mô hình là một tập hợp con của dạy học dựa trên giải

quyết vấn đề mà Toán học là thành phần quan trọng của bài toán mô hình hóa
vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp học sinh có thể đào sâu và
phát triển sự thông hiểu toán học. Nhiều nghiên cứu trước đây giới thiệu các
mô hình toán học cho thấy chiến lược nhưng chưa quan tâm thỏa đáng đến
phương pháp dạy học dựa trên giải quyết vấn đề. Nghiên cứu này, phần nào
minh chứng cho những lợi ích của dạy học mô hình hóa trong bối cảnh giải
quyết vấn đề, giúp học sinh phát triển các kĩ năng giải quyết vấn đề, kĩ năng
hợp tác, khả năng vận dụng tri thức Toán học, kinh nghiệm tích lũy bản thân
vào giải quyết những nhiệm vụ thực tiễn.
Tài liệu tham khảo
1. Farzad Bahmaei. Mathematical modelling in primary school, advantages and
challenges. Journal of Mathematical Modelling and Application, Vol. 1, No. 9, 2011.
2. Lesh, R., &doeer, H. M. (Eds.), Beyond constructivism: A models &modelling
perspective on mathematics problem solving, learning, & teaching. Mahwah, NJ:
Erlbaum, 2003.
3. Jonathan Borwein, Keith Devlin, Experimentelle Mathematik. Spektrum
Akademischer Verlag, 2009.


4. Ang Keng Cheng. Teaching Mathematical Modelling in Singapore Schools. The
Mathematics Educator, Vol. 6, No. 1. 2000.
5. Le Hong Quang. Mathematical modeling process. GeoGebra International Journal
of Romania, Vol. 5, No. 2.
6. Nguyễn Danh Nam. Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ
thông. Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội, tập 31, số 3, 2015.